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Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
第５講
M.Shiga
－金属・半導体の伝導現象－
１
はじめに
前回は金属の諸物性の電子論について、電気抵抗の
所まで来て紙数が尽きたが、今回は引き続き、ホール
効果、熱伝導などにふれ、さらに半導体の基本的な性
質について述べる。
２
ホール効果
導体に電流を流し、さらに磁場をかけると、その方
向によって様々な現象が生じる。ここでは、代表的な
現象であるホール効果(Hall Effect) について述べる。
これは磁場を電流に垂直にかけた時、両者に垂直な方
向に電圧が生じる現象で、磁場測定やキャリア密度（後
述）の推定に使われる。
まず、図 5-1 を見ていただきたい。長さ l 、巾 h 、
厚さ d の短冊状の導体に電圧 V、磁場（磁束密度 Bz）
をかける。
電流( Ix )方向を x、磁場方向を z とすると、
磁場 0 の時は、電子は－x 方向へ動こうとするが、磁
場中ではローレンツ力を受け、図の点線のように上向
き（+ｙ方向）の力を受ける。しかし、ｙ方向には電
流は流れないので、上側表面に過剰の電子が溜まり、
負に帯電する。逆に下側表面は電子不足となり正に帯
電する。つまり、ｙ方向に電圧が発生する。この電圧
による電場と、ローレンツ力が打ち消し合い、ｘ方向
に定常電流が流れることになる。このときｙ方向に発
生する電圧がホール起電力であり。その大きさは以下
のようにして求まる。
図 5-1 ホール効果の概念図
一般的に、電場 E、磁束密度 B 中にあり速度 v で
動く電子に働く力は F 
e
E v B  で与えら
れる。ここで、括弧内第 2 項は言うまでもなくローレ
ンツ力である。ベクトルの外積は
x y z
v B v x
Bx
vy
By
vz
Bz
で与えられるので、Bx=By=0 を考慮すると、
Fx eE x e v y Bz
Fy eE y e v x Bz
Fz eE x
(5-1a)
(5-1b)
(5-1c)
が得られる。定常状態で電流が流れ得るのはｘ方向の
みなので、vy = vz = 0, Fy = Fz = 0 でなければならな
い。ｘ方向への電流密度は jx 
nev x なので、
v x jx 
ne と書ける。一方、 (5-1a) 式＝ 0 よ
り、
B
E y v x Bz  z jx
ne
さらに、V y h 
Ey , I x
圧、Ix は電流）より、
(5-2)
jx 
d
h （Vy はホール電
1
I
I
Vy  Bz x RH Bz x
ne
d
d
(5-3)
とホール電圧 Vy が求まる。ここで、 RH 1 ( ne)
をホール係数とよぶ。したがって、板状試料の厚さ d
がわかっておれば、ホール電圧を測定することにより、
ホール係数が求まり、電子密度（体積当たりの電子数。
より一般的にはキャリア密度）n を推定することが
出来る。逆に、RH がわかっておれば、磁束密度の測
定に使える。ただし、金属の場合は電子密度が大きい
のでホール係数が小さく、実験室条件ではホール電圧
は微少で、出来る限り薄い（ｄが小さい）試料を使う
必要がある。半導体の場合はキャリア密度が小さくホ
ール電圧も大きいので、磁場の測定には半導体が使わ
れる。また、後述するｐ型不純物半導体ではキャリア
ーが正孔なのでホール電圧は正となる。
３
金属の熱伝導とヴィーデマン・フランツ
（Wiedemann-Franz）の法則
金属の特徴の一つは電気伝導だけでなく熱伝導も大
きいことで、両者の間には関連がある。具体的には、
ヴィーデマン・フランツの法則として知られる経験式
-1-
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
で、熱伝導率と電気伝導率の比が温度に比例するとい
うものである。ここでは、オームの法則を導いたのと
同じ手法、つまり、電子を電荷を帯びた古典気体とし
て扱い、その平均粒子速度にフェルミ速度を適用する
方法により、自由電子についてこの法則を理論的に導
く。
熱伝導率 K の定義式は、z 方向に温度勾配
dT dz があるとき、単位時間、単位面積を通過する
エネルギーをｊu とすると、
ju K
dT
dz
K el 2 k B 

T L T
 3 
e 
2
2 k 
L   B  2.45 108 WK 2
3 e 
2
(5-5)

で与えられる（参考書 (1) 参照）
。ここで、CV は体
積比熱、<|v|> は平均分子速度、l は平均自由行程で
ある。1/3 が掛るのは、分子はあらゆる方向に飛翔し
ているので、そのｚ方向成分の平均を取るためである。
前回述べたように、電子気体の比熱は状態密度に比
例し、自由電子の場合は
(5-6)
(5-7)
となる。ここで、τは電子の平均緩和（衝突）時間で
ある。
一方、電気伝導率 σ は前講 (4.17) 式より
ne2
 
m
(5-8)
なので、 (5-7)、 (5-8)式よりτを消去すると、熱伝導
率と電気伝導率の間には以下の関係式が成り立つ。

K el (300 K ) 5.9 107 2.45 108 300
434 W 
m 1 
K 1
と求まり、実測値 403 W･m-1･K-1 にかなり近い値が
得られる。従って、伝導電子による熱伝導が支配的で
あることがわかる。
◯ 熱伝導率の温度依存性
前回示したように、金属の比抵抗ではマーティセン
の法則 (T ) 0 L (T ) （4.22）が成り立つので、
熱伝導率の温度依存性は
で与えられる。［(4.6)式］ここで、ｎは電子密度であ
る。この式、及び v v F , l v F を (5-5)式に
代入すると、自由電子による熱伝導率 Kel は
2n k B 2T
2 nkB 2T
K el 
v
l


F
3 mv F 2
3m
(5-10)
となる。実際の金属では（273 K において）
Ag : 2.31, Au : 2.35, Cu : 2.23 (×10-8 WΩK-2)
と、これらの金属では自由電子の値に近いことがわか
る。
なお、熱伝導率の測定は、電気抵抗の測定に比べ格
段に難しいが、この関係式を使うことにより、電気抵
抗の測定から熱伝導率の概略値を推定することが出来
る。例えば、銅について室温の熱伝導率を自由電子モ
デルにより推定すると、
1 1 1.7 108 5.9 107 1m 1 を用
い、
(5-4)
2
2 n 2
2 nk B 2 T
Cel  D(F )k B 2T 
kB T 
3
2 F
mvF 2
(5-9)
このようにヴィーデマン・フランツの法則が導ける。
定数Ｌをローレンツ数といい、自由電子では
で与えられる。気体の場合、熱エネルギーは、高温・
高エネルギー領域から、低温・低エネルギー領域へ衝
突せずに飛翔する分子によって運ばれる。証明は略す
が分子運動論によれば、気体の熱伝導率は
1
K  CV v l
3
M.Shiga
L
T
K el (T ) 
0 L (T )
と書ける。
このとき、分母・分子共に温度依存性があるので少し
複雑であり、温度領域を分けて考える必要がある。た
だし、いずれの場合も、 K el (0) 0 であり、また十
分高温では L (T ) T  0 なので K el (T ) は一定
値に近づく。
(1) 純金属：ρ 0 が十分小さい場合、極低温を除いて
n
は (T ) T
(n : 2 5) なので、K (T ) T n 1 と
なり、温度と共に減少する。すなわち、熱伝導率は低
温で極大値を示す。
(2) 合金：ρ0 が大きく、少なくともρL(T) の温度依
存性が T n (n >1) で与えられる低温域で
0  L (T ) であれば、 K el (T ) は単調に増加し高温
で一定値に近づく。
-2-
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
M.Shiga
て捉える必要がある。電子波の波束は波数 k0 を中心
として、その近傍の波数の波を重ね合わせて得られる。
波束の中心速度、つまり電子の粒子速度は群速度に等
しい。すなわち、
d
d  1 dE
vg 
 
d
1  dk dk
で与えられる。ここで、
E は電子の運動エネルギー、ν（ω）はそれに伴う
振動数（角振動数）である。
中心波数 k、速度 vg の電子が dt 時間に、電場 Є
によりなされる仕事（電子のエネルギー変化）は、
dE
dE  dk F 
dx e 
v g dt
dk
(5-11)
edE
  dt
dk
となり、両辺から dE
dk を消去すると、
dk
e

dt

が得られる。すなわち、単位時間にその波数は
変化する。
一方、加速度 d v g dt は、 (5-12)より、
図 5-2 金属・合金の熱伝導率（参考のため結晶質・
非晶質 SiO2 のデータも示してある。（参考書 (2)
より引用）
実際の測定値（図 5-2）を見ると確かに純金属では低
温で極大値を示し、合金では単調増加を示している。も
ちろん、その絶対値は純金属の方が大きい。参考のため、
代表的な絶縁体である SiO2 の熱伝導率の温度依存性も
示すが、全く別の理由により、結晶質の水晶では低温で
極大を示し、非晶質である石英ガラスでは単調に増加す
る。この傾向はフォノンを気体と見なすモデルによりあ
る程度説明可能である。
（参考書 (3) 参照）
４
半導体の電子論
半導体は最も重要な機能材料の一つであり、材料科
学者としてその性質を理解しておくことが望まれるが、
ここでは、これまで学んできたことを基礎に基本的な
性質を説明する。
４-1
伝導電子の有効質量
前回、結晶の周期ポテンシャルは電子を散乱せず電
気抵抗の原因にならないといったが、電気抵抗値に関
係しないわけではない。それは、電場をかけたときの
加速度に影響し、電子の有効質量の変化として記述さ
れる。これを論じるためには、古典的な気体モデルは
使えず、電子を第 I 講 1.3.2 で述べた波束の運動とし
(5-12)
e
dv g
1 d dE  1 d 2 E 1 d 2 E dk


 
dt
dt dk  dkdt dk 2 dt
1 d 2E
1
 2
e 2

e
2
2
 dk

d E dk 2 
(5-13)
と書ける。これを、古典論の運動方程式
dv dt 
1 m
e
と比較すると、
2
2
2
m*  d E dk
の有効質量を持った粒子とみ
なせる。
1 次元モデルについて、自由電子および周期ポテン
シャル中の電子の分散関係、群速度、有効質量を図 5-3
に示す。このように周期ポテンシャル中では電子の見
かけの質量が変る。特に、バンドの上端付近では有効
質量が負になる。すなわち、電子が電場から受ける力
の逆方向に加速（減速）される。
-3-



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M.Shiga
４-2
ホールの運動と半導体
後に示すように、半導体では本来電子が詰まった状
態であるブリルアン・ゾーン内側の電子が励起され、
価電子バンドに空きが生じこれが正孔（ポジティブ・
ホール）として伝導を担う（キャリアとなる）ことが
知られている。直感的にはこれで十分理解出来るが、
定量的にそのホールの有効質量などを論じようとする
と、十分ではない。以下、参考書 (3)の手法でこの点
を説明する。
簡単のため、図 5-4 のようなバンドの頂上（k = 0）
にあった電子が抜けた 1 次元バンドを考え、それに電
場をかけていくことによる変化を順を追って説明する。
(1) 電場がかかっていない時。
（図 5-4 a）
図 5-3 自由電子（左）と周期ポテンシャル中の
電子の (a) エネルギー分散曲線 (b)群速度 (c)
有効質量

k
k 
(2)
x
0
(5-14)
+ｘ方向に電場 εをかける。
（図 5-4
dk
 x e
x
dt
b → c ）
(5-15)
より、各電子の波数は－ｘ方向に ⊿k 変化する。
(a)→(b)→(c)
これに伴い、空孔も⊿k だけ－ｘ方向に移動する。
(3) 一方、実空間での電子の速度は群速度
v g 1 dE dk で与えられる。従って、k < 0 に対
しては、vg > 0, k > 0 に対しては、 vg < 0 である。
（図 5-4 (d)）
(4) 全電子の速度の和を V、空孔にあった電子の速度
を vh とすると、
ε=0 では、V
v k 0, v h 0
(5-16)

 は電子が詰まっている全ての状態につい
ここで、

ての和を意味する。
ε >0
では、 V
v k  0

電子は負電荷なので正の電流が流れる。
(5)
空孔がない時の全電子の速度の和は 0 なので、
v v
k
all

k
v h 0
v
従って、

図 5-4
ホールの運動
k
v h 0（ここで、vh > 0 に注意）。
すなわち、全電子の速度の和は空孔に電子があるとし
た時の速度に－符号を付けたものに等しく、電流は、
J ev k e(v h ) ev h

-4-
となり、全電子に
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よって運ばれる電流は空孔（速度 vh）においた電荷 +e
の粒子（ホール）が運ぶそれに等しい。
◯ ホールの有効質量
電場 εにより、vh は時間とともに増加する。すな
わち、 d v h dt  0 。従って、ホールの有効質量は正
であり、バンドの上端での電子の有効質量が負であっ
たことから、次式で与えられる。
mh * 2 
d 2 E dk 2  0
４-3
M.Shiga
も eV のオーダー、つまり 10000 K 程度で室温の熱
エネルギーより 1 桁大きい。従って、励起される電子
数は少数である。
図 5-6 に Si の分散曲線を示す。Si の場合共有結合
性が強いので空格子近似との対応は難しいが、下から、
縮退のない２本の分枝とその上の太線で表した２重縮
退のある１本の分枝に、格子点当たり８個（ダイアモ
ンド構造では格子点当たり２個の原子、Si では１原子
当たり４個の価電子を持つ）の電子が占有し価電子バ
ンドを作り、その上の分枝との間に狭いエネルギーギ
ャップが存在する。その結果、状態密度曲線にもギャ
ップが生じる。
◯ 半導体の電気伝導率
前回述べたように、半導体の電気伝導率は、
n e , em * とキャリア密度と移動度の
積で表す。金属の場合はキャリア（電子）密度がほぼ
一定で、電気抵抗値を支配するのが緩和時間 τであっ
たのに対し、半導体の場合はキャリア密度ｎの変化が
支配的である。真性半導体の場合、キャリアが電子と
ホールの 2 種類あるので、
伝導バンドの電子濃度をｎ、
移動度を μe、価電子バンドのホール濃度をｐ、移動
度を μh とすると、 n e 
e p e 
h と書ける。
いずれにせよ、伝導率を決める最大の要因はキャリア
密度、ｎ、ｐなので、以下その見積り法について述べ
る。
(5-17)
真性（固有）半導体
図 5-5 真性半導体のバンド構造。0K では価電子バンド
が電子で完全に満たされており、伝導バンドには電子は
存在しない。有限温度では熱エネルギーにより電子が励
起され、価電子バンドにホールが、伝導バンドに電子が
現われ、それぞれ伝導に寄与する。このとき、フェルミ
レベルは禁制バンドの中間にある。
４-4
4-4-1
図 5-6
Si の電子分散曲線。低エネルギー側の 2 本の分枝
は縮退せず、その上の太線の分枝は２重に縮退している。
Ge や Si など、いわゆる半導体では、図 5-5 に示
すように、電子の詰まった価電子バンドと空の伝導バ
ンドの間にエネルギーギャップがあり本来絶縁体で
あるが、エネルギーギャップ Eg が比較的小さく、
室温においても価電子バンド上端の電子が熱励起され、
伝導バンドに電子が、価電子バンドには空孔が生じる。
従って、電場をかけると電流が流れる。後に述べる不
純物半導体と区別し純粋の Si や Ge を真性（固有）
半導体という。代表的な半導体のエネルギーギャップ
は、Si：1.17、Ge：0.744、GaAs：1.52 eV といずれ
真性半導体のキャリア密度
キャリア濃度の見積もり I：粗い計算
図 5-7 真性半導体の状態密度とフェルミ分布関数。ホ
ール数と伝導バンドの電子数が等しくなければならな
いので、フェルミ準位はギャップの中央にある（ f
(EF)=1/2 であることに留意）。従って、半導体にはフェ
ルミ面は存在しない！
真性半導体では n = p でなければならないので、f
(EF)=1/2 で定義されるフェルミ準位 EF はエネルギ
ー・ギャップのほぼ中央になければならない。
（図 5-7
参照）なお、このことは半導体ではフェルミ面は存在
-5-
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
M.Shiga
しないことを意味するので注意しておこう。ここでは
簡単のため、ちょうど中間にあるとする。価電子バン
ドの上端のエネルギーを Ev 、伝導バンドの底を Ec
とすると、 E F EV EC E F E g 2 従って、
EF 
EC EV 2 と書ける。ホールはほとんど Ev
付近に、電子はほとんど Ec 付近に分布しており、ま
た、Eg ≫ kBT、従って、（Ec－EF）≫ kBT なので、
フェルミ・ディラック分布関数は、
(1) 伝導バンドの電子に対して、
1
fe 
exp 
EC EF k BT 1
exp 

EC EF k BT 

(5-18)
exp 
E g 2k BT 
(2) 価電子バンドのホールに対して、
図 5-8 半導体の電気伝導率の温度依存性。縦軸を log
σ、横軸を 1/T でプロットすると直線にのる。エネルギ
ーギャップが大きいほど勾配が大きくなる。
1
f h 1 
exp 
EV EF k BT 1

1

exp 
EF EV k BT 1
n De ( E ) f e dE
(5-19)
EC
E 
1 2m 
 2  2 e  exp  F 

2  
k BT 
32
exp 
E g 2k BT 
 E 
 dE
E E  exp 
k T

とｎ、ｐは近似的にボルツマン分布に従う。
すなわち、
n p exp 
E g 2k BT 10 9
12
C
EC
(for Si 300 K)
(5-21)
B
E EC 
m k T 
2  e B 2  exp  F

2 
 k BT 
32
従って、移動度の温度依存性を無視すれば、
c exp 
E g 2k BT 
, ln E g 2k BT ln c
と、電気伝導率の対数 lnσ を 1/T の関数としてプ
ロットすると直線になる。
（図 5.8 参照）
ここで、
4-4-2 キャリア濃度の見積もり II：より正確な計算
12
伝導バンド、価電子バンドの状態密度を E
型と
し、その有効質量をそれぞれ、me、mh とする。
(1) 伝導バンドの電子濃度ｎ
伝導バンドの状態密度は、

x
0
2
E EC
x 2
k BT
exp( x 2 )dx 
とおき、定積分

を用いた。
4
32
1 2m 
12
De ( E )  2  2 e  
E EC 
2  
ただし、E > Ec
フェルミ・ディラック分布関数は
(5-20)
(2) 価電子バンドのホール密度
価電子バンドの状態密度は
ｐ
32
1 2m 
12
Dh ( E )  2  2 h  
EV E 
2  
E EF  kT ゆえ、
f e exp 

E E F k BT 、従って
ホールの分布関数は、
-6-
(5-22)
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
の原子は Si サイトを置換し、容易に余分の価電子を
伝導バンドに放出し、伝導バンドの電子濃度を増加さ
せる。また、逆に質量作用の法則によりホール濃度は
減少する。これらの不純物は電子を（伝導バンドに）
与えるもの、ドナーと呼ぶ。ドナーを多く含む半導体
をｎ型半導体とよび、電気伝導は主に伝導バンドの電
子が担う。
一方、B、Al、Ga、In 等の３価の元素を不純物と
して加えると、価電子バンドから電子を捕獲し、価電
子バンドにホールを作る。これらの不純物を電子を受
容する物、アクセプターとよぶ。アクセプターを多く
含む半導体をｐ型半導体とよび、電気伝導は主に価電
子バンドのホールが担う。これらの様子を図 5-9 に模
式的に示す。
1
f h 1 f e 1 
exp 
E EF k BT 1
1

exp 
EF E k BT 1
E EF 
exp 

 k BT 
M.Shiga
(5-23)
同様の計算により、ホール濃度は
EV
p Dh ( E ) f h ( E )dE

E EF (5-24)
m k T 
2  h B 2  
exp  V

2 
 k BT 
32
と求まる。
(3) フェルミ準位
真性半導体では n = p なので、 (5-21)= (5-24)
して、
EF 12 
EC EV 43 k BT ln 
mh me 
と
図 5-9 (a) Si に As（5 価不純物）をドープしたところ。
As は電子を 1 個伝導体に放出し+e に帯電する。放出さ
れた伝導電子は完全に自由電子となるわけでなく As+
の正電荷から引力を受ける。(b) Si に B（3 価不純物）
をドープしたところ。Si の価電子バンドから 1 個電子
を捕らえ－e 帯電する。価電子バンドに生成したホール
は B－の負電荷から引力を受ける。
(5-25)
(4) 質量作用の法則
(5-21)×(5-24)より、
3
 E 
32
k BT 
n p 4 
me mh  exp  g 
22 


 k BT 
(5-26)
となり、電子濃度とホール濃度の積はフェルミ準位に
よらず一定である。これを化学反応の平衡式にならっ
て質量作用の法則とよぶ。この関係式は、後述する不
純物半導体の場合も成り立つ。
４-5
不純物半導体
代表的な半導体である Si ( Ge も同じ) は４価の元
素であり、結晶構造は fcc ダイヤモンド型である。ダ
イヤモンド構造では４個の最近接原子が正四面体配置
をしており中心の Si から伸びる 4 本の共有結合手が
最近接 Si とσ共有結合を形成するというイメージが
比較的よく成り立つ。もちろん多原子結晶なので本講
第Ⅲ講の『多原子分子からのアプローチ』で示したよ
うにエネルギーバンドを形成し、価電子バンドは共有
結合性バンドで、伝導バンドは反結合性バンドと考え
て良い。
さて、ここで、Si に P、As、Sb などの５価の元素
を極微量不純物として加えると（ドープする）
、これら
４-6
擬水素原子モデルによる不純物準位の推
定
4.6.1 ｎ型半導体
図 5-10 不純物半導体のエネルギー準位 Ed：ドナー準
位、Ea：アクセプター準位。
ドナーから放出された電子は完全に自由になるわけ
でなく、正に帯電したドナーイオンから引力を受け束
縛されている。
（図 5-9 参照）このときのエネルギー準
位（ドナー準位）は以下のように擬水素原子モデルに
より見積もることが出来る。ハミルトニアンは水素原
-7-
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
じになるはずである。表 5.2 に Si, Ge についての結
合エネルギーを示す。
B
Al
Ga
In
Si
0.045
0.057
0.065
0.16
Ge
0.0104
0.0102
0.0108
0.0112
子と同様に、
2
e2
 =  2 
2me

r
(5-27)
表 5.3 Si 及び Ge 中の 3 価の不純物によるアクセプタ
ーの結合エネルギー Eb
とする。水素原子との違いは、(1) 電子の質量を伝導
バンドの有効質量 me とする。(2) クーロン引力を母
体（Si、Ge）中の引力、すなわち真空の誘電率 ε0 の
代わりにこれら半導体の誘電率 εを使う。ハミルトニ
アンの形は水素原子と全く同じなので、基底状態（1s
状態に相当）のエネルギー準位、及び軌道半径は、
e 4me
2
E1s  2 2 , a  2
2
me e
二つの表を見比べても、結合エネルギーが母体のみに
よって決まっていること、ドナーとアクセプターの結
合エネルギーがほぼ等しいことがわかる。
(5-28)
と求まる。エネルギーの原点は伝導バンドの底であり、
その直下にドナー準位 Ed が出来る。
（図 5-10 参照）
従って、0 K では、電子はドナーに捕捉されている。
しかし、その結合エネルギー Eb Ec Ed は真性半
導体のエネルギーギャップよりずっと小さいので、室
温でも容易にイオン化し、電子は放出され結晶中を運
動する。Si、Ge について計算すると、
Si：me＝0.25 m、ε＝11.7ε0、Eb= 0.025 eV (290 K)、
a＝2.47 nm
Ge：me ＝ 0.12 m、ε＝15.8ε0、Eb＝0.0065eV（75
K）、a＝7.0 nm
この結果で分ることは、(1) 結合エネルギーは室温と
同程度かそれより小さく、電子は容易に伝導バンドに
伝導電子として励起され得る。 (2) 軌道半径は、Si,Ge
の原子間距離約 0.25 nm よりも十分大きく、誘電率
としてバルクの値を用いてもいいことがわかる。この
モデルによると、結合エネルギーは母体の性質のみに
依存し不純物の種類によらない。表 5.1 に実測値を示
すが、絶対値こそ少し異なるが、不純物による差はほ
とんどなく、このモデルがほぼ正しいことがわかる。
P
As
Sb
Si
0.045
0.049
0.039
Ge
0.012
0.0127
0.0096
表 5.1 Si 及び Ge 中の５価の不純物によるドナーの結
合エネルギー Eb
4.6.2 ｐ型半導体
アクセプターが電子を捕獲すると、－イオンとなり
まわりのホールを引きつける。ドナーの場合と同様、
水素原子モデルで結合エネルギーが計算出来る。この
場合、基底状態はアクセプターが電子を捕獲していな
い状態、いいかえれば、ホールと結合した状態なので、
アクセプター準位 Ea は価電子バンド上端の直上にあ
る。結合エネルギーの理論値は当然ドナーの場合と同
M.Shiga
４-7
不純物半導体のフェルミ準位とキャリア
濃度
4.7.1 半定量的考察
半導体はダイオード、トランジスタ等いわゆる電子
デバイスに使われるが、その働きを理解する上で、不
純物半導体のフェルミ準位の変化を知ることが重要で
ある。
図 5-11 (a) ｎ型、(b) ｐ型半導体の電子の占有
状況とフェルミ準位。ｆ(EF)＝1/2 なので、フェ
ルミ準位は不純物準位の近くに来る。
図 5-11 はｎ型、及びｐ型半導体の電子の占有状態を
示す。ｎ型の場合、 k BT Eb の低温では、ドナーに
捕獲されていた電子の一部が伝導バンドの底に励起し
ているのみで、価電子帯は完全に満ちている。すなわ
ち、価電子バンドにはホールは存在せず、ドナー準位
の一部が空になり、伝導バンドの底にドナーから励起
された伝導電子がわずかに存在するのみである。従っ
て、図 5- 11(a)からわるようにフェルミ準位は、ドナ
ー準位と伝導バンドの底の間になければならない。
温度が上昇し、価電子バンドから伝導バンドへの励
起（固有励起）が無視出来なくなると、不純物濃度は
普通 ppm オーダーなので、固有励起による電子が支
配的になり、フェルミ準位は真性半導体の値に近づい
てゆく。その様子を図 5-12 に示す。
一方、ｐ型半導体の場合はすこしわかりにくいが、
低温ではほとんどのアクセプターがホールを束縛した
状態にあり、伝導バンドには電子は存在しない。従っ
て、図 5- 11(b) を見ればわるように、フェルミ準位は
-8-
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
価電子バンドの上端とアクセプター準位の間にある。
M.Shiga
kBT が結合エネルギーに近く、不純物準位がほぼ完
全に熱励起される領域。出払い領域とよばれ、室温付
近の不純物半導体はこの領域にある。この場合、ｎ
型では、ｎ～Nd、この等式と (5-29)より、
N 
EF EC k BT ln  d 
n0 
(5-34)
ｐ型では、ｐ～Na、従って
図 5-12 ｎ型、ｐ型半導体のフェルミ準位の温度
依存性
4.7.2 定量的な見積もり
(1) 低温（ｎ型：kBT ≪Eb =Ec－Ed、ｐ型：kBT ≪Eb =Ea
－ Eｖ
はじめにｎ型の場合を考える。伝導バンドの電子濃
度ｎは (5-21)より、
n n0 exp 
EF EC k BT ,
n0 2 
mek BT 22 
32
N 
E F EV k BT ln  a  (5-35)
p0 
が得られる。
(3) 高温：kBT ～ Eg = Ec－Ev
価電子バンドから伝導バンドへの固有励起が支配的
になり、フェルミ準位は真性半導体のフェルミ準位に
漸近する。その様子を図 5-12 に示す。
４-8
不純物伝導
(5-29)
で与えられる。これは励起されたドナー濃度
n* N d 
1 f ( Ed )に等しいとみなせるので、n=n*
と等置することにより、EF、従ってｎが求まる。結
果は、
E Ed k BT Dd 
EF  C

ln  
2
2
n0 
(5-30)
n 
n0 N d  exp 

EC Ed 2k BT  (5-31)
12
ここで、Nd はドナー濃度、Ed はドナー準位である。
ｐ型についても同様に、
E Ec k BT N a 
EF  a

ln  
2
2
p0 
p p0 N a  exp 

Ea EV k BT 
,
(5-32)
図 5-13 ｎ型半導体のキャリア濃度の温度依存性
12
p0 2 
mh k BT 22 
32
(5-33)
が得られる。ここで、Na はアクセプター濃度、Ea は
アクセプター準位である。
(2) 中間温度：kBT ～ Eb
前項で述べたように不純物半導体では、結合エネル
ギーが真性半導体のエネルギーギャップより小さいの
で低温では不純物から励起されたキャリアーが支配的
である。しかし、不純物濃度は小さいので高温では濃
度の制限のない価電子バンドから伝導バンドへの励起
が支配的になる。その結果、
キャリア濃度の対数を 1/T
の関数でプロットすると、高温側から、固有伝導領域、
-9-
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
出払い領域、不純物支配領域の３つの領域に別れる。
図 5-13 はｎ型半導体のキャリア濃度の温度依存性を
示す。電気伝導率もほぼこれに近い温度変化をするが
移動度μの温度変化により少し異なってくる。
５半導体の応用
５-1
ｐ－ｎ接合と整流作用
5.1.1 整流作用の定性的説明
M.Shiga
(3) 電圧をかけない時の電子の流れは、ｐ領域の伝導
バンドに価電子バンドから熱励起されたわずかな電子
0
がｎ領域へ拡散することによる電流 I t と、ｎ領域伝
導バンドのあるドナーから供給される大量の電子がエ
ネルギーバリア⊿ E を越えてｐ領域へ進入すること
0
による電流 I r とが釣り合い電流は流れない。(図
5-15 b)
(3) 順方向に電圧 V をかけると、（図 5-16 a）It は変
化しないが、 Ir は、エネルギーバリアが
E EF eV と減少するので、増加する。
すなわち、 I r
全電流は、I
図 5-14 ｐ－ｎ接合ダイオード
(1) 順方向（図 5-14 a）
：ｐ型に＋、ｎ型に－の電圧を
かけるとホール、電子ともに界面に向かって動き界面
付近で対消滅する。また、電極では導線の電流により
ホール、電子が補給される。このようにして回路に定
常的に電流が流れる。
(2) 逆方向（図 5-14 b）
：ｎ型に＋、ｐ型に－の電圧を
かけると＋極にｎ領域の電子が、－極にｐ領域のホー
ルが引き寄せられるが、その後、界面近傍でキャリア
ーが欠乏する。そのため定常電流は流れない。
5.1.2
I r0 exp 
eV k BT 
従って、
I r I t I r0 
exp 
eV k BT 1と急激
に増加する。
(4) 逆方向に電圧をかけると（図 5-16 b）、逆にエネ
ルギーバリアが高くなり、Ir は減少する。すな
わち、
(5)
I r I r0 
exp 
eV k BT 
、
逆方向全電流は、 I
I r0 
exp 
eV k BT 1
となる。すなわち、微少な熱拡散電流
は流れない。
I t0 以上に電流
エネルギーレベルと電子の流れ
図 5-16 順方向、逆方向に電圧をかけた時の、ｐ
－ｎ接合ダイオード素子中の電子のエネルギー
レベルと電子の流れ。
図 5-15 ｐ－ｎ接合素子中の電子のエネルギーレベル
(1) 独立に存在するｎ型、ｐ型半導体のフェルミ準位
n
p
をそれぞれ、 E F , E F とすると、図 5-11 より、
E Fn  E Fp である。（図 5-15 a）
(2) 両者を接合すると、ｎ領域からｐ領域へ電子が流
入し、界面付近でｎ領域では電子欠乏層が、ｐ領域で
はホール欠乏層が生じ、ｎ側は＋にｐ側は－に帯電す
る。その結果、図 5-15 (b)に示すようなポテンシャル
段差が生じ、両者のフェルミ準位が一致するところで
平衡状態が実現する。
（フェルミ準位は電子の化学ポテ
ンシャルであることに留意）
(5) ホールの流れ：ホールに対するポテンシャルエネ
ルギーの変化は電子の場合と逆符号になるが、同様な
考察により順方向に電流が流れる。
［図 5-17 ］
(6) その結果、図 5-17 に示すように、室温の熱エネ
ルギー（～0.03 eV）に相当する電圧まではほぼ
電圧に比例した電流が流れるが、それ以上になる
と順方向のみ電流が増加し整流作用が生じる。
- 10 -
Electronic Properties of Solids V : Transport Properties of Metals and Semiconductors
M.Shiga
(2) 発光ダイオード、半導体レーザ
ｐ－ｎ接合に順方向電流を流すと接合部で電子・ホー
ル対消滅がおこる。このときエネルギーが電磁波とし
て放出される。その時の波長は真性半導体のエネルギ
ーギャップに相当し、適当な半導体を選ぶと可視光で
発光する。
GaP：赤、GaN：青
(3) 光電効果、太陽電池
逆に、ｐ－ｎ接合部に光を当てると、電子ホール対が
生じるが接合部のポテンシャル差のために電子はｎ領
域へ、ホールはｐ領域に追いやれれ起電力が生じる。
参考書
(1)
C. キッテル：熱物理学（丸善）
(2) 近角聡信、橋口隆吉編：物質の電気的性質（朝
倉書店）
(3) C. キッテル：固体物理学入門（上）
（丸善）
(4) 例えば、松波弘之：半導体工学（昭晃堂）
図 5-17 ゲルマニウムのｐ－ｎ接合素子の整流特性。縦
軸は電圧の絶対値（データは Shockley による）
５-2
トランジスタ（n-p-n 接合型）の原理（図
5-18）
************************************************
演習問題 5-1 厚さ 0.1 mm、巾 10 mm、長さ 50
mm の Cu 試料を用い、厚さ方向に磁束密度 1 T（テ
スラ）の磁場をかけ、長さ方向に１ A の電流を流し
た時、巾方向に－0.55 μV のホール電圧が生じた。
(1) Cu のホール係数を求めよ
(2) Cu １原子当たりの伝導電子数を求めよ。
演習問題 5-2
式を導出せよ
図 5-18 ｎ－ｐ－ｎ接合トランジスタの原理
(1) エミッタ（ｎ型）に－、ベース（ｐ型）に＋の順
方向電圧をかける。その結果、エミッタからベースに
電流が流入する。ベースの領域は薄く、多数のキャリ
アがベース領域で対消滅せずコレクタ領域に進入する。
(2) コレクタ・ベース間に大きな（10 V 程度）の逆方
向電圧をかけておくと、(1) によりコレクタ領域に進
入してきた電子が加速され電流が流れる。このとき、
コレクター領域は逆方向なので電気抵抗値が大きく、
ベースの電位(Vb)を基準とすると、エミッタの入力電
圧変化(Ve)に比べコレクタ端子には大きな電圧変化
(Vc)が生じる。すなわち、電圧増幅作用が得られる（よ
り詳しくは参考書 (4)を参照）
。
５-3
その他の機能
(1) センサー
電子・ホール対は熱エネルギーのみでなく、光、赤外
線、X 線、γ線などの電磁波によっても励起される。
この作用を利用してセンサーとして使われる。
可視光：CdS、赤外：PbS、X 線：Si 等
- 11 -
ｐ型半導体のフェルミ準位 (5-35)

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