04章ボーアの原子模型

４章
ボーアの原子模型と水素原子のスペクトル
[1] 原子モデル
ボーア以前に解っていたことを纏めると概ね以下のようになる。
（１）原子は原子核と電子からできている。
（２）原子核は+Ze（Z は原子番号）の電荷を持ち、電子は-e の電荷を持つ。
（３）原子の質量の大部分は原子核に集まっている。
（４）サイズ
原子のサイズ
10-10～5 x 10-10m ＝ 1Å ～５Å
原子核のサイズ
10-15～10-14m ＝ 0.00001Å ～ 0.0001Å
（５）質量
電子の質量
9.109×10-31 kg
原子核の質量
1.673×10-27 kg ～その３００倍程度
（６）各原子には固有の発光スペクトルの系列がある。
水素原子のスペクトル系列は次式に従う。
1⎤
⎡ 1
= R⎢ 2 − 2 ⎥
λ
⎣m n ⎦
1
(n > m > 0) m, n は整数、 R :リュードベリ定数
[2] ボーアの原子模型
ボーアの原子模型は原子の内部状態をなんとかして理解しようとして 20 世紀初頭に生み出された理論
であり、現在では間違いだと解っている部分もあるが、ボーア原子模型から学ぶことはある。
従来の古典電磁気学では、電荷を持った粒子が円運動をすると、その回転周期に対応する振動数の電
磁波を放射し、粒子は運動エネルギーを失ってしまう。そのため、原子核の周りを電子が運動する太陽
系型原子模型や土星型原子模型では、電子はエネルギーを失って原子核へ墜落するはずである。ボーア
は以下の仮説を追加してこの理論的な困難を回避した。
ボーアの仮説
電子が原子核の周囲の円周上を運動するとき、電子の物質波の波長の整数倍が
円周長になれば、原子は安定な状態を持続することができる。
イメージ図で表現すると以下の通りである。
n =1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
この仮説を式で表現しよう。物質波（ド・ブロイ波）の波長 λ は次式である。
h
p
λ=
（再掲）
λ の整数倍が円周長 2π r （ r は円周の半径）ゆえ、整数 n を含んだ次式が成立する。
h
nλ = 2π r (n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) → n = 2π r (n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅)
(1)
p
rp は角運動量である。向きも含めて表記すると角運動量は
L
L = r× p
r
p
である。 L で式(1)を置き換えると次式(2)を得る。
L = n
h
= nh　(n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅)
2π
但し、 h ≡
h
2π
(2)
(3)
このように、ボーアモデルでは、角運動量が h の幅で飛び飛びの(不連続な)値をとることが
解る。式(2)をボーアの量子条件と呼び、整数 n をそのときの量子数と呼ぶ。
ここで、更に、遠心力と電気的クーロン引力が釣り合うことを考慮する（これ以降は原子番
号 Z = 1 の水素原子を仮定する）。
クーロン引力
遠心力
me v 2
(4)
4πε 0 r 2
r
v は電子の速度である。 p = mv とすると、これらの３式（式(2)、式(4)、 p = mv ）から、
e2
=
電子が円運動するときの半径 r が決まる。
r=
4πε 0 h 2 n 2
e 2 me
(n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) 、
(5)
ここで、話がやや横道に外れるが、微細構造定数 α を導入して式(5)を変形してみよう。
微細構造定数 α は次式で定義される無次元の量（単位の無い数値）である。
α=
e2
4πε 0 hc
≈
1
137
α を式(5)に代入する。
r =
1 h n2
2π me c α
(n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅)
もう少し変形を進めると、
λc n 2
r =
2π α
(n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) 。
ここで λc は以下のように定義する。
λc =
h
,
pc
pc = me c
話は式(5)に戻る。 n = 1 での r をボーア半径と呼ぶ。その値は、
4πε 0 h 2
= 0.529177 ×10−10 m　= 0.529177 Å = 1 bohr
2
e me
rB =
念のため種々の単位で数値を示したが、付録の SI 単位の物理定数表の値を素直に代入す
れば、得られた数値の単位はメートル(m)となる。
電子の全エネルギーはクーロンポテンシャルと運動エネルギーを足し合わせて得る。
p2
e2
−
2me
4πε 0 rB
En =
= −
me e 4 1
me e 4
1
=
−
2 2
2
2 2 2
8ε 0 h n
32π ε 0 h n 2
= −
me e 4
1
2 2
(4πε 0 ) h n 2
(6)
(n = 1, 2,3, 4, ⋅⋅⋅)
物理定数に値を代入すると以下の数値を得る。SI 単位の物理定数表の値を素直に代入すれ
ば、得られた数値の単位はジュール(J)となる。
−
me 4
32ε 02π 2 h 2
=−
1 me 4
= −2.180 ×10−18 J = −13.66 eV = − 0.5 hartree
2 2
2 (4πε 0 ) h
何らかの方法で上式のエネルギーを水素原子に与えれば、水素原子の電子は水素原子から離れ
て自由に飛び去ることができる（つまり、この値は水素原子のイオン化エネルギーである）
。
[3] 光の吸収と放出
原子の発光・吸光は特定の振動数のみに限られ、各振動数の間には一定の法則（再掲）
1⎤
⎡ 1
= R⎢ 2 − 2 ⎥
λ
⎣m n ⎦
1
(n > m > 0) m, n は整数、 R :リュードベリ定数
が成り立つことが知られている。これは以下のように説明できる。水素原子のエネルギーは上式(6)で示
す飛び飛びの値 E1 , E2 , E3 , E4 , ⋅⋅⋅ しかとることができない。これらのエネルギーをもつ状態は定常状態
である。原子が定常状態 n から別の定常状態 m に変化することを遷移と呼んでいる。原子が定常状態 n
から定常状態 m へ遷移するときに、あたかもエネルギーの塊を授受するように、次式の振動数の光を放
出・吸収する。
hν = En − Em
(7)
En > Em のとき光の放出、 En < Em のときに光の吸収が起こる。式(7)は「２章の式(4)」を参照すれば
容易に納得できるであろう。
n = 2,3, 4,5, ⋅⋅⋅ の状態から n = 1 の状態に遷移することによって起こる発光をライマン系列と呼ぶ。
n = 3, 4,5, ⋅⋅⋅ の状態から n = 2 の状態に遷移することによって起こる発光をバルマー系列と呼ぶ。
n = 4,5, ⋅⋅⋅ の状態から n = 3 の状態に遷移することによって起こる発光をパッシェン系列と呼ぶ。
下図は水素原子のバルマー系列を観測したものである(上欄は波長と色の対応を示している：下欄が水
素原子の発光スペクトル)。バルマー系列は、丁度、可視光領域の波長となる。
410.2 434.1
486.1
656.2
波長(nm)
水素原子のスペクトル(Balmer 系列)
問題[1]
(a)次式のリュ－ドベリ定数 R の式を、式(6)(7)から導け。
1⎤
⎡ 1
= R⎢ 2 − 2 ⎥
λ
⎣m n ⎦
1
(n > m > 0) m, n は整数
導いた R の式中の物理定数の単位を吟味して、R の単位がメートルのマイナス１乗(m-1)になること
を示せ。
(b)上問(a)で得た R に物理定数の値を代入して R の値を計算せよ。
(c)上図の水素原子のスペクトルの波長 656.2 ナノメートル(nm)から上式の R の値を計算せよ。656.2nm
の光は n=2 から m=1 への遷移による発光である。更に、この R の値を使って 486.1nm の波長が説明で
きることを確認せよ。
問題[2]
式(6)を微細構造定数 α を使って示せ。但し、 me c が残るようにせよ。
2
問題[3]
４章冒頭の「原子のサイズ」と「原子核のサイズ」をピコメートル(pm)単位で示せ。
最近ではオングストローム(Å)よりピコメートルを用いる場合が多い。
問題[4]
電子の質量 9.109×10-31 kg と水素原子核（プロトン）の質量 1.673×10-27 kg の比を日常的な事物にな
ぞらえたい。電子を野球のボール（約 145g）と考えると、プロトンはどんなものに対応するであろか。

Download Report