ＣＧとモデリング中間試験（２０１０１１０９）学籍番号氏名問３．「３点 (1,2), ( 2,0), ( 4,2) 」（左側）「３点 (1,0), ( 2,2), ( 4,0) 」（右側）が与えられたとする．この点列を Lagrange の公式により補間する式を求め， x = 3 のときの値を求めなさい．求める過程を明示しなさい．＜＜解答例：左側＞＞補間式は，定義より，以下となる． y= ( x − 2)( x − 4) ( x − 1( x − 4) ( x − 1)( x − 2) ×2+ ×0+ × 2 = ( x − 2)( x − 3) = x 2 − 5 x + 6 (1 − 2)(1 − 4) (2 − 1)(2 − 4) (4 − 1)(4 − 2) 上記式にx 3を代入し y 9 15 6 0となる．＜＜解答例：右側＞＞補間式は，定義より，以下となる． y= ( x − 2)( x − 4) ( x − 1( x − 4) ( x − 1)( x − 2) ×0+ ×2+ × 0 = −( x − 1)( x − 4) = − x 2 + 5 x − 4 (1 − 2)(1 − 4) (2 − 1)(2 − 4) (4 − 1)(4 − 2) 上記式にx 3を代入し y 9 15 4 2となる．問４．問３と同じ点列を２次多項式近似する式をもとめ，同様に x = 3 の時の値を求めなさい．求める過程を明示しなさい．＜＜解答例＞＞２次多項式で近似するのであるから与３点を通る y ax bx c の各々の係数を求めればよい．＜＜解答例：左側＞＞３点を通るための３つの連立方程式 a(1) 2 + b(1) + c = 2, a(2) 2 + b(2) + c = 0, a (4) 2 + b(4) + c = 2 2 を解くと a = 1, b = −5, c = 6 となり，補間式は　y = x − 5 x + 6 となる上記式にx 3を代入し y 9 15 6 0となる．＜＜解答例：左側＞＞３点を通るための３つの連立方程式 a (1) 2 + b(1) + c = 0, a(2) 2 + b(2) + c = 2, a(4) 2 + b(4) + c = 0 2 を解くと a = −1, b = 5, c = −4 となり，補間式は　y = − x + 5 x − 4 となる上記式にx 3を代入し y 9＋15 4 2となる．問２．パラメトリックに表現された「曲線 r2 (t ) = ( 2t ,2t − t ) 」（左側） 2 「曲線 r2 (t ) = ( 2t ,2 − 2t + 2t ) 」（右側）を考える．この曲線の終点 r2 (1) で C 1 接続し，しかも， 2 終点が（４，２）である２次Ｂｅｚｉｅｒ曲線 r3 (t ) の制御点を求め（求める過程を説明しなさい），その制御多辺形を下図に書き加えなさい．また，両曲線の概略を下図に描きなさい．＜＜解答例（左側）＞＞Ｐ２２ 1 Ｐ０Ｐ１ 0 0 1 2 3 4 求める曲線r3 t の制御点をP0, P1, P2とする． P0は，始点であり，r 1 である．したがって，P0 | 始点にてＣ１接続である条件は dr2 t | dt これより2 P1 曲線r2 0 P0 2,2 2,0 ． P0 0,0 を始点，また，r2 よって，上図となる． 2,1 ．また，P2 | 2t | 4,2 である．であり， 2,0 , 2,1 であるので，P1 dr3 t | 0 dt 2 P1 P0 3,1 ． 1,0,75 を通過，始点接線は 2,2 , 終点では 2,0 である．＜＜解答例（右側）＞＞ r2 (t ) = ( 2t ,2 − 2t + 2t ) 2 P1 P2 ２ P0 1 0 0 1 2 3 4 求める曲線r3 t の制御点をP0, P1, P2とする．＜＜解答例（左側）＞＞ P0は，始点であり，r 1 である．したがって，P0 | 始点にてＣ１接続である条件は dr2 t | dt これより 2,2 曲線r2 0 2 P1 0,2 を始点，また，r2 よって，上図となる． | 2, 2 P0 ． P0 2,2 ．また，P2 4t | 4,2 である．であり， 2,2 , 2,2 であるので，P1 dr3 t | 0 dt 2 P1 P0 3,3 ． 1,1.5 を通過，始点接線は 2, 2 , 終点では 2,2 である．ＣＧとモデリング中間試験（２０１０１１０９）学籍番号氏名問１．双一次補間曲面 S (u , v ) の制御点を P00 = (0,0,1), P01 = (4,1,0), P10 = (0,4,3), P11 = (4,3,1) とする．（１）制御網を，「出来るだけ正確に」下図中に書きなさい．下図は，座標軸を平行投影で描いたものである．（２）ｕ＝0.5 とし，ｖを０から１まで変化させた軌跡を描き加えなさい．（３）曲面上の点 S (0.5, 0.5) の座標を求めなさい．《解答例》（１）：４つの制御点とそれらを結んだ制御網を図に示す．（２）： S 0.5, v P P 2 1 v P P 2 v 0,2,2 1 v 4,2,0.5 v である．従って， S 0,5,0 0,2,2 から S 0.5,1 4,2,0.5 に向かう直線となる（下図の通り）．＜＜ u と v の方向を逆とした場合も正解とする＞＞（３）：（２）より，S 0.5, v 0,2,2 1 S 0.5,0.5 v 4,2,0.5 v であるので v 0,2,2 4,2,0.5 2 0.5 を代入し， 2,2,1.25