１５．空間ベクトル｜１．等差数列と等比数列｜５．等比数列の和｜１．等比数列の和の公式インデックスに戻る１５．数列１５－１．等差数列と等比数列１５－１－５．等比数列の和１５－１－５－１．等比数列の和の公式初項 a 、公比 r の等比数列 a n  の初項から第 n 項までの和を S n とする。 S n  a  ar  ar 2    ar n 1 …① r  1 のとき ar  ar 2    ar n1  ar n rS n  …② ①－②より S n  rS n  a  ar n 1  r S n   a 1 rn  r  1 より 1  r  0 であるから Sn   a 1 rn 1 r  右辺の分子と分母の差の順序を変えても、右辺の値は変わらないから、次のように書き換えることもできる。   a r n 1 r 1 また、r  1 のときは、数列 a n  の項は常に一定で a n  a であるから、 S n は n 個の a の和であ Sn  る。すなわち S n  na 等比数列の和初項 a 、公比 r の等比数列の初項から第 n 項までの和 S n は次のようになる。     a 1 rn a r n 1  1 r r 1 r  1 のとき、 S n  na r  1 のとき、 S n  Copyright 2013 個別指導の塾・予備校赤門会 1/2 １５．空間ベクトル｜１．等差数列と等比数列｜５．等比数列の和｜１．等比数列の和の公式（例）初項 1 、公比 2 の等比数列の初項から第 n 項までの和を S n とすると Sn    1 2n  1  2n 1 2 1 （例）初項 1 1 、公比の等比数列の初項から第 n 項までの和を S n とすると 2 2 Sn  n 1   1    1     2   2   1 1 2 1   1  1    2   2   n 1 2   n  1  1   2 （例）初項から第 3 項までの和が 21、第 4 項から第 6 項までの和が 168 である等比数列の初項 a と公比 r を求めよう。初項から第 3 項までの和は  a  ar  ar 2  a 1  r  r 2  第 4 項から第 6 項までの和は  ar 3  ar 4  ar 5  ar 3 1  r  r 2 であるから、      a 1  r  r 2  21 …①、 ar 3 1  r  r 2  168 …② ①②について、右辺どうし、左辺どうしを割ることにより   ar 3 1  r  r 2 168  2 21 a 1 r  r   r 8 r2 3 ①より a1  2  4  21 7 a  21 a3 以上より、和も a  3、r  2 スーィッスイッ！インデックスに戻る Copyright 2013 個別指導の塾・予備校赤門会 2/2