数学 NAVI テキスト中学2年第2章不等式

数学 NAVI
テキスト
中学２年
第２章不等式
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2
中学２年
第２章
不等式
MAP
４．不等式の応用
３．不等式の解き方
１．不等式と
その解
２．不等式の性質
3
例題
例題１
次の不等式を解きなさい。
x+3< 7
例題２
次の不等式を解きなさい。
3x≥12
例題３
次の不等式を解きなさい。
− 3 x < 21
例題４
次の不等式を解きなさい。
2 x − 5≥ − 19
例題５
次の不等式を解きなさい。
5x − 4 < 7 x + 8
例題６
次の不等式を解きなさい。
2( x − 3) + 10≥4( x + 4)
例題７
次の不等式を解きなさい。
− 1 .5 x + 2 > 1 .7 x + 0 .4
例題８
次の不等式を解きなさい。
2
3x − 2
x−6 <
3
2
例題９
不等式 x − 3.5 < 0.3 x + 1.4 を満たす x のうち自然数はいくつありますか。
例題 10
ある自然数から 3 をひいて 5 倍した数は,もとの数の 2 倍以下になるそうです。もとの数
はいくらですか。
例題 11
120 円の箱に、１個 45 円のみかんと 1 個 60 円のりんご合わせて 12 個つめ、代金が 800
円未満になるようにしたいと思います。りんごは何個までつめられますか。
例題 12
駅から 3000m 離れた家まで歩いていきました。はじめは分速 80m、途中から分速 60m で
歩いたところ、40 分以内に家に着きました。分速 80m で歩いた道のりは何 m 以上ですか。
4
練習問題
練習１
次の数量の関係を不等式で表しなさい。
（ア） x の２倍は
y の５倍より大きくなります。
（イ） a の２倍から３をひくと、４より小さくなります。
（ウ） x に３を加えてから２倍した数は、
練習２
y の７倍より大きくなります。
次の数量の関係を不等式で表しなさい。
（ア）１個 50 円のガムを x 個と１個 70 円のチョコレートを
y 個買うと代金は 800 円以上になります。
（イ）１本 55 円のえんぴつを a 本と、１冊 145 円のノートを b 冊買うと代金は 1000 円以上になります。
（ウ）１個 40 円の消しゴムを x 個と、１本 80 円のえんぴつを
y 本買ったところ、500 円でおつりがき
ました。
次の不等式のうち、 x
練習３
a x − 7≥4
d 2x − 8 < 1
= 5 が解となるものをすべて選びなさい。
b 2x > 7
c − 4 x≤ − 10
e − 3 x + 9 < −3
f 4 x≥ − x + 25
a < b のとき、（）にあてはまる不等号を入れなさい。
（ア） a + 3( )b + 3
練習４
（イ） a − 5( )b − 5
a < b のとき、（）にあてはまる不等号を入れなさい。
（ア） 3a ( )3b
練習５
（イ）
a
b
( )
4
4
a < b のとき、（）にあてはまる不等号を入れなさい。
（ア） − 2a ( ) − 2a
練習６
（イ） −
a
b
( )−
3
3
a < b のとき、（）にあてはまる不等号を入れなさい。
（ア） − a + 3( )−b+3
練習７
（イ） −
a
b
− 1( ) − −1
2
2
5
練習８
次の不等式を解きなさい。
（ア） x − 3 < 7
（イ） x + 4≥ − 1
（ウ） 2 x − 5≤x + 3
練習９
次の不等式を解きなさい。
（ア） 4 x≤36
（イ） 6 x
> 20
（ウ）
x
< −7
2
（エ）
2
x≥ − 6
3
練習 10
次の不等式を解きなさい。
（ア） − 2 x≥ − 14
（イ） − 6 x
<3
（ウ） −
x
> −5
2
（エ） −
2
x≤12
3
練習 11
次の不等式を解きなさい。
（ア） 4 x + 3≤ 23
（イ） 6 x − 4
> 38
（ウ） 12 x − 21 <
練習 12
27
次の不等式を解きなさい。
（ア） − 3 x + 5≤23
（イ） 12 − 5 x
> 42
（ウ） 6 − 12 x≤ − 27
練習 13
次の不等式を解きなさい。
（ア） 5 x − 12
> 3x
（イ） 6 x + 9≤2 x − 3
（ウ） 12 −
x≥18 − 3 x
6
練習 14
次の不等式を解きなさい。
（ア） 5 x − 4 <
7 x + 10
（イ） 17 − 3 x≥2 x − 23
（ウ） 1 − 7 x
練習 15
< −7 − 3 x
次の不等式を解きなさい。
（ア） 2(3 x − 4) + 3≤25
（イ） 3(3 x − 2) <
4( x + 1)
（ウ） 2( 2 x + 1) < 3(3 x − 5)
（エ） 2( x − 3) + 10≥4( x + 1)
練習 16
次の不等式を解きなさい。
（ア） 0.3 x − 1.8 >
0
（イ） 0.5 x + 1.2≤0.2 x − 0.9
（ウ） 0.92 x − 0.3≥1.12 x + 1.1
練習 17
次の不等式を解きなさい。
（ア） 0.5( 2 +
x)≤1.5
（イ） 0.2( 4 − x ) > 0.6 − 0.5 x
（ウ） 2.4(5 −
練習 18
x)≤0.4 − 2 x
次の不等式を解きなさい。
（ア）
1
5 2
1
x− ≤ x+
2
6 3
2
（イ）
1
1 1
1
x+ ≥ x−
4
2 2
3
（ウ）
1
4 2
1
x+ > x+
4
3 3
2
練習 19
次の不等式を解きなさい。
（ア）
1
x −1
x+
≤2
3
2
（イ）
3x − 2
2
x − 6≥
5
3
（ウ） 2 −
5x + 4 x + 7
>
2
4
7
練習 20
次の問いに答えなさい。
（ア）不等式 8 x − 15≤6 x − 7 を成り立たせる自然数 x の個数を求めなさい。
（イ）不等式 4( x − 3) − 5≥ − 12 を成り立たせる x のうち、10 以下の素数はいくつありますか。
練習 21
次の問いに答えなさい。
（ア） x を整数とするとき、不等式 2 x − 3 > 5( x − 4) を成り立たせる x の最大の値を求めなさい。
（イ） x を自然数とするとき、不等式 x − 3.5 <
練習 22
0.3 x + 1.4 を成り立たせる x の最大の値を求めなさい。
ある数の６倍に５を加えた数は、もとの数の４倍より小さくなるそうです。このような数のう
ち、最も大きい整数を求めなさい。
練習 23
ある数の 10 倍から 10 をひいた数は、もとの数の 13 倍に 14 を加えた数より小さくなるそうで
す。このような数のうち、最も小さい整数を求めなさい。
練習 24
Ａ君は、はじめＢ君の４倍の数のおはじきを持っていましたが、Ｂ君に６個あげたので、Ａ君
のおはじきの数はＢ君のおはじきの数より少なくなりました。Ａ君がはじめに持っていたおはじきの数
は最大何個になりますか。
練習 25
あるテストの結果、国語と英語の２科目の平均点が 74 点でした。国語、英語、数学の３科目
の平均を 80 点以上にするためには数学は何点以上とらなければなりませんか。
練習 26
１本 60 円のえんぴつと１本 100 円のボールペンを合わせて 15 本買って、代金が 1200 円以下
になるようにします。ボールペンをできるだけ多く買うとき、ボールペンは何本まで買えますか。
練習 27
１個 150 円のりんごと１個 80 円のみかんを合わせて 10 個買って、代金の合計を 1200 円以下
にするには、最低何個のみかんを買う必要がありますか。
練習 28
Ａ地から 20km 離れたＢ地へ行くのに、はじめは毎時３km の速さで、途中から毎時４km の速
さで歩き、全体の所要時間を６時間以内にします。毎時４km の速さで何 km 以上歩けばよいのですか。
練習 29
ＡＢ間を自転車で往復しました。行きは毎時 12km で走り、帰りは毎時８km で走ったところ、
往復にかかった時間は 20 分以内でした。このとき、ＡＢ間の道のりは何 km 以内ですか。
8
入試問題‐標準問題
問１
次の不等式を解きなさい。
（大分県）
6x + 7 > 2x − 5
問２
次の不等式を解きなさい。
（鳥取県）
2 x + 8≤5 x − 1
問３
次の不等式を解きなさい。
（長崎県）
2x + 5 > 6x + 1
問４
次の不等式を解きなさい。
（都立高専）
3( x − 1) < 4 x + 5
問５
次の不等式を解きなさい。
（福井県）
− 3( x + 1) < 1 − 2 x
問６
次の不等式を解きなさい。
（東京都）
7 x − 4 < 9( x − 2)
問７
次の不等式を解きなさい。
（千葉県）
x
+ 3x > 4
2
問８
3 − 2 x > 4 x − 15 を満たす正の整数 x をすべて求めなさい。（富山県）
問９
x − 3 < 3 x + 7 を満たす負の整数の個数を求めなさい。（高知県）
問 10
次の不等式を解きなさい。
x−2>
問 11
（北豊島）
2( 7 x + 4)
5
次の不等式を解きなさい。
（愛知県）
3x + 5 1
≤ −x
2
3
9
問 12
次の不等式を解きなさい。
（神奈川県）
x − 5 3x − 8
<
3
2
問 13
次の不等式を解きなさい。
（芝浦工大）
x − 3 4x − 5
−
−2<0
2
3
問 14
次の不等式を解きなさい。
（東農大第一）
2
3
x + 1 .6 ≤ 0 .8 x −
5
10
問 15
次の不等式を解きなさい。
（学芸大附）
3(2 x − 1) 2 x + 1
5
−
≥−
2
3
18
問 16
8 x + 11 x x 1
− > + を満たす負の整数をすべて求めなさい。（玉川学園）
6
3 2 3
問 17
１以上 30 以下の整数で不等式
問18
x + 2 x −5
−
< 1 を満たす x の個数を求めなさい。（桐蔭）
3
2
本校では今年度コピー機の購入計画を立て、Ａ，Ｂの２種類について検討した。Ａ機の値段は 60
万円、Ｂ機の値段は 62 万円である。さらに用紙の大きさに関係なく用紙１枚についてＡ機は９円、Ｂ機
は７円かかるという。このとき、Ａ機の方が安くなるコピー枚数の範囲を求めなさい。
（お茶の水大附改）
10
入試問題‐発展問題
問１
2x − 1 < 4x + 3 <
問２
−2<
1
x + 1 を満たす整数 x を求めなさい。（青雲）
2
y
3
x
1
< 1, − < 3 y < のとき、 a < x − < b となる a, b の値をそれぞれ求めなさい。
2
2
2
4
（法政第一）
問３
12％の食塩水が 300g あり、この食塩水に水を加えて 10％以下の食塩水を作るとき、水を何 g 以上加
えればよいか求めなさい。
問４
（私・大阪）
たまごを１個 20 円で仕入れ、これを１個 25 円で売って 2000 円以上の利益をあげたい。しかし前金で
仕入れたたまごの内、その 10％がこわれて売り物にならないという。この場合、たまごを何個以上仕入
れたらよいですか。
問５
a, b, c は整数で 1≤a < b < c≤100 のとき、次の事柄は正しいですか。正しい場合には○、誤りの場合
は×を
例
に記し、誤りの場合は（
×
a + c < 5b
）内に例にならって誤りとなる例を書きなさい。
(a = 2, b = 3, c = 20)
（ア）
2b 2 < a 2 + c 2
(a = , b = , c = )
（イ）
a +b < c
b−a < c−b
(a = , b = , c = )
(a = , b = , c = )
2 1 1
< +
c a b
(a = , b = , c = )
（ウ）
（エ）
問６
（東京工業）
2
2
2
次の連立不等式を解きなさい。
（ラ・サール）
2− x

 x − 2 < 2

 x − 4 − 3x − 2 ≤ 5
 3
2
6
問７
x の不等式 2 x −
a ( x + 3) 3ax + 2
が x = −1 を満たさないように a の値の範囲を求めなさい。
<
2
6
（愛光）
11
問８
− 1≤a ≤3, 2≤b≤4 のとき、 a 2 − 3b のとりうる値の範囲を不等式を用いて表しなさい。（城北）
問９
Ｊリーグのチケットの発売日。あるチケット売り場では発売開始時にすでに 600 人並んでいる。さら
に１分間に 20 人の割合で新たにチケットを買いにくる。いま窓口が２つあり、売り始めてから 12 分で
人がいなくなった。このとき、次の問いに答えなさい。
（大阪桐蔭）
（ア）１つの窓口では１分間に何人の人にチケットを売ることが可能か求めなさい。
（イ）５分以内に人がいなくなるまで売るには窓口がいくつ必要か求めなさい。
問 10
x < 3a + 2 を満たす x の値のうち、正の整数が３つあるとき、方程式 2 y + a − 5 = 0 を満たす y の値
の範囲を求めなさい。
問 11
（東大寺学園）
私製ハガキと封書の両方を出すために、ハガキ用の 41 円切手と封書用 62 円切手を合わせて 100 枚買
いました。このとき 5000 円札を出しておつりをもらいました。次の問いに答えなさい。（筑波大駒場）
（ア）62 円切手の枚数として考えられる範囲を求めなさい。
（イ）おつりは 100 円未満で、すべて 10 円玉でした。41 円切手と 62 円切手の枚数はそれぞれ何枚です
か。
（ウ）全部の郵便物を出さないうちに郵便料金が値上がりし、ハガキが 50 円、封書が 80 円になったた
め、残りの郵便物について郵便料金の差額分だけ追加の切手を買いました。このとき、500 円玉を
出したところ、おつりは 10 円未満でした。もし、この残りのハガキと封書のために切手をあらた
めて買うとすれば 2310 円になります。残りのハガキと封書はそれぞれ何枚ですか。
問 12
赤いノートが青いノートの２倍だけある。集まった子供たちに、はじめ赤いノートを６冊ずつ配った
ら 136 冊余った。次に青いノートを５冊ずつ配ったら１冊ももらえない生徒が５人いた。
（何冊かはもら
ったが、５冊もらえない生徒もいた。
）子供の人数を求めなさい。
12
（東大寺学園）

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