相対論的運動量と運動方程式

相対論的運動量と
運動方程式
問題（矛盾点）
運動量の保存が成り立たない？
!i
p1
!i
p2
!f
p1
!f
p2
!i !i ! f ! f
p1 + p 2 ! p1 + p 2 " ?
簡単な説明
!i !i ! f ! f
p1 + p 2 = p1 + p 2 のｙ成分
m1
dyi1
dt i1
+ m2
dyi 2
dt i 2
= m1
dy f 1
dt f 1
+ m2
dy f 2
dt f 2
（１）
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
ローレンツ変換
t! =
x! =
2
t " (u / c )x
1" #
2
"ut + x
1" #
2
y ! = y, z ! = z
簡単な説明
!i !i ! f ! f
p1 + p 2 = p1 + p 2 のｙ成分
m1
dyi1
dt i1
+ m2
dyi 2
dt i 2
= m1
dy f 1
dt f 1
+ m2
dy f 2
dt f 2
（１）
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
別の座標系では
i
dy1!
m1 i +
dt 1!
i
dy 2!
m2
i
dt 2!
= m1
dy1!
f
dt 1!
f
+ m2
dy 2!
f
dt 2!
f
（２）
このため、Lorentz変換で（１）と（２）は相容れない
特に、時間が粒子、座標系によって変わってしまうことが問題
相対論的運動量
!
!
dx
mv
!
p=m
=
2
d!
1" #
! は固有時間
相対論的運動量
!
!
dx
mv
!
p=m
=
2
d!
1" #
! は固有時間
相対論的運動方程式
! dp! d " dx! %
F=
= $m '
dt dt # d! &
例：一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
%
d " dx %
d"
dx
m
dv
F = $m ' = m $
=
'
2 % 3/2 dt
dt # d! &
dt $# 1 ( ) 2 dt '& "
v
1( 2 '
$
v
c &
#
!=
c
例：一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
%
d " dx %
d"
dx
m
dv
F = $m ' = m $
=
'
2 % 3/2 dt
dt # d! &
dt $# 1 ( ) 2 dt '& "
v
1( 2 '
$
v
c &
#
!=
c
この式を解くと
at
F
v=
, a=
m
1 + a2t 2
速度の時間変化
無限大へ
v
Newton
1
相対論
光速度へ
0.5
0
t
エネルギー
運動エネルギー
!
!
!
! dp
K = " ds ! F = " ds !
,
dt
!
mv
!
p=
1# $2
計算：力と移動の向きを同じに取る
K=
v
!0
K=
dxF =
v
!0
d
mv
dx
=
2
2
dt 1 " v / c
mc 2
1! v / c
2
2
v
!0
! mc 2 " E =
#
&
mv
vd %
(
$ 1 " v2 / c2 '
mc 2
1! v / c
静止エネルギーとして E = mc 2
2
2
四元運動量
! # mc 2
(E, p) = %
,
%$ 1 ! " 2
d! = dt 1 " #
2
!
mv
&
(
2 (
1! " '
なので
!
dx % c=1
d
!
!
" 2 dt
(E, p) = m $ c
,
( ((
) m (t, x)
'
# d!
d! &
d!
τ とmはローレンツ変換の元で不変なので
!
!
(E, p) は (t, x) と同じように変換する
四元運動量（四元ベクトル）
!
(E, p) のように、ローレンツ（座標）変換の元で
!
(t, x) と同じように変換する量を、四元ベクトルという
ベクトル
（１）成分をもった量（物理量＝観測される量）
（２）座標変換の元で一定の規則に従って移り変わる量
スカラー
座標変換の元で変換しない、一定（固有）の量
一般にはテンソル Tijk!

Download Report