筑波大学生物資源学類平成 25 年度基礎数学 I: 13 週目 (2013/07/11) 連絡プリント担当：奈佐原 (西田) 顕郎 ([email protected] 生農 E104 TEL:853-4897) 授業ウェブサイト： http://ryuiki.agbi.tsukuba.ac.jp/lec/13-math/ ださい。今後の授業や実験・研究などで必ず役立つで 1 数学リメディアル教材の誤植訂正しょう。 P196 左段, 上から 6, 7 行目: 以下のテキストが, 上記の 4, 5 の演習科目で推奨されています (3 学の書籍部で売っています): 1 3x2 5x4 7x6 − + + + ··· 1! 3! 5! 7! 1 x2 x4 x6 = − + + + ··· 0! 2! 4! 6! 誤: (sin x)0 = 山田剛史・杉澤武俊・村井潤一郎『R によるやさしい統計学』オーム社 3 よくある質問 1 3x2 5x4 7x6 正: (sin x)0 = − + − + ··· 1! 3! 5! 7! 1 x2 x4 x6 = − + − + ··· 0! 2! 4! 6! • テストで, 不正解になった解答の, どこがどう間違えているのかがわかりません。 ... そういうときは質問に来て下さい。 2 お知らせ・注意 • 私は生物学コースに行こうと思うので, 2 学期の次回 (2013/07/18) 授業は, 紙工作で全微分を学びま「基礎数学 II」は履修する必要無いと思うのですす。はさみと糊 (またはセロテープ) を持参して下さが, どうでしょうか? い。忘れた人は, 授業を受けることはできません。 ... 何を履修するかは, あなた自身で決めればよいと思次回 (2013/07/18) 提出のレポート (今週出題分) のいます。ただ, 生物学には, 数学を必要としない分野も, 範囲は, 第 12 章の残り (問 278 から問 304 まで) です。数学を必要とする分野もあります (素数ゼミって知っていますか?)。それはどのコースでも同じ。「数学がで当学類の統計学教育は, 以下の流れで構成されます: きないと, なんちゃらコースは無理」とか, 「なんちゃ 1. 1 年次春 AB: 自由科目「基礎から学ぶ統計の世界」らコース以外に行くならば数学は不要」などと考える 2. 1 年次春 ABC: 基礎数学のは正しくない。この文章の「数学」の部分を「物理 3. 1 年次秋 ABC: 統計学入門学」「化学」「生物学」「経済学」などに置き換えても同 4. 1 年次秋 ABC: 数理科学演習様のことが言えます。以前も言いましたが, この授業は, 特定のコースのた 5. 2 年次春 C: 統計学基礎演習 1, 2 は基礎の準備 (高校の復習と統計学に必要な数めではなく, 当学類での学究にあたって, 幅広く基礎に学) です。3 は, 大学レベルの統計学の初歩を学びます。なる数学を学ぶのです。2 学期は, 1 学期以上に, 他の 4, 5 では, 計算機を使って, 実際の解析を学びます。授業・実験科目の内容にリンクした数学を学びます。 4, 5 で必要になるのが, R というソフトウェアです。 • でも, 何もかも全てを勉強するのは無理ですよね? R は, オープンソースソフトウェア (仕様が公開されている無料ソフト) であり, 学術研究の世界で圧倒的に普 ... だからこそ, 基礎を学ぶのです。基礎は多くの学及しています。Excel のような表計算ソフトではでき問に共通する考え方です。基礎がきちんとしていれば, ないような複雑・大規模な解析やグラフィック表示が必要なことを必要な時に手際よく学ぶことができます。可能です。 R は誰でも無料でダウンロードでき, Windows, 4 レポート用の発展問題 Mac, Linux など様々な OS のコンピュータにイン正答するとハンコ 1 個をボーナスとして加点します。ストールできます (もちろん学情サテライト端末にも入っています)。夏休み中に統計学やコンピュータの発展問題 13-1 勉強をしたいという人は, ぜひ, R に挑戦してみてく第 1 章で見たように, 整数乗や実数乗は, 指数法則が成 1 り立つように定義されたので, 指数法則が整数や実数 0.000006 程度です。について成り立つのは自明である。しかし, 「複素数 • 統計は嫌い。乗」は第 12 章ではじめてテーラー展開を用いて定義されたので, 指数法則が複素数について成り立つことは ... 多分, 食わず嫌いだよ。まだ（皆さんは）証明していない。そこで, a, b を任意 • 統計の話が今までの中で一番難しく感じます。の複素数とするとき, ... よくわかります。統計は，数ある数学の分野の ea+b = ea eb 中でも特有のクセがあるように思う。このクセをが成り立つことを, ex のテーラー展開 (式 (12.57)) を克服できたのは，僕は 3 年生になってからでした。使って証明せよ。 (山崎) ヒント: 上の式にテーラー展開を使えば, 両辺とも, a, b の 2 変数の多項式になる。0 以上の任意の整数 k, s • むずかった。/ 数学は難しい。について ak bs の項の係数が, 左辺と右辺で一致するこ ... だからこそ勉強する価値がある。とを言えば良い。左辺の展開では二項定理を使う。 • 統計学を理解するために，語句をしっかり理解しようと思います。 5 前回 (6/27) のアンケートから ... イメージや感覚だけでは理解できないものも, みなさんが書いてくれたアンケートを TA が入力語句の定義をしっかり理解すると, かなり理解でし奈佐原や TA が返答をします。末尾に ( ) で名前がきます。入っているものは TA からの返答です。 • 飛行機会社がなぜ潰れないのか分かって驚きでし • 集中でははやすぎてよく分からなかったけど，少し理解できた…? 気がする。テストの表が終わらた。なくてヤバイ。 ... √ n の法則ね。 ... おもて面は高校数学の基本だけなので, さすが •「100 人乗っても大丈夫」は「1 人乗っても大丈夫」にもう終わらないと... リメディアル教材の「はじより確信を持って言えるのかもしれない。めに」に書かれた勉強法を守っていますか? ... 確かに。あの物置きは統計学に守られていたのだ。（山崎） • 統計が楽しいものだということが分かった。/ 統計は思っていたよりも奥が深かった。しっかりと • 統計学が生活の中でいかに役立っているか実感し理解する勉強をしたい。/ 統計っておもしろい。すごい実用的で感動。た。/ 統計は実生活に役立つなと感じた。今まで， ... 21 世紀で最もセクシーな職業は統計学者 (デーあまり数学を日常生活と関連づけて考えたことはタ・サイエンティスト) らしいです。なかったけど，今回はすごく数学を近く感じた。/ 統計学って色々な所で使われているんだなと思いました。 • 今日の授業，すごく楽しかったです。/ おもしろかった。 ... 役に立つかどうかは智恵次第。知識と智恵の, ... 良かった。両方が大切。 • 予習で分からなかったところが授業で分かってよ • 男が生まれるか女が生まれるかは世界 70 億人で考えたら誤差はほんとにほんとに少ないんですね。かった。/ いつもより熱い授業だったと思います。 ... 標本サイズが 70 億なら, 男か女かほぼ半々の場それに分かりやすかった。リメディアル読んで，「は?」ってなった所が分かった。合の二項分布の平均値の標準偏差 (男の子が生ま √ ... 予習の成果だね! れる確率の推定値の標準偏差) は, 0.5/ 70 億 ; 2 • 11 章の中の記述がなかなか理解できなかった。 • 世の中で生きていくためには統計がすごく大事で ... わかりにくかったところを教えて下さい。書き直しますので... あるにも関わらず，高校の授業で扱ってもらえないのはヤバいんじゃないですか?! • まだまだ統計の勉強量が足りないようです。数理 ... 私もそう思います。ていうか, 2 次方程式の解生態学の生態系の分野を理解するのに必要なので，の分離とか放物線が特定の形になる条件とか, あがんばりたいです。んな無意味な数学をやめて, 全員に微積分や自然 ... 2 学期の基礎数学 II で, 数理生態学の話題を扱対数, exp, ルート n の法則を教えるべき。います。期待してください。 • ロジックを用いて数値を推定するのはおもしろ • 統計を初めてまともにやれて良かった。かった。今日教わった統計学のキモを忘れないよ ... 統計学を「まとも」に学ぶには, 最低でも, 微分うにしたい。積分, 指数, 対数が必要だからね。そういうのを知 ... 断っておくと, あの「キモ」は私の独断ですからない人がいると, どうしても, 「とにかくそういら。うもの」みたいな教え方にならざるを得ない。 • クラスみんなで一案だすのがおもしろかった。/ • 統計学は本当に面白いと思います。計算でわかることがいっぱいあるのだとわかっ ... 「誤差の 2 乗が足されるのだ, それが統計学のた。/ 日本の成人男性の数をクラスみんなで話し真髄なのだ」と気づいたら, 世界が違って見えるは合ったが，全体の人口等の要素から考えると割とずです。近い値が出せると思った。 ... 意外に楽しかったね。またやりましょう。代 • 誤差が単純に足しあわせたものにならない理由が表になった人は, ほんとにすばらしいと思います。わかった。ありがとう! ... ただし, 「誤差の 2 乗が足される」には, 「誤差が互いに独立である」という条件が必要です。こ • 3 クラに単位あげてやって下さい。/ 3 クラすごの条件は, 実に多くの人が忘れています。危ないい!! / 「ばらつきは 2 乗同士が足される」ということだと思います。もしも独立性が保証されなけ統計学の肝はとてもしっくりきました。20 歳の男れば, 「誤差を単純に足し合わせる」のが正しい子の人口を予想するのが面白かったです。3 クラ（安全な）アプローチです。に負けたのが悔しかった…けれども 3 クラの精度がすごかったです。 • 標準偏差そのものは，2 乗足すルートだが，それ ... ほんと, 3 クラは素晴らしかったね。ぞれの標準偏差も，2 乗足すルートで計算しても • 標準偏差の理論は，「基礎から学ぶ統計の世界」よいい，というか精度が高まるのは面白い。しかし，これは，真理ではなく，あくまでも確率なんだとりわかりやすかったです。思った。けどまだもやもや。 ... その講義を聞いてたからそう思うのですよ。同 ... 条件がついていますが, 立派な理論です。じ事を学ぶにも, 1 回目より 2 回目の方がわかりやすいものです。 • 棒の長さを足したときの合計の誤差を受けいれることには抵抗があったけれど体重の合計の誤差に • 統計学難しいけどおもしろそうです。集中とっては抵抗がほとんどなかった。たぶん（設計とかをなかったので秋までに統計の入門書を読もうと思イメージして）「最悪のケースを想定したい」といます。/ 統計学難しそう。集中とってなかった思っていたのでしょう。ので不安です。/ 今回の範囲をよく復習しようと ... いろんな例を考えることが理解には必要です思った。ね。 ... リメディアル教材の統計の部分をしっかりマス 3 ターすれば大丈夫だよ。 ... そこは授業では説明していない。テキストの「誤差伝播の法則」のところを読んでください。 •「ふんだりけったり」，「泣き面に蜂」といったこと • やっと大学らしい数学になったので，これからのわざが生まれるくらいなので悪いことは続くと思う。悪いことはそう続かないというコメントに対授業が楽しみだ。して。 ... ようやくスタートラインだね。 ...「悪いことはそう続かない」6=「悪いことは決し • レポートを終わらせることだけに集中していたたて続かない」め，内容を理解できていない部分が多くテストが • 2 m ± 3 cm と 1 m ± 4 cm の話。毎回出た誤差全然解けなかった。は ±2 cm の場合も，±1 m の場合もあると考えら ... 数学は 1 回やればすぐわかるというものではなれる。この 3 cm，4 cm という数値はどうやっていので, じっくり何回もやり直す必要があります。決めるんですか。 • あるひとつの定義を理解するためにある定義から ... 何回も同じ測定をして, 標本標準偏差を出せばいいのです。たどって理解しなきゃいけないので，理解不足は致命的だと思った。 • リメディアルの p.166 の例 11.14 の秒針が特定の ... 積み重ねはほんとに大切です。値をとる確率は 0 というので，1 つの値をとる確 • C モジュールになって予習やレポートの余裕がで率が 1/∞ になっていってしまうから 0 というのは理解できるのですが，確率が 0 ということはそきる! …はず。の事象はおこらないということなのに，でも秒針 ... がんばれー! は 1 つの値をとっているというのがきもちわるい • テストの日付，年を書き忘れました。今までは書です。起きているのに起きないことにされているのがなんかイヤです。いていたのに…。本当に悲しいです。 ... 「確率が 0 ということはその事象はおこらない ... 毎年, 長いテストになると, 日付を書き忘れるということ」というのが間違いなのです。人が続出します。たぶん, いつもより念入りに準備しているので, 始まってすぐに（記憶が薄れる前 • 物理学実験では，「誤差」ではなく「不確かさ」とに）問題にとりかかろうとするために, 日付を書くいう言葉を使っていました。また，「誤差伝播の法のを後回しにしちゃうのです。則」に相当するのが「不確かさの伝播則」でした。 • かっこの形は ( ) と [ ] で何か違うのですか? 「誤差」と「不確かさ」の言葉の意味の違いはありますか? ... 期待値や分散のときの記法ね。どっちでもいい ... あります。厳密には, 「誤差」(error) とは, 測定のですが, 私は [ ] を好みます。( ) だったら, ただ値と真値との差です。ふつう, 真値はわからないの関数のように見えてしまう。（だから測定をする）ので, 「誤差」を知ることは • 自分の書いたコメントが紙面にのせてもらえるのできません。できるのは「誤差の大きさ (絶対値) の評価」だけです。それを不確かさ (uncertainty) はうれしいです。と言います。多くの場合, 不確かさは, 多数回の測 ... そう言ってもらえるとやり甲斐を感じます。（コメント打ち込み担当・山崎）定で得られた測定値の標本標準偏差 (や不偏分散の平方根) に, 系統誤差要因を加えることで求めま • ベクトルを太字にするの忘れた所がありましたごす。めんなさい! 警告もつきました油断しましたごめ √ • 結局どうして 3 m ± 5 になるのか， 32 + 42 のんなさい! 式になるのか，分からなかったような気がします。 ... 人は失敗して学ぶのです! 4