変数分離型矢崎目次演習問題人口論演習問題注問題これだけは！（初級）問題脳みそに汗が；（中級）問題むむ、御主只者でないの。（上級）演習問題ニュートンの万有引力の法則によれば、引力は加速度に比例し、距離の乗に反比例する。地球が半径の球体だとし、その中心からの距離をとする。加速度をとすると距離の乗に反比例するからとおける。地表面において、（は重力加速度）だから、を得る。また、速度はであるので、である。よって、微分方程式の初期値問題初速度を得る。問題以下の各問に答えよ。を解け。任意のに対し、の解がとなるようなの値の内、最小となる値―それをと書く―を求めよ。（赤道半径）、（重力加速度）として、おおよその地球からの脱出速度を計算せよ。問題を定数とする。次の各問に答えよ。の一般解を求めよ。としたときの特解を求め、点の軌跡を描け。人口論グラントによれば、年ごとに人口は倍になる。アダムとイブ（紀元前年（当時））から考えると、として、紀元前年に人だったのが、年には人になる。地球の半径をとすると、地表面積は約である。の大雑把に計算して、 !" # !" # なので、オーダー。よって、地表面積億人となる！週間ごとの死亡者数、出生数のデータを教会にストックしておき、ペストの流行を予言しようと試みた。マルサスの法則マルサスは、人口は幾何数列的に増加し、食料は算術数列で増加する。だから、貧困は必然であると示唆し、人口は抑制されなければならないと論じた。を初期時刻の個体数、を時刻での個体数とする。時刻までの間の個体数変化 $ は、 $ $ $ とかける。ここで、$ は出生数、$ は死亡数である。これらは、時刻での個体数に比例すると考えられるので、出生率死亡率 ! 増殖率 "!# $ 出生率 $ 死亡率増殖率 $% をぞれぞれ定義する。これより、より、増殖率がに依存しない、つまり環境が変わらない理想的な場合、とおける。よって、である。をに依存しない数とし、とおく。これより、を得る。だから、同様に、とおくと、を得る。 $ とおくと、 !% $ $ !" を得る。方程式、をマルサスの方程式と呼ぶ。問題とし、マルサスの方程式の解を求めよ。ベルハルストのロジスティックベルハルストは次のように考えた。人口増加の条件を & '# ( ) において、以下の条件を考えた。（少なくとも一つのつがいが必要）もしだとすると、ならばマルサスの法則そのもので、ならば指数的減少（だからおかしい）。したがって、かつならよさそうだ。そこで、とおき、を個体数の上限とする。そして、である。とした。をロジスティック問題方程式と呼ぶ。以下の各問に答えよ。とし、ロジステック方程式の解を求めよ。の解はとしたとき、どのような値に漸近するか。としたときの解のグラフを描け。演習問題問題以下の微分方程式を解け。問題問題の解のグラフの概形を描け。