変数分離型 矢崎 目次 演習問題 人口論 演習問題 注 問題 これだけは! (初級) 問題 脳みそに汗が; (中級) 問題 むむ、御主只者でないの。(上級) 演習問題 ニュートン の万有引力の法則によれば、引力は加速度に比例 し、距離の 乗に反比例する。地球が半径 の球体だとし、その中心から の距離を とする。加速度を とすると距離の 乗に反比例するから とおける。地表面 において、 ( は重力加速度) だから、 を得る。また、速度 は であるので、 である。よって、微分方程式の初期値問題 初速度 を得る。 問題 以下の各問に答えよ。 を解け。 任意の に対し、 の解 が となるような の値の内、最小となる値―それを と書く―を求めよ。 (赤道半径)、 (重力加速度)とし て、おおよその地球からの脱出速度 を計算せよ。 問題 を定数とする。次の各問に答えよ。 の一般解 を求めよ。 としたときの特解を求め、点 の軌跡を描け。 人口論 グラント によれば、 年ごとに人口は 倍になる。アダムとイブ (紀元前 年(当時))から考えると、 として、紀元前 年に 人だったのが、 年には 人になる。地球 の半径を とすると、地表面積は約 である。 の 大雑把に計算して、 !" # !" # なので、 オーダー。よって、 地表面積 億人 となる! 週間ごとの死亡 者数、出生数のデータを 教会にストックしておき、 ペストの流行を予言しよ うと試みた。 マルサスの法則 マルサス は、人口は幾何数列的に増加し、食料は算術数列で増加 する。だから、貧困は必然であると示唆し、人口は抑制されなければなら ないと論じた。 を初期時刻の個体数、 を時刻 での個体数とする。時 刻 までの間の個体数変化 $ は、 $ $ $ とかける。ここで、$ は出生数、$ は死亡数である。これ らは、時刻 での個体数に比例すると考えられるので、 出生率 死亡率 ! 増殖率 "!# $ 出生率 $ 死亡率 増殖率 $% をぞれぞれ定義する。これより、 より、 増殖率が に依存しない、つまり環境が変わらない理想的な場合、 とおける。よって、 である。 を に依存しない数とし、 とおく。これより、 を得る。 だから、 同様に、 とおくと、 を得る。 $ とおくと、 !% $ $ !" を得る。方程式、 をマルサスの方程式と呼ぶ。 問題 とし、マルサスの方程式の解を求めよ。 ベルハルストのロジスティック ベルハルスト は次のように考えた。人口増加の条件を & '# ( ) において、以下の条件を考えた。 (少なくとも一つのつがいが必要) もし だとすると、 ならばマルサスの法則そのもの で、 ならば指数的減少(だからおかしい)。したがって、 かつ ならよさそうだ。そこで、 とおき、 を個体数の上限とする。そして、 である。 とした。 をロジスティック 問題 方程式と呼ぶ。 以下の各問に答えよ。 とし、ロジステック方程式の解を求めよ。 の解 は としたとき、どのような値に漸近するか。 としたときの解のグラフを描け。 演習問題 問題 以下の微分方程式を解け。 問題 問題 の解のグラフの概形を描け。
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