概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ N 体シミュレーションの基礎道越秀吾国立天文台 CfCA January 11, 2012 1 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ目次 1 概要 2 数値計算の基本浮動小数点と誤差 3 常微分方程式の解法オイラー法計算法の次数ルンゲクッタ法 4 N 体シミュレーション N 体シミュレーションの基本リープフロッグ法重力の計算 5 まとめ 2 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ目次 1 概要 2 数値計算の基本浮動小数点と誤差 3 常微分方程式の解法 4 N 体シミュレーション 5 まとめ 3 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめコンピュータによる実数の表現 : 浮動小数点数実数はコンピュータでは浮動小数点数で表現される必要な計算精度に応じて単精度 (32 ビット) や倍精度 (64 ビット) が使われる単精度倍精度有効桁数 ∼7 ∼ 15 浮動少数 = ±2指数部 × (1 + 仮数部) 4 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ誤差丸め誤差計算機内での実数表現によって生じる誤差。仮数分が有限であるので途中の桁で打ち切る（四捨五入等）。このときに生じる誤差のこと。単精度倍精度丸め誤差 3 × 10−8 5 × 10−17 打ち切り誤差計算処理を続ければ正確な値が得られるのにも関わらず、途中で計算をやめることによって生じる誤差。例えば級数展開を途中で止めた場合。 sin(x) = x − x3 x3 + ··· = x − + 打ち切り誤差 3! 3! 5 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ丸め誤差の発生 : 桁落ちと情報落ち桁落ちほぼ等しい数の差を計算したときに有効桁数が下がること 1.234567(7 桁) − 1.234566(７桁) = 1.0 × 10−6 (１桁) 情報落ち大きな数に小さな数を足したり引いたりした場合、計算結果に反映されれないことによって生じる誤差 1.234567 − 1.234566 × 10−6 = 1.234568 6 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ N 体シミュレーションの基礎方程式基礎方程式 d⃗vi dt = N ∑ Gm j j,i d⃗xi dt ⃗x j − ⃗xi |⃗x j − ⃗xi |3 = ⃗vi N 体シミュレーションのポイント正確で高速に運動方程式を解くこと重力の計算の量は粒子数の二乗に比例する (O(N2 ) = 定数 × N2 ) どうやって時間発展させるか？(今日の講義と講義 4) どうやって重力を高速に計算するか？(「講義４：高度なシミュレーション法」ツリー法を扱う) 7 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ目次 1 概要 2 数値計算の基本 3 常微分方程式の解法オイラー法計算法の次数ルンゲクッタ法 4 N 体シミュレーション 5 まとめ 8 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ常微分方程式 x x0 初期値問題 dx = f (x, t) dt x(t 0 ) = x0 t0 t 時刻 t 0 における x の値が x0 として（初期条件)、任意の時刻 t における x を求める。 1 1 初期値問題以外では 2 点境界問題等。今日説明しない特別な解法を要する。 9 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ数値計算コードの骨格プログラムの基本構造 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x void t i m e i n t e g r a t i o n ( double ∗ x , double t , double d t ) 厳密解 { / / ステップすすめる .... } ... t=t start ; while ( t < t e n d ) { t i m e i n t e g r a t i o n (& x , t , d t ) ; t += d t ; } 数値解 x0 ti+1 ti t0 t 10 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめオイラー法微分方程式 dx = f (x, t) dt を接線近似によって微小な時間 ∆t 経過後の x を求める。 x xi+1 x = f (xi, ti)(t − ti) + xi xi xi+1 − xi dx ≃ = f (xi , t i ) ∆t dt ⇔ xi+1 = xi +∆t f (xi , t i ) ∆t ti ti+1 t ∆t をタイムステップ (または時間刻み、時間ステップ) とよぶ。 11 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめオイラー法のプログラム例 dx = f (x, t), dt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 xi+1 = xi + ∆t f (xi , t i ) double c a l c f ( double x , double t ) { / / 右辺の計算 f .... } void t i m e i n t e g r a t i o n ( double ∗ x , double t , double d t ) { double f ; f = c a l c f (∗x , t ) ; ∗x = ∗x + dt ∗ f ; } ... t=t start ; while ( t < t e n d ) { t i m e i n t e g r a t i o n (&x , t , d t ) ; t += d t ; } 12 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめオイラー法の計算例 2 d x dt 2 = −x 厳密解 =⇒ v0 = 0, x0 = 1 この場合のオイラー法による数値解は、 x = cos(t) 20 Euiler Method Analytic Solution 15 10 x 5 ∆t = 0.1 0 -5 -10 -15 -20 0 10 20 30 t 40 50 60 13 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ計算法の次数オイラー法はタイムステップ ∆t が小さければ接線近似を行えることを基にしているしたがって、この近似は、タイムステップ ∆t が細かくなるほど良いはずである誤差の大きさの振る舞いを定量的に表すには？公式の次数 x(t i+1 ) を厳密解、 xi+1 を数値解とする。このとき誤差 = x(t i+1 ) − xi+1 = O(∆t m+1 ) = 定数 × ∆t m+1 とかけると、この数値計算法は m 次であるという。オイラー法の次数テイラー展開をするとすぐに分かる x(t i+1 ) − xi+1 = O(∆t 2 ) つまりオイラー法は 1 次である 14 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ大域誤差と局所誤差前頁で紹介した誤差は、タイムステップ ∆t の間に蓄積する誤差であった局所打ち切り誤差では一定の時間内で蓄積する誤差は？大域打ち切り誤差局所誤差が局所誤差 = x(t i+1 ) − xi+1 = O(∆t m+1 ) = 定数 × ∆t m+1 のとき大域誤差は大域誤差 = O(∆t m+1 ) × t = O(∆t m) ∆t となるしたがって、タイムステップを細かくするほど大域誤差も小さくなる。 15 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめタイムステップを変えた場合 20 Euiler Method (dt=0.1) Euiler Method (dt=0.025) Analytic Solution 15 10 x 5 0 -5 -10 -15 -20 0 10 20 30 t 40 50 60 16 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ高精度計算の方法タイムステップを小さくすれば良いしかし、タイムステップを小さくするほど計算量も増大する (計算回数 = t/∆t ) そもそも、丸め誤差の影響でタイムステップを小さくしすぎると計算できない (情報落ち) 高速に正しい計算を行う方法は？高次の解法 (ルンゲクッタ法、予測子修正子法、リチャードソン補外など) 考える系の構造や性質に着目する (後ほどハミルトン系の解法で詳しく説明) 17 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ 2 次のルンゲクッタ法ルンゲクッタ法は高次の解法の基本。この講義では簡単にその考え方と使い方を説明する。 x 2 次のルンゲクッタ半分のステップのところでの関数の値で微分を計算その値で本ステップを計算する xi+1 step 2 公式 xistep 1 ∆t f (xi , t i ) 2 = xi + ∆t f (k1 , t i + ∆t/2) k1 = x i + ∆t ti xi+1 ti+1 t 次数この計算法の次数は 2 次。つまり局所誤差 = x(t i+1 ) − xi+1 = O(∆t 3 ) 大域誤差 = x(t) − x N = O(∆t 2 ) 18 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ古典的ルンゲクッタ法一般用途で最もよく用いられるのは 4 次のルンゲクッタ法４次のルンゲクッタ公式 k1 = f (x n, t n) k2 = f (x n + ∆t k1 /2, t n + ∆t/2) k3 = f (x n + ∆t k2 /2, t n + ∆t/2) x n+1 k4 = f (x n + ∆t k3 , t n + ∆t) ( ) 1 1 1 1 = x n + ∆t k1 + k2 + k3 + k4 6 3 3 6 この公式は 4 次 2 古典的な数値計算法でよく使われる係数が簡単で 4 次の公式だが計算量も少ない 2 一般のルンゲクッタ法についてはテキスト参照 19 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ高次のルンゲクッタ法次数をあげるほど 1 ステップの誤差が減るが 1 ステップあたりの計算量も増える 5 次以上の陽的ルンゲクッタでは必要段数が増加するこれらの兼ね合いで４次のルンゲクッタがよく用いられる次数と必要な段数段数次数 1 1 2 2 3 3 4 4 5 4 6 5 6 6 8 7 9 7 10 7 参考 5 次以上の公式に対しては、次数 < 段数 20 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめルンゲクッタ法の計算例数値解エネルギー誤差 1 RK2 RK4 Analytic Solution 1.5 1 RK2 RK4 0.9 0.8 0 E x 0.5 0.7 -0.5 0.6 -1 0.5 -1.5 0 10 20 30 t 40 50 60 0 20 40 60 t 80 100 120 ルンゲクッタ法の性質オイラー法よりずっと精度がよい次数を上げると同じタイムステップの場合誤差が減少する時間がたつにつれて誤差が大きくなっていく 21 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ目次 1 概要 2 数値計算の基本 3 常微分方程式の解法 4 N 体シミュレーション N 体シミュレーションの基本リープフロッグ法重力の計算 5 まとめ 22 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ N 体シミュレーションの解法 N 体シミュレーションの方法 N 体シミュレーションも古典的ルンゲクッタ法で良いか？実際の N 体シミュレーションでは別の方法がよく使われる微分方程式の解をできるだけ近似するだけではなく、離散化した場合でも元の微分方程式のもつ数学的構造を再現する方がよい。物理の方程式系ではエネルギーや角運動量等の保存量が存在する場合がある。このような保存量に関する望ましい性質を備える公式を考える。 23 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ N 体シミュレーションでの標準的な計算法無衝突系リープフロッグ公式衝突系エルミート公式 (「講義４:高度なシミュレーション法」で扱う) 24 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめリープフロッグ公式リープフロッグ公式 ∆t 2 = xi + vi+1/2 ∆t vi+1/2 = vi + a(xi ) xi+1 vi+1 = vi+1/2 + a(xi+1 ) ∆t 2 特徴 2 次の公式シンプレクティック公式対称公式局所誤差はルンゲクッタに比べて良いわけではないが、良い性質をもつ 25 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ 2 次のルンゲクッタとリープフロッグ公式数値解エネルギー誤差 0.7 RK2 leapfrog Analytic Solution 1.5 1 RK2 leapfrog 0.65 0.6 0 E x 0.5 0.55 -0.5 -1 0.5 -1.5 0.45 0 10 20 30 t 40 50 60 0 10 20 30 t 40 50 60 リープフロッグ公式の性質リープフロッグ公式は長時間計算してもエネルギー誤差が溜まっていかない今回の実習ではリープフロッグ公式を用いて計算する 26 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめリープフロッグ公式の実装の流れ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ここでは簡単のために１次元１粒子の場合。実習では３次元多粒子の場合をやる void l e a p f r o g ( double ∗ x , douvle ∗ v , double t , double d t ) { / / １ステップ分だけアップデートする .... } ... while ( t < t e n d ) { l e a p f r o g (& x ,& v , t , d t ) ; t += d t ; } 27 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめリープフロッグ公式のアルゴリズム 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 void c a l c f o r c e ( double ∗ x ) リープフロッグ公式 { ∆t 2 = xi + vi+1/2 ∆t vi+1/2 = vi + a(xi ) / / 加速度の計算 .... } xi+1 void l e a p f r o g ( double ∗ x , douvle ∗ v , double t , double d t ) vi+1 = vi+1/2 + a(xi+1 ) { / / １ステップ分だけアップデートする .... } ... while ( t < t e n d ) { l e a p f r o g (&x ,& v , t , d t ) ; t += d t ; } ∆t 2 アルゴリズム 1 v0 , a0 から v1/2 を計算する 2 x0 , v1/2 から x1 を計算する x1 から a1 を計算する v1/2 , a1 から v1 を計算する 3 4 28 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ重力の計算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 void c a l c f o r c e ( i n t n , double m[ ] double r [ ] [ 3 ] , . . . ) { f o r ( i =0; i <n ; i ++) { f o r ( k =0; k < 3; k ++) { a[ i ] [ k ]=0.0; } } } f o r ( i =0; i <n − 1; i ++) { f o r ( j = i +1; j <n ; j ++) { a [ i ] [ k ] += m[ j ] ∗ . . . ; a [ j ] [ k ] += m[ i ] ∗ . . . ; } } 重力の計算 N ∑ j,i Gm j ⃗x j − ⃗xi (|⃗x j − ⃗xi |2 + ϵ 2 )3/2 計算量は、O(N2 ) もっと賢い方法はツリー (講義 4) 29 / 30 概要数値計算の基本常微分方程式の解法 N 体シミュレーションまとめ今日の講義のまとめまとめ数値計算法の基礎を説明した単精度、倍精度の意味誤差 (情報落ち、桁落ち) 微分方程式の解法の基本としてルンゲクッタ法を説明した。局所誤差と大域誤差公式の次数を定義したオイラー法は１次古典ルンゲクッタは４次 N 体シミュレーション用の解法としてリープフロッグ法を紹介したリープフロッグ法は２次２次のルンゲクッタよりもエネルギー誤差が蓄積しない等の良い性質がある。今回の実習ではリープフロッグ法を使います 30 / 30