フラットレートの計算

債券価格と金利
将来のキャッシュフローが確実
将来のキャッシュフロ
が確実
→確定利付き証券（fixed income
securities)の分析
 将来のキャッシュフローが不確実
→リスクとリターン株式（equities)の分析
→リスクとリターン、株式（equities)の分析
資本資産評価モデル(CAPM)

1
講義の内容
（c.f. Lenberger, chap3-4）




永久債、年金型商品、割賦償還
永久債
年金型商品割賦償還
単利運用と複利運用
利回りの定義・概念
満期保有利回り（単利、複利）
スポトレト
スポットレート
直利、実質金利
スポットレートに基づく現在価値計算
2
1
金利の期間構造：満期の長さとスポットレート
金利の期間構造
満期の長さとスポットレト
の関係（長短金利の関係、予想・政策反映）
・純粋期待理論仮説
・流動性選好仮説
 金利リスク（金利上昇と債券価格下落）
・デュレーション
・コンベキシティ

3
銀行経営と金利リスク


銀行の国債保有過去最高
潜在的な金利上昇リスク




財政赤字増大
経常収支の悪化
少子高齢化による貯蓄低下
調達・運用のミスマッチ（貸出先不足）
4
2
金融システムリポート（2011.11)




金利リスク量
有価証券保有残高
金利更改期間と期間ミスマッチ
有価証券利鞘
5
6
3
7
債券の評価

5年後に満期を迎える額面100万円の利付
債（クーポン率5％）の現在価値は，金利が
3％のとき，いくらになるか
8
4
債券の評価
105
現在価値
0
5/(1.03)
= 4.854
5/(1.03)
(
)2
= 4.713
5/(1.03)3
= 4.576
5/(1.03)4
= 4.442
5
5
5
5
1
2
3
4
5
year
105/(1.03)5 = 90.574
109.159
9
債券の評価

長期債はクーポンと元本支払の現在価値
長期債はク
ポンと元本支払の現在価値
の合計として評価することが可能
C3
C5
C1
C2
C4




2
3
4
1  r (1  r )
(1  r )
(1  r )
(1  r ) 5
5
5
5
5
105





 109 .159 
2
3
4
1.03 (1.03)
(1.03)
(1.03)
(1.03) 5
PV 
10
5
永久債


永久債（perpeturity）：毎年一定額の利子
永久債（perpeturity）：毎年
定額の利子
を永久に払い続ける債券
金利を10％とすると，1年後から毎年10万
円を永久に支払う債券の価格はいくら
か？
11
永久債の現在価値

無限等比級数の和
初項/（1－公比）
PV 
C
C
C
C 10


  
 100
2
3
1  r (1  r )
r 0.1
(1  r )
12
6
成長型永久債のケース

1年後に10万円の利子を支払い，その後
1年後に10万円の利子を支払い
その後
毎年4％の割合で利子が増えていくタイプ
の永久債がある。金利を10％とすると，こ
の成長型永久債の価格はいくらか？
13
成長型永久債の現在価値
PV 

C3
C1
C2



1  r (1  r ) 2 (1  r ) 3
C1 C1 (1  g ) C1 (1  g ) 2
C
10


  1 
 166.666
1  r (1  r ) 2
r  g 0.1  0.04
(1  r ) 3
14
7
年金型投資商品の価値

年金型投資商品（annuity）：特定の期間，
年金型投資商品（annuity）：特定の期間
毎年一定額の支払が行われる資産
期間
キャッシュフロー
1
2
･･･
t
現在価値
t + 1･･･
永久債
（（1年目に支払開始）
年目支払開始）
C
r
永久債
（t+1年目に支払開始）
C 1
 
t
 r  (1  r )
1年目からt年目まで支払う
年金投資商品
 C   C  1
    
t
 r   r  (1  r )



15
成長型年金型投資商品のケース

毎年一定割合（g）で利子が増えるタイプの
毎年
定割合（g）で利子が増えるタイプの
年金型投資商品の現在価値はいくらか？
⇒ 宿題
16
8
成長型年金型投資商品の現在価値
PV 
C1 C1 (1  g ) C1 (1  g ) 2
C1 (1  g ) t 1




1  r (1  r ) 2
(1  r ) 3
(1  r ) t
 1
1 (1  g ) t 
 C1 

t 
 ( r  g ) ( r  g ) (1  r ) 
17
問題：割賦償還融資のケース

あなたは100万円の融資を銀行から受け
ました。銀行は10％の金利で毎年返済を
行うように要求しています。5年間で返済完
了するためには，あなたは毎年いくら返済
すればよいでしょうか。
18
9
解答：割賦償還融資のケース

1年目から5年目まで支払う年金の現在価
値が１00万円になるように，支払額を計算
すればよい
1
 C   C 



5
 0.1   0.1  (1  0.1)

  100万円

 1   1 
 
1
  100万円 / 3.791  26 .38万円
C  100万円  


5 
0
.
1
0
.
1

 (1  0.1)  
 
19
割賦償還融資の償還例（金利部
分は10％払う例）
年
年初の残高
年末の利払額
年末の返済額
融資の償還額
年末残高
1
1,000,000
100,000
263,797
163,797
836,203
2
836,203
83,620
263,797
180,177
656,025
3
656,025
65,603
263,797
198,195
457,830
4
457830
457,830
45783
45,783
263797
263,797
218014
218,014
239816
239,816
5
239,816
23,982
263,797
239,816
0
20
10
単利と複利（運用）


単利：元本のみに利子（再投資しない）
複利：元本と受け取った利子も再投資する
100円を年10%で運用したときの将来価値
450
400
350
単利
複利
300
250
円
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
21
年
単利と複利
i
期間
ii
期間金利
iii
iv
v
年率
1年後の価値
複利
1
6%
6%
1.06
6.000%
2
3
6
1.032
= 1.0609
6.090
4
1.5
6
1.0154 = 1.06136
6.136
12
.5
6
1.00512 = 1.06168
6.168
52
.1154
6
1.00115452 = 1.06180
6.180
365
.0164
6
1.000164365 = 1.06183
6.183
22
11
連続複利

年6%で半年ごとに利払いを行う債券に100円投資した
場合，半年後に103円，1年後には100×(1.03)2＝
106.09円の価値となる


年r％のm回複利への投資は，[1+(r/m)]m-1の年複利の投資と
等しい
連続複利：利払いが連続的に行われると考えたときの複
利

mを無限大にまで増加させると， [1+(r/m)]mは，erに近づく。

r

lim 1    e r
m 
m
m
e:自然対数の底
23
利回りの定義（金利の種類）

利付債（国債想定）
額面（B)
クーポン（C) （C/B:クーポンレート）
満期までの期間（N)
債券価格（P）
24
12
満期保有利回り（利付債）

複利 rt , N （年一回C支払）
（年回C支払）
Pt 

N
C
 (1  r
i 1
t,N
)
i

B
(1  rt , N ) N
単利 rt s （年一回C支払）
Pt 
N C  B
(1  Nrt s )
25
利付債の利回り計算例
N=3年、クーポンレート6%（年一回払い）
B=100
 P=90.05円→複利＝10％
単利 10 3％
単利＝10.3％
P=102.71円→複利＝5％
単利＝4.9％

26
13
単利と複利の関係
単利、複利
単利利回り
C/B
複利利回り
債券価格
額面
27
年にｍ回利払いあるケース
の複利
Pt 
N

t 0
C /m
B

(1  ( rt , N / m )) mt (1  ( rt , N / m )) mN
→exercise
28
14
スポットレート

割引債（ゼロクーポン債）の満期保有利回
割引債（ゼロク
ポン債）の満期保有利回
り（複利）
Pt 
st , N

B
(1  s t , N ) N
例（B=100)
N=1,P=90.09 →
N=2,P=85.73 →
N=3,P=77.22 →
st , N
=10%
=8%
=9%
29
債券の現在価値

利付債現在価値（利払い年1回）
PV t 

PV t 
N
C
 (1  s
i 1
t ,i
)
i

B
(1  s t , N ) N
例）先のスポットレート値使うとN=3,C=6の
利付債の現在価値は
N
6
6
 (1  0 .1)  (1  0 .08 )
i 1
2

106
 92 .44
(1  0 .09 ) 3
30
15
実質金利


１＋実質金利（１＋名目金利）/（１＋期待イン
１＋実質金利＝（１＋名目金利）/（１＋期待イン
フレ率）
→実質金利～＝名目金利－期待インフレ率
100万円を年5%の金利で運用すると，1年後に
は105万円を受け取る。

インフレにより財の価格が年2%上昇すると，1年後に
インフレにより財の価格が年2%上昇すると
1年後に
は現在購入可能な財より2%少ない財しか購入できな
い。すなわち，実質は105/1.02=102.94万円分しか
購入できない
31
その他の利回り概念ほか



直利：クーポン/債券価格＝C/P
直利：ク
ポン/債券価格＝C/P
実効利回り
実際の再投資の利回りは最終利回りとは
一致しないかもしれないとして計算得られ
た利回り
一般には、連続複利＜複利の関係
32
16
スポットレートの推計



N種類の割引債価格より推計
N種類の利付債価格より推計
I＜N種類の利付債価格より推計
33
N種類の利付債より推計
P1 
C1  B
(1  s t ,1 )
P2 
C2
C2  B

(1  s t ,1 ) (1  s t , 2 ) 2
.......... ......
CN
CN
CN  B
PN 

 ..... 
2
(1  s t ,1 ) (1  s t , 2 )
(1  s t , N ) N

未知数ｎ個、方程式ｎ本
34
17
行列式を使った表現
 P1   B  C1
  
 P2    C2
P   C
 3  3
0
B  C2
C3
 d1 
 
 d 2 
B  C3  d 3 
0
0
P  C  Dとおくと（D : 割引関数ベクトル）
D  C 1  P
 1 1/ i 
st ,i     1
 d i 

→excercise
35
利付債の種類がNより少ない場合
割引関数に既知の関数を当てはめて推計
J
1
d (i ) 
 1   a j f j (i )
(1  st ,i ) i
j 1

ex. f j (i )  i jとすると
J
 1  a1i  a2i 2  a3i 3  ....  a J i（多項式）

I本（N＞I＞J)あれば、未知数a1,,,aJ推計
可能→N種類のスポットレート計算可能 36
18
金利の期間構造
期間構造：金利の水準と満期の長さの関係
 利回り曲線：横軸に満期までの長さ、縦軸に
スポットレートの水準をグラフ化したもの
Cf. 利付債の満期利回りではクーポンの影響う
けてしまう。
←投資家の将来金利の予想、期間選好を反映
市場の予想をみる上で有益な情報

37
38
19
利回り曲線のパターン
スポットレート
inverted
hump
flat
normal
満期までの長さ
39
利回り曲線の決定理論




金利裁定
純粋期待理論仮説
流動性選好仮説
市場分断仮説
40
20
金利裁定（先物カバー付き）

1円をK期間運用すると想定
運用方法１：残存期間Kの割引債に投資
(1  s t , k ) k
運用方法２：1期物割引債＋先物
(1  s t ,1 )(1  f t ,t 1,1 )(1  f t , t  2 ,1 )...( 1  f t , t  k 1,1 )
f t ,t  j ,1 : t  jから始まる1期間の先物レート（t時点）
41

両者は均衡では致するはず
両者は均衡では一致するはず。
(1  s t , k ) k  (1  s t ,1 )(1  f t , t 1,1 )(1  f t , t  2 ,1 )...( 1  f t , t  k 1,1 )
対数をとると
k 1


s t , k  (1 / k )  s t ,1   f t , t  i ,1 
1




t時点におけるSt,kとSt,1の関係（期間構造）
St,kとft,t+i,1は平均と限界の関係
42
21
純粋期待理論仮説

先物レートは当該期間のスポットレートの現時
先物レ
トは当該期間のスポットレトの現時
点での予想値に等しいとの見方
f t ,t i ,1  E ( st i ,1 )




E : 期待値示す記号
将来スポットレート上昇予想→曲線右上がり
将来スポットレート不変予想→曲線水平
将来スポットレート下落予想→曲線右下がり
将来、上昇して下落と予想→ハンプ型
43
流動性選好仮説

先物レートはスポットレートの予想値（現時点）
先物レ
トはスポットレトの予想値（現時点）
よりも高いとの見方
f t ,t i ,1  E ( st i ,1 )


st ,k  (1 / k ) st ,1   E ( st i ,1 )  


( : term premium  o)
利回り曲線は右上がり傾向（将来スポットレー
ト不変と予想していても右上がり）
投資家の短期運用志向を反映（流動性選好）
44
22
市場分断仮説
長期債の市場と短期債の市場は分断。
長期債の市場と短期債の市場は分断
それぞれの需給で利回り決まるとの考え。
 利回り曲線の形状と将来の予想とは無関
係

45
純粋期待理論について


利回り曲線の形状から市場の予想（金融政
策への見通し含む）を読み取ること多い。
スポットレートの予想を利回り曲線から逆算し
た先物レート（implied forward rate)から計
算する。
46
23
Implied forward rate
47
計算例
48
24
Forward rate,短期金利予想
Forward rateの一番上の行がスポットレート
2行目（3行目）が来期（来々期）のforward rate
 短期金利のところは逆算された予想値
→exercise

49
金融政策と利回り曲線
-経済財政白書（H.22)より抜粋-
50
25
51
52
26
金利リスク
金利リスク：予期せざる金利（スポットレー
金利リスク
予期せざる金利（スポットレ
ト）の上昇に伴う債券価格の下落（損失）
 債券価格と金利の関係
 金利リスクの指標
・デュレーション
・コンベキシティ
 金利リスクの回避（immunization)

53
金利と債券価格の関係


当面利回り曲線はフラットと考える（St,ii=S)。
当面利回り曲線はフラットと考える（St
S)。
5年後に満期を迎える額面100万円の利付債（クーポン
率5％）の価格は，スポットレート2％のときいくらになるか
C3
C5
C1
C2
C4




1  r (1  r ) 2 (1  r ) 3 (1  r ) 4 (1  r ) 5
5
5
5
5
105





 109.238
2
3
4
1.02 (1.02)
(1.02)
(1.02)
(1.02) 5
PV 

金利が上がる（下がる）と債券価格は下がる（上がる）
54
27
債券価格
満期の長期化
クポ上昇
クーポン上昇
最終利回り
55
金利リスクの指標
∆P=(-修正duration）P∆s
∆P
( 修正d ation）P∆s
＋（1/2）（convexity)P∆s2
∆s：利回り曲線の平行シフトと想定してもよい

dP
1 d 2P
| s0 ( s  s0 ) 
| s0 ( s  s0 ) 2 ...
2
ds
2 ds
2


dP
d
P


 2 | s0

| s0


1
 Ps 2
Ps   ds
P   ds

P
P
2









P ( s )  P ( s0 ) 
56
28
修正d ation DN/(1+s) =(-dP/ds)/P
修正duration

 B
 C 



i


N
(
1
)
(1  s ) N
s




DN   i
N
P
P
0



convexity
it

 C

i2
d P 1
 (1  s )



(
1
)
i
i

P

ds 2 P


2
B




N 2
  N ( N  1) (1  s )
P












57
58
29
Duration(Macaulay)
 C 
 B



 (1  s )i 
N
(1  s ) N



DN   i
N
P
P
0








平均回収期間（クーポン価値で加重平均）
割引債は N＝N（利付債ではD
割引債ではD
（利付債は N＜N））
クーポンレートの減少関数
Nに関して単調増加とは限らない
修正duration= DN/(1+s) =(-dP/ds)/P59
計算例（N=3,C/B=7%)
60
30
（C/B),NとDNの関係
61
convexity
 C

i2
d 2P 1
 (1  s )


(

1
)
i
i

P

ds 2 P




B




(
1

s) N  2
  N ( N  1)
P












i(i+1)の加重平均
債券価格と金利の曲線の傾きの変化
→exercise
62
31
63
Immunization(免疫化）


資産と負債のデュレーションを一致させる
資産と負債のデ
レションを致させる
ことで純資産の変化(金利リスク）を回避
例）金融機関など（短期調達長期運用）
ポートフォリオのデュレーション
DA  
PAi DAi
（資産全体のデュレーション）
PA
( PA   PAi , PAi : 資産iの価額、DAi : 資産iのDN )
負債についても同様に
DL  
PLi DLi
PL
64
32
問題（デュレーションと免疫化）
額面が1000万円である4種類の債券（A,B,C,D)のキャッ
額面が1000万円である4種類の債券（A
B C D)のキャッ
シュフローが辞表で与えられているとする。スポットレート
が一律15%であるとき、各債券のデュレーション（DN)を
求めなさい。

1年後CF
2年後CF
3年後CF
A
100
100
1100
B
50
50
1050
C
0
0
1000
D
1000
0
0
65
1年後CF現在価値 2年後CF現在価値 3年後CF現在価値現在価値(合計）
A
86.9
75.6
723.2
885.7
B
43.4
37.8
690.7
771.9
C
0
0
657.9
657.9
D
869.5
0
0
865.9
DA
2.71
DB
2.83
DC
3
DD
1
66
33

2年後に償還を迎える割引債（2000万円）で資金
調達し、同時に金利リスクがゼロになるような資
産運用を考える。先の問題の債券Cと債券Dの2
種類で金利リスクがゼロになるようにするために
はそれぞれいくら投資すればよいか（convexity
部分無視する）
の部分は無視する）
67

債券Cと債券Dの購入価額をそれぞれx、yy
債券Cと債券Dの購入価額をそれぞれx
とおくと、１）調達額＝x+y、２）資産と負債
のデュレーションを一致させればよい。
x  y  2000 /(1.15) 2  1515
xDC  yDD 3x  y

2
1515
x y
 x  757.5 y  757.5
債券Cを757.5 / 657.9  1.15単位
債券Dを757.5/869.5  0.87単位　購入すればよい
34
68
その他・注意点
デュレションは時間の関数（毎期調整しなければならな
デュレーションは時間の関数（毎期調整しなければならな
い）
 変動利付債（クーポンが短期スポットレートに依存して変
動）では金利改定時における債券価格は額面価格に等
しい（D＝0、厳密には次回利払い日までの期間）
 利回り曲線の平行シフト以外の金利リスクへの対応
・右上がりからフラット化→D長期化
右上がりからラト化 D長期化
・フラット化から右上がり化→D短期化
・金利の上下変動化→同じDでconvexityの大きい債券投
資（短期と長期(中期のぞく）に投資）

69
35

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