レポート課題および解答

レポート課題および解答
(2007 年度数値計算)
レポート課題 1. x についての 2 次方程式 ax2 + bx + c = 0（ただし，a = 0 とする）のふたつの解は解の公
式から，
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
,
2a
x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
で与えられる．これを用いて，x1 あるいは x2 を数値的に計算するときに，桁落ちが起きる場合がある．それ
（10/3 出題，10/10 8:40 締切）
はどういう時か．具体例を挙げよ．また，それを防ぐ方法を提示せよ．
解答. 桁落ちが起きる例．4ac が b2 に比べて非常に小さい場合，b > 0 であれば x1 において，また，b < 0 で
√
あれば x2 において，桁落ちが起きる可能性がある．実際，b > 0 のとき， b2 − 4ac ≈
√
b2 = b となり，x1
の分子は b と b に非常に近い数の差（近接する 2 つの数の引き算）となり，そこで桁落ちが起きる．同様に，
√
√
b < 0 のとき， b2 − 4ac ≈ b2 = −b となり，x2 の分子は −b と −b に非常に近い数の差（近接する 2 つの
数の引き算）となり，そこで桁落ちが起きる．その具体例は，
a = 0.1,
b = 100,
c=1
このとき，Scilab で有効数字 7 桁で計算を行うと，
x1 = −1.000000D − 02,
x2 = −9.999900D + 02
となる．一方倍精度の桁で計算を行うと
x1 = −1.0000100001974D − 02,
x2 = −9.9998999990000D + 02
となり，これらの値を有効数字 8 桁目で四捨五入すると，
x1 = −1.000010D − 02,
x2 = −9.999900 + 02
であるから，x2 は一致するが x1 は 7 桁目に違いが出る．これは桁落ちによる誤差と考えられる．
桁落ちを防ぐには，2 次方程式の解と係数の関係 x1 x2 = c/a を利用するとよい．x1 に桁落ちが起きる場合
には，x2 を解の公式で求めた上で，x1 = c/(ax2 ) とすればよく，x2 に桁落ちが起きる場合には，x1 を解の公
式で求めた上で，x2 = c/(ax1 ) とすればよい．先ほどの，例について，x1 = c/(ax2 ) を用いて有効数字 7 桁
で計算を行った結果，
x1 = −1.000010D − 02
となり，倍精度の桁で計算を行った場合と一致する．
【参考】桁落ちとは，近接する 2 つの数の引き算で有効桁数が失われる現象のことをいう．
【評価の観点】桁落ちが起きる a, b, c を具体的に例示していること．それを防ぐ方法を明示していること．
1
レポート課題 2. 1. 例題 3 において，S2 ，すなわち i = 100000 から i = 1 の順で加えたほうが，S1 ，すなわ
ち i = 1 から i = 100000 の順で加えた場合よりも精度がよくなる理由を述べよ．
2.（第 1 章の問題の 1）x̂ に εx の誤差が含まれるとき，y = exp(x̂) に含まれる誤差を評価せよ．
（10/9 出題，10/24 8:40 締切）
解答. 1. √
1
i(i+1)
の i = 1 から i = 100000 までの和であり，約 11.53 である．i = 100000 のとき √
1
i(i+1)
≈
1 × 10−5 程度である．したがって，i = 1 から i = 99999 までの和（これはほとんど 11.53 に近い値）にこの
ような小さな数を加えれば単制度の計算では，i = 100000 のときの値が 0 に丸められ，情報落ちがおき 0 に丸
められてしまう．
逆に，i = 100000 から i = 1 までこの順に足すことにより，i = 100000 のような i が大きいときの √
1
i(i+1)
の値が有効数字の範囲内で保たれ，情報落ちを避けることができるので精度がよくなる．
2. 真の値 x とすると，x = x̂ + εx である．exp(x̂) に含まれる誤差 ε は，
ε = exp(x) − exp(x̂) = exp(+̂εx ) − exp(x̂) = exp(x̂)(exp εx − 1)
ここでテーラー展開を用いて，εx が十分小さいときには，
exp εx = 1 + εx + O(ε2x )
であることに注意すると，
ε∼
= exp(x̂)εx ,
∴
|ε| ∼
= |εx |
|x̂|
すなわち，exp(x̂) の相対誤差は |εx | にほぼ等しい．
レポート課題 3. 補間点 x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1 に対して，関数値 y0 = 0, y1 = 1, y2 = 0 が与えられたとき，
ラグランジュの補間公式を用いて fN (x) を求めよ．
（10/10 出題，10/24 8:40 締切）
解答. N = 2 である．
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
y0 +
y1 +
y2
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x0 )
(x − 0)(x − 1)
= 4x(1 − x)
=
(0.5 − 0)(0.5 − 1)
f2 (x) =
2
レポート課題 4. I =
N −1 xi+1
i=0
xi
(i)
f1 (x)dx を計算し，(3.4) 式を導け．
（10/24 出題，10/31 8:40 締切）
解答.
レポート課題 5. 1. 第 1 章例題 4 を Scilab を用いて検証し，そのときの入力と出力結果を提出せよ（必須問
題：これは全員解答してください）．
2. 配布プリントの 2 ページ，lagrange.sci のプログラムを解説せよ（発展問題：解答すれば，ボーナス点と
（10/31 出題，11/7 8:40 締切）
してレポート点に加算します）．
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