Topik 3. Estimasi Interval 1. Interval Konfidensi Misalkan X1, …, Xn mempunyai fungsi densitas f(x1,…,xn;), dimana merupakan interval. Anggap L=L(X1, …, Xn) merupakan dan U=U(X1, …, Xn) statistik-statistik. Jika sebuah eksperimen menghasilkan data x1, x2, …, xn, maka nilai-nilai l(x1, …, xn) dan u(x1, …, xn) dapat dihitung. Definisi 3.1 Interval (l(x1, …, xn),u(x1, …, xn)) dinamakan interval konfidensi 100% untuk jika P[L(X1, …, Xn) < < U(X1, …, Xn)]= dimana 0 < < 1. Nilai-nilai l(x1, …, xn) dan u(x1, …, xn) masing-masing dinamakan limit konfidensi bawah dan atas. Definisi 3.2 1. Jika P[L(X1, …, Xn) < ]= maka l(x1, …, xn) dinamakan limit konfidensi 100% bawah satu sisi untuk . 2. Jika P[ < U(X1, …, Xn)]= maka u(x1, …, xn) dinamakan limit konfidensi 100% atas satu sisi untuk . Contoh 1.1 Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari distribusi normal X~N(,2) dimana 2 dianggap diketahui. Karena /2, Z n ( X n ) / ~ N (0,1) dan z/2 = - z1- maka 1 P[ z1 / 2 n ( X n ) / z1 / 2 ] P[ X n z1 / 2 / n X n z1 / 2 / n ] Sebagai akibatnya interval konfidensi 100(1-)% untuk adalah ( xn z1 / 2 / n , xn z1 / 2 / n ) . Sebagai contoh interval konfidensi 95% untuk adalah ( xn 1.96 / n , xn 1.96 / n ) . 2. Kuantitas Pivot Definisi 2.1 Jika Q=Q(X1, …, Xn; ) adalah variabel acak yang hanya merupakan fungsi dari X1, …, Xn dan , maka Q distribusinya dinamakan tidak kuantitas tergantung pivot pada jika atau parameter yang lain. Teorema 2.2 Misalkan X1, …, Xn adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan fungsi densitas f(x;), , dan anggap MLE ˆ ada, maka a. Jika adalah parameter lokasi maka Q = merupakan kuantitas pivot. ˆ - b. Jika adalah parameter skala, maka Q = ˆ / merupakan kuantitas pivot. Teorema 2.2 Misalkan X1, …, Xn adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan parameter lokasi dan skala f ( x;1 , 2 ) Jika MLE ˆ1 dan ˆ2 x 1 f 0 2 2 1 ada maka . (ˆ1 1 ) / ˆ2 dan ˆ2 / 2 adalah kuantitas pivot untuk dan . 1 2 Contoh 2.1 Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari distribusi normal X~N(,2) dimana dan 2 tidak diketahui. Jika ̂ maka dan ( ˆ ) / ˆ dan ̂ adalah MLE dari dan , ˆ / adalah kuantitas-kuantitas pivot yang dapat digunakan untuk membentuk interval konfidensi. Jika S 2 nˆ 2 /( n 1) Xn ~ t (n 1) S/ n dan maka (n 1) S 2 2 ~ 2 (n 1) . Karena 1 P[t1 / 2 (n 1) Xn t1 / 2 (n 1)] S/ n P[ X n t1 / 2 (n 1) S / n X n t1 / 2 (n 1) S / n ] maka interval konfidensi 100(1-)% untuk adalah ( xn t1 / 2 (n 1)s / n , xn t1 / 2 (n 1)s / n ) . Selanjutnya karena 1 P[ 2 / 2 (n 1) (n 1) S 2 / 2 12 / 2 (n 1)] P[ (n 1) S 2 (n 1) S 2 2 ] 12 / 2 (n 1) 2 / 2 (n 1) maka interval konfidensi 100(1-)% untuk 2 adalah (n 1) s 2 (n 1) s 2 ( 2 , ) 1 / 2 (n 1) 2 / 2 (n 1) . 3. Aproksimasi Interval Konfidensi Contoh 3.1 Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari distribusi Bernoulli X~BIN(1,p). MLE dari p adalah pˆ X n . Di sini tidak ada kuantitas pivot untuk p. Akan tetapi dengan menggunakan CLT pˆ p d N (0,1) p(1 p) / n sehingga untuk n besar berlaku 1 P z1 / 2 pˆ p z1 / 2 p (1 p ) / n . Aproksimasi interval konfidensi 100(1-)% untuk p adalah (p0,p1) dimana p0 adalah penyelesaian yang lebih kecil dari persamaan pˆ p0 z1 / 2 p0 (1 p0 ) / n . dan p1 adalah penyelesaian yang lebih besar dari persamaan pˆ p1 z1 / 2 p1 (1 p1 ) / n . Dalam praktek interval konfidensi untuk p diperoleh dari hasil limit pˆ p d N (0,1) pˆ (1 pˆ ) / n . Untuk n besar berlaku 1 P z1 / 2 pˆ p z1 / 2 pˆ (1 pˆ ) / n . dan aproksimasi interval konfidensi 100(1-)% untuk p adalah ( pˆ z1 / 2 pˆ (1 pˆ ) / n , pˆ z1 / 2 pˆ (1 pˆ ) / n ) . 4. Metode Umum Jika tidak ada kuantitas pivot daerah (generalisasi dari interval) konfidensi masih dapat dikonstruksi bila ada statistik yang distribusinya hanya tergantung dan tidak tergantung parameter yang lain. Misalkan X1, …, Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x1, …, xn;) dan S=S(X1, …, Xn )~g(s,). Anggap untuk setiap nilai yang mungkin dapat ditemukan nilai-nilai h1() dan h2() sedemikian hingga Ph1 ( ) S h2 ( ) 1 (4.1) . Jika S=s diobservasi, maka himpunan nilai-nilai yang memenuhi h1() < s < h2() membentuk daerah konfidensi 100(1-)% untuk . Contoh 4.1 Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari sebuah distribusi kontinu dengan fungsi densitas (1/ 2 ) exp[ ( x ) / 2 ], x f ( x; ) x 0, dimana > 0. Di sini tidak ada statistik cukup tunggal untuk , tetapi X1:n dan X adalah statistik n i 1 i cukup gabungan untuk . Interval konfidensi 90% untuk dapat dikonstruksi berdasarkan statistik S= X1:n. Fungsi distribusi dari S adalah 1 exp[ n( s ) / 2 ], s G( s; ) x 0, Salah satu pilihan yang mungkin untuk h1() dan h2() yang memenuhi persamaan (4.1) adalah penyelesaian dari G(h1(); )=0.05 dan G(h2();)=0.95, yakni h1()= - ln (0.95)2/n dan h2()= - ln (0.05)2/n. Definisi 4.1 Interval konfidensi (L,U) dinamakan interval konfidensi konservatif 100(1-)% untuk jika interval acak yang terkait memuat nilai yang benar dengan probabilitas paling sedikit 1-. Untuk n besar berlaku 1 P z1 / 2 pˆ p z1 / 2 pˆ (1 pˆ ) / n . dan aproksimasi interval konfidensi 100(1-)% untuk p adalah ( pˆ z1 / 2 pˆ (1 pˆ ) / n , pˆ z1 / 2 pˆ (1 pˆ ) / n ) . 5. Masalah Dua Sampel Misalkan X1, …, Xn1 merupakan sampel acak berukuran n1 dari X~N(1, 21) dan Y1, …, Yn2 merupakan sampel acak berukuran n2 dari Y~N(2, 22). Anggap kedua sampel tersebut saling independen. Misalkan Xn , Yn , S12 , dan S 22 merupakan sampel mean dan sampel varians. 5.1 Selisi Mean Jika 21 dan 22 diketahui, maka interval konfidensi untuk selisih mean ditentukan sebagai berikut. Karena Yn X n ~ N ( 2 1 , 12 / n1 22 / n2 ) maka Z Yn X n ( 2 1 ) 12 / n1 22 / n2 ~ N (0,1). Dengan menggunakan persamaan P[ z1 / 2 Z z1 / 2 ] 1 2-1 dapat interval konfidensi 100(1-)% untuk 2-1 dapat dibentuk, yakni 2 2 ( yn xn z1 / 2 12 / n1 21 / n2 , yn xn z1 / 2 12 / n1 21 / n2 ) . Jika 21 dan 22 tidak diketahui dan 21 = 22 = 21, maka interval konfidensi untuk selisih mean 2-1 dapat ditentukan dengan menggunakan fakta bahwa T Yn X n ( 2 1 ) ~ t (n1 n2 2) S P 1/ n1 1/ n2 dimana S P2 (n1 1) S12 (n2 1) S22 n1 n2 2 . Jika 21 dan 22 tidak diketahui tetapi n1 dan n2 keduanya besar maka aproksimasi konfidensi untuk selisih 2-1 dapat mean dikonstruksi menggunakan fakta bahwa Yn X n ( 2 1 ) S / n1 S / n2 2 1 2 2 d Z ~ N (0,1) interval . 5.2 Rasio Variansi Interval konfidensi untuk 22/21 dapat dikonstruksi dengan menggunakan distribusi F, yakni dengan menggunakan fakta bahwa S12 22 ~ F (n1 1, n2 1) S22 12 Jika 1=n1-1 dan 2=n2-1 dan f(1,2) menyatakan persentil ke dari F maka S12 22 P[ f / 2 ( 1 , 2 ) 2 2 f1 / 2 ( 1 , 2 )] 1 S2 1 sehingga interval konfidensi 100(1-)% untuk 22/21 adalah s22 s2 2 f / 2 ( 1 , 2 ), 22 f1 / 2 ( 1 , 2 ) s1 s1 . 5.3 Sampel Berpasangan Misalkan (X1,Y1), …, (Xn,Yn) merupakan pasangan sampel acak dengan Di=Yi-Xi, i=1,…,n berdistribusi normal dengan mean D=2-2 dan variansi 2D=21+22 -212 atau Di~N(2-2,2D). Misalkan n Dn D i 1 i n Yn X n dan n n D Di i 1 S D2 i 1 n(n 1) n 2 i 2 . Maka T Dn ( 2 1 ) ~ t (n 1) SD / n . Interval konfidensi 100(1-)% untuk 2-1 adalah (dn t1 / 2 (n 1)sD / n , dn t1 / 2 (n 1)sD / n ) . 6. Interval Konfidensi Bayes Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan fungsi densitas f(x; ). Misalkan p() merupakan fungsi densitas prior dari dan disini f(x;) diinterpretasikan sebagai fungsi densitas bersyarat f(x|). Jika f|x() adalah fungsi densitas posterior, maka interval konfidensi Bayes 100(1-)% diberikan oleh (L,U) dimana L dan U memenuhi U f |x ( )d 1 . L Contoh 6.1 Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari distribusi X~POI() Poisson dan anggap berdistribusi gamma ~GAM( ,). Dapat ditunjukkan bahwa distribusi posterior n x : | x ~ GAM (( n 1 / ) 1 , xi ) i 1 dan n 2 x 2 2 (( n 1 / ) ~ ( 2 ( xi )) x (n 1/ )1 i 1 sehingga P[ 2 / 2 ( ) 2(n 1 / ) x 12 / 2 ( )] 1 dimana n 2( xi ) . 100(1-)% i 1 Jadi interval konfidensi Bayes diberikan L 2 / 2 ( ) / 2(n 1 / ) dan U oleh (L,U) 12 / 2 ( ) / 2(n 1 / ) . dimana
© Copyright 2024 Paperzz
