download

Topik 4. Uji Hipotesis
1. Pendahuluan
Definisi 1.1
Jika X~f(x;), maka sebuah hipotesis statistik
adalah sebuah pernyataan tentang distribusi dari X.
Jika hipotesis secara lengkap menyatakan tentang
f(x;), maka hipotesis tersebut dinamakan hipotesis
sederhana (simple hipothesis), dan jika tidak
demikian
dinamakan
hipotesis
komposit
(composite hipothesis).
Definisi 1.2
Daerah kritis untuk sebuah uji hipotesis adalah
himpunan bagian dari ruang sampel yang berkaitan
dengan penolakan hipotesis nol
Ada dua type kesalahan:
1. Type I : Menolak H0 yang benar
2. Type II : Tidak menolak H0 yang salah.
Notasi yang akan digunakan untuk probabilitas
kedua type kesalahan diatas adalah:
1. P[kesalahan Type I]=P[TI]=.
2. P[kesalahan Type II]=P[TII]=.
Definisi 1.3
Untuk hipotesis nol sederhana H0, probabilitas
menolak H0 yang benar, dinotasikan dengan
=P[TI], dinamakan level signifikansi dari tes (uji
hipotesis). Untuk hipotesis nol komposit ukuran
(size) dari tes adalah probabilitas maksimum
menolak H0 bila H0 benar.
Definisi 1.4
Fungsi kuasa (power function), (), dari tes H0
adalah probabilitas menolak H0 bila nilai parameter
yang benar adalah .
Untuk hipotesis sederhana H0 :  = 0 lawan
H1 :  = 1, (0)= dan (1)=1-.
2. Tes untuk Distribusi Normal
Teorema 2.1
Anggap x1, …, xn adalah nilai-nilai hasil observasi
sampel acak dari distribusi normal N(,2) dimana
2 diketahui, dan misalkan
z0 
xn  
/ n
.
1. Tes ukuran  dari H0 :   0 lawan H1 :  >
0 adalah tolak H0 jika z0  z1-. Fungsi kuasa
untuk tes ini adalah

 (  )  1   z1 

0   

/ n
2. Tes ukuran  dari H0 :   0 lawan H1 :  <
0 adalah tolak H0 jika z0  -z1-. Fungsi kuasa
untuk tes ini adalah

 (  )    z1 

0   

/ n
3. Tes ukuran  dari H0 :  =0 lawan H1 :   0
adalah tolak H0 jika z0  -z1-/2 atau z0  z1-.
Teorema 2.2
Anggap x1, …, xn adalah nilai-nilai hasil observasi
sampel acak dari distribusi normal N(,2) dimana
2 tidak diketahui, dan misalkan
t0 
xn  
s/ n
.
1. Tes ukuran  dari H0 :   0 lawan H1 :
 > 0 adalah tolak H0 jika t0  t1-(n-1).
2. Tes ukuran  dari H0 :   0 lawan H1 :
 < 0 adalah tolak H0 jika t0  - t1-(n-1).
3. Tes ukuran  dari H0 :  = 0 lawan H1 : 
 0 adalah tolak H0 jika t0  - t1-/2(n-1)
atau t0  t1-/2(n-1).
Teorema 2.3
Anggap x1, …, xn adalah nilai-nilai hasil observasi
sampel acak dari distribusi normal N(,2), dan
misalkan
 0  (n  1) s 2 /  02
1. Tes ukuran  dari H0 :
adalah tolak H0 jika 
0
0
0
 2   02
 2 (n  1)
3. Tes ukuran  dari H0 :
adalah tolak H0 jika 
lawan H1 :
 2   02
 12 (n  1)
2. Tes ukuran  dari H0 :
adalah tolak H0 jika 
.
 2   02
.
lawan H1 :
 2   02
lawan H1 :
 2   02
.
 2   02
 2 / 2 (n  1)
atau 
0
 12 / 2 (n  1)
.
Teorema 2.4
Anggap x1, …, xn1 dan y1, …, yn2 adalah nilai-nilai
hasil observasi sampel acak independen dari
distribusi normal N(1,21) dan N(2,22), dan
misalkan
s12
f0  2 d0
s2
.
1. Tes ukuran  dari H0 :
 22 /  12  d 0
 22 /  12  d 0
adalah tolak H0 jika
2. Tes ukuran  dari H0 :
 22 /  12  d 0
3. Tes ukuran  dari H0 :
 22 /  12  d 0
atau
f 0  1 / f1 (n2  1, n1  1)
 22 /  12  d 0
adalah tolak H0 jika
 22 /  12  d 0
.
lawan H1 :
f 0  f1 (n1  1, n2  1)
adalah tolak H0 jika
f 0  f1 / 2 (n1  1, n2  1)
lawan H1 :
.
lawan H1 :
f 0  1 / f1 / 2 (n2  1, n1  1)
.
Teorema 2.5
Anggap x1, …, xn1 dan y1, …, yn2 adalah nilai-nilai
hasil observasi sampel acak independen dari
distribusi normal N(1,21) dan N(2,22) dimana
21=22=2, dan misalkan
t0 
yn  xn  d 0
1 1
sp /

n1 n2
.
1. Tes ukuran  dari H0 : 2 - 1  d0 lawan H1
: 2 - 1 > d0 adalah tolak H0 jika t0  t1(n1+n2-2).
2. Tes ukuran  dari H0 : 2 - 1  d0 lawan
H1 : 2 - 1 < d0 adalah tolak H0 jika t0  t1-(n1+n2-2).
3. Tes ukuran  dari H0 : 2 - 1 = d0lawan H1
: 2 - 1  d0 adalah tolak H0 jika t0  - t1/2(n1+n2-2)
atau t0  t1-/2(n1+n2-2).
Teorema 2.6
Anggap (x1,y1), …, (xn,yn) adalah nilai-nilai hasil
observasi sampel acak pasangan independen dari
variabel acak (X1,Y1), …, (Xn,Yn) dan anggap setiap
selisih Di=Yi – Xi
berdistribusi normal dengan
D=2 - 1 dan variansi 2D. Misalkan
d
dan
sd2
adalah sampel mean dan sampel varians yang
didasarkan pada selisih di=yi – xi , dan misalkan
t0 
d  d0
sd / n
.
1. Tes ukuran  dari H0 : 2 - 1  d0 lawan H1
: 2 - 1 > d0 adalah tolak H0 jika t0  t1-(n1).
2. Tes ukuran  dari H0 : 2 - 1  d0 lawan
H1 : 2 - 1 < d0 adalah tolak H0 jika t0  t1-(n-1).
3. Tes ukuran  dari H0 : 2 - 1 = d0lawan H1
: 2 - 1  d0 adalah tolak H0 jika t0  - t1/2(n-1)
atau t0  t1-/2(n-1).
3. Uji Binomial
Teorema 3.1
Misalkan S~BIN(n,p) dan
z0 
s  np0
np0 (1  p0 )
.
Untuk n besar,
1. Aproksimasi tes ukuran  dari H0 : p  p0
lawan H1 : p > p0 adalah tolak H0 jika z0 > z1- .
2. Aproksimasi tes ukuran  dari H0 : p  p0
lawan H1 : p < p0 adalah tolak H0 jika z0 < -z1.
3. Aproksimasi tes ukuran  dari H0 : p = p0
lawan H1 : p  p0 adalah tolak H0 jika z0 < -z1/2 atau z0 > z1- /2.
4. Uji Poisson
Teorema 4.1
Anggap x1, …, xn adalah nilai-nilai hasil observasi
sampel acak dari distribusi Poisson POI(), dan
misalkan
n
s   xi
i 1
.
1. Konservatif tes ukuran  dari H0 : 
 0
lawan H1 :  > 0 adalah tolak H0 jika 1-F(s1; n0)  .
2. Konservatif tes ukuran  dari H0 : 
lawan H1 : 
 0
< 0 adalah tolak H0 jika F(s;
n0)  .
5. Uji Paling Kuat
Definisi 5.1
Uji (tes) dari H0 :  = 0 lawan H1 :  = 1 yang
didasarkan pada daerah kritis C* dikatakan sebagai
uji paling kuat (most powerful test) dengan ukuran
 jika
1. 
C*
(0 )  
, dan.
2. 
C*
(1 )   C (1 )
untuk sebarang daerah kritis dengan
ukuran ..
Teorema 5.2 (Neyman-Pearson Lemma)
Anggap X1, …, Xn mempunyai fungsi densitas
bersama f(x1, …, xn ;  ). Misalkan
 ( x1 ,..., xn ; 0 ,1 ) 
f ( x1 ,..., xn ; 0 )
f ( x1 ,..., xn ;1 )
dan misalkan
C*  {( x1 ,..., xn ) :  ( x1 ,..., xn ;0 ,1 )  k}
dimana k adalah sebuah konstanta yang memenuhi
P[( X1,..., X n )  C* | 0 ]  
.
Maka C* adalah daerah kritis paling kuat dengan
ukuran . Untuk uji H0 :  = 0 lawan H1 :  = 1.
6. Uji Paling Kuat Secara Uniform
Definisi 6.1
Misalkan X1, …, Xn mempunyai fungsi densitas
bersama f(x1, …, xn ;  ) dan pandang hipotesis H0
:   0 lawan H1 :    - 0, dimana 0  .
Daerah kritis C* (uji hipotesis) dikatakan sebagai
paling kuat secara uniform (uniformly most
powerful / UMP) dengan ukuran  jika
max{  C * ( ) :   0 }  
dan
 C * ( )   C ( )
untuk semua    - 0 dan semua daerah kritis C
dengan ukuran  .
Definisi 6.2
Sebuah fungsi densitas bersama f(x1, …, xn ; )
dikatakan mempunyai rasio likelihood monoton
(monotone likelihood ratio / MLR) dalam statistik
T=T(X1, …, Xn) jika untuk sebarang nilai parameter
1<2, rasio f(x1, …, xn ; 2)/ f(x1, …, xn ;1)
tergantung pada x1, …, xn hanya melalui fungsi
T(x1, …, xn), dan rasio ini merupakan fungsi tidak
turun dari T(x1, …, xn).
Teorema 6.3
Jika sebuah fungsi densitas bersama f(x1, …, xn ; )
mempunyai
rasio
likelihood
monoton
dalam
statistik T=T(X1, …, Xn), maka UMP dari tes
ukuran  dari H0 :   0 lawan H1:  > 0 adalah
tolak H0 jika T(x1, …, xn)  k dimana P[T(x1, …,
xn)k| 0]= .
7. Uji Tak Bias
Definisi 7.1
Uji hipotesis H0 :   0 lawan H1 :    - 0
dikatakan tak bias jika
min{  ( ) :     0}  max{ ( ) :   0}
.
Contoh 7.1
Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari
distribusi normal X~N(0,2). Akan diuji
H0 :
2=20 lawan H1 : 2 20 berdasarkan statistik
n
S0   X i2 /  02
i 1
jika
. Di bawah H0, S0~2(n) sehingga tolak H0
s0  2 / 2 (n)
atau
s0  12 / 2 (n)
. Nilai minimum dari
(2) terjadi pada 2 20. Dengan demikian uji di
atas bukan uji tak bias.
8. Uji Rasio Likelihood Tergeneralisasi
Definisi 8.1
Misalkan X1, …, Xn mempunyai fungsi densitas
bersama f(x1, …, xn ; ),    dan pandang
hipotesis H0 :   0 lawan H1 :    - 0. Uji
rasio likelihood tergeneralisasi (generalized ratio
likelihood test / GLR) didefinisikan sebagai
 ( x1 ,..., xn ) 
dimana
ˆ
max{ f ( x, ) :   0 } f ( x,ˆ0 )

max{ f ( x, ) :   }
f ( x,ˆ)
adalah MLE dari  dan
ˆ0
adalah MLE
dari  dibawah H0.
Contoh 8.1
Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak dari
distribusi normal X~N(,2) dimana 2 diketahui.
Akan diuji H0 :  = 0 lawan H1 :   0. MLE
untuk  adalah
ˆ  x̂n .
 ( x1 ,..., xn ) 
Di sini
f ( x,  0 )
 exp[ n( xn  0 ) 2 / 2 2 ]
f ( x, ˆ )
.
Kriteria ujinya adalah tolak H0 jika (x1, …, xn ) 
k, atau secara ekuivalen jika
 x  0 
z  n
  k1
 / n 
2
2
dimana Z~N(0,1) dan Z2~2(1). Tes ukuran 
adalah tolak H0 jika
z 2  12 (1)
atau secara ekuivalen, tolak H0 jika
z   z1 / 2
atau
z  z1 / 2
.
9. Uji Bersyarat
Kadang-kadang
dimungkinkan
untuk
mengeliminasi parameter pengganggu (nuisance
paremeter) yang tak diketahui dan mendapatkan tes
ukuran
 dengan mengkonstruksi tes yang
didasarkan pada mengkondisikan pada suatu
variabel. Sebagai contoh jika S adalah statistik
cukup untuk nuisance parameter  , maka distribusi
dari X|S tidak tergantung pada  .
Contoh 9.1
Misalkan X~BIN(n1,p1) dan Y~BIN(n2,p2) dengan X
dan Y saling independen. Akan diuji hipotesis H0 :
p1 = p1 = p lawan H1 : p1 < p2 dengan ukuran .
Di bawah H0 fungsi densitas bersama dari X dan Y
adalah
 n  n 
f ( x, y)   1  2  p x  y (1  p) n1  n2  ( x  y )
 x  y 
dan jelas bahwa S=X+Y merupakan statistik cukup
untuk p. Ini menyarankan untuk memikirkan tes
yang didasarkan pada distribusi bersyarat dari (X,Y)
bila diberikan S=s. Karena Y=S-X, maka cukup
untuk mendasarkan tes pada distribusi bersyarat
dari Y diberikan S=s. Di bawah H0, S~BIN(n1+
n2,p) dan dengan demikian
 n2  n1 
 

y  s  y 

fY | s ( y ) 
,
 n1  n2 


 s 
yang
merupakan
y  0,..., s; s  0,..., n1  n2
distribusi
hipergeometrik.
Distribusi ini tidak memuat p, dan daerah kritis dari
tes ukuran  dapat ditentukan di bawah H0 untuk
sebarang nilai s yang diberikan. Untuk H1 : p1 < p2
daerah kritis yang paling baik adalah untuk nilai y
yang besar. Jadi tolak H0 jika yk(s), atau untuk tes
ukuran , tolak H0 jika
 n2  n1 
 

 i  s  i   

i  y  n1  n2 


 s 
s
.
10. Uji Sekuensial
Pada pembahasan terdahulu untuk ukuran sampel
yang tetap n, lemma Neyman-Pearson dapat
digunakan untuk mengkonstruksi uji paling kuat
dengan ukuran  untuk hipotesis sederhana. Juga
untuk beberapa kasus dapat dirumuskan ukuran
sampel yang menghasilkan tes ukuran  dengan
kuasa uji tertentu, atau dengan probabilitas
kesalahan type II, yakni .
dibahas prosedur uji
Di bagian ini akan
sekuensial dimana ukuran
sampel tidak ditetapkan sebelumnya. Berikut ini
akan dibahas salah satu dari uji sekuensial yang
dinamakan
uji
rasio
probabilitas
sekuensial
(sequential probability ratio test / SPRT).
Misalkan akan diuji H0 :  = 0 lawan H1 :
=1. Misalkan X1, …, Xn merupakan sampel acak
berukuran
n
dengan
fungsi
densitas
f(x,).
Definisikan
m  m ( x1 ,..., xm ) 
f ( x1; 0 )... f ( xm ; 0 )
f ( x1;1 )... f ( xm ;1 )
untuk m=1,2,…
dan lakukan prosedur berikut ini. Misalkan k0 < k1
adalah sebarang bilangan positif, dan hitung 1
didasarkan pada observasi x1. Jika 1  k0 maka
tolak H0; jika 1  k1 maka terima H0; dan jika k0 <
1 < k1 maka ambil observasi x2 dan hitung 2.
Secara serupa jika 2  k0 maka tolak H0; jika 2 
k2 maka terima H0; dan jika k0 < 2 < k1 maka ambil
observasi x3 dan hitung 3, dan seterusnya. Idenya
adalah melanjutkan mengambil nilai-nilai xi selama
rasio m terletak diantara k0 dan k1, dan berhenti
bila m  k0 atau m  k1. Daerah kritis C dari uji
sekuensial adalah
Cn={(x1,…,xn)| k0<j(x1,…,xn)< k1, j=1,…,n-1,
n(x1,…,xn)< k0}, n=1,2,…

Download Report