OFC-11: Pengertian Random
Number
SIMULASI PSEUDO
RANDOM
• Ciri2-nya
– 1.Simulasi dengan mempergunakan bilangan random
disesuaikan dengan fungsi generator Probabilitas
– 2. Proses pseudo random menghasilkan bilangan
random yang berada dalam distribusi peluang
tertentu untuk dapat mendekati nilai dunia nyata yang
berdasar fungsi distribusi peluang statistik tertentu.
– 3. Distribusi Probabilitas Komulatif mempunyai dua
bentuk yaitu bentuk diskrit dan kontinu.
Phases in Simulation Study
Problem
formulation
Model
Formulation
Data collection
Data analysis
Program
Generation
Model
valid
Fine model
Experimental
Design
Analysis
Simulation Results
Contoh Program Generation ;
diagram alir simulasi
loading - unloading di pelabuhan laut
Kapal tiba
Kapal tiba
Kapal Tunggu dilaut
ada
Tidak ada
Kapal Tarik
Tarik ke darmaga
Tunggu didarmaga
Tidak ada
Bongkar muatan
Kapal Tarik
Kapal pergi
ada
Tarik ke laut lepas
Penjelasan gambar diatas
1. Kapal akan tunggu dilaut bila kapal tarik tidak ada karena
lagi dipakai.
2. Kapal akan tunggu didarmaga bila kapal tarik lagi dipakai.
3.Bila hendak mengetahui efektifitas dari kapal tarik, ada tiga
waktu yang harus di-ketahui
a. Lama waktu kapal tarik menarik kedermaga
b. Waktu bongkar muatan kapal
c. Waktu tarik dari darmaga kelaut.
Simulasi dikembangkan untuk mengetahui
1. waktu rata2-nya, bila kapal tarik jumlahnya terbatas.
kapal
2. Tidak diketahui kapal kapal-tarik siap utk menarik
yang datang.
3. Waktu bongkar muatan tergantung kapasitas kapal
yang datang.
DATA YANG BERKAITAN
DENGAN SIMULASI
• 1. Koleksi data; data yang dikumpulkan
adalah data dasar untuk membangun
program simulasi, dan berkaitan dengan
variabel random dalam simulasi.
• 2.Analisis data; Tentukan fungsi generator
untuk membentuk distribusi
probabilitasnya secara komulatif.
• 3. Buat histogram komulatif
DISTRIBUSI PROBABILITAS PSEUDO RANDOM
Distribusi probabilitas adalah nilai-nilai probabilitas
dipergunakan untuk mewakili semua nilai yang dapat terjadi dari
suatu variabel random X.
Variabel random X adalah sesuatu yang nilainya ditentukan
oleh perobahan dari proses yang berada diluar kontrol kita.
Jumlah probabilitas dari semua kemungkinan kejadian
harus sama dengan satu.
Simbol probabilitas dinyatakan sebagai P(x=X) atau P(X)
yaitu bilangan random dengan nilai dari 0 sampai dengan 1.
Variabel random diskrit adalah semua nilai random dalam
tabel dengan harga diskrit .
Variabel random kontinyu adalah semua nilai pecahan yang
dapat terjadi, tidak semuanya dalam tabel, dengan harga
dinyatakan dengan fungsi kontinyu.
TEORI PROBABILITAS;
• Teori probabilitas selalu berhubungan dengan suatu
kejadian khusus yang disebut kejadian random (random
events).
• Random events yaitu kejadian dimana outcome (keluaran)
terjadi karena adanya kesempatan/chance, atau keluaran
dugaan/ probability of the outcome.
• Konsep dasar suatu probability of the outcome dapat
dicari sebagai prosentasi waktu kapan kejadian outcome
tersebut terjadi. (Outcome tergantung pada waktu).Misal tos
mata uang dimana pada sebagian waktu (50% waktu tos)
akan terbuka sisi salah satu muka dari mata uang tersebut.
• Dua konsep yang berpengaruh terhadap teori probabilitas
adalah;
– Obyektif ; dimana probabilitas dihubungkan terhadap long run
frequencies of occurance.(Pada waktu yang lama maka tos
mata uang akan menghasilkan kemungkinan 50% untuk setiap
sisis muka mata uang.
– Subyektif; dijaga suatu tingkat kepercayaan (Degree of belief).
Lanjutan Probabilitas;
•
Menghitung harga probabilitas;
–
P(x) = 1/ n! ,
Misal;
•
untuk mata uang koin P(x) = 1 / 2! = 0.50, yaitu pada tos mata uamg
tersebut dilakukan dalam jumlah yang banyak akan terbukti bahwa masing
masing akan bergantian sis muka yang keluar sebanyak 50%.(Buktikan).
Contoh; Misalkan koin di-tos sebanyak 1000 kali, maka ekspektasi dari sisi
muka yang akan keluar adalah masing masing 500 kali. Bila fair games
dilakukan maka antara bandar dan penjudi akan sama sama menang.
25oCjanuari di daerah puncak bertemperatur 25 o C adalah
• Probabilitas dari bulan
1/10, artinya
– Telah diselidiki oleh biro statistik bahwa selama 10 tahun tiap bulan januari ada
1 bulan yang bertemperatur 25oC, atau
– berdasar perubahan klimatologi maka setiap januari dalam perioda 10 tahunan
akan ada 1 bulan dimana di Puncak bertemperatur 25oC.
– Penggunaan probabilitas untuk mengukur Expected value
• Expected value (w) = w1 p1 + w2p2 + ...............
• Untuk koin dimana p1 + p2 = 1 , bila p1 untuk kemenangan (positif) dan w =
w1 0.5 + w2 ( - 0.5) = 0
• p2 untuk kekalahan (negatif) maka Bila untuk tos koin diatas w1 = Rp 200,
sedangkan w2 = Rp.100, maka w = 200 (0.5) - 100 (0.5) = Rp.50.- Artinya
setiap main akan ada rata rata kemenangan sebesar Rp/50,-
DISTRIBUSI PROBABILITAS;
•
•
•
•
Distribusi probabilitas selalu berhubungan dengan suatu kejadian khusus
yang disebut kejadian random (random events).
Random events yaitu kejadian dimana outcome (keluaran) terjadi karena
adanya kesempatan/chance, atau keluaran dugaan/ probability of the
outcome.
Konsep dasar suatu probability of the outcome dapat dicari sebagai
prosentasi waktu kapan kejadian outcome tersebut terjadi. (Outcome
tergantung pada waktu).Misal tos mata uang dimana pada sebagian waktu
(50% waktu tos) akan terbuka sisi salah satu muka dari mata uang
tersebut.
Dua konsep yang berpengaruh terhadap teori probabilitas adalah;
– Obyektif ; dimana probabilitas dihubungkan terhadap long run
frequencies of occurance.(Pada waktu yang lama maka tos mata uang
akan menghasilkan kemungkinan 50% untuk setiap sisis muka mata
uang.
– Subyektif; dijaga suatu tingkat kepercayaan (Degree of belief).
Lanjutan Probabilitas;
• Menghitung harga probabilitas;
– P(x) = 1/ n! ,
Misal;
• untuk mata uang koin P(x) = 1 / 2! = 0.50, yaitu pada
tos mata uamg tersebut dilakukan dalam jumlah
yang banyak akan terbukti bahwa masing masing
akan bergantian
sis muka yang keluar sebanyak
25 C
50%.(Buktikan). Contoh; Misalkan koin di-tos
sebanyak 1000 kali, maka ekspektasi dari sisi muka
yang akan keluar adalah masing masing 500 kali. Bila
fair games dilakukan maka antara bandar dan
penjudi akan sama sama menang.
• Probabilitas dari bulan januari di daerah puncak
bertemperatur 25 o C adalah 1/10, artinya
o
– Telah diselidiki oleh biro statistik bahwa selama 10
tahun tiap bulan januari ada 1 bulan yang
bertemperatur 25oC, atau
– berdasar perubahan klimatologi maka setiap januari
dalam perioda 10 tahunan akan ada 1 bulan dimana di
Puncak bertemperatur 25oC.
Penggunaan probabilitas untuk mengukur Expected
value
Expected value (w) = w1 p1 + w2p2 + ...............
Untuk koin dimana p1 + p2 = 1 , bila p1 untuk
kemenangan (positif) dan w = w1 0.5 + w2 ( - 0.5) =
0
p2 untuk kekalahan (negatif) maka Bila untuk tos
koin diatas w1 = Rp 200, sedangkan w2 = Rp.100,
maka w = 200 (0.5) - 100 (0.5) = Rp.50.- Artinya
setiap main akan ada rata rata kemenangan
sebesar Rp/50,-
PERBANDINGAN SIMULASI
DENGAN OPTIMASI (?)
• Model Simulasi
– Input:
• Nilai parameter dan
keputusan
– Proses:
• Simulator
– Output:
• Ukuran efektivitas
• Model Optimasi
– Input;
• Parameter
– Proses:
• Model optimasi
matematika
– Output:
• Variabel keputusan
yang optimal dan nilai
optimal ukuran
efektivitas
Analisis Peluang Dalam
Kasus Pseudo Random
1. Teori Peluang
Peluang adalah suatu probabilitas (ukuran
kecenderungan atas munculnya/terjadinya
suartu peristiwa/kejadian/event.
2. Nilai probabilitas
antara 0 dan
1
3. Komponen peluang;
Event, Ruang sample,dan sample.
Ringkasan Distribusi Peluang
1. Distribusi
exponensial;
1. Rata rata = ß= 1/ λ
2. Variansi = ß 2
2. Distribusi Normal
1. Rata rata = µ
2. Variansi = σ2
3. Distribusi bernoulli;
1. Rata rata = P
2. Variansi = P(1-P)
3. Distribusi binomial;
– Rata rata = nP
– Variansi + nP(1-P)
4. Distribusi Poisson;
1. Rata rata = λ
2. Variansi = λ
5. Distribusi Uniform;
– Rata rata = (B+A)/2
– Variansi = (B-A)2 / x
D.P diskrit contohnya adalah
D.P. Poisson.
• Variabel X = jumlah kejadian pada interval
waktu tertentu. (Mis. 1 hari terjual mobil 2
mobil,dst).
• Bila rata2 banyaknya kejadian perinterval
waktu = λ.
• Jadi P(X)= λx e -λ / x!
• contoh; jumlah mobil terjual setiap harinya
akan mengikuti distribusi Prob. Poisson.
HUBUNGAN X vs P(X)
Disini hubungan D.P nya adalah Kontinyu dan berdistribusi
Normal, dimana nilai P(X) dinyatakan untuk mewakili nilai
variabel random X.
P(X)
f{P(X)}
0.20
0.15
0.10
0.05
f{P(X)}=
a1 a2 a3 a4
m
b4
1/(2πσ2)1/2 e -(x-µ)2/2σ2
b3
b2 b1
X
Pembangkitan Bilangan Acak
Random Number Generator
• Definisi; Suatu algoritma yang digunakan untuk
menghasilkan uruta-urutan angka angka random
baik secara hitungan manual maupun komputasi
elektronik (komputer)
• Bilangan acak disesuaikan dengan besar
probabilitas yaitu antara 0 s/d 1.0 dan
berdistribusi seragam.
• Syarat Pembangkitan Bilangan acak;
– Bersifat random
– Tidak ber-ulang (Degenerative)
– Perioda ulang biasanya munculnya sangat panjang
Metoda Pembangkitan Bilangan
Acak
• Manual Sederhana;
– dengan lempar koin, ambil bola pingpong dalam keranjang
secara acak, lempar dadu, putaran roullete.
• Tabel bilangan acak.
– Berupa daftar angka acak yang sudah diakui kebenaran acaknya
• Menggunakan Komputer.;
– Menggunakan algoritma komputer yang diprogram
• Jenis bilangan acak
– Murni; acak langsung dipergunakan contoh peristiwa simulasi
Monte Carlo penjualan sepatu .
– Tidak Murni (Pseudo random); dihasilkan acak dengan rumusan
matematik, atau bilangan acak diperoleh berdasar hitungan
distribusi statistik tertentu, Misal Poisson, Eksponensial, dsb.
Jenis Bilangan Acak
1. Midsquare Method
1. Prosedur;
1. Tentukan Seed; angka random awal dari 4 digit
angka random
2. Kuadratkan
3. Ambil empat digit yang ditengah
4. Kembali ke langkah 2
5. Ulang sebanyak bilangan acak yang di-inginkan
6. Contoh: Seed= 7812, (7812)2 , 51581124,
(5811)2
Bentuk Tabulasi Midsquare method
Zi
Zi2
7182
U
Bilangan acak
terpilih
-
51581124
5811
0.5811
33767721
7677
0.7677
58936329
9363
0.9363
Random Number Generator
• Linear Conguential Generator (LCG)
Rumus;
Zi = (a Zi-1 + c ) mpd m
Dimana a = multiplier, c = increment, Zo = Seed
Zi = Sisa hasil bagi random number , m = angka modul;
Syarat konstanta;
– harga a > √m atau ; m/100 < a < m - √m
– Harga c harus ganjil, tidak merupakan kelipatan dari angka m
– Modul m harus bilangan yang tdak dapat dibagi (Bilangan prima)
– Harga Seed harus angka integer ganjil dan besar.
Ui = Zi /m
Random Number Generator
• Multiplicative Congruential Generator
(MCG)
– Rumus: Zi = (a Zi-1) mod m
• Mixed Congruential Generator (Linier
Congruential Random Number Generator);
– Rumus;
Zn = an Zo + (an – 1)/(a – 1). C (mod m)
Linier Congruential Random
Number Generator
• Persyaratan
Persyaratan;
N integer > 0, C = Bilangan prima
– Bila C bilangan prima terhadap n berarti pembagi
umum yang terbesar dari c dan m adalah 1.
– .a= 1 (mod q) untuk setiap faktor prima q dari m
berarti a – q (a/q) = 1, bila k = (a/q) maka a = 1 + q k,
dimana q adalah faktor prima dari m
– .a = 1 (mod 4) bila 4 adalah faktor dari m berarti a = 1
+ 4k, bila m/4 = integer (bila m dibagi 4, hasilnya
bulat)
Cara Pemilihan mod m
• Definisi; m angka integer terbesar hasil dari perkalian
awal yang sebagai pembagi dengan angka integer lain.
– Contoh:
• Zo = 7, a = 5 c = 3
• Berdasar metoda Multiplicative Congruential Generator) ; Zi = (a Zi1) mod m
• Z1 = (5x7+3) mod m, m = angka integer
• Angka m dihasilkan dari 38 dibagi 2 angka prima nya adalah 16.
• Z1 = 6, Z2 = (5x6+3) mod 16 , Z2 = 33 mod 16 =1 , Z3 = (5x1+3)
mod 16 , z3 = 8 mod 16 = 8, Z4 = (5x8+3) mod 16 = 43 mood 16 =
11
• Bilangan random ; U1 = 6/16, U2 = 1/16, U3=8/16, U4= 11/16
Validasi Bilangan Acak
• Pengujian dimaksudkan untuk melihat
distribusinya, urutan ke-acakan-nya.
• Metoda pengujian ;
– Uji empiris; dilakukan dengan uji statistik;
• Chi-Square test; Uji keseragaman
• Run test; Ujui keacakan
– UJi teoritis; dilakukan uji parameter pembangkit untuk
pembangkitan secara menyeluruh.
• Spectral test
• Lattice test
Chi Square test
• Dibangkitkan 100 bilangan acak yang akan
dikelompokkan dalam 10 kelompok kelas
probabilitas.
Kelas
Frekuensi
Bilangan acak
Fo
Frekuensi
harapan Fe
(Fo-Fe)2/Fe
Chi-sqre.
0.0 – 0.09
0.1 – 0.19
0.2 – 0.29
0.3 – 0.39
0.4 – 0.49
0.5 – 0.59
0.6 – 0.69
0.7 – 0.79
0.8 – 0.89
0.9 – 1.00
9
12
10
11
8
10
10
7
12
11
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
0.1
0.4
0.0
0.1
0.4
0.0
0.0
0.9
0.4
0.1
0.1
100
100
2.4
Chi Square test
• Pengujian:
– Ho = data/acak terdistribusi seragam
– H1 = Tidak terdistribusi seragam
– Selang kepercayaan α = 0.05 (5%)
• Nilai Chi-square tabel = 16.919
– Chi-square hitung = 2.4 artinya < nilai tabel
– Kesimpulan terima Ho
Run Test
• Urutan ke-acak-an diuji
• Cara uji;
– Bilangan acak dalam urutannya bila harganya naik beri satu tanda +,
sdebaliknya tanda -, seterusnya sampai seluruh bilangan acak.
– Contoh; 40 bilangan acak sbb;
• 0.43;0.32;0.48;0.23;0.90;0.72;0.94;0.11;0.14;0.67;0.61;0.25;0.45;0.56;0.87;0
.54;0.01;0.64;0.65;0.32;0.03;0.93;0.08;0.58;0.41;0.32;0.03;0.18;0.90;0.74;0.
32;0.75;0.42;0.71;0.66;;0.03;0.44;0.99;0.40;0.55.
• Total run x = 26 (26 tanda + dan -)
• Nilai harapan total run;
– μ = (2n – 1)/3 = ((2x40)-1)/3 = 26.33
– Variansi jumlah run; σ2 = (16n – 29)/90 = ((16x40)-29)/90= 6.79
– Standar deviasi σ = 2.61
• Pengujian dengan distribusi normal;
–
–
–
–
Ho : μ = 26.33, H1 = bukan μ
Z = (a – μ)/ σ = (26 – 26.33)/ 2.61 = - 0.13
Batas selang-kepercayaan -1.96 s/d 1.96., berartyi harga Z ada didalamnya
Terima Ho
KESIMPULAN
• Keuntungan simulasi adalah;
– Model simulasi sebagai fasilitas untuk menangani
masalah ketidak pastian
– Dapat dilakukan ber-ulang kali, dengan me-robah
nilai variabel
– Angka acak dapat di-uji statistik
– Hasil hanya merupakan kemungkinan yang dapat
terjadi.
• Kerugian: (?)
• Model Simulasi mempergunakan suatu desain
sistem dari kejadian yang sebenarnya dengan
memasukkan sejumlah variabel kedalam
variabel. Optimasi simulasi tergantung dari
banyaknya dan interaksi variabel.
© Copyright 2024 Paperzz
