Metode Numerik Apa yang akan dibahas 1. 2. 3. 4. 5. 6. Pendahuluan dan motivasi Analisis Kesalahan Persamaan Tidak Linier Persamaan Linier Simultan Interpolasi Integrasi Numerik Metode Numerik Slide 2 Daftar Pustaka • Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta. • Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta. • Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore. • Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta. Metode Numerik Slide 3 Pendahuluan • Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan. • Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan • Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya Metode Numerik Slide 4 Motivasi Kenapa diperlukan? • Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika • Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik Metode Numerik Slide 5 Penyelesaian persoalan numerik • Identifikasi masalah • Memodelkan masalah ini secara matematis • Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya • Implementasi metode ini dalam komputer • Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah Metode Numerik Slide 6 Persoalan analisis numerik • • • • • Eksistensi (ada tidaknya solusi) Keunikan (uniqueness) Keadaan tidak sehat (ill-conditioning) instabilitas (instability) Kesalahan (error) Contoh: Persamaan kuadrat Persamaan linier simultan Metode Numerik Slide 7 Angka Signifikan • • • • 7,6728 7,67 15,506 15,51 7,3600 7,4 4,27002 4,3 Metode Numerik 3 angka signifikan 4 angka signifikan 2 angka signifikan 2 angka signifikan Slide 8 Sumber Kesalahan • Kesalahan pemodelan contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel • Kesalahan bawaan contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala • Ketidaktepatan data • Kesalahan pemotongan (truncation error) • Kesalahan pembulatan (round-off error) Metode Numerik Slide 9 Kesalahan pemotongan (i) • Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak Contoh: approksimasi dengan deret Taylor n x x 2 x f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi ) f n ( xi ) Rn 1! 2! n! x xi 1 xi Kesalahan: Metode Numerik f ( n 1) ( ) ( n 1) Rn x (n 1)! Slide 10 Kesalahan pemotongan (ii) • Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.) f ( xi 1 ) f ( xi ) • Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.) f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) x 1! • Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.) x x 2 f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi ) 1! 2! Metode Numerik Slide 11 Motivasi Dari Persamaan Non Linear Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut: R R2 R T 2 2 M R = jari-jari kurva jalan T = jarak tangensial = 273.935 m M = ordinat tengah = 73.773 m Metode Numerik Slide 12 Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii) Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut: C 13000 N 1 158.11 N 0.5 N 0.0025 N 2 dengan C = biaya per hari N = jumlah komponen yang diproduksi Metode Numerik Slide 13 Solusi Persamaan Non Linear (i) 1) Metode Akolade (bracketing method) Contoh: • Metode Biseksi (Bisection Method) • Metode Regula Falsi (False Position Method) Keuntungan: selalu konvergen Kerugian: relatif lambat konvergen Metode Numerik Slide 14 Solusi Persamaan Non Linear (ii) 2) Metode Terbuka Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration) • Metode Newton-Raphson • Metode Secant Keuntungan: cepat konvergen Kerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen) Metode Numerik Slide 15 Metode Bagi Dua (i) Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0 f (a0 ) f (b0 ) 0 do n = 0,1,… m (an bn ) / 2 an1 an , bn1 m if f (an ) f (m) 0, then else an 1 m, bn1 bn if bn1 an1 or end do Metode Numerik f ( m) 0 exit Slide 16 Metode Biseksi (ii) Metode Numerik Slide 17 Regula Falsi (i) Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0 f (a0 ) f (b0 ) 0 do n = 0,1,… w [ f (bn )an f (an )bn ] /[ f (bn ) f (an )] an1 an , bn 1 w if f (an ) f (w) 0, then else an 1 w, bn1 bn if bn1 an1 or f ( w) 0 exit end do Metode Numerik Slide 18 Regula Falsi (i) Metode Numerik Slide 19 Regula Falsi Termodifikasi (i) Inisialisasi: F f (a0 ) do n = 0,1,… G f (b0 ) w0 a0 wn1 [Gan Fbn ] /[G F ] if f (an ) f (wn1 ) 0, then an1 an , bn1 wn1 , if G f (wn1 ) f ( wn ) f ( wn1 ) 0, then F F / 2 else an 1 wn 1 , bn1 bn , F f (wn1 ) if f (wn ) f ( wn1 ) 0, then F F / 2 exit if bn1 an1 end do Metode Numerik Slide 20 Regula Falsi Termodifikasi (ii) Metode Numerik Slide 21 Iterasi Titik Tetap Metode Numerik Slide 22 Metode Newton-Raphson Metode Numerik Slide 23 Metode Secant Metode Numerik Slide 24 Akar Ganda (i) y ( x 1) 2 Metode Numerik y ( x 1)3 Slide 25 Akar Ganda (ii) y ( x 1) 4 Metode Numerik Slide 26 Akar Ganda (iii) • Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak berubah tanda • f (x) dan f (x ) menuju nol disekitar akar Modifikasi metode Newton-Raphson: Bentuk alternatif: Hasil akhir: Metode Numerik f ( x) u ( x) f ( x) f ( xi ) f ( xi ) xi 1 xi [ f ( xi )]2 f ( xi ) f ( xi ) Slide 27 Motivasi Persamaan Linier • Persamaan linier simultan sering muncul dalam sains dan teknik (sekitar 75 %): – – – – – – – – Analisis struktur Analisis jaringan Interpolasi Riset Operasi Teknik Transportasi Manajemen Konstruksi Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial Metode Numerik Slide 28 Persamaan Linier Simultan a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a 22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 a n 2 x2 ann xn bn dalam notasi matriks a11 a12 a1n a a a 22 2n 21 an1 an 2 ann A Metode Numerik x1 b1 x b 2 2 xn bn x b Slide 29 Pandangan Secara Geometri • Secara geometri, solusi persamaan linier simultan merupakan potongan dari hyperplane • 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui – Hyperplane: garis – Potongan hyperplane: titik potong • 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui – Hyperplane: bidang – Potongan hyperplane: garis potong Metode Numerik Slide 30 Matriks Bujursangkar (i) a) Matriks Simetris aij a ji b) Matriks Diagonal aii 0, aij 0 untuk i j c) Matriks Identitas aii 1, aij 0 untuk i j 0 untuk i j d) Matriks segitiga atas aij 0 untuk i j 0 untuk i j e) Matriks segitiga bawah aij 0 untuk i j Metode Numerik Slide 31 Matriks Bujursangkar (ii) f) Matriks pita Lebar pita 3 tridiagonal matriks 0 untuk i j 1 aij selainnya 0 Lebar pita 5 tridiagonal matriks 0 untuk i j 2 aij selainnya 0 Metode Numerik Slide 32 Matriks Segitiga Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal menjadi persamaan linier berbentuk segitiga sehingga mudah diselesaikan u11x1 u12 x2 u1nxn c1 u 22 x2 u2nxn c2 unnxn cn Dalam notasi matriks Ux c Metode Numerik Slide 33 Syarat Regularitas • Sebuah matriks bujursangkar A yang mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak singular jika salah satu syarat di bawah ini terpenuhi: – A dapat diinversikan – Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan nol • det (A) 0 Metode Numerik Slide 34 Eliminasi Gauß Metode Numerik Slide 35 Substitusi Balik Metode Numerik Slide 36 Contoh Persamaan Linier Metode Numerik Slide 37 Interpolasi • Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya • Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi Polinom • Polinom berbentuk: Pn ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 Metode Numerik Slide 38 Metode Lagrange (i) Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x) diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan diperoleh: Pn ( x) a0 ( x x1 )( x x 2 )...( x x n ) a1 ( x x0 )( x x 2 )...( x x n ) ... a n ( x x0 )( x x1 )( x x 2 )...( x x n 1 ) Metode Numerik Slide 39 Metode Lagrange (ii) Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi Pn ( x 0 ) y 0 Pn ( x1 ) y1 ................... Pn ( x n ) y n Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka yi ai ( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )...( xi xi 1 )...( x0 x n ) Metode Numerik Slide 40 Metode Lagrange (iii) Dengan memakai fungsi Lagrange (x x j ) ( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )...( x xi 1 )...( x x n ) Li ( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )...( xi xi 1 )...( x0 x n ) j 0 ( xi x j ) n j i maka n Pn ( x) Li y i L0 y 0 L1 y1 Ln y n i 0 Metode Numerik Slide 41 Motivasi untuk interpolasi (i) Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang. Tingkat suku bunga Metode Numerik F/P (n = 20 tahun) 15 20 25 16,366 38,337 86,736 30 190,050 Slide 42 Motivasi Interpolasi (ii) Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut. Metode Numerik Slide 43 Motivasi untuk Interpolasi (iii) Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(ºC) 0 10 30 50 70 90 100 Metode Numerik (10-3 Ns/m2) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284 Slide 44 Motivasi untuk Interpolasi (iv) Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC. Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga kisaran kesalahan dari hasil yang didapat. Metode Numerik Slide 45 Pengintegralan Numerik b Integral: I f ( x) dx a Jika f ( x) 0 tafsiran geometrik: luas daerah y f(x) I 0 a b x Jika fungsi primitif F (x) yaitu f ( x) dF ( x) dx diketahui b I f ( x) dx F (b) F (a) a tidak diketahui Metode Numerik Pengintegralan Numerik Slide 46 Formula Integrasi Newton-Cotes Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n, maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes b b a a I ( f ) f ( x) dx f n ( x) dx I n ( f ) Dibagi atas i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke dalam perhitungan ii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk Metode Numerik Slide 47 Kaidah Segiempat Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi konstan sepotong-potong) I ( f ) I 0 ( f ) h[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( xn 1 )] I ( f ) I 0 ( f ) h[ f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )] Metode Numerik Slide 48 Kaidah Trapesium (i) Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong a) Satu pias f ( x0 ) f ( x1 ) I ( f ) I1 ( f ) ( x1 x0 ) 2 y=f(x) Kesalahan: Metode Numerik 1 Et f ( ) ( x1 x0 )3 12 Slide 49 Kaidah Trapesium (ii) b) Banyak pias n 1 ( xn x0 ) I ( f ) I1m ( f ) f ( x0 ) f ( xn ) 2 f ( xi ) 2n i 1 y=f(x) … b Kesalahan: Metode Numerik 1 3 Et f ( x x ) n 0 , 2 12n n dimana f ( ) i 1 Slide 50 Kaidah Simpson 1/3 (i) Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong a) Satu pias f ( x0 ) 4 f ( xi ) f ( x2 ) I ( f ) I 2 ( f ) ( xn x0 ) 6 Kesalahan: ( xn x0 )5 ( 4) Et f ( ) 2880 Metode Numerik Slide 51 Kaidah Simpson 1/3 (ii) b) Banyak Pias: n 1 n2 ( xn x0 ) f ( x0 ) f ( xn ) 4 f ( xi ) 2 f ( xi ) I ( f ) I m ( p2 ) 3n i 1, 3, 5 i 2, 4, 6 Kesalahan: A1 Metode Numerik A3 A5 An-1 ( xn x0 )5 ( 4) Et f 4 180n Slide 52
© Copyright 2024 Paperzz
