Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Definisi dari Integral dan Kinerja
Integrabilitas
Pertemuan 12
Sasaran
Pengkajian tentang Definisi dari Integral
dan Kriteria Integrabilitas.
Bina Nusantara
Misalkan a dan b adalah bilangan – bilangan real dimana a<b. Bila n adalah
bilangan alam dan
a = x0 < x1 < x2 <...< xn-1 < xn = b
Maka P={ x0 , x1 ,..., xn} disebut partisi dari interval [a, b]. Untuk setiap indek i
dengan 0  i  n, xi disebut titik partisi dari P, dan bila i  1 interval [xi-1 , xi]
disebut subinterval yang dibentuk dari partisi P.
Misalkan fungsi f: [a,b]  R terbatas. Untuk setiap indek i dengan 0  i 
n, definisikan
mi  inf  f(x):x dalam xi 1,xi 

M i  sup  f(x):x dalam xi 1,xi .
Bina Nusantara
Gambar
y
Y= f(x)
x– x0
Mi
mi
)
0
Bina Nusantara
a=x0
xi-1
xi
b=xn
x
Didefinisikan
n

 L( f , P)   mi ( xi  xi 1 )

i 1

n
U ( f , P)  M ( x  x ).

i
i
i 1

i 1
U(f,P) disebut jumlah Darboux atas untuk fungsi f: [a,b]  R dari partisi P,
sedangkan L(f,P) disebut jumlah Darboux bawah untuk fungsi f: [a,b]  R dari
partisi P.
Bina Nusantara
Gambar
y
L( f , P)
P  x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 .
Y= f(x)
0
Bina Nusantara
a=x0 x1 x2
x3
x4
b=x5
x
Gambar
y
U ( f , P)
P  x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 .
y= f(x)
0
Bina Nusantara
a=x0 x1
x2
x3
x4
b=x5
x
Definisi
Misalkan fungsi f: [a,b]  R terbatas. Maka fungsi f: [a,b]  R disebut
integrabel bila terdapat tepat satu bilangan A dengan sifat L(f,P)  A  U(f,P)
untuk setiap partisi P dari [a,b].
Bilangan A disebut integral dari fungsi f: [a,b]  R dan ditulis dengan notasi
b
f.
a
Bina Nusantara
Contoh
Diberikan fungsi f: [a,b]  R yang berharga konstan k. Maka fungsi f: [a,b] 
R integrabel dan
b
f
 k(b  a) .
a
Bina Nusantara
Contoh
Pandang fungsi Dirichlet f: [0,1]  R yang didefinisikan dengan
0 bila x dalam [ 0,1] terukur,

f(x)   bila x dalam [ 0,1] tak terukur.
1

Maka fungsi Dirichlet tersebut tidak integrabel.
Bina Nusantara
Lemma
Misalkan fungsi f: [a,b]  R adalah terbatas dan
bilangan – bilangan m dan M mempunyai sifat bahwa
m  f(x)  M untuk setiap x dalam [a,b].
Maka untuk partisi sebarang P dari [a,b],
M(b–a)  L(f,P)  U(f,P)  M(b–a).
Bina Nusantara
Lemma
(Lemma Penghalusan)
Misalkan fungsi f: [a,b]  R adalah terbatas.
Misalkan P adalah partisi dari [a,b] dan P* adalah
partisi penghalusan dari P, maka
L(f,P)  L(f,P*)  U(f,P*)  U(f,P).
Bina Nusantara
Lemma
Misalkan fungsi f: [a,b]  R adalah terbatas. Maka
untuk setiap dua partisi P1 dan P2 dari [a,b],
L(f,P1)  U(f,P2)
Bina Nusantara
Teorema
(Kriteria Integrabilitas)
Misalkan fungsi f: [a,b]  R adalah terbatas. Maka
fungsi f: [a,b]  R adalah integrabel bila dan hanya
bila untuk setiap bilangan positif  terdapat partisi P
dari [a,b] sedemikian sehingga
U(f,P) - L(f,P) <  .
Bina Nusantara
Contoh
Dengan Kriteria Integrabilitas, dapat dibuktikan bahwa fungsi f: [1,3]  R
adalah integrabel, di mana
 7 bila 1  x  2,

f(x)   10 bila x  2
 4 bila 2  x  3

Bina Nusantara
Contoh
Dengan Kriteria Integrabilitas, dapat juga dibuktikan bahwa fungsi f: [0,1]  R
adalah integrabel, di mana
1

1
bila
x

untuk bilangan alam n

f(x)  
.
n
0 bila x dalam 0,1 bukan dari bentuk diatas
Bina Nusantara

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download