download

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 23
Interval Infinit dan
Teorema Konvergensi
Sasaran
Pengkajian tentang
Interval Infinit dan
Teorema Konvergensi
Pokok Bahasan
Interval Infinit dan
Teorema Konvergensi
Definisi
(a) Suatu fungsi f :[a, )  R disebut integrabel versi Riemann
tergeneralisir bila terdapat bilangan real A sedemikian sehingga untuk setiap

ε > 0 terdapat gauge δε pada [a,∞], sedemikian sehingga bila P adalah
sembarang subpartisi berlabel δε -fine dari [a,∞), maka

S ( f ; P)  A   .
Dalam hal ini ditulis
f  R * [ a, )


a
dan
f  A.
(b) Suatu fungsi f :[a, )  R dikatakan integrabel versi Lebesgue
bila kedua fungsi f dan |f| berada dalam R * [ a, ). dalam hal ini ditulis
f  L[a, ).
Teorema (Hake)
Bila f :[a, )  R, maka f  R * [a, ) bila dan hanya bila
untuk setiap   (a, ) pembatasan dari f ke [a,  ]
berada dalam R * [a,  ] dan
lim
  
Dalam hal ini


a
f  A.


a
f  A  R.
Contoh
Bila f , g  R * [ a ,  ), maka


a
f  g  R * [ a, ) dan
( f  g )  .

a
f 


a
g.
Contoh
Misalkan f :[a, )  R dan c  ( a, ). Maka
f  R * [a,  )
bila dan hanya bila setiap
pembatasannya ke [ a , c ] dan [ c ,  ) adalah integrabel.
Dalam hal ini


a
f 

c
a
f 


c
f.
Teorema Fundamental
Misalkan E adalah himpunan bagian countable dari
interval [ a,  ) dan bahwa
f , F :[ a, )  R sedemikian sehingga:
F ( x ) eksis.
(a)
F kontinu pada [a, ) dan lim
x 
F ' ( x)  f ( x) untuk semua x  ( a ,  ), x  E .
(b)
Maka f  R * [ a, ) dan


a
f  limF(x)  F(a).
x
Teorema Konvergensi Uniform
Misalkan { f k } adalah barisan dalam R * [ a , b ] dan
misalkan { f k } konvergen uniform pada
Maka
f  R * [ a, b ]
dan berlaku

b
a
f  lim
k 

b
a
fk .
[a, b] ke f.

Download Report