Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 21
Definisi dan
Sifat-sifat Utama
Sasaran
Pengkajian tentang
Definisi dan Sifat-sifat Utama dari
Integral Riemann Tergeneralisir
Pokok Bahasan
Definisi dan Sifat-sifat Utama dari
Integral Riemann Tergeneralisir
Definisi
Suatu partisi dari interval I=[a,b] adalah koleksi P={I1, I2, …,
In}dari non-overlapping interval-interval tertutup yang gabungannya
adalah [a,b]. Interval-interval tersebut biasanya ditulis dengan
Ii=[xi-1,xi], di mana
a= xo < x1< …< xi-1 < xi < …< xn =b.
Titik-titik xi (i=0,1,2,…,n) disebut titik-titik partisi dari P. Bila suatu
titik ti telah dipilih dari setiap interval Ii, untuk i=1,2,…,n, maka titik
ti disebut label dan himpunan dari pasangan-pasangan berurutan
P ={(I1,t1).(I2,t2),…,(In,tn)}
disebut suatu partisi berlabel dari I.
Definisi
Bila P adalah partisi berlabel di atas, maka yang
dimaksud dengan jumlah Riemann dari fungsi f: [a,b]
R yang bersesuaian dengan P adalah bilangan
n
S ( f ; P) f (t i )( xi xi 1 )
i 1
Definisi
Suatu gauge pada I adalah fungsi positif tajam yang
didefinisikan pada I. Bila δ adalah gauge pada I, maka
partisi berlabel P disebut δ-fine bila
ti Ii ti (ti ),ti (ti ) untuk i=1, 2, …, n.
Definisi
Suatu fungsi f: [a,b] R disebut integrabel versi Riemann
tergeneralisir pada [a,b] bila terdapat bilangan real L sedemikian
sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat gauge δε pada [a,b]
sedemikian sehingga bila P adalah sebarang partisi δ-fine dari
[a,b] maka
S ( f ; P) L .
Koleksi dari semua fungsi-fungsi integrabel versi Riemann
tergeneralisir pada [a,b] ditulis dengan symbol R*[a,b].
Contoh
Fungsi Dirichlet adalah integrabel versi Riemann
tergeneralisir dengan nilai integral 0.
Teorema
Bila f R *[a, b] maka nilai dari integral Riemann
tergeneralisir dari f pada [a,b] adalah tunggal.
Teorema
Bila f R [ a , b ] dengan nilai integral L maka
f R * [a, b] dengan nilai integral yang sama.
Teorema
Integral Riemann tergeneralisir pada [a,b]
mempunyai sifat-sifat linier, monoton dan aditif.
© Copyright 2024 Paperzz
