Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 26
Ruang Metrik
Sasaran
Pengkajian Tentang
Ruang Metrik
Pokok Bahasan
RUANG METRIK
Definisi
Himpunan X disebut ruang metrik bila untuk setiap
2 titik p dan q dalam X dapat didefinisikan bilangan real
d(p,q), disebut jarak p dan q , sedemikian sehingga tiga
sifat ini dipenuhi :
Nonnegativitas:
d(p,q) > 0 bila p q ; d(p,p) = 0.
Simetri:
d(p,q) = d(q,p).
Ketaksamaan Segitiga:
d(p,q) d(p,w) + d(w,q) untuk semua w dalam X.
Fungsi d: X x X [0, ) disebut metrik pada X.
Teorema
Untuk setiap 2 bilangan real p dan q,
Definisikan;
d(p,q) = | p – q |.
Maka d adalah metrik pada R.
Teorema
Untuk setiap dua titik p dan q dalam ruang
Euclides Rn , definisikan
d p, q
n
p
i 1
i
qi
Maka d adalah metrik pada Rn.
2
.
Teorema
C([a,b],R) = himpunan semua fungsi kontinu f:[a,b] R,
dan untuk setiap dua fungsi f dan g dalam C ([a,b] , R)
definisikan d(f,g)=maks{ |f(x)–g(x)| :x dalam [a,b]}. Maka
d adalah metrik pada C([a,b],R).
Teorema
X = sebarang himpunan. Untuk setiap dua titik p dan q
dalam X, definisikan
0 bila p = q,
d(p,q) =
1 bila p q.
Maka d adalah metrik pada X dan disebut metrik diskrit.
Definisi
(i)
X = ruang metrik
Untuk suatu titik p dalam X dan suatu bilangan positif r , him-punan
Nr (p) = { q dalam X : d(q,p) < r}
Disebut persekitaran simetrik dari p dalam X dengan jejari r.
(ii)
A=himpunan bagian dari X.Titik p dalam A disebut titik interior dari A bila
terdapat persekitaran simetrik dari p dalam X yang termuat dalam
A.Himpunan dari semua titik–titik interior dari A disebut interior dari
A,ditulis int A.
(iii)
B = himpunan bagian dari X disebut terbuka dalam X bila setiap titik
dalam B adalah titik interior dari B.
Contoh
Pandang ruang metrik C([0,1],R). Diberikan fungsi f
dalam C([0,1],R) dan bilangan positif r , maka
persekitaran dari f dalam C([0,1],R) dengan jejari r
terdiri dari fungsi – fungsi kontinu g:[0,1] R
sedemikian sehingga
f(x) – r < g(x) < f(x)+r untuk semua x dalam [0,1].
Contoh
Pandang himpunan X dengan metrik diskrit.
Diberikan titik p dalam X dan bilangan positif
r. Bila r > 1 maka Nr (p)=X dan bila r≤1
maka Nr(p) = {p}.
Proposisi
Diberikan ruang metrik X. Maka setiap
persekitaran simetrik dalam X adalah terbuka
dalam X.
Definisi
Diberikan ruang metrik X. Barisan {pk} dalam X
disebut konvergen ke p dalam X bila untuk setiap
bilangan
positif
terdapat
bilangan
alam
N
sedemikian sehingga
d(pk , p) < untuk setiap k N.
Bila barisan { pk } konvergen ke p , p disebut limit
dari {pk}.
Contoh
Pandang himpunan X dengan metrik diskrit.
Barisan {pk} dalam X konvergen ke titik p
dalam X bila dan hanya bila terdapat indek N
sedemikian sehingga pk = p untuk semua k
N.
Definisi
Diberikan ruang metrik X. Himpunan bagian C dari X
disebut tertutup bila setiap barisan {pk} dalam C yang
konvergen ke titik p dalam X , limit p ini termuat
dalam C.
Teorema
(Teorema Karakterisasi Komplemen)
Diberikan ruang metrik X dan A adalah
himpunan bagian dari X. Maka A terbuka
dalam X bila dan hanya bila komplemennya
adalah tertutup dlm. X.
Teorema
Diberikan ruang metrik X.
(i)
Gabungan dari himpunan – himpunan bagian dari X yang
terbuka dalam X adalah terbuka dalam X.
(ii)
Irisan dari himpunan – himpunan bagian dari X yang
tertutup dalam X adalah tertutup dalam X.
Teorema
Diberikan ruang metrik X.
(i)
Irisan dari himpunan – himpunan bagian dari X yang terbuka dalam
X dan banyaknya berhingga adalah terbuka dalam X.
(ii)
Gabungan dari himpunan–him-punan bagian dari X yang tertutup
dalam X dan banyaknya berhingga adalah tertutup dlm. X.
© Copyright 2024 Paperzz
