download

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Teorema Nilai Antara Serta Image dan
Inverse
Pertemuan 05
Sasaran
Pengkajian mengenai Teorema Nilai antara serta
Image dan Inverse. Juga dikaji cotoh-contoh dan
latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Pokok Bahasan
Teorema Nilai antara
serta Image dan Inverse
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan fungsi f: [a,b]  R kontinu dan f(a)<0 dan
f(b)>0.
Maka terdapat titik x0 dalam interval terbuka (a,b) di
mana f(x0)=0.
Bina Nusantara
Teorema
(Teorema Harga Antara)
Diberikan fungsi f: [a,b]  R yang kontinu dan c
bilangan real di mana
f(a) < c < f(b) atau f(b) < c < f(a).
Maka terdapat x0 dalam interval terbuka (a,b) di
mana f(x0) = c.
Bina Nusantara
Gambar
y
f(a)<0<f(b)
y=f(x)
0
Bina Nusantara
a
b
x
Gambar
y
y=f(x)
y=c
f(a)>c>f(b)
0
Bina Nusantara
a
b
x
Contoh
Pandang persamaan
x5 + x + 1 = 0, x dalam R.
Ambil h: R  R, h(x)=x5 + x + 1. Karena h(-1)<0 dan
h(0)>0, dengan Teorema Nilai antara terdapat x0
dalam (-1,0) yang merupakan akar dari persamaan di
atas.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan I suatu interval dan fungsi f: I  R
kontinu. Maka f(I) juga suatu interval.
Bina Nusantara
Definisi
Fungsi f: D  R disebut satu-ke-satu (injektif) bila
untuk setiap y dalam image f(D), terdapat tepat satu
x dalam D sedemikian sehingga f(x)=y.
Bila fungsi f: D  R adalah satu-ke-satu, maka dapat
didefinisikan fungsi invers dari f, yaitu f-1(y)=x bila
f(x)=y.
Bina Nusantara
Definisi
Fungsi f: D  R disebut naik tajam bila f(v) > f(u)
untuk semua u dan v dalam D dengan v>u. Fungsi f:
D  R disebut turun tajam bila f(v) < f(u) untuk
semua u dan v dalam D dengan v > u.
Fungsi yang naik tajam atau turun tajam disebut
monoton tajam.
Bina Nusantara
Proposisi
Bila fungsi f: D  R adalah monoton tajam, maka f
satu-ke-satu dan
f-1: f(D)  R juga monoton tajam.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan I suatu interval dan fungsi f: I  R adalah
monoton tajam. Maka fungsi invers f-1: f(I)  R
kontinu.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan I suatu interval dan fungsi f I  R adalah
monoton tajam. Maka fungsi f: I  R kontinu bila
dan hanya bila image f(I) merupakan interval.
Bina Nusantara
Proposisi
Untuk setiap bilangan alam n, ambil f(x)=xn untuk
semua x  0.
Maka fungsi f: [0,)  R adalah naik tajam dan
kontinu, dan imagenya adalah
[ 0 ,  ). Fungsi inverse f-1: [0,)  R juga kontinu.
Bina Nusantara

Download Report