Topik 1
Limit Barisan Variabel Acak
1. Limit Distribusi
Pandang barisan variabel acak Y1, Y2, Y3, … dengan
fungsi distribusi (fungsi distribusi kumulatif)
Gn(y)=P(Yn ≤ y), n=1, 2, 3, ….
Definisi 1.1
Barisan variabel acak Y1, Y2, Y3, … dikatakan
konvergen dalam distribusi ke sebuah variabel acak Y
dengan fungsi distribusi G(y), dinotasikan dengan
d
Yn 

Y
, jika
lim n  Gn ( y)  G( y)
untuk semua nilai y dimana G(y) kontinu. Fungsi
G(y) dinamakan limit distribusi dari Yn.
Contoh 1.1
Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari
distribusi uniform, Xi~UNIF(0,1), dan Yn = Xn:n =
max{ X1, X2, …, Xn} merupakan order statistik
terbesar. Maka
y0
0,
 n
Gn ( y )   y , 0  y  1
1,
1 y

Karena yn  0 untuk 0 < y < 1, maka
lim n  Gn ( y)  G( y)
dimana
0, y  1
G( y)  
1, 1  y
Definisi 1.2
Sebuah variabel acak Y dikatakan mempunyai
distribusi yang degenerate pada titik y=c jika fungsi
distribusinya berbentuk
0, y  c
G( y)  
1, c  y
Berikut ini dua buah sifat limit yang berguna
untuk menemukan limit distribusi suatu barisan
variabel acak.
a.

lim n   1 

b. lim
c

n
nb
 e cb
 c d ( n) 


n   1 
n 
 n
nb
 ecb
jika
lim n  d (n)  0.
Contoh 1.2
Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari
distribusi Pareto, Xi~PAR(1,1), dan Yn=nX1:n dimana
X1:n =min{ X1, X2, …, Xn} merupakan order statistik
terkecil. Fungsi distribusi dari Xi adalah F(x)=1(1+x)-1 sehingga
y0
0,
Gn ( y)  
y n
1  (1  n ) , 0  y
Dengan menggunakan sifat limit di atas diperoleh
 0,
G( y)  
y
1  e ,
y0
0 y
Yang merupakan fungsi distribusi eksponensial
dengan parameter 1, EXP(1).
Tidak semua barisan variabel acak mempunyai
limit distribusi.
Contoh 1.3
Pada contoh 1.2 definisikan Yn=Xn:n . Maka
y0
 0,
Gn ( y )   y  n
( 1 y ) , 0  y
Di sini
lim n  Gn ( y)  G( y)  0
untuk semua y. Fungsi G(y)
bukan fungsi distribusi suatu variabel acak. Jadi
barisan Yn tidak mempunyai limit distribusi.
2. Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem /
CLT)
CLT dapat digunakan untuk menentukan limit
distribusi suatu barisan variabel acak.
Teorema 2.1 (CLT)
Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari
sebarang distribusi dengan mean =E(Xi) dan
variansi 2=Var(Xi) <  dan
n
Zn 
X
i 1
i
 n
n
Maka barisan Zn konvergen dalam distribusi ke
distribusi normal standar (baku), yakni
d
Zn 

Z ~ N (0,1)
untuk n  .
Perhatikan bahwa Zn dapat dituliskan sebagai
Zn 
Xn  
/ n
n
dimana
Xn 
X
i 1
n
i
. Sebagai catatan pula, di sini
n
Yn   X i
i 1
konvergen dalam distribusi ke distribusi normal
dengan mean n dan variansi n2.
Contoh 2.1
Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari
distribusi
uniform,
Xi~UNIF(0,1).
Karena
n
=E(Xi)=1/2 dan  =Var(Xi)=1/12 maka
2
dan
n
Yn   X i
masing-masing
Zn 
mempunyai
X
i 1
i
 n/2
n / 12
limit
i 1
distribusi Z~N(0,1) dan Y~N(n/2,2/12) untuk n 
.
3. Konvergen dalam Probabilitas
Definisi 3.1
Barisan variabel acak Y1, Y2, Y3, … dikatakan
konvergen dalam probabilitas (konvergen secara
stokastik) ke suatu konstanta c, dinotasikan dengan
P
Yn 
c
, jika untuk setiap  > 0
lim n  P(| Yn  c |  )  1
.
Untuk menunjukkan suatu barisan variabel acak
konvergen dalam probabilitas ke suatu konstanta c
sering dapat digunakan ketaksamaan berikut ini.
Lemma 3.2 (Ketaksamaan Chebychev)
Untuk sebarang variabel acak X dengan mean =E(X)
dan variansi 2=Var(X) <  berlaku
P(| X   |  )  1 
2
2
.
Dengan menggunakan lemma di atas dapat
dibuktikan teorema berikut ini.
Teorema 3.3
Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari
sebarang distribusi dengan mean =E(Xi) dan
variansi 2=Var(Xi) <  . Maka
P
Xn 


untuk n  .
4. Teorema-teorema Limit
Definisi 4.1
Barisan variabel acak Y1, Y2, Y3, … dikatakan
konvergen dalam probabilitas ke suatu variabel acak
Y, dinotasikan dengan
P
Yn 

Y
, jika untuk setiap  > 0
lim n  P(| Yn  Y |  )  1
.
Teorema 4.2
Untuk sebarang barisan variabel acak Yn, jika
P
Yn 

Y
maka
d
Yn 

Y
.
Teorema 4.3
Jika
P
Yn 
c
P
g (Yn ) 

g (Y )
.
dan g sebarang fungsi yang kontinu di c,
Teorema 4.4
Jika (Xn) dan (Yn) adalah barisan-barisan variabel
acak sedemikian hingga
a. aX
n
P
 bYn 
ac  bd
b. X Y
n n
c.
P


cd
n
dan Y
n
P


d
, maka
.
.
jika c  0.
P
Xn /c 

1
d. 1/ X
P
Xn 

c
jika P(Xn  0) = 1 untuk semua n
P

1/ c
dan c  0.
e.
jika P(Xn ≥ 0) = 1 untuk semua n.
P
Xn n 

c
Teorema 4.5 (Teorema Slutsky)
Jika (Xn) dan (Yn) adalah barisan-barisan variabel
acak sedemikian hingga
a.
d
X n  Yn 

c Y
b. X Y
n n
c.
d


cY
P
Xn 

c
dan Y
.
.
P
X n / Yn 
Y /c
jika c  0.
n
d


Y
, maka
Teorema 4.6
Jika
d
Yn 

Y
dan g sebarang fungsi kontinu yang tidak
tergantung pada n, maka g (Y )  g (Y ) .
d
n

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download