download

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Bilangan-Bilangan Real
Pertemuan 01
Sasaran
Pengkajian yang lebih mendalam tentang
bilangan-bilangan real.
Pokok Bahasan
Sifat-sifat aljabar dari R.
Nilai absolut dari R.
Bina Nusantara
Pada himpunan R dari semua bilangan–bilangan real berlaku
sifat–sifat dasar aljabar yang dikenal sebagai aksioma–
aksioma dari field (italyc), yaitu
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
Bina Nusantara
a+b=b+a untuk semua a,b  R (sifat komutatif
perjumlahan);
(a+b)+c=a+(b+c) untuk semua a,b,c  R (sifat asosiatif
perjumlahan);
terdapat suatu elemen 0  R sedemikian sehingga
0+a=a dan a+0=a untukk semua a  R (eksistensi dari
elemen 0);
untuk setiap a  R terdapat elemen –a  R sedemikian
sehingga a+(-a)=0 dan (-a)+a=0 (eksistensi dari
elemen-elemen negatif);
(M1) a  b=b  a untuk semua a,b  R (sifat komutatif
perkalian);
(M2) (a  b)  c=a  (b  c) untuk semua a, b,c  R (sifat
asosiatif
perkalian);
(M3) terdapat suatu elemen 1  R sedemikian sehingga 1 
a=a dan a  1=a untuk semua a  R (eksistensi dari
elemen unit);
(M4) untuk setiap a0 dalam R terdapat elemen 1/a dalam R
sedemikian sehingga a  (1/a)=1 dan (1/a)  a=1
(eksistensi dari
resiprokal–resiprokal);
(D)
a  (b+c)=(a  b) + (a  c) dan (b+c)  a=(b  a)+(c  a)
untuk setiap a,b,c  R (sifat
distributif dari
perkalian atas
perjumlahan).
Bina Nusantara
Teorema
a. Bila z dan a adalah elemen–elemen dalam R
dengan z+a=a maka z=0.
b. Bila u dan b0 adalah elemen–elemen dalam R
dengan u  b=b, maka u=1.
c. Bila a  R, maka a  0=0
Bina Nusantara
Teorema
a. Bila a0 dan b dalam R sedemikian sehingga a 
b=1 maka b=1/a.
b. Bila a  b=0, maka a=0 atau b=0.
Bina Nusantara
Teorema
Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga
r2=2.
Bina Nusantara
Definisi
Nilai absolut dari bilangan real a, ditulis |a|,
didefinisikan sebagai
a bila a  0

| a | 0 bila a  0
 a bila a  0

Bina Nusantara
Teorema
a. Untuk setiap a,b  R berlaku |ab|=|a||b|.
b. Untuk setiap a  R berlaku |a|2 =a2 .
c. Bila c  0 maka |a| < c bila dan hanya bila – c  a
 c.
d. -|a|  a  |a| untuk setiap a  R
Bina Nusantara
Teorema
Bila a,b  R maka |a+b|  |a|+|b|.
Bina Nusantara
Akibat
Bila a,b  R maka:
a. ||a| – |b||  |a – b|,
b. |a – b|  |a| + |b|.
Bina Nusantara
Akibat
Bila a1 , a2 ,… an  R
Maka |a1 + a2 +…+ an|  |a1| + |a2| +…+|an|.
Bina Nusantara
Contoh
1. {x  R:|2x + 3| < 7} = {x  R: 5 < x < 2}.
2. {x  R:|x – 1| < |x|} = {x  R: x > 1/2}.
Bina Nusantara
Definisi
Misalkan a  R dan  < 0. Yang dimaksud
persekitaran  dari a adalah himpunan V (a) = {x 
R:|x – a| < }.
Bina Nusantara

Download Report