Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 27/01/03 10:01
Table of Content
Table of Content ............................................................................................................................................................. 1
Course Content ............................................................................................................................................................... 2
RELASI ...................................................................................................................................................................... 2
5.1. Pengertian Relasi ............................................................................................................................................. 2
5.2. Sifat-Sifat Relasi dan Gambar Relasi. ............................................................................................................ 3
5.3. Invers dan Komposisi Relasi........................................................................................................................... 7
5.4. Poset (Partially Ordered Set).............................................................................................................................
5.5 Lattice..................................................................................................................................................................
Activity ............................................................................................................................................................................. 9
Quiz/Exam/Self-Assess .......................................................................................................................................... 9
Assignment ............................................................................................................................................................. 9
1
Part
Course Content
RELASI
POKOK BAHASAN:
METODE BELAJAR: Untuk memahami materi yang ada pada modul ini silahkan baca dan pahami
setiap konsep matematika yang tertulis, kemudian pahami dan dimengerti contoh-contoh yang
disediakan. Pada modul ini untuk setiap contoh ada penjelasan contoh, usahakan anda pahami contoh
(tanpa melihat penjelasan contoh) dan coba menjelaskan sendiri contoh-contoh tersebut, kemudian
cocokkan penjelasan anda dengan penjelasan contoh yang disediakan. Apabila anda sudah mengerti
cobalah membuat sendiri satu atau dua contoh. Bila anda sudah merasa menguasai modul ini coba
masuk ke assignment dan kuis yang disediakan. Selamat Belajar.
5.1. Pengertian Relasi
Hubungan antara anggota-anggota himpunan dapat merupakan suatu relasi, misalkan a A dan b B
bila a berelasi dengan b kita dapat menulis dengan (a,b). Secara formal relasi dari dua himpunan
adalah himpunan pasangan terurut dari anggota-anggota kedua himpunan himpunan tersebut. Bila
terdapat suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka himpunan A disebut daerah asal (domain)
relasi dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) relasi.
PERKALIAN DUA HIMPUNAN :
Bila A dan B adalah dua himpunan maka hasil kali Cartesius dari A dan B adalah himpunan pasangan
terurut (a,b) untuk setiap a A dan b B, dengan notasi himpunan kita dapat menuliskan AxB =
{(a,b) : a A dan b B}.
CONTOH :
1) Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4} maka AxB = {(a,b) : a A dan b B} = {(1,2),
(1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4)}.
2) Bila A = {x R : 1 < x < 2} dan B = {x R : 3 < x < 5} maka AxB = {(a,b) : a A dan
b B} = {(a,b) : 1<a<2 dan 3<b<5}.
PENJELASAN CONTOH:
1) Contoh 1 sudah jelas.
2) Pada contoh 2, himpunan A dan B merupakan uncountable set (himpunan tak
terhitung) sehingga hasil AxB tidak dapat dituliskan dengan cara tabulasi
(mendaftarkan seluruh anggotanya) tetapi bisa dituliskan dengan notasi pembentuk
himpunan, sehingga diperoleh: AxB = {(a,b) : a A dan b B} = {(a,b) : 1<a<2 dan
3<b<5}.
RELASI : Secara formal relasi dari himpunan A ke himpunan B didefinisikan sebagai himpunan bagian
dari AxB. Jadi setiap himpunan bagian dari AxB mewakili suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Sebaliknya suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat diwakili oleh suatu himpunan bagian
dari AxB.
CONTOH :
1) Misalkan himpunan A = {1, 3, 5, 7, 9. 11, … , 19}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, … , 20} dan f
suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap a A
dengan b B, dan b = 4a, maka f = {(1,4), (3,12), (5,20)}.
2) Bila Z = Himpunan bilangan bulat dan N = himpunan bilangan asli dan g suatu relasi
dari himpunan Z ke himpunan N yang memasangkan z Z, dengan n =
z N,
maka g = {(-1,1), (1,1), (-2,2), (2,2), (-3,3), (3,3), … }.
PENJELASAN CONTOH:
1) Karena f memasangkan setiap a A dan b
B, dengan b = 4a maka 1 A
dipasangkan dengan 4 = 4x1 B, 3 A dipasangkan dengan 12 = 4x3 B dan 5 A
dipasangkan dengan 20 =4x5 B. Untuk elemen-elemen A yang lain ternyata tidak
ada elemen B yang menjadi pasangannya sehingga kita peroleh f = {(1,4), (3,12),
(5,20)}.
2) Pada contoh dua z Z dipasangkan dengan n =
z N, sehingga -1 dipasangkan
dengan 1, 1 dipasangkan dengan 1, -2 dipasangkan dengan 2, 2 dipasangkan
dengan 2, dan seterusnya. Satu-satunya elemen Z yang tidak memiliki pasangan
adalah 0. Sehingga diperoleh himpunan pasangan terurut yang merupakan relasi g =
{(-1,1), (1,1), (-2,2), (2,2), (-3,3), (3,3), … }.
NOTASI RELASI : Selain dengan himpunan terurut relasi f dari himpunan A ke himpunan B dapat
dituliskan dengan notasi f : A B, dan bila a A berelasi dengan b B, ditulis b = f(a) atau a f b.
CONTOH : Misalkan R himpunan bilangan riil dan f relasi berikut: f : R R, dengan f(x) =
f = {(x,y) : x R dan y =
x , maka
x }.
PENJELASAN CONTOH : Karena setiap x R oleh relasi f dipasangkan dengan
{(x,f(x) : x R} = {(x,y) : x R dan y = f(x)} = {(x,y) : x R dan y =
x =f(x) maka f =
x }.
5.2. Sifat-Sifat Relasi dan Gambar Relasi.
Relasi seperti didefinisikan diatas bisa mempunyai beberapa sifat, yaitu sifat refleksif, simetri, dan
transitif. Sifat-sifat lain yaitu ireflektif (tidak reflektif), asimetri (tidak simetri) dan ekivalen (bila suatu
relasi memiliki tiga sifat sekaligus yaitu reflektif, simetri dan transitif).
RELASI REFLEKTIF : Suatu relasi f: A A dikatakan reflektif bila a f a (a berelasi dengan a) untuk
setiap a elemen A. Atau dengan kata lain (a,a) f untuk setiap a A
RELASI SIMETRI, ASIMETRI DAN ANTI SIMETRI: Suatu relasi f dikatakan simetri bila a f b maka b f a
(bila a berelasi dengan b maka b berelasi dengan a), relasi f asimetri jika a f b tetapi tidak b f a. Relasi
anti simetri bila a f b dan b f a maka a = b.
RELASI TRANSITIF : Suatu relasi f: A A dikatakan transitif bila a f b dan b f c maka a f c (bila a
berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c), untuk setiap a,b,c A . Atau
dengan kata lain untuk setiap a,b,c A jika (a,b) f dan (b,c) f, maka (a,c) f.
RELASI EKIVALEN : Suatu relasi yang bersifat reflektif, simetri dan transitif disebut relasi ekivalen.
CONTOH :
1) Bila f relasi dari N ke N (N = himpunan bilangan asli) dengan a f b jhj a
b, maka f
suatu relasi yang reflektif, anti simetri dan transitif.
2) Bila h suatu relasi dari Q ke Q (Q = himpunan bilangan rasional) dengan
dengan
a
berelasi
b
c
bila ad = bc, maka h suatu relasi yang reflektif, simetri dan transitif atau
d
dengan kata lain h relasi ekivalen.
PENJELASAN CONTOH :
1) Pada contoh 1, relasi f adalah relasi 'lebih dari atau sama dengan' pada himpunan
bilangan asli N, sehingga a f b jhj (jika dan hanya jika) a b. Karena a a untuk
setiap bilangan asli a maka r reflektif, Karena bila a b dan b c maka a c berarti
bila a f b dan b f c maka a f c. Ini menunjukkan f transitif. Dan jika berlaku a b dan b
a maka a = b.
2) Pada contoh 2, himpunan Q = {
a
a c
: a, b Z dan b 0}, dan ( ,
) h, jika dan
b
b d
hanya jika ad = bc.
Maka h reflektif :
(
a a
, ) h, sebab ab = ab.
b b
Maka h simetri :
Misalkan (
a c
,
) h, maka ad = bc
b d
Maka cb = da sehingga (
Misalkan (
c a
, ) h. Maka h transitif :
d b
a c
c e
,
) h dan ( , ) h maka ad = bc dan cf = de.
d f
b d
Maka af = (
bc de
a e
)(
) = be. Jadi ( , ) h.
b f
d
c
PENGGAMBARAN RELASI : Untuk mempermudah memahami proses relasi kita dapat
menggambarkan relasi dengan berbagai cara. Yaitu dengan Diagram Panah, Grafik Kartesius, matriks
relasi atau dengan graph relasi (lebih jauh graph dibahas pada modul 8).
DIAGRAM PANAH :
Dua himpunan domain dan kodomain digambarkan sebagai dua lingkaran yang berjejer, dan anggotaanggota kedua himpunan yang berelasi kita hubungkan dengan anak panah dari elemen domain ke
elemen kodomain.
a
Domain
f
(a,b) f
b
Kodomain
GRAFIK KARTESIUS :
Grafik kartesius ini biasanya hanya untuk menggambarkan relasi dengan domain dan kodomain yang
berupa himpunan bilangan-bilangan. Domain merupakan sumbu horisontal dan kodomain merupakan
sumbu vertikal, titik potong kedua sumbu merupakan bilangan nol. Relasi antar elemen himpunan (a,b)
dilambangkan dengan sebuah titik
Kodomain
(a,b) f
b
0
a
Domain
GRAPH RELASI : Graph relasi biasanya dipakai untuk menggambarkan relasi yang domain dan
kodomainnya merupakan himpunan yang sama. Setiap elemen domain/kodomain ditulis berupa titiktitik (vertices) dan hubungan antara elemen-elemen dilambangkan dengan garis berarah (edges),
kondisi seperti ini disebut directed graph (lihat modul 8).
CONTOH :
1) Gambarkan relasi berikut dengan diagram panah, f:A B, dengan himpunan A =
{1,2,3,4,5}, B = {2,4,6,8,10} dan f = {(1,10), (3,2), (4,2), (4,4), (5,8),}.
2) Gambar grafik kartesius dari relasi g pada R (relasi g : R R), dengan g = {(x,y) : y =
2x+6}.
3) Bila h= {(1,2), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,1)} relasi pada himpunan A = {1,2,3,4,5},
gambar graph relasi dari h.
PENJELASAN CONTOH:
1)
Gambar dari relasi f pada contoh 1 adalah:
A
B
2
4
6
8
1
0
2) Grafik dari relasi pada contoh 2 adalah:
6
0
3
3) Graph relasi dari h adalah :
1
2
3
4
MATRIKS RELASI DAN TABEL RELASI: Penggambaran relasi dengan matriks relasi dengan
menempatkan domain pada kolom dan kodomain pada baris. Bila relasi f pada {1,2,3} dengan f =
{(1,2), (1,3), (3,2)} maka matriks relasi f adalah
1
2
3
1
0
1
1
1
1
2
0
0
0
2
3
0
1
0
3
2
3
√ √
√
Karena (1,2) f maka baris 1 kolom 2 pada
matriks diberi nilai 1, sebaliknya karena
(2,3) f maka baris 2 kolom 3 pada matriks
diberi nilai 0. Bila nilai 1 diganti tanda √ dan
nilai 0 dikosongkan maka menjadi Tabel
Relasi.
5.3. Invers dan Komposisi Relasi
INVERS RELASI : Bila relasi f : A B suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers relasi
f adalah relasi f-1 : B A dari himpunan B ke himpunan A dengan f-1 = {(b,a) : (a,b) f}.
RELASI IDENTITAS : Suatu relasi yang memasangkan setiap elemen himpunan dengan dirinya
sendiri disebut relasi identitas, yaitu I = {(x,x) : x elemen domain I}.
KOMPOSISI RELASI : Bila relasi f : A B dan relasi g : B C maka komposisi relasi f dilanjutkan
relasi g adalah relasi g o f : A C, dengan g o f = {(a,g[f(a)]) : a A}.
CONTOH :
Misalkan A = {1,3, 5}, B = {2, 4, 6} dan C = {4, 8, 12}.
1) Bila f : A B, dengan f = {(1,4), (5,6), (5,4), (3,2)} maka invers relasi f adalah f-1 : B
A, dengan f-1 = {(4,1), (6,5), (4,5), (2,3)}.
2) Bila f seperti pada contoh 1 maka komposisi f o f-1 bukan relasi identitas.
3) Bila g : B C, dengan g = {(2,4), (2,8), (4,8), (6,12)} dan f seperti pada contoh 1
maka komposisi g o f adalah relasi dari A ke C dengan g o f = {(1,8), (3,4), (3,8),
(5,12), (5,8)}.
PENJELASAN CONTOH :
1) Contoh 1 sudah jelas.
2) Pada contoh 2 relasi f o f-1 suatu relasi dari B ke B, yaitu relasi {(2,2), (4,4), (4,6), (6,6),
(6,4)} yang bukan merupakan relasi identitas sebab 4 berelasi dengan 6.
3) Pasangan dari 1 oleh relasi g o f adalah g(f(1)) = g(4) = 8, jadi (1,8)
g o f. Berturut-
turut kita dapatkan :
g o f (3) = g(f(3)) = g(2) = 4 atau 8, jadi (3,8), (3,4) g o f
g o f (5) = g(f(5)) = g(6) atau g(4) = 12 atau 8, jadi (5,12), (5,8) g o f.
Jadi g o f = {(1,8), (3,4), (3,8), (5,12), (5,8)}.
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Assignment
Misalkan suatu relasi pada himpunan bilangan bulat Z.
Relasi mempunyai aturan a b jika dan hanya jika 5 membagi a-b, atau a-b = 5n untuk suatu
integer n.
Tentukan apakah 5 10, 11 51, 3 4, 31 38 ? Jelaskan jawaban anda ?
Tentukan {x R : x 0}, {x R : x 1}, {x R : x 2}, {x R : x 3}, {x R : x 4}, {x R :
x 5}.
Buktikan bahwa relasi ekivalen.
© Copyright 2024 Paperzz
