Pembangkitan Peubah
Acak Kontinu
Pertemuan 07
Metode Pembangkitan P.A.
Kontinu
• Semua teknik untuk membangkitkan p.a. diskret dapat digunakan
untuk p.a. kontinu
–Algoritma transformasi Invers
–Metode penolakan
Teknik Transformasi Invers
• Bilangan acak merupakan sebuah contoh nilai
dari p.a. kontinu U ~ Uniform (0, 1)
• Cara membangkitkan p.a. ini adalah spesial,
telah dibicarakan pada pertemuan 04, karena
p.a. ini merupakan bahan baku untuk
membangkitkan p.a. yang lain
• Fungsi kepekatan peluang (fkp) untuk p.a. U ini
adalah
fU(x) = 1, 0  x  1
Teknik Transformasi Invers
• Fungsi sebaran F untuk p.a. U, didefinisikan
sebagai
x
FU x   P{U  x)   f U (t )dt  x
0
• Carilah fungsi sebaran untuk X ~ U(a, b)
jawab: fkp untuk X adalah fX(x)=1/(b-a), axb
maka fungsi sebarannya adalah
x
FX x   P{ X  x)  
a
1
xa
f X (t )dt  
dt 
ba
ba
a
x
Teknik Transformasi Invers
• Untuk setiap fungsi sebaran kontinu F dan
U adalah bilangan acak, maka p.a. X yang
berasal dari fungsi sebaran F tersebut
didefinisikan oleh,
X = F-1(U)
• F-1 adalah invers dari fungsi F, sehingga
F(x) = u
Teknik Transformasi Invers
•
•
Fungsi invers untuk F(X) = (X-a)/(b-a)
adalah F-1(U) = (b-a)U + a
Jadi algoritma untuk membangkitkan
p.a. X ~ U(a, b)
1. Bangkitkan bilangan acak U
2. Set X = (b-a)U + a
•
Untuk fungsi sebaran lain berlaku cara
yang sama
Teknik Transformasi Invers
Teladan #2
Bangkitkan p.a. x dengan fungsi kepekatan
 le-lx ,
f(x) = 
 0 ,
Jawab:
x
F(x) =  f(t) dt

=
 1 - e-lx ,

 0 ,
x0
x<0
x0
x<0
Teknik Transformasi Invers
set F(x) = U
Kemudian penyelesaian untuk x adalah 
1 - e-lx = U
e-lx = 1 - U
-lx = ln(1 - U)
x = - {ln(1 - U)} / l
or
= - {ln(U)} / l
Teknik Transformasi Invers
U1 = 1-e-x1
X1 = -ln(1-U1)
Peragaan graphis untuk teknik transformasi invers
Teknik Transformasi Invers
•
Algoritma pembangkitan p.a. X ~ Exp(l)
1. Bangkitkan bilangan acak U
2. Set X = - {ln(U)}/ l
•
Soal
Buatlah algoritma untuk membangkitkan
p.a. X yang mempunyai fkp.,
f(x) = ex/(e-1), 0  x  1
Metode tolak-terima
• Bila telah ada suatu metode untuk membangkitkan
suatu peubah acak kontinu Y, dengan fkp. g(Y)
• Berdasarkan metode ini digunakan untuk
membangkitkan p.a. kontinu X, dengan fkp. f(X)
• Pertama dibangkitkan p.a. Y, dan menerima nilai
ini sebagai nilai p.a. X dengan peluang
proporsional f(Y)/g(Y)
Metode tolak-terima
• Dicari suatu konstanta c terkecil yang
memenuhi kondisi berikut:
f ( y)
 c, untuk semua y
g ( y)
 c = Max {f(y)/g(y)}
kemudian X disimulasikan sebagai berikut
mulai
Bangkitkan
Y~g
Bankitkan
U
Apakah
Uf(y)/cg(y)
tidak
ya
X=Y
Metode tolak-terima
• Teladan
Gunakan metode penolakan untuk
membangkitkan p.a. X dengan fkp.
f(x) = 20 x(1-x)3,
0<x<1
• p.a. Y dengan fkp. g(y) yang memiliki
domain yang sama dengan fungsi f dan
sudah kita kenal pembangkitannya
adalah p.a. sebaran seragam (uniform)
dengan interval (0, 1), tidak lain adalah
bilangan acak U.
Metode tolak-terima
• Sehingga p.a. Y dengan fkp.
g(y) = 1, 0<y<1
akan digunakan sebagai basis untuk
membangkitkan nilai X
f ( x)
 20 x(1  x) 3 , turunan dari fungsi ini adalah
g ( x)
d  f ( x) 

  20[(1  x) 3  3 x(1  x) 2 ],
dx  g ( x) 
dengan menset persamaan ini dengan 0, maka diperoleh
1
nilai maksimum fungsi tersebut tercapai pada x 
4
Jadi f(x)/g(x)  20(1/4)(3/4)3 = 135/64  c
f(x)/{cg(x)} = {256/27}{x(1-x)3}
Metode tolak-terima
•
Sehingga algoritmanya adalah
1. Bangkitkan bilangan acak U1 dan U2.
2. Jika U2  (256/27) U1(1-U1)3, set X = U1 dan
stop
3. Kembali ke langkah 1
Note: bilangan acak U1 sebagai p.a. Y yang
menyebar uniform(0,1)

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download