Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 5
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
TAK HOMOGEN
(variasi parameter & koefisienkoefisien yang tak diketahui)
1
Diberikan
p.d.
linier
dengan
koeffisien
konstan tak homogen
F ( D) y  ( D n  P1 D n 1  P2 D n 2  ....  Pn 1 D  Pn ) y  Q( x).
(1)
Akan dicari p.k. dari p.d. tersebut dengan
metode variasi parameter & koeffisien yang
tak diketahui.
2
A.
Metode variasi parameter
Misalkan fungsi komplementer dari p.d. (1)
di atas adalah
y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x)  ....  Cn yn ( x).
Dibentuk
u  L1 ( x) y1 ( x)  L2 ( x) y2 ( x)  ....  Ln ( x) yn ( x)
3
sebagai penyelesaian khusus dari p.d. (1).
Fungsi-fungsi L1 ( x), L2 ( x),...., Ln ( x)
dicari dari
sistim persamaan:
L'1 y1  L'2 y2  ....  L'n yn  0
L'1 y '1  L'2 y '2 ....  L'n yn  0
....
L'1 y1
( n 1)
 L '2 y 2
( n 1)
 ....  L'n yn
( n 1)
 Q.
4
Contoh
2
x
(
D

2
D
)
y

D
(
D

2
)
y

e
sin x.
Cari p.u. dari p.d.
2x
y

C

C
e
.
Fungsi komplementernya adalah
1
2
Misalkan p.k. adalah u  L1 ( x)  L2 ( x)e2 x . L1 & L2
dicari dari
L'1  L'2 e 2 x  0 dan
L'2 (e 2 x )  e x sin x atau 2 L'2 e 2 x  e x sin x.
5
Jadi
1 x
1 x
L'2  e sin x, L2   e sin x dx, dan
2
2
1
1
1 x
x
x
sin
xde


sin
xe

e cos xdx


2
2
2
1
1
x
  sin xe   cos de  x
2
2
1
1
1
  sin xe x  cos xe x   e  x sin xdx.
2
2
2
L2  
1
1
x
x
L


sin
xe

cos
xe
.
Jadi 2
4
4
6
1
2x
x
L
'


L
'
e
didapat
L
'


sin
xe
.
2
1
Dari 1
2
1
1
x
sin
xe
dx


sin xdex


2
2
1
1
1
1
  sin xex   e x cos xdx   sin xex   cos xdex
2
2
2
2
1
1
1
  sin xex  cos xex   sin xex dx.
2
2
2
1
1
Didapat L1   sin xex  cos xex . Jadi
4
4
1
1
u  L1 y1  L2 y2  ( sin x  cos x)e x  (sin x  cos x)e x
4
4
1
  sin xex .
2
Sehingga L1  
P.u. dari p.d. mula-mula:
1
y  C1  C2 e 2 x  sin xex .
2
B. Metode koeffisien yang tak diketahui
7
TERIMA KASIH
8
Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 6
PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINIER TAK HOMOGEN
(metode singkat)
9
Diberikan p.d. linier dengan koeffisien konstan tak
homogen
F ( D) y  ( D n  P1 D n 2  ....  Pn 1 D  Pn ) y  Q( x).
(1)
Akan dicari p.k. dari p.d. tersebut dengan metode
singkat.
10
A. Q(x) dari bentuk
Bila
y
Q( x)  e ax ,
eax
a adalah konstan, maka p.k. berbentuk
1
1 ax
e ax 
e , F (a)  0.
F ( D)
F (a)
Contoh 1
3
2
4x
Carilah p.k. dari p.d. ( D  2D  5D  6) y  e .
Solusi
P.k. adalah:
1
1 4x
e4 x
1 4x
4x
y
e 
e  3

e .
F ( D)
F (4)
4  2  42  5  4  6 18
11
B.
dari bentuk
Q(x)
Bila
sin(ax  b) atau cos(ax  b)
Q( x)  sin( ax  b), a & b
konstan,
maka
p.k.
berbentuk
y
1
1
2
sin(
ax

b
)

sin(
ax

b
),
F
(

a
)  0.
2
2
F (D )
F (a )
Bila Q( x)  cos(ax  b), a & b
konstan, maka p.k.
berbentuk
y
1
1
2
cos(
ax

b
)

cos(
ax

b
),
F
(

a
)  0.
2
2
F (D )
F (a )
12
Contoh 1
Carilah p.k. dari p.d. ( D 2  4) y  sin 3x.
Solusi P.k. adalah
y
1
1
1
sin
3
x

sin
3
x


sin 3x.
2
2
D 4
3  4
5
Contoh 2
Carilah p.k. dari p.d. ( D 2  5) y  cos 2 x.
Solusi P.k. adalah
y
1
1
cos
2
x

cos 2 x  cos 2 x.
2
2
D 5
2 5
13
C.
Q(x)
dari bentuk
xm
Bila Q( x)  x m , m bilangan bulat positif, maka p.k.
berbentuk
1
y
x m  (a0  a1 D  a2 D 2  ....  am D m ) x m , a0  0,
F ( D)
yang dapat diperoleh dengan menderetkan
1
and D n x m  0 untuk n  m /
F ( D)
14
Contoh 1
Carilah p.k. dari p.d. (2D 2  2D  3) y  x 2  2 x  1.
Solusi P.k. adalah


1
2 2 2
1 2
2
(
x

2
x

1
)


D

D  x  2x 1

2
2D  2D  3
27
3 9

1
2
4 1 2 2
25
 ( x 2  2 x  1)  (2 x  2) 
 x  x .
3
9
27 3
9
27
y
Daam hal ini:
1
1 2
2 2
y
  D
D  ....,
2
2D  2D  3 3 9
27
yang
dapat diperoleh dengan pembagian langsung.
15
D.
Q(x)
dari bentuk
Bila
y
Q( x)  e axV ( x), a
eaxV(x)
konstan, maka p.k. berbentuk
1
1
e axV ( x)  e ax
V ( x).
F ( D)
F ( D  a)
16
TERIMA KASIH
17

download

download

download

download

download

download

download soal

download

download

download