IDEAL, RING KUOSIEN
INTEGRAL DOMAIN & SUB
INTEGRAL DOMAIN
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat memberikan
contoh ideal, ring kuosien, integral domain
dan sub integral domain
Cakupan
– Ideal
– Ring Kuosien
– Integral Domain
– Sub Integral Domain
Beberapa Definisi
1. Kernel dari homomorfisma f:RR’
adalah himpunan elemen-elemen R
yang dipetakan ke 0’R’.
2. (R,+,) ring, (I,+) subgrup dari (R,+).
I=ideal dari R jika dan hanya jika arI
dan raI, aI dan rR.
3. Ideal tak sejati adalah R dan {0};
lainnya adalah ideal sejati. Ring yang
tdk mempunyai ideal sejati disebut
ring sederhana.
Contoh:
a. (Z,+,) adalah ring. P={kx, xz, k=bil.bulat}
adalah ideal.
b. R=himp matriks 2x2 bilangan riil dengan
operasi penjumlahan matriks dan perkalian
matriks merupakan ring. Himpunan I
dengan
operasi-operasi
yang
sama
merupakan ideal kanan. Sedangkan J
dengan
operasi-operasi
yang
sama
merupakan ideal kiri.
 x y 

 z 0 

, x, y  R dan J  
, x, y  R
I  
 0 0 

 u 0 

c.
4.
R1 dan R2 ring-ring (sedikitnya satu tidak
komutatif). Bentuk R={(x,y), xR1, yR2} dengan
operasi + dan  sbb: (x,y) + (z,u) = (x+z, y+u) dan
(x,y)(z,u) = (xz, yu}. S={(x,0), xR1}. S adalah ideal
kiri dan kanan sekaligus.
IDEAL UTAMA
Jika R ring komutatif dengan unkes dan aR,
maka ideal {ax, xR} disebut ideal utama yang
dibentuk oleh a; notasi (a).
Ring komutatif dengan unkes yang setiap idealnya
adalah ideal utama, disebut ring ideal utama.
Contoh:
(Z,+,) adalah ring komutatif. I=himp bil bulat
kelipatan 12, yakni (12), merupakan ideal utama. I
dapat juga dibentuk oleh (12). Elemen 12 dan 12
disebut generator. I = (6)(4)(3)(2)Z. Jadi I
adalah irisan dari semua ideal utama dari Z yang
memuat 12.
5.
Ideal Prima
(R,+,)=ring komutatif. Ideal P dari R dikatakan
ideal prima dari R jika (ab)P mengakibatkan aP
atau bP, a,bR.
6. Ideal Maksimal
I=ideal maksimal dari ring R, jika dan hanya jika I
tidak termuat dalam ideal lain, kecuali I sendiri dan
R.
Contoh:
a. (Z,+,.) merupakan ring komutatif. K=(11) adalah
ideal prima dalam Z. Juga P=(5).
b. (Z,+,.) merupakan ring komutatif, T=(6) bukan ideal
prima dalam Z.
c. (Z,+,.) merupakan ring komutatif. K=(11) adalah
ideal maksimal, tetapi T=(6) bukan ideal maksimal.
Penting:
(Z,+,.) ring bilangan bulat. I adalah ideal maksimal
dalam Z jika dan hanya jika ideal I dihasilkan oleh
suatu bilangan prima.
7. Ring Kuosien (Ring Faktor/Ring Kelas Residu)
S adalah ideal dalam ring R. R/S = {a+S, aR} juga
merupakan ring dengan operasi-operasi berikut.
(a+S)+(b+S) = (a+b)+S, a,bR
(a+S)(b+S) = (ab)+S, a,bR
R/S disebut ring kuosien=ring faktor=ring kelas
residu.
Contoh:
a. (Z,+,.) ring komutatif. S=(5) adalah ideal. Ring
faktor Z/S={S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S} adalah ring
komutatif juga. Adakah unkes?
b. (Z,+,.) adalah RTPN. S=(6). Z/S = {S, 1+S, 2+S, 3+S,
4+S, 5+S}. Z/S adalah RDPN. T=(3) adalah RTPN.
INTEGRAL DOMAIN
(DAERAH INTEGRAL)
Adalah suatu ring komutatif dengan
unkes, tanpa pembagi nol.
SIFAT:
1. Dalam
integral
domain
berlaku
pencoretan utk penjumlahan.
2. Karakteristik integral domain adalah
nol= atau bilangan prima.
Contoh
Contoh: Manakah yang integral domain? Bila
integral domain, carilah karakteristiknya.
1. (Z,+,), (Q,+,), (R,+,), (C,+,)
2. D={a+b17, a,b bil bulat} dengan + dan 
3. M={0,1,2,3,4} dengan penjumlahan modulo
5 dan perkalian modulo 5
4. M={0,1,2,3,4,5}
dengan
penjumlahan
modulo 6 dan perkalian modulo 6.
5. M={1,2,3,4} dengan penjumlahan modulo 5
dan perkalian modulo 5.
Sub Integral Domain
Adalah subset dari integral domain,
yang dengan operasi-operasi yang
sama merupakan integral domain
juga.
Contoh:
a. (Z,+,) merupakan integral domain,
S=(n), n-bil bulat, merupakan sub-nya.
b. (R,+,)
merupakan
sub-integral
domain dari (C,+,).
Penutup
– Ideal: subgrup dari (R,+) dengan sifat tertentu.
– Ring Kuosien: produk elemen grup dengan
setiap elemen ideal
– Integral Domain: ring komutatif, dengan
unkes, tanpa pembagi nol.
– Sub Integral Domain: bagian dari integral
domain yang juga merupakan integral
domain.

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download