RING POLINOMIAL TUJUAN • Mahasiswa akan dapat mendemonstrasikan operasi polinomial dan menghitung akar-akar polinomial Cakupan – Ring polinomial – Teorema Sisa – Teorema Faktor – FPB – Irreducible – Teorema faktorisasi unik RING POLINOMIAL • R=ring komutatif. Bentuk a0+a1x+a2x2+ …. + anxn, ai R, disebut polinomial dalam x; n 0. • Derajat polinomial = n. Jika an 0, maka leading coefficient = an. Polinomial disebut monik jika an = unkes. • Dua polinomial sama jika koef x yang berpangkat sama adalah sama. Beberapa contoh • Ring Z(x), p(x) = 2x + 5x2 dan q(x)=1–3x2– x3. Carilah p(x)+q(x) dan p(x).q(x). • Ring Z4(x), p(x) = 2x + 2, q(x) = 3x–x2. Carilah p(x)+q(x) dan p(x).q(x). TEOREMA • R=ring komutatif, maka R(x) ring komutatif terhadap operasi + dan . • Untuk f(x) dan g(x) ada q(x) dan r(x) sehingga f(x) = g(x).q(x) + r(x). Yang dibagi = pembagi hasil bagi + sisa; deg(r(x)) < deg (g(x)). Beberapa Contoh • • • • Z(x), f(x) = 6x4+3x2–x+1 dan g(x) = 3x–2. Z5(x), f(x)=2x4+x2–x+1 dan g(x)=2x–1. R(x), f(x)=x3–2x2+2, carilah f(3) Z5(x), f(x) = 3+x–3x4, carilah f(2) TEOREMA SISA • f(x) dibagi oleh (x–c) akan bersisa f(c) • f(c)=0 jika dan hanya jika f(x) habis dibagi oleh (x–c); atau (x–c) adalah faktor dari f(x). Beberapa Contoh Tunjukkan kebenaran Teorema Sisa • Dalam R(x), f(x)=x3–2x2+2 dibagi dengan (x–3) • Dalam R(x), tunjukkan (x–1) adalah faktor dari f(x)=x3–3x + 2. Catatan: Algoritma Euclid dapat dipakai untuk mencari FPB dari dua polinomial. Contoh: carilah FPB dari a(x)=x4–x3–x2+1 dan b(x)=x3–1. Nyakan FPB sbg kbl a(x) dan b(x). • Jika suatu polinomial (deg1) tidak mempunyai pembagi lain, maka polinomial itu disebut prime atau irreducible. • Contoh: Apakah x2–4 irreducible atas R(x)? Bagaimana x2–2? Penutup – Ring polinomial: himpunan polinomial membentuk ring. – Teorema Sisa: yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa – Teorema Faktor: x=c adalah faktor jika f(c)=0 – FPB: faktor persekutuan terbesar dari dua polinomial – Irreducible: polinomial yang tak dapat difaktorkan lagi – Teorema faktorisasi unik: faktorisasi unik, kecuali urutannya.
© Copyright 2024 Paperzz
