Matakuliah
Tahun
: K0034 - Aljabar Linear Terapan
: 2007
Jenis dan Operasi Matriks
Pertemuan 01
1
Jenis dan Operasi Matriks
Pengertian
Matriks merupakan
Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk
menyelesaikan model-model linier.
Definisi Matriks adalah
Susunan empat persegi panjang atau bujur
sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam
baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung,
yaitu ( ) atau [ ]
2
Bentuk Umum:
a11
a
21
..
a m1
a12 a13 .. a1n
a22 a23 .. a2n
.. .. .. ..
am 2 am 3 .. amn
Elemen matriks : aij
Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}
Ukuran matriks :
• Jumlah baris : m
• Jumlah kolom : n
• Ordo atau ukuran matriks : m x n
• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann
3
Contoh:
Matriks A3 x 4
2 3 5 6
0 1 4 7
3 1 2 6
Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)
Kesamaan matriks
Matriks A = (aij)
B = (bij)
A = B jika aij = bij untuk semua
i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n
4
Contoh:
1 2
1 2
1 2 0
A
B
C
3
4
3
4
3
4
1
A=B
A C (ukurannya tidak sama)
Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila
• Ordo-ordonya sama
• Elemen-elemen yang seletak sama
5
Bentuk Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom
a11
a
21
A
..
an1
a12 .. a1n
a22 .. a2n
.. .. ..
an 2 .. ann
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n
Diagonal utama A : a11, a22, ….., ann
5 3 2
4 3
1 4 6
A2 x 2
A
3x3
2 1
7 2 5
Contoh :
6
2. Matriks Diagonal :
Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen
pada
diagonal
utamanya
tidak
semua
elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang
lain adalah nol
Contoh :
5 0 0 2 0 0
0 2 0, 0 0 0
0 0 3 0 0 0
7
3.Matriks Satuan (Matriks Identitas) :
Matriks bujur sangkar di mana elemenelemen pada diagonal utamanya masingmasing adalah satu, sedangkan elemenelemen yang lain adalah nol.
Contoh:
1 0 0
1 0
0 1 0
I2
,
I
3
0 1
0 0 1
8
4. Matriks Singular
Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai
invers (berarti : nilai determinannya = 0)
5. Matriks Non Singular
Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers
(berarti: nilai determinannya 0)
6. Matriks Transpose
Bila matriks A berordo mxn, maka At
(Transpose Derit) berordo nxm dengan
elemen baris ke I dan kolom ke j dari A1 adalah
elemen baris ke j dan kolom ke I dari A
9
7. Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya
berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).
Contoh :
2
A
4
3
8
5 1
A3 x 3 : 1 7
6 4
2
5
3
1
,
maka
A
7
5
6
4
3
4
8
7
10
8.Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 = A
atau An = A untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,….
Contoh:
2 2
A 1 3
1 2
4
4
3
2 2
A2 A. A 1 3
1 2
4 2 2
4 1 3
3 1 2
4 2 2
4 1 3
3 1 2
4
4 A
3
11
Program MAPLEnya:
# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 = A
> Restart:
> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])
2 2 4
A : 1 3 4
1 2 3
> C: = evalm (A&*A);
2 2 4
C : 1 3 4
1 2 3
12
9. Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau
An = 0 untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,…..
Contoh:
Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3
1 1 3
A 5 2 6
2 1 3
1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0
A3 A A A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0 0
2 1 3 2 1 3 2 1 3 0 0 0
13
Program MAPLEnya:
# Matriks Nilpotent, sehingga
> Restart
> A:=matriks([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);
1
A : 5
2
1
2
1
3
6
3
> evalm(A&*A*A);
0
0
0
A : 0
0
0
0
0
0
14
10. Matriks Nol: adalah matriks di mana semua
unsur nilainya nol
11. Matriks Identitas:
1
I2x2
0
1
I 3 x 3 0
0
0
1
0 0
1 0
0 1
15
Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol
Jika A = matriks berukuran n x n
I.A=A.I=A
A+0=0+A=A
A.0=0.A=0
12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)
Matriks segitiga atas:
Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di
bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
A3 x 3
a11 a12 a13
0 a 22 a 23
0
0 a 33
16
Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang
terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
B3 x 3
b11 0 0
= b 21 b 22 0
b 31 b 32 b 33
17
Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + bij)
A – B = (aij – bij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua
matriks adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh:
5 6 7
6 7 4
Diketahui A 2x3
dan B 2x3
8
3
4
1
9
2
Maka C2x3 A 2x3 B 2x3
C2x3
5 6 7 6 7 4 11 13 11
8
3
4
1
9
2
9
12
6
18
Program MAPLEnya:
# Penjumlahan Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);
5
A :
8
6 7
3
4
> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);
5
8
6 7
3
4
19
> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]);
6
B :
1
7 4
9
2
> C:=evalm(A+B);
11
C :
9
13 11
12
6
20
Soal Latihan
Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!
21
22
23
24
Syarat:
Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada
matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama
dengan banyaknya baris pada matriks kedua
25
C2x 2
22 20
58
23
Program MAPLEnya:
# Perkalian Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]);
1 3 2
A :
4
5
0
> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]);
7
B : 1
6
2
4
3
26
27
28
29
30
© Copyright 2024 Paperzz
