download

Pertemuan 25
Matriks
Tujuan
Mhs dapat mendemonstrasikan operasi
matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta
menentukan matriks inverse
Pengertian Matriks
Adalah
kumpulan
bilangan
yang
disajikan secara teratur dalam baris dan
kolomyang membentuk persegi panjang
serta termuat di antara sepasang tanda
kurung
Notasi Matriks
A = --
a11 a12 ….
a1n
a21 a22 ….
a2n
.
.
am1 am2 ….
amn
 Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah
mxn
dimana :
m = banyak baris
n = banyak kolom
 Elemen matrik aij artinya elemen baris ke-I
dan kolom ke-j pada matrik A
Bentuk Matriks
 Matriks bujur sangkar bila ordo A
adalah m x n dimana m = n
 Matriks bukan bujur sangkar bila ordo
A adalah m x n dimana m  n
Jenis-jenis matriks
Matriks Nol adalah matriks yang elemenelemennya nol
 Matriks diagonal adalah matriks yang
hanya elemen-elemen diagonal tidak sama
dengan nol
 Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari
matriks diagonal dimana elemen-elemen
diagonalnya sama dengan nol
 Matriks Transpose
Bila A (m x n) maka transpose dari A
dinyatakan dengan AT adalah matriks
berordo (n x m).
Dengan perkataan lain terjadi perubahan
dari baris menjadi kolom , sedangkan
kolom menjadi baris
Operasi matriks
 Pengurangan dan penjumlahan
A(m x n )  B( m x n ) = C( m x n )
Syarat dua buah matriks atau lebih agar
dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah
ordo masing-masing matriks harus sama
 Perkalian Skalar
kA =
ka11 ka12 ….
ka1n
ka21 ka22 ….
ka2n
.
.
kam1 kam2 ….
.
.
kamn
 Perkalian matriks dengan matriks
Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat
dikalikan apabila memenuhi syarat:
• Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik
A sama dengan jumlah baris matriks B
• Ordo matriks hasil perkalian A dan B
adalah ( m x k )
Sifat-sifat Matriks




AT + BT = ( A + B )T
( A B )T = BT AT
( k A )T = k AT , k = skalar
(AT )T = A
Determinan Matriks
 Jika suatu matriks adalah matriks
bujur sangkar maka mempunyai nilai
determinannya
 Determinan matriks A di dinotasikan
dengan | A |
 Cara
menghitung
determinan
tergantung ordo matriks tersebut
Determinan matriks ordo 2 x 2
a11
a12
a11
a12
A=
det.A = |A| = a11a22 - a21a12
Determinan matriks ordo 3 x 3
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Determinan matrik A ( 3 x 3
menggunakan metode SARRUS:
)
dihitung
| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32
- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12
Beberapa sifat-sifat
Determinan
Bila matrik A dan B adalah bujur sangkar:
 Det ( A ± B ) = det A ± det B
 Det ( AB ) = det A . det B
 Det ( AT )
= det A
 Determinan A sama dengan nol jika unsurunsur pada salah satu baris atau kolom
semuanya nol
Matriks Invers
Sebuah matriks A dikatakan mempunyai
invers apabila matriks A adalah matriks Non
singular, yaitu matriks bujur sangkar yang
determinannya tidak sama dengan nol, ditulis
dengan A- 1 sehingga berlaku:
A-1 A = A A-1 = I
dimana I adalah matriks identitas
Menentukan matriks invers
 Menggunakan metode Adjoin:
A- 1 =
Adjoin A
Det. A
Det. A  0
Adjoin A adalah transpose
kofaktor-kofaktor dari matrik A
Adjoin A =
A11
A12
.
.
A1n
...
...
dari
An1
An2
.
.
Ann
matrik
Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :
Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |
Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh
dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan
kolom ke – j pada A
Sifat-sifat matriks invers
 (AB ) –1 = B –1A–1
 ( k A ) – 1 = 1/k A – 1
 (A – 1) – 1 = A
Contoh:
Tentukan Adjoint matriks A dan invers matriks
berikut ini:
A=
1
4
7
2
5
8
3
6
9

Download Report