Pertemuan 5
Ukuran Pemusatan
J0682
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa
diharapkan mampu :
▓ Mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan
▓ Menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan
▓ Menghitung beberapa ukuran pemusatan
▓ Memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran
pemusatan
Materi
۩ Rata-rata hitung
۩ Median
۩ Modus
۩ Rata-rata ukur
۩ Rata-rata harmonis
۩ Kuartil, desil, persentil
Buku Acuan
1S
2S
.
tatistik (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.5 edisi
keenam, halaman 61 – 79
.
tatistika, Teori dan Aplikasi (2001), kar. Wayan
Koster, edisi pertama, halaman 93 - 120
UKURAN NILAI PUSAT
Merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan
Artinya :
“ jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan
besarnya
dan selanjutnya nilai rata rata tersebut dimasukan kedalam rata –
ratanya”
Maka nilai rata – rata tersebut cenderung terletak diurutan paling
tengah /Pusat
Ukuran nilai pusat :

•

•

•
Rata – rata hitung (mean)
Rata ukur (geometris)
Rata harmonis
Modus
Median (Md)
Rata kuadratik (tidak diajarkan)
UKURAN NILAI PUSAT
04 - 01
1.
Mean
Rata hitung
adalah nilai rata – rata dari data – data yang ada (yang tersedia)
Mean dari populasi diberi simbol μ miu
Mean dari sampel diberi simbol
x bar

x

x= jumlah semua nilai data
jumlah data
Data tunggal
A. Hitung rata – rata hitung dari data
7,6,3,4,8,8
jawab : x = 7,6,3,4,8,8
xn = 6

= 7+6+3+4+8+8=
36
Rumus :
x  x  x
x

1
n
2
x 
...  xn
n
2.
36
 6
6
B. Sebuah perusahaan memiliki 40 pekerja dari keseluruhan pekerja,
perusahaan membagi gaji karyawannya / bulan
5 orang bergaji Rp. 350.000
10 orang bergaji Rp. 250.000
25 orang bergaji Rp. 125.000
Frekuensi
Ditanya : berapa rata – rata rupiah yang dikeluarkan oleh pemilik
perusahaan / bulan pada setiap karyawan
Jawab : menggunakan rumus yang ada frekuensinya
Rumus :
 fm  Rp.7.375.000  Rp.184.375
40
f
Tabel berat badan 100 mahasiswa demonstrasi
BERAT BADAN
JUMLAH
MAHASISWA
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
10
25
32
15
18
Jawab :
Berat badan
(KG)
60 – 62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 – 74
Titik tengah
(X)
61
64
67
70
73
Frekuensi
(F)
10
25
32
15
18
100
fx
610
1600
2144
1050
1314
6718
Rumus :
fx 6718

x

 67,18
 f 100

2. RATA UKUR geometris
Ru = G = Mg = rata rata ukur
n = banyak data
Ru  n x1 * x2 * x3...xn
Data tunggal
Rumus :
Log Ru =
1
n
(log x1 + log x2 ..)
Contoh
Tentukan rata – rata ukur dari : 2,4,8,16,32
Jawab :
Ru  5 2 x4 x8x16 x32
=8 atau n = 5
Log Ru = 1 (log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + log 32)
5
=
=
1
5
(4,515)
0,903
Log Ru = 0,903
Ru = 8
(Anti log = shift log 0,903)
Data berkelompok
Rumus :  ( f * log x)
Log Ru =
f
X = m = titik tengah
Tabel hasil pengukuran 100 daun kelapa (mm)
Pengukuran
frekuensi
50 – 54
6
55 – 59
10
60 – 64
9
65 – 69
25
70 – 74
28
75 – 79
13
80 – 84
9
Jumlah
100
Ditanya : berapa rata – rata ukur dari data diatas
Jawab :
Nilai
f
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
6
10
9
25
28
13
9
Jumlah
100
Log Ru =
 ( f * log
f
x
52
57
62
67
72
77
82
68,23
1,716
1,756
1,792
1,826
1,857
1,886
1,914
F * log x
10,296
17,560
16,132
45,652
52,005
24,524
17,224
183,393
x)
= 183,393 = 1,834
100
Ru =
Log x
RU untuk kenaikan atau pertumbuhan
Untuk gejala yang sifatnya pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat
tertentu seperti pertumbuhan bakteri, penduduk dan kenaikan bunga
bank
rata ukur dapat dihitung.
Rumus :
Pt = Po



x

Po1 
 100 


t
Pt = keadaan akhir pertumbuhan
Po = keadaan awal pertumbuhan

x = rata – rata pertumbuhan
t = satuan waktu yang digunakan
Contoh
Tentukan laju pertumbuhan rata – rata penduduk indonesia jika pada
akhir
tahun 1946 dan 1956 jumlah penduduk masing – masing 60 dan 78 juta
Jawab :
t = 10 (dari 1956 – 1946)
Pt = 78 juta
Po =60 juta
Ditanya 
x

Ditanya
x

78 = 60 (1

+x
100
) 10
(1 +
x
100
) = 1,3
(1 +
x
100
) = (1,3)1/10
(1 +
x
100



) = 1,0266
= 0,0266
x
100
x
= 2,66 %
3. RATA HARMONIS (RH)
Data tunggal
n
RH = 1 =
n
1 1
1
  ....
x1 x2
xn
x
Contoh
Tentukan rata – rata harmonis dari 2,5,7,9,12
Jawab :
5
RH = 1 1 1 1 1  4,82
2

5

7


9 12
Pak Dedi berpergian pulang pergi ke kantor dengan mobil. Waktu pergi ia
menggunakan waktu 40 km / jam. Berapa rata – rata pulang pergi kecepatannya
Jawab
2
RH = 1 1  32,3km/ jam
40

30
Data berkelompok
Rumus :
f
f
x
Contoh
Pengukuran
F
X
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
Jumlah
52
57
62
67
72
77
82
100
0,115
0,175
0,145
0,373
0,389
0,169
0,110
6
10
9
25
28
13
9
F /X
1,476
RH = 100 = 67,75
1,476
Hubungan antara rata – rata hitung – rata ukur dan rata harmonis adalah :
RH ≤ RU ≤ x rata2
4. Modus (mode) = Mo
Adalah nilai yang paling sering muncul
Sejumlah data bisa tidak punya modus
Mempunyai satu modus disebut unimodal
Mempunyai dua modus disebut bimodal
Lebih dari dua modus disebut multimodal
Data Tunggal
Tentukan Modus (mode) atau Mo dari data ini :
A. 1,4,7,8,9,9,11
B. 1,4,7,8,9,11,13
C. 1,2,4,4,7,9,11,11,13
D. 1,1,3,3,7,7,12,12,14,15
Jawab
a. Modus = 9
b. Modus = tidak ada
c. Modus = 4 dan 11
d. Modus = 1,3,7 dan 12
Diketahui X1 = 75
X4 = 12
X2 = 100
X5 = 125
X3 = 150
X6 = 80
Maka modusnya = 125
Data berkelompok
Rumus
D1
Mo = TKB +
xi
D1  D2
TKB = Tepi kelas bawah dimana modus berada
d 1 = Selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelum
d 2 = selisih frekuensi mous dengan frekuensi sesudah
i = panjang interval kelas
Tabel Berat Badan 100 Demonstran
Berat Badan (Kg)
Jumlah mahasiswa (F)
60 – 62
10
63 – 65
25
66 – 68
32
69 – 71
15
72 – 74
13
Tentukan Modus dari data diatas
Jawab
TKB = 65,5
d 1 = 32 – 25 = 7
d 2 = 32 – 15 = 17
i=3
7
x3
Mo = 65,5 +
7  17
TM
32
25
18
15
10
B
C
A
D
29,5 62,5 65,5
68,5 71,5 74,5
Mo = 66,375
5. MEDIAN
Kebaikan “Modus”
1. Lebih sukar dari rata – rata
2. Tidak tegas
Kebaikan “Median”
1. Mudah dihitung
2. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim
3. Lebih mewakili dari pada rata rata
4. Dengan kelas terbuka median dapat dihitung
Kelemahan “Median”
1. Data harus diurutkan
2. Kurang dikenal dari pada rata – rata
3. Tidak dapat dipergunakan untuk perhitungan lebih lanjut
Me = Md ialah urutan rata rata yang didasarkan atas nilai data yang
berada ditengah distribusi frekuensinya
Syarat : data harus diurutkan dahulu
DATA TUNGGAL
Jika jumlah data ganjil, Mediannya paling atau berada ditengah
Jika jumlah data genap, Mediannya dijumlah lalu dibagi 2
Contoh :
Tentukan Median dari data dibawah ini :
4,3,2,6,7,5,8
11,5,7,4,8,14,9,12
Jawab
Data diurutkan + 2,3,4,5,6,7,8
xn 1 x7 1
n = 7 (ganjil)
Me =
2

2
2. Urutkan data = 4,5,7,8,9,11,12,14
n = 8 (genap)
Xn  Xn
Me =
2
2
2

X4 X5
2
DATA BERKELOMPOK
1
Me = TKB +
n  FKKDB
2
.i
FKKDA  FKKDB
=
89
 8,5
2
 X4  5
TKB = Tepi kelas bawah
i = Panjang interval kelas
FKKDA = Frekuensi kumulatif kurang dari nilai tepi kelas yang ada di atas
kelas Median
FKKDB = Frekuensi komulatif kurang dari nilai tepi kelas bawah kelas
Mediannya
n
2 = Letak Mediannya
Contoh :
Data yang ada adalah :
Berat badan
F
TK
F.Kom <
60 – 62
10
59,5
0
63 – 65
25
62,5
10
66 – 68
32
65,5
35
FK bawah
69 – 71
15
68,5
67
FK Atas
72 – 74
18
100
n
2
= 50
Me = 65,5 +
50  35
X3
67  35
= 66,9
LATIHAN (Secara Median)
Diameter Pipa (mm)
Frekuensi
65 – 67
2
68 – 70
5
71 – 73
13
74 – 76
14
77 – 79
4
80 – 82
2
Hubungan antara rata Median dan Modus
1.Distribusi Simetris
Jika rata – rata hitung, Median dan Modus memiliki nilai yang
sama, maka kurvanya berbentuk simetris
2.Distribusi condong kanan
Jika rata hitung > median dan > modus maka kurvanya mencong
ke kanan
3. Distribusi Condong kekiri
Jika rata hitung < median < modus
Dari ketiga distribusi tersebut didapat rumus:


Mo = - 3 ( x - Me x )
atau
3Me  Mo
 =
x
2
atau
Me = 2 x  Me
3
umpama, diket
= 67,18
Mo = 66,375
berapa Me = ?
Me = 2(67,18) + 66,375 = 66,91
3
x
FRAKTIL( Kuartil – Desil – Persentil )
A. KUARTIL
Q atau K
Ukuran letak yang membagi distribusi frekuensi
menjadi 4 bagian yang sama
25%
25%
25%
K1
Q1
Letak
25%
K2
Q2
1( N  1)
4
2( N  1)
K 2  LK 2  Q 2 
4
3( N  1)
K 3  LK 3  Q 3 
4
K3
Q3
K 1  LK 1  Q1 
Umpamanya ada data :
X1 = 75
X2 = 80
x3 = 100
x4 = 120
x5 = 125
DATA TUNGGAL
1(5  1)
 1,5
4
K1 terletak pada data ke 1,5
LK 1 
75  80
K1 
 77,5
2
2(5  1)
LK 2 
3
4
K 2 terletak pada data ke 3
K 2  100
LK 3  4,5
K 3  122,5
X1 = 75
X2 = 80
X3 = 100
X4 = 120
X5 = 125
K1 = 77,5 artinya besar keuntungan max dari
pedagang yang tergolong 25%
tingkat keuntungannya terendah
K2 = 100 artinya besarnya keuntungan rata seluruh
pedagang yang didasarkan pada median
K3 = 122,5 artinya besarnya keuntungan min dari
pedagang yang tergolong 25% tingkat
keuntungannya tertinggi.
DATA BERKELOMPOK
LK1 = 1(n) , LK2 = 2 (n) , LK3 = 3 (n)
4
4
4
Rumus
K1 = TKb + LK1 – FKKDB
Xi
FKKDA –FKKDB
contoh data sudah diolah
Kelas
F
T.K
F. Kom <
59,4
0
60 – 62 10
62,5
10
63 – 65 25
65,5
35
25,LK1 = 100 / 4
66 – 68 32
68,5
67
50, LK2 = 200 / 4
69 – 71 15
71,5
82
75, LK = 300 / 4
72 – 74 18
74,5
100
K1 = 62,5 + 25 – 10 X 3 = 64,3
 F  100  n
35 – 10
K2 = 65,5 + 50 - 35 x 3 = 66,9
67 – 35
K3 = 68,5 + 75 – 67 x 3 = 70,1
82 - 67
DESIL D
= Kuartil
Sekumpulan data dibagi 10 bagian sama banyak, setelah data
diurutkan
= Rumus kuartil, hanya dibagi 10
DATA TUNGGAL
Letak
D1 = LD1 = 1(n+1)
10
D9 = LD9 = 9(n+1)
10
Contoh :
Data sampel 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14,15
Hitung desil ke 7
n = 11
LD7 = 7 (11 + 1) = 84 = 8,4
10
10
Data berada antara 8 dan 9
D7 = X8 + 0,4 (x9 – x8)
= 14 + 0,4 (14 – 14)
= 14
LD4 = 4 (11 + 1) = 4,8
10
data berada antara 4 dan 5
D4 = X4 + 0,8 (X5 – X4)
= 8 + 0,8 (10 – 8)
= 9,6
Contoh berkelompok
Nilai
F
F kom
30 – 39
5
5
40 – 49
3
8
50 – 59
6
14
60 – 69
7
21
70 – 79
8
29
80 – 89
7
36
90 – 99
4
40
n = 40
Hitung desil ke 4 = D4 = TKB + LD4 – FKKDB x i
FKKDA - FKKDB
LD4 = 4 (n) = 4(40) = 16
10
10
TKB = 60 – 0,5 = 59,5
Kelas desil = 60 – 69
i = 40 – 30 = 10
FKKDB = 5 + 3 + 6 = 14
FKKDA = 5 + 3 + 6 + 7 = 21
D4 = 59,5 + 16 – 14 x 10
21 – 14
= 62,36
Hitung desil ke 8
LD8 = 8(n) = 8(40) = 32
10
10
Kelas desil = 80 – 89
Tkb
= 80 – 0,5 = 79,5
i
= 40 – 30 = 10
FKKDB = 5+3+6+7+8 = 29
FKKDA = 5+3+6+7+8+7 = 36
D8 = 79,5 + 32 – 29 x 10
36 - 29
Data berkelompok
LD1 = 1(n) , LD7 = 7(n)
10
10
Rumus
D8 = TKB + LD8 – FKKDB
FKKDA - FKKDB
xi
PERSENTIL
Kuartil dan Desil
datanya dibagi 100 sama banyak
Rumus Kuartil dan Desil, hanya dibagi 100 sama banyak
p1
DATA TUNGGAL
P18 = LP18 = 18 (n+1)
100
p50
dan seterusnya
p99
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Hitung Persentil ke 10(P10) dan persentil ke 76dr data brk ini:
20 21 22 24 26 26 27 30 31 31
33 35 35 35 36 37 37 38 39 40
41 41 42 43 44 46 47 48 49 50
n=30
P10=10(n+2) = 10(30+1) = 3.1
100
100
Data berada antara 3 dan 4
= x3 + 0.1 (x4 – x3)
=22 + 0.1 =22.2
P76=76(n+2) = 76(30+1) = 23.56
100
100
Data berada antara 23 dan 24
= x23 + 0.56 (x24 – x23)
=46 + 0.56 =42.56
DATA BERKELOMPOK
LP21 = 21(n) , LP89 = 89(n)
100
100
Rumus : P36 = Tkb + LP36 – Fkkdb
.i
Fkkda - Fkdb
۩S
ampai jumpa Pada Pertemuan
6 (F2F)

download soal

download

download

download

download

download

download

download

download