[email protected]
1. ABC bir üçgen |CA| = 5 br |AB| = 3 br |BD| = 2 br m(DAB) = θ, m(ABC) = 2α,
3α + 2θ = 180º olduğuna göre m(BCA) = α olduğunu gösteriniz.
2. ABC bir üçgen |BD| = |DC| , |AD| = |BC|, m(DBC) = m(DCB) = m(ADB) =
60 + olduğuna göre olduğunu gösteriniz.
om
3. ABC bir üçgen D  (ABC), m(ABD) = 2α, m(DBC) = 30º – α , m(BCD) = 30º ,
m(DCA) = α, olduğuna göre m(CAD) = 30º– α olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
4. ABCD bir dörtgen DA  AB, |BE| = |EC|, m(BDA) = m(FDA), |BD| = 10 br,
|CD| = 8 br, olduğuna göre |AE| = x kaç br dir?
iz
20
00
@
5. ABC bir dik üçgen, AB  BC, BE  AD, |BD| = |CD|, m(BAD) = 2·m(DAC) =
2α, |DE| = 3 br, olduğuna göre
|AB| = x kaç br dir?
CE
= 1 olduğunu gösteriniz.
an
BD
os
m
göre
ek
6. ABC bir üçgen CDA ve AEB birer eşkenar üçgen BD  CE = {P} olduğuna
D
A
E
P
B
C
7. ABC bir üçgen CDA ve AEB birer eşkenar üçgen BD  CE = {P} m(CPB) = ,
olduğuna göre  = 1200 olduğunu gösteriniz.
D
A
E
P

C
B
8. ABC ve ADE birer eşkenar üçgen |BD| = x br, |CE| = y br, olduğuna göre x = y
olduğunu gösteriniz.
A
D
DC

E
@
00

CE
EA
20
FB
BD
A
gm
9. ABC bir eşkenar üçgen
F  [AB]
D  [BC]
E  [CA]
AF
C
ai
B
y
l.c
x
om
E
F
B
D
C
ek
iz
olduğuna göre FDE üçgeninin
eşkenar olduğunu gösteriniz.
os
m
an
10-. ABC eşkenar üçgen
D  [BC]
E  [CA]
|BD| = |CE|
|DC| = |EA|
AD  BE = {K}
olduğuna göre
m(DKB) = 600 olduğunu gösteriniz.
A
11. ABC bir eşkenar üçgen
F  [AB]
D  [BC]
E  [CA]
AF
FB

BD
DC

K
F
B
CE
EA
olduğuna göre KLM üçgenin
eşkenar olduğunu gösteriniz.
2
L
E
M
D
C
12. ABC bir eşkenar üçgen
F  [AB]
D  [BC]
E  [CA]
|FA| = |DC|
|BD| = |CE|
olduğuna göre m(FDE) = 600 oldu
ğunu gösteriniz.
A
E
F

B
13. ABC bir eşkenar üçgen
D iç bölgede bir nokta
|DA| = x br
|DB| = y br
|DC| = z br
x2 + z2 = y2
olduğuna göre
m(ADC) =1500 olduğunu gösteriniz.
A
om
x
D
z
l.c
y
B
gm
ai
C
@
A
x
20
00
14. ABC bir eşkenar üçgen
D iç bölgede bir nokta
|DA| = x br
|DB| = y br
|DC| = z br
y2 = x2 + z2  xz
olduğuna göre
m(ADC) = 1200 olduğunu gösteriniz.
C
D
D
y
z
C
os
m
an
ek
iz
B
15. ABC bir eşkenar üçgen
A, C, D doğrusal
|BE| = |CD|
m(BAE) = 
m(CED) = α
olduğuna göre α =  olduğunu
gösteriniz
A

B
C

E
D
16. ABC bir eşkenar üçgen C dışarıda bir nokta
m(BCA) = m(ACD) = 60º
|CB| = x br
A
z
3
B
o
x
o
60 60 y
C
D
|CD| = y br
|CA| = z br
olduğuna göre z = x + y olduğunu gösteriniz.
17. Dar açılı ABC üçgeninin diklik merkezi H olup AH = BC ise m(BAC) = ?
om
18. ABC üçgeninde AH yükseklik olup BC, CA, AB kenarlarının orta noktaları sırasıyla D, E, F ise FHE  FDE olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
19. ABC dik üçgeninde AC ve BC kenarları üzerinde sırasıyla alınan K ve L noktaları için BK = KL dir. m(BAC) = 900 ve m(BCA) = m(ABK) = 180 ise LC = 2.AB
olduğunu gösteriniz.
20
00
@
20. ABC üçgeninin AC ve AB kenarları üzerine dışa doğru ACB 1 ve ABC 1 ikizkenar dik üçgenleri inşa edilsin. BC’nin orta noktası D olmak üzere DC 1 = DB 1 ve
DC 1  DB 1 olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
21. ABC ikizkenar dik üçgeninde m(C) = 900’dir. BC üzerinde bir P noktası alınsın. [AP] üzerinde alınan X ve Y noktaları için CX  AP ve AY = CX olsun.
AB’nin orta noktası M ise YMX üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğunu gösteriniz.
22. ABC ikizkenar dik üçgenininde m(B) = 900 olup AB ve BC kenarları üzerinde
sırasıyla P ve Q noktaları alınsın. BP = BQ olmak üzere P ve B’den geçen AQ’ya
dik doğrular AC’yi sırasıyla K ve L’de kessin. KL = LC olduğunu gösteriniz.
23. ABC ikizkenar dik üçgen olup BA  CA’dır. AB kenarının orta noktası M olmak üzere A’dan geçen CM’ye dik doğru BC’yi N’de kessin. Bu durumda
m(AMC) = m(BMN) olduğunu gösteriniz.
24. ABC üçgeninde AD açıortay olup BC’ye D’de dik olan doğru ile AB, E’de kesişsin. ED = CD ise BA  CA olduğunu gösteriniz.
4
25. ABCD karesinin AB kenarının orta noktası K ve AC köşegeni üzerinde alınan
bir L noktası için AL : LC = 3 : 1 ise m(KLD) = ?
26. ABC üçgeninde AC < BC olup m(C)= 600 dir. BC kenarı üzerinde alınan D
noktası için BD = AC’dir AC kenarının uzantısı üzerinde alına bir E noktası için
AC = CE ise AB = DE olduğunu gösteriniz.
27. ABC üçgeninin AB ve AC kenarları üzerine dışa doğru ABDE ve ACFG kareleri inşa edilsin. Aşağıdaki ifadelerin doğruluğunu kanıtlayınız.
parçası üzerinde bir C noktası
tarafında ACE ve CBD
şekilde E ve D noktaları
BE’nin kesim noktası F
m(EFD) = ?
ai
l.c
E
C
B
@
A
gm
F D
D
os
m
an
29. ABCD karesinin
kenarlarını kesen
doğrulara
BB 1 ,
inilsin. Bu durumda
D1D2
olduğunu
ek
iz
20
00
28.
AB
doğru
alınsın. AB’nin aynı
eşkenar
olacak
verilsin. AD ile
olduğuna
göre
om
a. EC  GB dir.
b. EC, GB ve DF noktadaştır.
c. EG’nin orta noktası M olmak üzere MA  BC ve BC = 2.MA’dır.
B2
d2
C
D2
d1
B1
A köşesinden CD ve BC
d 1 ve d 2 doğruları çizilsin. Bu
BB 2 , DD 1 , DD 2 dikmeleri
B 1 B 2  D 1 D 2 ve B 1 B 2 =
gösteriniz.
D2
paralelkenar olup BC ve DC
31.
ABCD
B
A
kenarları
üzerine
dışa doğru BCQ ve DCP
eşkenar üçgenleri inşa edilsin. AP = AQ olduğunu gösteriniz.
32. ABCD konveks dörtgeninde AB ile DC, P’de, AD ile BC, Q’da kesişsin. AB =
PB = CQ ve DC = DQ ise m(ABQ) = ?
5
33. ABCD konveks dörtgeninde m(A) = m(B) = 1200 ve AD = BC’dir. DC kenarı
üzerine dışa doğru PDC eşkenar üçgeni inşa edilsin. APB üçgeninin eşkenar üçgen olduğunu gösteriniz.
om
34. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerinde sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 noktaları
alınsın. AC 1 = BA 1 = CB 1 olsun. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezlerinin çakışık olması için gerek ve yeter şartın ABC’nin eşkenar olması gerektiğini kanıtlayınız.
@
gm
ai
l.c
35. ABC eşkenar üçgeninin AB, BC, CA kenarları üzerinde alınan X, Y, Z noktaları için XYZ üçgeni eşkenar olsun. A(ABC) = 2.A(XYZ) ise AX : XB =?
an
ek
iz
20
00
36. ABC üçgeninin CA ve CB kenarları üzerine dışa doğru sırasıyla ACQ ve BCR
dik üçgenleri inşa edilsin. m(AQC) = m(BRC) = 900 ve m(CAQ) = m(CBR) olsun.
AB’nin orta noktası P ise PQ = PR ve m(QPR) = 2.m(CAQ) olduğunu gösteriniz.
A
os
m
37. Şekilde ARB,
üçgenleri benzer
CQ = AQ’dur.
paralelkenar
BPC,
CQA
ikizkenar
olup AR = BR, BP = CP ve
Bu
durumda
ARPQ’nun
olduğunu gösteriniz.
Q
R
P
B
C
38. ABCD karesinin DC kenarı üzerine dışa(veya içe) doğru DCP üçgeni inşa
edilsin. DP  CP, PC = 3 ve PD = 4 ise PA = ?
6
39. ABCD karesinin DC kenarı üzerine dışa doğru DCP üçgeni inşa edilsin. DP 
CP olup DPC açısının açıortayı DC ve AB’yi sırasıyla K ve L de kessin. KC = AL
olduğunu gösteriniz.
40. ABCD karesinin AD kenarı üzerinde P noktası ve AB’nin uzantısı üzerinde Q
noktası verilsin. DP = BQ ise m(CPQ) = ?
om
41. ABCD karesinin AB, BC, CD, DA kenarları üzerinde sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 , D 1
noktaları verilsin. A 1 C 1  B 1 D 1 ise A 1 C 1 = B 1 D 1 olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
42. Dar açılı ABC üçgeninin diklik merkezi H olup H’den geçen bir doğru AB ve
BC’yi sırasıyla P ve Q’da kessin. AC’nin orta noktası D ve DH  PQ ise HP =
HQ olduğunu gösteriniz.
20
00
@
43. ABC dik üçgeninde m(B) = 900 ve m(C) = 150’dir. AC kenarı üzerinde bir D
noktası verilsin. D’den BC’ye inilen dikme ayağı E olsun. AB = AD ise A(ABC) =
2.BE2 olduğunu gösteriniz.
ek
iz
44. C açısı geniş ve A açısı B açısının 2 katı olan kenarları tamsayılı çevrece en
küçük üçgen (28, 16, 33) kenarlarına sahiptir. Kanıtlayınız.
os
m
an
45. ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde bir D noktası verilsin [AD] üzerinde alınan
bir P noktası için BP ve CP karşısındaki kenarları E ve F noktalarında kessin. EF
// BC olması için gerek ve yeter şartın BD = CD olduğunu gösteriniz.
45. Bir doğru üzerinde A, B, C ve başka bir doğru üzerinde A 1 , B 1 , C 1 noktaları
verilsin. Eğer AB 1 // BA 1 , AC 1 // CA 1 ise BC 1 // CB 1 olduğunu gösteriniz.
46. ABCD dörtgeninde AD // BC olmak üzere [AD] üzerinde alınan bir E noktası
için AE = BC olsun. AC ve CE, BD’yi sırasıyla O ve P’de kessin. BO = PD ise
AD2 = BC + AD.BC olduğunu gösteriniz.
7
47. ABCD dörtgeninde AB // CD ve AB < CD olsun. AD ve BC kenarları üzerinde
sırasıyla alınan E ve F noktaları için EF // DC ise
AE
ED

FE  AB
DC  FE
olduğunu göste-
riniz.
49. ABC üçgeninde AD ve BE açıortayları verilsin. DE üzerinde alınan bir M noktasının AC ve BC’ye uzaklıkları toplamının AB’ye uzaklığına eşit olduğunu gösteriniz.
l.c
om
49. ABC üçgeninin [AD] açıortayı üzerinde alınan bir P noktasının BC, CA, AB
kenarları üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 ’dir. PA 1 ile B 1 C 1 ’in kesim noktası R ise AR’nin BC’yi ortaladığını gösteriniz.
gm
ai
50. ABC üçgeninde AD yükseklik olmak üzere AD üzerinde bir P noktası alınsın.
BP  AC  E ve CP  AB  F ise ADE  ADF olduğunu gösteriniz.
iz
20
00
@
51. ABCD dikdörtgeninin AD ve BC kenarlarının orta noktaları sırasıyla M ve
N’dir. DC kenarının uzantısı üzerinde bir P noktası alınsın. PN ile BD’nin kesim
noktası Q ise QMN  PMN olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
52. Bir d doğrusu üzerinde verilen sırada B, M, N, C noktaları için BM = MN =
NC olsun. D doğrusu üzerinde olmayan bir A noktası alalım. AC’ye paralel bir
doğru [AB], [AM], [AN]’yi sırasıyla D, E, F’de kessin. EF = 3.DE olduğunu gösteriniz.
53. ABC üçgeninin AB, BC, CA kenarlarının orta noktaları sırasıyla D, E, F’dir.
BDC açısının açıortayı BC’yi M’de, ADC açısının açıortayı AC’yi N’de kessin.
MN  CD  O , EO  AC  P ve FO  BC  Q ise CD = PQ olduğunu gösteriniz.
54. ABCD dikdörtgeninde A’dan BD’ye inilen dikme ayağı E olmak üzere [BD]
üzerinde D ve E’nin arasında olacak şekilde keyfi bir F noktası alınsın. B’den geçen AF’ye dik doğru ile CF’nin kesim noktası P ve P’den geçen BD’ye dik doğru
ile BC’nin kesim noktası Q olsun. m(EPB) = m(EQB) olduğunu gösteriniz.
8
55. Dar açılı ABC üçgeninde AD yüksekliği verilsin. D’den AC’ye inilen dikme
ayağı E ve [DE] üzerinde bir F noktası alınsın. AF  BE olması için gerek ve yeter şartın
FE
FD

BD
DC
olduğunu gösteriniz.
56. ABC üçgeninde AD ve CF kenarortayları verilsin. AC kenarı üzerinde alınan
bir P noktasından geçen AD ve CF’ye paralel olan doğrular AB ve BC’yi Q ve
R’de kessin. AD ve CF’nin QR’yi üç eş parçaya ayırdığını gösteriniz.
l.c
om
57. ABCD paralelkenarında AC > BD olup C noktasından AB ve AD’ye inilen
dikme ayakları sırasıyla P ve Q’dur. AB.AP + AD.AQ = AC2 olduğunu gösteriniz.
58. ABCD paralelkenarının AB ve AD kenarları üzerinde sırasıyla E ve F noktaları
AE

AD
AC
ai
AB
AF

AG
olduğunu gösteriniz.
@
gm
verilsin. AC ile EF’nin kesim noktası G ise
an
ek
iz
20
00
59. ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I olup AC ve BC kenarları üzerinde sırasıyla P ve Q noktaları verilsin. AP.AB = AI2 ve BQ.AB = BI2 ise P, I, Q
noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
os
m
60. ABC üçgen olup BC’nin uzantısı üzerinde bir D noktası verilsin. AD’nin BAC
açısının dış açıortayı olması için gerek ve yeter şartın
riniz.
AC
AB

DC
DB
olduğunu göste-
61. ABC dik üçgeninde m(A) = 900 olup AD yüksekliktir. AC ve AD’nin orta noktaları sırasıyla E ve F ise m(ABF) = m(CBE) olduğunu gösteriniz.
62. ABCD paralelkenarının AB, BC, CD, DA kenarları üzerinde sırasıyla A 1 , B 1 ,
C 1 , D 1 noktaları alınsın. Eğer A 1 B 1 C 1 D 1 paralelkenar ise bu paralelkenarların
ağırlık merkezlerinin çakışık olduğunu gösteriniz.
9
63. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi olup G’den geçen BC’ye paralel doğru AB
ve AC’yi sırasıyla B 1 ve C 1 ’de kessin. CG  BC 1 = B 2 , BG  CB 1 = C 2 olup
BC’nin orta noktası A 2 ise A 2 B 2 C 2  ABC olduğunu gösteriniz.
64. ABCD dörtgeninde AD // BC’dir. DA ve BC kenarlarının uzantıları üzerinde
sırasıyla P ve Q noktaları verilsin. PQ, AB ve DC’yi sırasıyla M ve N’de, AC ve
BD’yi sırasıyla X ve Y’de kessin. PM = QN ise MX = NY olduğunu gösteriniz.
65. ABCD kare olmak üzere A’dan geçen bir doğru DC kenarını P’de BC’yi Q’de
1
AP
2

1
AQ
2

1
AB
2
olduğunu gösteriniz.
om
kessin.
ai
l.c
66. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 yükseklikleri üzerinde sırasıyla A 2 ve B 2 noktaları
verilsin. mBA 2 C = mAB 2 C = 900 ise CA 2 = CB 2 olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
67. ABCD paralelkenar olup A noktasından BC ve CD’ye inilen dikme ayakları sırasıyla P ve Q ise PAQ ve ABC üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz.
iz
20
68. ABC üçgeninde AD açıortay olup BC ve AB kenarlarının orta noktaları sırasıyla E ve F’dir. AD ile EF’nin kesim noktası H ise 2 DH  b  c olduğunu gösteriniz
os
m
an
ek
69. ABCD paralelkenarın da A açısı dar olup [AB ve [CB üzerinde sırasıyla M ve
N noktaları verilsin. AB = AN ve CB = CM ise BAN ve NDM üçgenlerinin benzer
olduğunu gösteriniz.
70. ABCD paralelkenar olmak üzere AE ve BD köşegenleri üzerinde sırasıyla alınan P ve Q noktaları için PQ // AB olsun. DP  BC = X ve CQ  AD = Y ise XY
// AB olduğunu gösteriniz.
71. ABC üçgeninde AD açıortay olsun. AB – BD =24 ve AC + CD = 54 ise AD = ?
72. Konveks ABCD dörtgeninde mABD = mBCD, mADC = mBAD ve AB =
4, BC = 3, BD = 6 ise DC = ?
73. ABCD paralelkenarının AC köşegeni üzerinde alınan M ve N noktaları için AM
= CN olsun. MP // AD ve NP // AB olacak şekilde seçilen P noktasının BD üzerinde olduğunu gösteriniz.
10
74. ABC üçgeninin AB ve AC kenarı üzerinde sırasıyla alınan D ve E noktaları
için DE // BC olsun. DC  BE = G olmak üzere G’den geçen BC’ye paralel doğru
AB ve AC’yi sırasıyla M ve N’de kessin. DM : NC = AD : AC olduğunu gösteriniz.
75. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası verilsin. P noktasının BC, CA, AB
kenarlarının orta noktalarına göre simetriği olan noktalar sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 ise
ABC  A 1 B 1 C 1 ve AA 1 , BB 1 , CC 1 ’in noktadaş olduğunu gösteriniz.
l.c
om
76. ABC üçgeninde m(A) = 600 olup BC, CA, AB kenarları üzerinde sırasıyla alınan X, Y, Z noktaları için XYAZ eşkenar dörtgendir. CZ ile BY’nin kesim noktası K
ise YZ2 = YK.YB olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
77. ABC üçgeninde BE yüksekliği verilsin. E’den BC’ye inilen dikme ayağı D ve
AB’nin orta noktası F olsun. AD, BE, CF’nin kesim noktası H ise m(ABC) = 900
olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
78. ABC eşkenar dörtgeninde A=120 dir.AD kenarı üzerinde seçilen bir N noktası
için BN ve CD M’de kesişsin. CM ile AN’nin kesim noktası E ise m(AEC)=?
os
m
an
79. ABC üçgeninde BC, CA, AB kenarlarının orta noktaları sırasıyla D, E, F olmak
üzere mDAC = mABE olması için gerek ve yeter şartın mAFC = mADB olduğunu gösteriniz.
80. O merkezli çemberin AB kirişi üzerinde bir C noktası verilsin. AOC çemberi O
merkezli çemberi D’de kestiğine göre DC = BC olduğunu gösteriniz.
81. ABCD karesinin çevrel çemberinin kısa olan CD yayı üzeride bir L noktası
alınsın. AL ile CD, K’da, AD ile CL, M’de, MK ile BC, N’de kesişsin. B, N, L, M
noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
82. AB çaplı O merkezli çember üzerinde alınan C ve D noktaları için AC ile
BD’nin kesim noktası Q olsun. Q noktası çemberin iç bölgesinde ve çemberin C
11
ve D’deki teğetlerinin kesim noktası P olmak üzere m(AQB) = 2.m(COD) olsun.
Çemberin yarıçapı 1 olduğuna göre OP’yi bulunuz.
83. ABCD paralelkenar olup ABD üçgeninin BD’ye teğet olan dış teğet çemberi
AD ve AB’ye P ve Q’da teğettir. PQ, CD ve CB’yi sırasıyla K ve L’de kestiğine
göre K ve L noktalarının CDB üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde olduğunu gösteriniz.
om
85. ABC üçgeninde m(B) > m(C)’dir. BC kenarı üzerinde 2.m(DAC) = m(B) –
m(C) olacak şekilde bir D noktası alınsın. D’den geçen AC’ye A’da teğet olan
çember AB’yi P’de kestiğine göre BP : AC=BD : DC olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
86. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D, E noktaları alınsın. AB // EC ve
AC // ED olsun. Çemberin E’deki teğeti ile AB’nin kesim noktası P ve BD ve EC,
Q noktasında kesişsin. AC = PQ olduğunu gösteriniz.
20
00
@
87. AC çaplı yarım çemberin AC çapı üzerinde merkezden farklı bir B noktası
alınsın. ABDE karesi çizilsin. ED çemberi sırasıyla P ve Q’da, AQ ise BD’yi R’de
kessin. P noktası E ile D arasındadır. Bu durumda DP = DR olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
88. Bir d doğrusu üzerinde sırasıyla C, B, E noktaları verilsin. d doğrusunun aynı
tarafında olmak üzere A ve D noktaları alalım. m(ACE) = m(CDE) = 900 ve CA =
CB = CD olmak üzere AB, ADC çemberini F’de kessin. F noktasının CDE üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
89. ABC dik üçgeninde CD yükseklik olup m(ACB) = 900’dir. CD çaplı çember
AC ve BC’yi sırasıyla E ve F’de kessin. BE çemberi M’de kessin. MF  AC = K
ve EF  BK = P olmak üzere D, M, P noktaları doğrusal ise m(ABC) = ?
90. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları alınsın. BD çemberin
çapı olmak üzere A’nın BD’ye göre simetriği P ve BD ile AP’nin kesim noktası Q
olsun. Q’dan geçen AC’ye paralel doğru BC ve DC’yi sırasıyla R ve S’de kestiğine göre PRCS’nin dikdörtgen olduğunu gösteriniz.
12
91. ABCD dikdörtgeninin CB kenarının uzantısı üzerinde bir E noktası alınsın.
ABE üçgeninin çevrel çemberi ile BD, R’de kesişsin. DR ve EC’nin orta noktaları
sırasıyla P ve Q ise AP  PQ olduğunu gösteriniz.
92. ABC üçgeninde BD açıortayı çizilsin. ABD üçgeninin çevrel çemberi BC’yi
F’de BDC üçgeninin çevrel çemberi AB’yi E’de kessin. AE = CF olduğunu gösteriniz.
l.c
om
93. AB çaplı O merkezli çemberin merkezinde AB ye dik doğru çemberi C’de kessin. Kısa olan CB yayı üzerinde bir D noktası alınsın. CD ile AB, R de, AB’ye
R’de dik doğru ile AD, Q da kesişsin. BR = QR olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
94. AB çaplı çembere dışında alınan P noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları C ve D’dir. AC ile BD’nin kesim noktası ile P’den geçen doğrunun AB’ye dik
olduğunu gösteriniz.
iz
20
95. AB çaplı yarım çember üzerinde bir C noktası ve [AB] üzerinde D noktası
alınsın. [CD] üzerinde alınan bir P noktası için AC  BP = L ve AP çemberi K’da
kessin. AL = CL ve m(CPB) = 90o ise CP = CL olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
96. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları alınsın. Çemberin
C’deki teğeti ile AD’nin kesim noktası P olmak üzere BD  AC = R olsun. AB =
AC ise PR // CB olduğunu gösteriniz.
97. AB çaplı yarım çembere dışındaki P noktasından PC ve PD teğetleri çizisin.
P’den AB’ye inilen dikme ayağı Q ise m(PQC) = m(PQD) = 90o olduğunu gösteriniz.
98. AB çaplı yarım çember üzerinde bir C noktası verilsin. C’den AB’ye inilen
dikme ayağı D olsun. [AB] üzerinde AD = ED olacak şekilde bir E noktası alınsın.
»  CF
» ise BE = BF olduğunu gösteÇember üzerinde seçilen bir F noktası için AC
riniz.
13
99. O merkezli bir çember üzerinde verilen sırada alınan A, B, C, D, E, F noktaları için AD, BE ve CF kirişleri T noktasında kesişsin. AD, BE ve CF’nin orta noktaları sırasıyla P, Q, R olsun. Çember üzerinde alınan G ve H noktaları için AH //
FC ve AG // BE ise PQR  DGH olduğunu gösteriniz.
100. ABCD kirişler dörtgeninde ABC ve CDA açılarının açıortayı olmamak üzere
dörtgenin içinde bir P noktası alınsın. m(PBC) = m(DBA) ve m(PDC) = m(BDA)
ise AP = CP olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
101[IMO Shortlist 2002]. BC çaplı O merkezli bir S çemberi verilsin. Çember
üzerinde alınan bir A noktası için m(AOB) < 120’dir. C’yi içermeyen AB yayının
orta noktası D olmak üzere O’dan geçen DA’ya paralel doğru AC’yi I’da kessin.
OA’nın orta dikme doğrusu S çemberini E ve F’de kestiğine göre I’nın CEF üçgeninin iç çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
iz
20
00
@
102. O merkezli çemberin dışında alınan bir P noktasından geçen doğru çemberi
sırasıyla B ve A’da kessin. Çember üzerinde alınan bir C ve D noktaları için PC
çembere teğet ve CD çap olsun. CD ile AB çemberin içinde kesişmek üzere BD
ile OP’nin kesim noktası E ise AC  EC olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
103. Bir çember üzerinde alınan A, B, C noktaları için AB = AC’dir. Kısa olan AC
yayı üzerinde alınan bir D noktası için AD ile BC’nin kesim noktası E olduğuna
göre AC2 = AD.AE olduğunu gösteriniz.
104. C 1 çemberine dışındaki bir P noktasından çembere çizilen teğetlerin değme
noktaları A ve B’dir. P’den geçen AB’ye B’de teğet olan çember ile C 1 çemberinin
kesim noktası C olsun. AC’nin PB’yi ortaladığını gösteriniz.
105. AB çaplı bir çembere üzerinde alınan bir C noktasında teğet olan bir d doğrusu verilsin. A ve B’den d’ye inilen dikme ayakları sırasıyla M ve N olup C’nin AB
üzerindeki dik izdüşümü D ise AM.BN = CD2 olduğunu gösteriniz.
14
107. ABC üçgeninde AD yükseklik olup ABD ve ACD çemberleri üzerinde sırasıyla alınan P ve Q noktaları için P, D, Q doğrusal olsun. PQ ve BC’nin orta noktaları sırasıyla M ve N ise m(AMN) = 900 olduğunu gösteriniz.
108. ABCDEF kirişler altıgeninde AB = CD = EF olup AD, BE, CF noktadaştır.
2
 AC 
AD ile CE’nin kesim noktası P ise

 olduğunu gösteriniz.
PE  CE 
CP
ai
l.c
om
109. ABCDEF kirişler altıgeninde AB = CD = EF olup AC ve BD, CE ve DF, EA
ve FB’nin kesim noktaları sırasıyla P, Q, R’dir. Buna göre PQR ve BDF üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz.
gm
110. Eş merkezli iki çemberin ortak merkezleri O’dur. Dıştaki çember üzerinde
alınan bir A noktasından iç teki çembere AD ve AE teğetleri çizilsin. AD ve ED
2
iz
20
00
@
BE
 AB 
dıştaki çemberi sırasıyla C ve B’de kestiğine göre 
olduğunu gösteri 
BD
 BC 
niz.
os
m
an
ek
111. ABC üçgeninin A ve B köşelerinden geçen bir çember AC ve BC kenarlarını
sırasıyla D ve E’de kessin. [BA ile [ED, F’de, [BD ile [CF, M’de kesişsin. MF =
MC olması için gerek ve yeter şartın MB.MD = MC2 olduğunu gösteriniz.
112. Bir çember üzerinde A, B, C noktaları verilsin. C noktasının çemberin A ve
B’deki teğetleri üzerindeki diz izdüşümleri sırasıyla M ve N olsun. C’nin AB üzerindeki dik izdüşümü D ise CM.CN = CD2 olduğunu gösteriniz.
113. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları verilsin. AC  BD =
P olmak üzere P’den geçen CD’ye orta noktasında teğet olan çember BD ve
AC’yi sırasıyla Q ve R’de kessin. [BD] üzerinde BS = DQ olacak şekilde bir S
noktası verilsin. S’den geçen AB’ye paralel doğru ile AC, T’de kesişsin. AT = RC
olduğunu gösteriniz.
15
114. ABC bir üçgen olmak üzere C’den geçen bir çember AC ve BC kenarlarını sırasıyla B 1 ve A 1 noktalarında kessin. Bu çember ile ABC üçgeninin çevrel çemberi
C’den farklı olarak D noktasında kesiştiğine göre DB 1 .DB = DA 1 .DA olduğunu
gösteriniz.
115. ABC üçgeninin BC ve AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan D ve E noktaları
için BD = AE olsun. ACD ve BEC üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezlerini
bileştiren doğru AC ve BC’yi sırasıyla K ve L’de kestiğine göre KC = LC olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
116. AB çaplı C 1 çemberi verilsin. A merkezli C 2 çemberi, C 1 çemberini C ve
D’de kessin. B’den geçen bir doğru C 2 ve C 1 çemberlerini sırasıyla P ve Q’da
kessin. CQ.DQ = PQ2 olduğunu gösteriniz.
20
00
@
117. ABC üçgeninde CA = CB olup çevrel çemberinin C’yi kapsamayan AB yayı
üzerinde bir P noktası verilsin. C’den PB’ye inilen dikme ayağı D ise PA + PB =
2.PD olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
118. ABC dik üçgeninde m(A) = 900 olup O merkezli çevrel çemberinin A’yı
içermeyen BC yayı üzerinde bir P noktaı verilsin. P’den AB ve BC kenarlarına inilen dikme ayakları sırası ile Q ve R olmak üzere QR  AP = S olsun. OS  AP olduğunu gösteriniz.
119. C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktası A ve B dir. C 1 çemberinin A’daki teğeti C 2 çemberini P’de kessin. P’den geçen bir doğru C 1 çemberini sırasıyla R ve
Q’da C 2 çemberini S’de kessin. QAB açsının dış açıortayı AP ve iç açıortayı AS
ise RS = RP olduğunu gösteriniz.
120. Konveks ABCD dörtgeninde AD ve BC’nin orta noktaları sırasıyla M ve
N’dir. A, B, N, MN noktaları çembersel olup AB doğrusu BMC üçgeninin çevrel
çemberine B’de teğettir. AB’nin AND üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu
gösteriniz.
16
om
121. AB çaplı bir çember verilsin. A merkezli başka bir çember ilk çemberi M’de
AB’yi C’de kessin. BC’nin orta dikmesi ilk çemberi Y’de kestiğine göre MY = BY
olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
122. ABCD paralelkenarında AC > BD’dir. BDC üçgenin çevrel çemberi AC’yi
P’de kestiğine göre BD’nin ABP ve ADP çemberlerine teğet olduğunu gösteriniz.
20
00
@
123. AB çaplı çemberi bir d doğru P ve Q noktalarında kessin. A ve B’den d doğrusuna inilen dikme ayakları A 1 ve B 1 ise A 1 Q = B 1 P olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
124. ABC dik üçgeninde AC  BC ve AC < BC olsun. AC çaplı çember AB’yi
E’de kessin. Çemberin E’deki teğeti ile BC’nin kesim noktası D ise EDB üçgeninin ikizkenar olduğunu gösteriniz.
125. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları verilsin. AD  BC =
P ve AB  CD = Q olmak üzere APB ve BQC açılarının açıortaylarının dik kesiştiğini gösteriniz.
126. C çemberinin EW ve NS çapları birbirine diktir. Çembere S noktasında teğet
olan bir d doğrusu verilsin. Çember üzerinde EW çapına göre simetrik A ve B noktaları alınsın. NA ve NB, d doğrusu ile sırasıyla A’ ve B’ noktalarında kesiştiğine
göre SA’.SB’=SN2 olduğunu gösteriniz.
17
om
127. C 1 ve C 2 çemberleri E noktasında teğettirler. C 1 çemberinin üzerindeki bir A
noktasından çembere çizilen teğet C 2 çemberini sırasıyla B ve C’de kessin. AE,
C 2 çemberini D’de kestiğine göre CD2 = DE.DA olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
l.c
128. ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde bir P
noktası verilsin. BP  AC = K ve CP  AB = L ise BC2 = BL.CK olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
129. Bir çembere dışındaki P noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları A ve
B olsun. Çember üzerinde bir C noktası verilsin. Çemberin C’deki teğeti ile
AB’nin kesim noktası D olsun. P’den geçen CD’ye paralel doğru ile CB ve CA, M
ve N’de kesiştiğine göre PM = PN olduğunu gösteriniz.
os
m
130. ABCD konveks dörtgeninin köşegenleri birbirine dik ve kesim noktası P’dir.
P’nin dörtgenin kenarlarına göre simetriği olan noktaların çembersel olduğunu
gösteriniz.
131. AB çaplı O merkezli bir yarım çember ve üzerinde C ve D noktaları verilsin.
AC ile BD, E’de ve AD ile BC, F’de kesişsin. m(COD) = 900 ise EF = AB olduğunu gösteriniz
132. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları alınsın. AB’nin orta
noktası E olmak üzere m(ADE) = m(BCE) ise AD = BC olduğunu gösteriniz.
18
133. ABC dik üçgeninde CH yükseklik, CM açıortay olup m(C) = 900’dır. AHC
ve BHC üçgenlerinde HP ve HQ açıortay ise C, P, H, M, Q noktalarının çembersel
olduğunu gösteriniz.
134. ABC üçgeninde diklik merkezi H olsun. BHCD paralel kenar ise m(BAD) =
m(CAH) olduğunu gösteriniz.
om
135. Dar açılı ABC üçgeninin A’ya ait yüksekliği çevrel çemberini D’de kessin.
Çevrel çember üzerinde alınan bir P noktasından AB’ye PQ dikmesi inilsin. Q
noktası çemberin dışında ve 2.m(QPB) = m(PBC) ise D, P,Q nun doğrusal olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
136. O merkezli çemberin çaptan farklı bir AB kirişi verilsin. Kısa olan AB yayı
üzerinde alınan C noktasında çembere teğet olan doğru d olsun. AB’ye A ve B
noktalarında dik olan doğrular d doğrusunu sırasıyla E ve F’de kessin. OC, AB’yi
D’de kestiğine göre CE.CF = AD.BD ve CD2 = AE. BF olduğunu gösteriniz.
iz
20
00
@
137. ABCD kirişler dörtgeninde AD < CD ve köşegenlerin kesim noktası E’dir.
EC üzerinde alınan bir M noktası için m(CBM) = m(ACD) ise BME üçgeninin
çevrel çemberinin ABCD’nin çevrel çemberine B’de teğet olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
138. İki çember A ve B noktalarında kesişsin. Bu çemberlerin ortak dış teğetinin
değme noktalrı P ve Q ise AB’nin PQ’yu ortaladığını gösteriniz.
139: ABC eşkenar üçgeninin AB ve AC kenarlarının orta noktaları sırasıyla D ve E
olsun. [DE, üçgenin çevrel çemberini P’de kestiğine göre DE2 = DP.PE olduğunu
gösteriniz.
139. Bir çembere dışındaki bir P noktasından çizilen teğetin değme noktası A olsun. Çember üzerinde alınan B ve C noktaları için BC // PA olmak üzere PB ve
PC çemberi sırasıyla M ve N’de kestiğine göre MN’nin PA’yı ortaladığını gösteriniz.
19
140. A, B, C, D, E noktaları bir çember üzerinde saat yönünde dizilsin. CD ve
AE’nin kesim noktası Y, çemberin B’deki teğeti ile AC’nin kesim noktası X olsun.
XY = XB olması için gerek ve yeter şartın XY // DE olduğunu gösteriniz.
141. Bir S çemberine dışındaki bir P noktasından PA ve PB teğetleri çizilsin. S
çemberi üzerindeki bir C noktasından çembere çizilen teğet ile BA, Q’da kesişsin.
PQ2 = PB2 + QC2 olduğunu gösteriniz.
l.c
om
142. Bir S 1 çemberinin AB kirişi üzerinde keyfi bir C noktası verilsin. AB’ye C’de
teğet olan S 2 çemberi S 1 çemberini P ve Q’da kessin. PQ  AB = K ise K noktasının S 2 çemberinin seçiminden bağımsız olduğunu gösteriniz.
olduğunu gösteriniz.
gm
1 1 1
1 
 


AD 2  BD CD 
@
için m(BDA) = 2.m(BAD) ise
ai
143. ABC üçgeninde m(BAC) = 900 olup BC kenarı üzerinde alınan bir D noktası
os
m
an
ek
iz
20
00
144. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları verilsin. Çemberin
A’daki teğeti ile BC’nin kesim noktası K ve çemberin B’deki teğeti ile AD’nin
kesim noktası H olsun. BK = BC ve AH = AD ise ABCD nin ikizkenar yamuk olduğunu gösteriniz.
146. ABC üçgeninde diklik merkezi H ve BC’nin orta noktası D’dir. AD,
ABC’nin çevrel çemberini A 1 de kessin. A 1 ’in D’ye göre simetriği A 2 ise AD 
HA 2 olduğunu gösteriniz.
147. ABCD kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R’dir.
AB  CD = P, BC  AD = Q ve AC  BD = S olsun. P, Q, S noktalarının O noktasına uzaklıkları sırasıyla p, q, s ise PQS üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz.
Ayrıca O noktasının PQS üçgeninin diklik merkezi olduğunu gösteriniz.
148. Bir çembere dışındaki P noktasından PA ve PB teğetleri çizilsin. P’den geçen
bir doğru çemberi sırasıyla D ve E’de kessin. A’dan geçen DE’ye paralel doğru
çemberi C’de kessin. BC ile DE nin kesim noktası G ise DG = GE olduğunu gösteriniz
20
149. Bir çember üzerinde verilen sırada A,B,C,D noktaları verilsin. AD ve BC,
P’de kesişsin. P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T olsun. P den
geçen AC’ye paralel doğru ile BD, M’de kesişsin. MT = MP olduğunu gösteriniz.
150. İkişer ikişer kesişen üç çemberin ortak kirişleri noktadaş veya paralel olduğunu gösteriniz..
om
151. O merkezli bir çembere içten teğet olan iki çemberin değme noktaları Q ve R
olup bu çemberler M ve N’de kesişmektedirler. Q, N, R doğrusal ise OM  MN
olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
l.c
151. Kesişmeyen C 1 ve C 2 çemberlerinin merkezleri sırasıyla O 1 ve O 2 olup
O 1 O 2 doğru parçası çemberleri sırasıyla A 1 ve A 2 ’de kessin. C 1 ve C 2 çemberleri
üzerinde sırasıyla B 1 ve B 2 noktaları alınsın. B 1 B 2 çemberlerin ortak dış teğeti ve
B 1 A 1 ve B 2 A 2 ’nin kesim noktası P olsun. P den geçen O 1 O 2 ’ye dik doğrunun bu
çemberlerin kuvvet ekseni olduğunu kanıtlayınız.
an
ek
iz
20
152. Kesişmeyen iki çemberin ortak iç ve dış teğetlerinin orta noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
os
m
153. ABC üçgeninin BC ve AC kenarları üzerinde sırasıyla A 1 ve B 1 noktaları verilsin. AA 1 ve BB 1 çaplı çemberlerin ortak kirişinin ABC üçgeninin diklik merkezinden geçtiğini gösteriniz.
154. O merkezli bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları alınsın.
AB ile CD’nin kesim noktası E ve AC ile BD’nin kesim noktası F’dir. AFD ve
BFC üçgenlerinin çevrel çemberleri F’den başka H’de kesişiyor ise m(OHF) =
900olduğunu gösteriniz.
.
155 [Haruki-Ceva]. Üç çember ikişer ikişer A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , C 1 , C 2 noktalarında
kesiştiğine göre A1B2 . B1C2 .C1A2 1 olduğunu gösteriniz.
A1C2 B1A2 C1B2
21
156. ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde bir A 1 noktası verilsin. A 1 B’nin orta dikmesi AB’yi P’de, A 1 C’nin orta dikmesi ise AC’yi Q’da kessin. A 1 noktasının
PQ’ya göre simetriğinin ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olduğunu gösteriniz.
om
157. O merkezli çember üzerinde sırasıyla A, B, C, D noktaları verisin. BD,
OC’nin orta dikme doğrusu olmak üzere AC doğru parçası üzerinde alınan bir P
noktası için PC = OC olsun. BP, AD ve çemberi sırasıyla E ve F’de kestiğine göre
PF2 = BF. EF olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
l.c
158. C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. Çemberlere A’ da teğet
olan doğrular C 1 ve C 2 ’yi sırasıyla K ve L’de kestiğine göre BK.BL = AB2 olduğunu gösteriniz.
159. C 1 ve C 2 çemberleri A ve B’de kesişmektedirler. Çemberlerin A’daki teğetleri C 1 ve C 2 ’yi sırasıyla K ve L’de kessin. KB ve LB çemberleri sırasıyla C ve
D’de kessin. KC = LD olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
160. C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. C 1 çemberinin A’daki teğeti C 2 ’yi C’de kessin. B’den geçen AC’ye paralel doğru C 1 ve C 2 ’yi sırasıyla D
ve E’de kestiğine göre AD // EC olduğunu gösteriniz.
os
m
an
161. C 1 ve C 2 çemberleri P ve Q da kesişsin. P’den geçen bir doğru C 1 ve C 2
çemberlerini sırasıyla A ve B’de kessin. AB’nin orta noktası X olsun. QX ise C 1 ve
C 2 çemberlerini sırasıyla Y ve Z’de kestiğine göre YZ’nin orta noktasının X olduğunu gösteriniz.
162. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. Çemberlere A’ da teğet olan doğrular O 1 B ve O 2 B’yi sırasıyla L ve K’da kestiğine göre
KL // O 1 O 2 olduğunu gösteriniz.
163. C 1 ve C 2 çemberleri A ve B’de kesişsin. C 1 çemberinin merkezi O olup üzerinde bir C noktası verilsin. AC ve BC, C 2 çemberini sırasıyla D ve E’de kestiğine
göre OC  DE olduğunu gösteriniz.
22
164. İki çember X ve Y’de kesişsin. Çemberlerin ortak dış teğetlerinin değme noktaları P ve T olsun. X noktası PT’ye daha yakın olmak üzere PX diğer çemberi
Z’de kessin. m(PYT) = m(ZYT) olduğunu gösteriniz
165. C 1 ve C 2 çemberleri A ve B’de kesişsin. B’den geçen bir doğru C 1 çemberini
K’da C 2 çemberini L’de kessin.C 1 çemberinin AL’ye paralel teğetinin değme noktası Q ve AQ ile C 2 çemberi R’de kesişsin. C 2 çemberinin R’deki teğetinin AK’ya
paralel olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
166. İki çemberin kesim noktaları X ve Y olup bu çemberlere A ve B noktalarında
teğet olan bir doğru verilsin. X noktası AB’ye daha yakın olmak üzere AXY çemberine X’de teğet olan doğru BXY çemberini Z’de kessin. BZ ile AX’in kesim noktası T olmak üzere BX ve BZ’nin XYT çemberine teğet olduğunu gösteriniz.
iz
20
00
@
167. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. O 1 B,
C 2 çemberini F’de, O 2 B, C 1 çemberini E’de kessin. B’den geçen EF’ye paralel
doğru C 1 ve C 2 çemberlerini sırasıyla M ve N’de kestiğine göre MN = AE + AF
olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
168. Dar açılı ABC üçgeninde BD ve CE yükseklik olup AB çaplı çember [CE]’yi
M’de, uzantısını N’de kessin. AC çaplı çember [BD]’yi P’de uzantısını Q’da kestiğine göre M, N,P,Q noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
169. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. A’dan
geçen bir doğru C 1 ve C 2 çemberlerini sırasıyla Y ve Z’de kessin. Çemberlerin Y
ve Z’daki teğetlerinin kesim noktası X olsun. YO 1  ZO 2 = P olmak üzere
O 1 BO 2 çemberi BX ile Q’da kesişsin. Bu durumda PQ’nun O 1 BO 2 çemberinin
çapı olduğunu gösteriniz.
170. C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. B’den geçen bir doğru C 1
ve C 2 çemberlerini sırasıyla C ve D’de kessin. Çemberlerin C ve D’deki teğetleri
P noktasında kesişsin. AP  CD = Q olmak üzere Q’dan geçen PC’ye paralel
doğru AC’yi R’da kestiğine göre BR’nın C 2 çemberine teğet olduğunu gösteriniz.
23
171. İki çemberin kesim noktası P ve Q olsun. P’den geçen bir doğru çemberleri
A v A 1 noktalarında kessin. Q’dan geçen AA 1 ’e paralel doğru çemberleri B ve
B 1 ’de kessin. PBB 1 ve QAA 1 üçgenlerinin çevrelerinin eşit olduğunu gösteriniz.
172. O 1 ve O 2 merkezli C 1 , C 2 çemberleri A ve B noktalarında kesişsin. BO 1 , C 2
çemberini D’de, BO 2 , C 1 çemberini E’de kestiğine göre D, E, O 1 ve O 2 noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
l.c
om
173. O 1 ve O 2 merkezli çemberler A ve B noktalarında kesişsin. A’dan geçen bir
doğru O 1 ve O 2 merkezli çemberleri sırasıyla C ve D’de kestiğine göre BO 1 C =
BO 2 D olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
174. O 1 ve O 2 merkezli çemberlerin kesim noktaları A ve B olsun. O 1 A, O 2 merkezli çemberi P noktasında kestiğine göre m(APO 2 ) = m(O 1 BO 2 ) olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
175. C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. C 1 üzerinde alınan bir K
noktası için KA ve KB, C 2 çemberini sırasıyla L ve M’de kestiğine göre C 1 çemberinin K’daki teğetinin ML’ye paralel olduğunu gösteriniz.
os
m
an
176. C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B olup bu çemberlerin ortak dış
teğetinin değme noktaları C ve D’dir. m(CAD) + m(CBD) =  olduğunu gösteriniz
177. AB çaplı yarım çembere dışındaki P noktasından PC ve PD teğetleri çizisin.
P’den AB’ye inilen dikme ayağı Q olsun. PC ve PD, AB’yi sırasıyla K ve L’de
kestiğine göre KD, CL ve PQ’nun noktadaş olduğunu gösteriniz.
178. Merkezleri X ve Y olan ve iki noktada kesişen çemberlerin kesim noktalarından biri A’dır. Çemberlere A’da teğet olan doğrular çemberleri tekrar B ve
C’de kessin. AXPY paralelkenar olacak şekilde bir P noktası alınsın. P noktasının
ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
24
179. C 1 ve C 2 çemberleri A ve B’de kesişsin. C 1 çemberi üzerinde bir C noktası
verilsin. CA ve CB, C 2 çemberini sırasıyla D ve E’de kessin. DB ve EA, C 1 çemberini sırasıyla F ve G’de kestiğine göre CF = CG olduğunu gösteriniz.
P
A
B
S
R
T
ai
l.c
om
180. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. Çemberlerin merkezleri biri diğerinin içinde olmamak şartıyla O 1 A, C 2 çemberini
P 2 ’de O 2 A, C 1 çemberini P 1 ’de kestiğine göre O 1 , O 2 , P 1 , P 2 noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
181. C 1 ve C 2 çemberleri A ve B’de kesişsin. C 1 çemberi üzerinde bir C noktası
verilsin. CA ve CB, C 2 çemberini sırasıyla D ve E’de kessin. DB ve EA, C 1 çemberini sırasıyla F ve G’de kestiğine göre CF = CG olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
182. O 1 ve O 2 merkezli C 1 , C 2 çemberleri M ve N noktalarında kesişsin. Çemberlerin ortak teğeti C’ye A’da C 1 ’e B’de teğet olmak üzere M noktası AB’ye N’den
daha yakın olsun. B’den geçen AM’ye dik doğru ie OO 1 , D’de kesişsin. BB 1 , C 1
çemberinin çapı ise M, D, B 1 noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
os
m
183. S 1 ve S 2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B’dir. A’dan geçen ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya paralel olan doğru S 1 ve S 2 çemberlerini sırasıyla C ve D’de kessin. CD çaplı S 3 çemberi S 1 ve S 2 çemberlerini sırasıyla P ve
Q’da kessin. Cp, DQ, AB’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
184. Birbirlerine teğet olan iki çemberin merkezlerini birleştiren doğru değme
noktasından geçer.
185. İki çember P noktasında dıştan teğet olup ortak dış teğetlerinin değme noktaları A ve B ise m(APB) = 900 olduğunu gösteriniz.
25
186. O 1 merkezli C 1 çemberi ile O 2 merkezli C 2 çemberi P’de dıştan teğettir.
O 1 O 2 , C 1 çemberini A’da, C 2 çemberini B’de kessin. Bu çemberlerin ortak dış teğeti C 1 ’e D’de, C 2 ’ye C’de teğettir. AD ile BC’nin kesim noktası Q olduğuna göre, AD  BC ve AD, BC ve çemberlerin P’deki ortak teğetinin noktadaş olduğunu
gösteriniz.
187. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberleri P noktasında içten (veya dıştan) teğettir. P’den geçen bir doğru C 1 ve C 2 çemberlerini sırasıyla P 1 ve P 2 noktalarında kestiğine göre O 1 P 1 // O 2 P 2 olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
188. O 1 , O 2 , O 3 merkezli C 1 , C 2 , C 3 çemberleri ikişer ikişer dıştan teğettir. C 1 ve
C 2 , A noktasında, C 2 ve C 3 , B noktasında, C 3 ve C 1 , C noktasında teğettir. AC ve
AB, C 3 çemberini P ve Q’da kestiğine göre PQ’nun C 3 çemberinin çapı olduğunu
gösteriniz.
20
00
@
189. O merkezli AB çaplı yarım çemberin çapı üzerinde bir C noktası verilsin.
AB’ye C’de dik doğru çemberi D’de kessin. CD, CB ve çembere sırasıyla P, Q ve
R’de teğet olan bir çember verilsin. m(PRB) = 900 olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
190. O merkezli AB çaplı yarım çemberin çapı üzerinde bir C noktası verilsin.
AB’ye C’de dik doğru çemberi D’de kessin. CD, CB ve çembere sırasıyla P, Q ve
R’de teğet olan bir çember verilsin. AD = AQ olduğunu gösteriniz.
191. AB çaplı S çemberinin AB çapı üzerinde bir C noktası verilsin. AC ve BC
çaplı çemberler sırasıyla S 1 ve S 2 olsun. C’den geçen bir doğru S 1 ve S 2 çemberlerini sırasıyla K ve L’de, S çemberini P ve Q noktalarında kessin. PK = QL olduğunu gösteriniz.
L
A
C
P
Q
B
K
26
192. C 1 , C 2 ve C 3 çemberleri birbirine dıştan teğet olup C 1 ile C 3 , A’da, C 2 ile C 3 ,
B’de, C 1 ile C 2 , C’de teğettir. C’den geçen C 1 ile C 2 çemberlerine teğet olan doğru
C 3 çemberini sırasıyla P ve Q’da kessin. PQ’nun orta noktası R ise ABR üçgeninin dışteğet çemberlerinin birinin merkezinin C noktası olduğunu gösteriniz.
Q
R
A
P
B
om
C
@
gm
ai
l.c
193. C 2 çemberi C 1 çemberine P noktasında içten teğet olsun. C 2 çemberine üzerindeki X noktasından çizilen teğet C 1 çemberini A ve B’de kessin. m(APX) =
m(BPX) olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
00
194. C 2 çemberi C 1 çemberine P noktasında içten teğet olsun. C 1 çemberine üzerindeki Q noktasından C 2 çemberine çizilen teğetlerin değme noktaları X ve Y
olup QX ve QY, C 1 çemberini sırasıyla A, B’de kessin. m(APB) = 2.m(XPY) olduğunu gösteriniz.
os
m
an
195. C 1 çemberi C 2 çemberine A noktasında içten teğet olmak üzere A’dan geçen
bir doğru C 1 ve C 2 ’yi sırasıyla B ve C’de kessin. C 1 ’e B’de teğet olan doğru C 2
çemberini D ve E’de kessin. C 1 çemberine C noktasından çizilen teğetlerin değme
noktaları F ve G olsun. D, E, F, G noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
196. C 2 çemberi C 1 çemberine P noktasında içten teğet olsun. C 1 çemberi üzerinde alınan A ve B noktalarından C 2 çemberine AE ve AF teğetleri çizilsin.
PA
PB

AE
BF
olduğunu gösteriniz.
197. ABC üçgeninin I merkezli iç çemberi BC kenarına D noktasında teğettir. İç
çembere D’de ve ABC üçgeninin çevrel çemberine P noktasında içten teğet bir
 çemberi verilsin. m(API) = 900 olduğunu gösteriniz.
27
198. C 1 çemberi üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları verilsin. C 2 çemberi
P noktasında C 1 çemberine içten teğet olsun. DB ile AC, C 2 çemberine sırasıyla E
ve F’de teğet olup EF  AB  Q ise PQ’nun APB açısının açıortayı olduğunu
gösteriniz.
199. ABC üçgeninin çevrel çemberine P noktasında içten teğet K çemberi verilsin.
AB ve AC, K çemberine sırasıyla M ve N’de teğet olup AP  MN = S ise m(SBA)
= m(SCA) olduğunu gösteriniz.
l.c
om
200. Bir S çemberi ABC üçgeninin AB, CA kanarlarına teğettir. S çemberi ABC
üçgeninin çevrel çemberine K noktasında teğet olsun. ABC üçgeninin iç çember
merkezi I olmak üzere m(AKI) = m(CKI) olduğunu gösteriniz.
@
gm
ai
201. İkişer ikişer birbirine dıştan teğet olan dört çemberin değme noktalarının köşe kabul eden dörtgenin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
00
202. AB çaplı yarım çembere S noktasında iç ten teğet olan bir çember AB’ye T’de
teğettir. S’den AB’ye inilen dikme ayağı E olamk üzere AT = 6 ve TB = 4 ise SE =
?
os
m
an
203. r 1 , r 2 , r 3 yarıçaplı C 1 , C 2 , C 3 çemberleri verilsin. C 1 ve C 2 çemberleri dıştan
teğet olup C 3 çemberi ise hem C 1 ve C 2 çemberlerine hem de ortak dış teğetine
1
1
1


teğet ise
olduğunu gösteriniz.
r3
r1
r2
204. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberleri birbirine dıştan teğet, O merkezli R
yarıçaplı C çemberine içten teğettirler. O 1 OO 2 üçgeninin çevresinin 2R olduğunu
gösteriniz.
205. Problem. O 1 ve O 2 merkezli C 1 ve C 2 çemberleri P noktasında dıştan teğettir. Çemberlerin P noktasındaki ortak teğeti üzerinde alınan bir A noktasından C 1
ve C 2 çemberlerine çizilen teğetlerin değme noktaları sırasıyla P 1 ve P 2 olsun.
m(P 1 AP 2 ) = 1200 ve P 1 AP ve P 2 AP açıları dardır. AP 1 ve AP 2 , O 1 O 2 ’yi sırasıyla
G 1 ve G 2 ’de kessin.
28
206. AB çaplı yarım çembere C diyelim. Yarıçapları sırasıyla r, r 1 , r 2 olan S, S 1 ,
S 2 çemberleri AB doğru parçası ile C çemberine teğettirler. S 1 ve S 2 , S çemberine
1
1
2 2


dıştan teğet olduğuna göre
olduğunu gösteriniz.
r1
r2
r
ai
l.c
om
207. ABCD kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve AC ile BD’nin
kesim noktası O’dan farklı M noktasıdır. M’den geçen OM’ye dik doğru AB ve
CD kenarlarını sırasıyla X ve Y’de kessin. BX = CY olması için gerek ve yeter
şartın AB = CD olduğunu gösteriniz.
20
00
@
gm
208. ABCD kirişler dörtgeninin alanı S olsun. ABCD çemberinin merkezi O olup
dörtgenin iç bölgesindedir. Köşegenlerin kesim noktasının dörtgenin kenarları
üzerindeki dik izdüşümü olan noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanın S/2’yi
geçemeyeceğini gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
209. Yarı çevresi u ve kenar uzunlukları a, b, c, d olan kirişler dörtgeninin alanı
S  (u  a )(u  b)(u  c)(u  d ) olduğunu gösteriniz.
210. Kenar uzunlukları sabit bir dörtgenin alanının en büyük değerini alması için
dörtgenin kirişler dörtgeni olması gerektiğini gösteriniz.
211[Ptolemy]. Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının çarpımlarının toplamları, köşegen uzunluklarının çarpımlarına eşittir.
212. Bir ABCD paralelkenarının A köşesinden geçen çember AB kenarını E’de,
AC köşegenini F’de ve AD kenarını T’de kessin. AEAB + ATAD = AF.AC olduğunu gösteriniz.
29
213. ABC üçgeninde AB = AC dir. ABC’nin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı
PA
AC

üzerinde alınan bir P noktası için
olduğunu gösteriniz.
PB  PC BC
214. ABCD karesinin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alına bir P
PA  PC PD
noktası için

olduğunu gösteriniz.
PB  PD PA
Aynı çember üzerinde bulunan A, B, C, D, E noktaları için m(BAC) =

CA
m(CAD) = m(DAE) ise BA AD 
olduğunu gösteriniz.
CA  AE
AD
215.
gm
ai
l.c
om
216. ABCD kirişler dörtgeninin çevrel çember yarıçapı 1 olmak üzere
AB.BC.CD.DA  4 ise ABCD’nin kare olduğunu gösteriniz.
20
00
@
217. ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan bir P noktası için
PA PB PC


 2 olduğunu gösteriniz.
BC CA AB
AC AB. AD  CB.CD

olduğunu gösteriniz.
BD BA.BC  DA.DC
an
ek
iz
218. ABCD kirişler dörtgeni ise
os
m
219. Bir ABCD kirişler dörtgeninde AB.BC = 2.AD.DC ise AC, BD köşegenleri
için 8.BD2 < 9.AC2 eşitsizliğinin sağlanacağını kanıtlayınız.
220. ABCD kirişler dörtgeni ise AC  BD  AB  CD olduğunu gösteriniz.
221.[Ptolemy Eşitsizliği]. Konveks ABCD dörtgeninde AC.BD  AB.CD +
BC.AD dir. Eşitlik ancak ve ancak ABCD’nin kirişler dörtgeni olması durumunda
geçerlidir.
30
222. ABCDEF konveks altıgeninde AB = BC, CD = DE ve EF = FA ise
BC DE FA 3


 olduğunu gösteriniz.
BE DA FC 2
223. ABCD kirişler dörtgeninde ABD ve ABC üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla H c ve H d ise CDH c H b ’nin paralelkenar olduğunu gösteriniz.
224. ABCD kirişler dörtgeni olup BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin diklik
merkezleri sırasıyla H a , H b , H c , H d ise H a H b H c H d ve ABCD dörtgenlerinin eş olduğunu gösteriniz.
ai
l.c
om
225. ABCD kirişler dörtgeninde BCD, ACD, ABD ve ABC üçgenlerinin iç teğet
çemberlerinin merkezleri sırasıyla I A , I B , I C ve I D ’dir. I A I B I C I D ’nin dikdörtgen
olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
226. ABCD kirişler dörtgeninde AC  BD  P ’dir. ABCD, ABP, BCP, CDP,
DAP çemberlerinin merkezleri sırasıyla O, O 1 , O 2 , O 3 , O 4 ise OP, O 1 O 3 ,
O 2 O 3 ’ün noktadaş olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
227. ABCD kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktası O olup AB ve
CD’nin orta noktaları sırasıyla M ve N’dir. AD ve BC üzerinde alınan P ve Q noktaları için OP  AD ve OQ  BC ise MN  PQ olduğunu gösteriniz.
os
m
228. Bir ABC eşkenar üçgeni ve onun çevrel çemberini çizelim. Kısa BC yayı üzerinde alınan herhangi bir P noktası için AP = BP + CP’dir.
229. ABCDE düzgün beşgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde
alına bir P noktası için PA + PD = PB + PC + PE olduğunu gösteriniz.
230. ABCDEF düzgün altıgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde
alına bir P noktası için PE + PF = PA + PB + PC + PD olduğunu gösteriniz.
31
231. ABCDEFG düzgün yedigeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alına bir P noktası için PC + PE + PG + PB = PD + PF + PA olduğunu gösteriniz.
232. ABCD karesinin çevrel çemberinin kısa olan CD yayı üzerinde alınan bir P
noktası için PA  PC  2.PB olduğunu gösteriniz.
233. ABCD kirişler dörtgeninde BC = CD ise A( ABCD) 
1
AC 2 sin A olduğu2
l.c
om
nu gösteriniz.
@
gm
ai
234. ABCD kirişler dörtgeninde BCD, ACD, ABD, ABC üçgenlerinin iç çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r a , r b , r c , r d ise r a + r c = r b + r d olduğunu gösteriniz
ek
iz
20
00
235.Kenar uzunlukları a, a + k, a + 2k, a + 3k ve en uzun ve en kısa kenarları arasındaki açı  olan bir kirişler dörtgeninde A(ABCD) = k2tan  olduğunu gösteriniz.
os
m
an
236. Bir kiriş dörtgeninin kenar uzunluklarından herhangi ikisinin toplamı diğer
ikisinin toplamına eşitse, bu dörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımının kareköküdür.
237. ABC üçgeninin A açısına ait açıortayı üçgenin çevrel çemberini D’de kestiğine göre AB + AC  2.AD olduğunu gösteriniz.
238. ABCD kirişler dörtgeninde A ve C’den BD köşegenine inilen dikme ayakları
sırasıyla A 1 ve C 1 ’dir. B ve D’den AC köşegenine inilen dikme ayakları sırasıyla
B 1 ve D 1 ise A 1 B 1 C 1 D 1 dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
239. ABCD kirişler dörtgeni olup A ile B noktalarından geçen çembere K 1 diyelim. Benzer şekilde B ile C’den geçen K 2 , C ile D’den geçen K 3 ve D ile A’dan
geçen K 4 olsun. K 1 ile K 2 çemberi B 1 ’de kesişsin. Benzer şekilde K 2 ile K 3 çem-
32
beri C 1 ’de, K 3 ile K 4 çemberi D 1 ’de, K 4 ile K 1 çemberi A 1 ’de kesişsin.
A 1 B 1 C 1 D 1 dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
240. ABCD kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktası P’dir. APB üçgeninin çevrel çember merkezi O ve CPD üçgeninin diklik merkezi H ise O, P, H’nin
doğrusal olduğunu gösteriniz.
om
241. ABCD kiriş dörtgeninin A köşesinden DB, BC, CD kenarlarına indirilen dikme ayakları sırasıyla X, Y, Z olsun. AX = x, AY = y ve AZ = z olduğuna göre
BD BC CD
olduğunu gösteriniz.


x
y
z
@
gm
ai
l.c
242. Düzlemde alınan A, B, C, D noktaları için C ile D, AB doğrusunun aynı tarafında olup AC.BD = AD.BC ve m(ADB) = 90 + m(ACB) dir. Bu durumda
(AB.CD) : (AC.BD) oranını bulunuz ve ACD ve BCD üçgenlerinin çevrel çemberlerinin dik kesiştiğini gösteriniz.
iz
20
00
243. P noktası, a kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin iç çemberi üzerindeki herhangi bir nokta ise |AP|2 + |BP|2 + |CP|2 toplamının bir sabit ve 5a2 olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
244.
Eğer ABCD bir kiriş dörtgeniyse, BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin dış teğet
çemberlerinin merkezleri üst şekildeki gibi bir dikdörtgen belirtir.
245. Eğer ABCD bir kiriş dörtgeniyse, BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin dokuz nokta çemberlerinin ortak bir noktaları vardır. 1
1
Crux 2276.
33
246. ABCD kiriş dörtgeninde DAB, ABC, BCD ve CDA üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla G a , G b , G c ve G d ise ABCD dörtgeni ile Ga Gb Gc Gd dörtgenleri
benzer olup benzerlik oranlarının 3 olduğunu gösteriniz.
247. Eğer ABCD bir kiriş dörtgeniyse, BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin
çevrel çember merkezlerinin belirttiği dörtgen, teğet dörtgeni olur.
l.c
om
248. Bir dışbükey kiriş dörtgeninin kenar uzunlukları a, b, c, d olarak verilmiştir.
Uzunluğu
d
olan
kenar
çevrel
çemberin
çapı
ise
d’nin
3
2
2
2
x  (a  b  c ) x  abc  0 denkleminin reel kökü olduğunu gösteriniz.
@
gm
ai
249. Bir kiriş dörtgeninin bir kenarı çevrel çemberin çapı olup, diğer üç kenarın
uzunlukları 3, 4, 5 olarak veriliyor. Çapın boyunu hesaplayınız.
iz
20
00
250. Bir kiriş dörtgeninin çevrel çember yarıçapı
(ab  cd )(ac  bd )(ad  bc)
R
4S
os
m
an
ek
251. a, b, c, d birer pozitif reel sayı olsun. Kenar uzunlukları sırasıyla a, b, c, d
olan bir kiriş dörtgeni çizebilmek için gerek ve yeter şart a + b > |c – d| ve c + d >
|a – b|’dir.
252. Bir önceki soruda çevrel çember yarıçapını a, b, c, d cinsinden bulunuz. 2
253. m(A) = , |BC| = b ve |CD| = c olan bir ABCD dörtgeninin alanı en çok kaç
olabilir? 3
254..
34
om
Birbirine eş dört çember, tek bir noktada kesişecek şekilde yerleştirilirlerse, bu çemberlerin ikişer ikişer ortak dış teğetleri bir kiriş dörtgeni oluşturacak şekilde kesişirler.
@
gm
ai
l.c
255. ABCD kirişler dörtgeninin AB, BC, CD, DA kenarlarının orta noktaları sırasıyla K, L, M, N’dir. ANK, BKL, CLM, DMN üçgenlerinin diklik merkezlerinin
bir paralelkenar belirttiğini gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
20
00
256. ABC üçgeninin en uzun kenarı olan AC üzerinde AB = AC 1 ve CB = CA 1
olacak şekilde A 1 ve B 1 noktaları verilsin. AB ve CB kenarları üzerinde sırasıyla
alınan A 2 ve C 2 noktaları için AA 1 = AA 2 ve CC 1 = CC 2 ise A 1 C 1 C 2 A 2 dörtgeninin kiriş dörtgeni olduğunu gösteriniz.
ABCD kirişler dörtgenin köşegenleri P noktasında dik kesişsin. Çevrel çemberin
merkezi O ve yarıçapı R olsun. Bu veriler ışığında aşağıdaki problemleri çözelim.
257. 2.(AOCB) = A(ABCD) olduğunu gösteriniz.
258. AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = 4R2 olduğunu gösteriniz.
259. AC2 + BD2 = 8R2 - OP2 olduğunu gösteriniz.
260. A ve B’den CD’ye inilen dikmeler BD ve AC’yi sırasıyla K ve L’de kestiğine
göre AKLB’nin eşkenar dörtgen olduğunu gösteriniz.
35
261. A( ABCD) 
AB.CD  BC. AD
olduğunu gösteriniz.
2
262. P’den geçen BC’ye dik doğrunun AD’yi ortaladığını gösteriniz.
263. P ve AD’nin orta noktasından geçen doğrunun BC’ye dik olduğunu gösteriniz
l.c
om
264. O noktasının AB’ye uzaklığının CD’nin yarısına eşit olduğunu gösteriniz
gm
ai
265. P noktasının ABCD’nin kenarları üzerindeki dik izdüşümlerinin çembersel
olduğunu gösteriniz.
20
00
@
266. P noktasının ABCD’nin kenar orta noktalarına göre simetriği olan noktaların
çembersel olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
267. Çevrel çembere A, B, C, D’de teğet olan doğruların oluşturduğu dörtgenin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz
os
m
268. ABCD çevrel çember merkezi O olan bir kiriş dörtgeni olsun. Bu dörtgen sadece ve sadece O noktasının bir kenara olan uzaklığı, onun karşısındaki kenara
olan uzaklığının yarısıysa (veya iki katıysa) dikgendir
269. ABCD, köşegenleri P noktasında dik kesişen bir kiriş dörtgeni olsun. P noktasından dörtgenin kenarlarına inen dikme ayaklarının bir çift merkezli dörtgen
belirttiğini gösteriniz.
270. Üstteki soruda, çift merkezli dörtgenin aynı zamanda ABCD dörtgeninin kenar orta noktalarından da geçtiğini gösteriniz
271. Çevrel çemberinin merkezi O olan ABCD kirişler dörtgeninde AC  BD = E
oldun. Dörtgenin iç bölgesinde alınan bir P noktası için ABP, BCP, CDP ve DAP
36
çemberlerinin merkezleri sırasıyla O 1 , O 2 , O 3 ve O 4 ise O 1 O 3 , O 2 O 4 ve OE’nin
noktadaş olduğunu gösteriniz.
273. Konveks ABCD dörtgeninin teğetler dörtgeni olması için gerek ve yeter şart
karşılıklı kenar uzunlukları toplamının eşit olmasıdır.
om
274. Bir ABCD teğetler dik yamuğu tabanlara paralel bir doğru ile kesilerek çevre uzunlukları eşit ABEF ve FECD yamukları elde ediliyor. |EF| uzunluğunun
ABCD yamuğunun kenarlarından birine eşit olduğunu kanıtlayınız. 4
gm
ai
l.c
275. ABCD teğetler dörtgeninin iç çemberinin merkezi I ise AIB  DIC  
olduğunu gösteriniz.
20
00
@
276. ABCD teğetler dörtgeninin iç çemberinin merkezi I olsun. AIB üçgeninin
yükseklikleri AA 1 ve BB 1 , CID üçgeninin yükseklileri CC 1 ve DD 1 ’dir. A 1 , B 1 ,
C 1 , D 1 noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
ABCD yamuk olup AD // BC’dir. ABCD’nin teğetler dörtgeni olması için
BC
A
D
gerek ve yeter şartın
 tan .tan olduğunu gösteriniz.
AD
2
2
os
m
an
ek
iz
277.
278. Şekilde PQ // RS // AC ve PKLR ve LSCM dörtgenleri teğetler dörtgeni ise
APQC dörtgeninin de teğetler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
279. ABCD kirişler dörtgeninde AC ve BD köşegenlerinin kesim noktası O olsun.
O noktasının dörtgenin kenarları üzerindeki dik izdüşümü olan noktaları köşe kabul eden dörtgenin teğetler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
37
280. ABCD teğetler dörtgeninin iç çember merkezi O olsun. A’dan geçen OA’ya
dik doğru I A , B’den geçen OB’ye dik doğru I B , C’den geçen OC’ye dik doğru I C ,
D’den geçen OD’ye dik doğru I D olmak üzere I A  I B = K, I B  I C = L, I C  I D
= M ve I D  I A = N olsun. Bu durumda
gm
ai
l.c
om
281. ABCD dörtgeninin karşılıklı kenarları üzerinde ikişer nokta alınsın. Bu noktalar şekildeki gibi birleştirilsin. Taralı dörtgenler teğetler dörtgeni ise ABCD
dörtgeninin de teğetler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
20
00
@
282. ABCD konveks dörtgeninde AB  CD  P ve AD  BC  Q olsun. ABCD
teğetler dörtgeni ise AB + CD = BC + AD, AP + CQ = AQ + CP, BP + BQ = DP
+ DQ olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
283. ABCD yamuğu bir teğetler dörtgeni ve AD // BC olup iç teğet çemberin AB,
BC, CD ve DA kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla P, Q, R ve S olup AQ ve
BS’nin kesim noktası M olsun. PM // AD ve AP.PB = DR.RC olduğunu gösteriniz.
284. Şekilde ANOK ve CMOL dörtgenleri teğetler dörtgeni ise ABCD’ ninde teğetler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
D
K
A
M
O
N
B
L
C
38
285. AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişen bir ABCD dışbükey dörtgeni
alınsın. K’dan kenarlara inen dikme ayakları A, B, C ve D olsun. Eğer ABCD
bir teğet dörtgeniyse, ABCD’nin bir kiriş dörtgeni olduğunu kanıtlayınız.
286. Eğer ABCD bir teğet dörtgeniyse, BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin
çevrel çember merkezlerinin belirttiği dörtgen, kiriş dörtgeni olur.
l.c
om
287. O merkezli k çemberi üzerinde verilen sırada A, E, D, B noktaları alınsı. AB,
k çemberinin çapı olmak üzere ED ile AB’nin kesim noktası C olsun. OBD üçgeninin çevrel çemberi k 1 olmak üzere OF, k 1 ’in çapı olsun. CF ise k 1 ’i tekrar G’de
kesiyorsa A, O, G, E noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
20
00
@
gm
ai
288. ABC üçgeninde A ve B’den geçen bir çember AC ve BC kenarlarını sırasıyla
D ev E’de kessin. AD’nin orta noktası F olmak üzere AB kenarı üzerinde alınan
bir G noktası için FG  AC olsun. m(EGF) = m(ABC) olması için gerek ve yeter
AF BG
şartın
olduğunu gösteriniz.

FC GA
os
m
an
ek
iz
289. AB çaplı yarım çemberin çapı üzerinde C noktası ve çember üzerinde P ve
Q noktaları verilsin. m(ACP) = m(BCQ) = b olsun. Verilen bir b açısı için PQ
uzunluğunun C noktasının seçiminden bağımsız olduğunu gösteriniz.
290. ABC üçgeninde AD ve BE iç açıortaylar olup ABC üçgeninin çevrel çemberi
AG AB  AC
üzerinde alınan F ve G noktaları için AF // DE ve FG // BC ise

BG AB  BC
olduğunu gösteriniz.
291 . AB çaplı çemberin AB çapı üzerinde A ve B’den farklı bir K noktası alınsın.
K dan geçen bir kiriş çemberi C ve D’de kessin. Çemberin A’daki teğeti ile BD ve
BC sırasıyla Q ve P’de kesişsin. AP.AQ nun sabit olduğunu gösteriniz.
39
ai
l.c
om
292. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D, E, F noktaları alısın. Çemberin A ve D’deki teğetlerinin kesim noktası P olmak üzere BF ve CE, P’den geçsin.
AD, BC ve EF’nin paralel veya noktadaş olduğunu gösteriniz.
293. Bir C çemberi ve bu çembere sırasıyla A ve B’de içten teğet kesişmeyen C 1
ve C 2 çemberleri verilsin. C 1 ve C 2 ’ye sırasıyla D ve E’de teğet olan ortak dış teğeti d olsun. AD ile BE’nin kesim noktası F ise F noktasının C çemberi üzerinde
olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
00
@
gm
294. Bir S çemberi ve bu çemberi kesmeyen bir d doğrusu verilsin. AB çemberin
çapı olmak üzere AB  d ‘dir. B noktası d doğrusuna A’dan daha yakın olmak
üzere çember üzerinde A ve B’den farklı bir C noktası seçilsin. AC  d = D’dir.
D’den S çemberine çizilen teğetin değme noktası E olmak üzere B ile E, AC’nin
aynı tarafındadır. BE  d = F ve AF çemberi A’dan başka G’de kestiğine G’nin
AB’ye göre simetriğinin CF üzerinde olduğunu gösteriniz.
os
m
an
295. Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O olup m(B) < m(C)’dir.
AO  BC = D’dir. ABD ve ACD üçgenlerinin çevrel çember merkezleri sırasıyla
E ve F’dir. BA ve CA’nın uzantılarında sırasıyla seçilen G ve H noktaları için AG
= AC ve AH = AB olsun. Gösteriniz ki; “ EFGH dikdörtgendir ancak ve ancak
m(ACB) – m(ABC) = 60’dır.”
296. Bir doğru üzerinde verilen sırada A, B, C noktaları alınsın. A ve C’den geçen
merkezi AC üzerinde olmayan çembere K diyelim. K çemberinin A ve C’deki teğetlerinin kesim noktası P’dir. PB ile K çemberinin kesim noktası Q olsun. AQC
açısının AC’yi kestiği noktanın K çemberinin seçiminden bağımsız olduğun gösteriniz.
297. ABC üçgen olmak üzere A ve B’den geçen bir çember AC ve BC kenarlarını
sırasıyla D ve E’de kessin. AD’nin orta noktası F olmak üzere AD’ye F’de dik
40
olan doğru AB kenarını G’de kessin. m(EGF) = m(ABC) olması için gerek ve yeter şartın AF/FC = BG/GA olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
298. Bir çembere dışındaki bir C noktasında çizilen teğetin değme noktası A olsun. C’den geçen bir doğru çemberi sırasıyla D 1 ve E 1 ’de kessin. Yine C den geçen başka bir doğru çemberi sırasıyla D 2 ve E 2 ’de kessin. AB çemberin çapı olmak üzere çemberin B’deki teğeti ile AD 1 , AD 2 , AE 1 , AE 2 sırasıyla M 1 , M 2 , N 1 ,
N 2 ’de kesişsin. M 1 M 2 = N 1 N 2 olduğunu gösteriniz.
20
00
@
299. ABCD kirişler dörtgeninin AC ve BD köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla
M ve N olup BMD açısının açıortayı AC’dir. Bu durumda ANC açısının açıortayının BD olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
300. Dar açılı ABC üçgeninde BC’yi çap kabul çembere k AB diyelim. AB ve AC
kenarları ile k AB çemberine dıştan teğet olan çember k A olsun. k AB ile k A ’nın değme noktası A 1 olsun. Benzer şekilde B 1 ve C 1 noktaları tanımlansın. AA 1 , BB 1 ,
CC 1 ’in noktadaş olduğunu gösteriniz.
301. Dar açılı ABC üçgeninde CL açıortaydır. C’den AC ve BC’ye inilen dikme
ayakları sırasıyla M ve N’dir. AN  BM  P ise CP  AB olduğunu gösteriniz.
302. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir D noktası verilsin. B ile D’den geçen bir k 1
çemberi ile C ile D’den geçen k 2 çemberi ikinci kez AD üzerinde kesişsin. k 1 ve
k 2 ’nin BC’yi kestiği noktalar sırasıyla E ve F’dir. DF ile AB’nin kesim noktası X
ve DE ile AC’nin kesim noktası Y ise XY // BC olduğunu gösteriniz.
303. S 1 ve S 2 çemberlerinin kesim noktası A ve B olup S 1 üzerinde bir Q noktası
alınsın. QA ve QB, S 2 çemberini sırasıyla C ve D’de kessin. S 1 ’in A ve B’deki
41
teğetlerinin kesim noktası P olsun. Q noktası S 2 ’nin dışında ve C ve D noktaları
S 1 ’in dışında ise QP’nin CD’yi ortaladığını gösteriniz.
304. ABC üçgeninde C’ye ait iç açıortay AB’yi D’de kessin. CD  CA.CB olduğunu gösteriniz.
om
305. ABC üçgeninin iç çember merkezi I ve yarıçapı r’dir. CM kenarortayının orta noktası N olmak üzere CN – IN = r ise AB = BC veya m(ACB) = 90 olduğun
gösteriniz.
gm
ai
l.c
306. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar
sırasıyla D, E, F olsun. AE = AF = u – a, BF = BD = u – b, CE = CD = u – c eşitlikleri mevcuttur.
20
00
@
307. ABC üçgeninin iç teğet çemberi AC ve BC kenarlarına M ve N’de teğet olup
merkezi I’dır. AI  MN = P ise AP  BP olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
308. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olup BC ve CA’ya D sırasıyla D ve E’de
teğettir. AB ve AC kenarlarının orta noktaları sırasıyla K ve L olsun. BI’nın DE
ile KL’nin kesim noktasından geçtiğini gösteriniz.
309. ABC bir üçgen olmak üzere BC üzerinde bir D noktası alınsın C, B ile D arasında olmak üzere ABD ve ACD üçgenlerinin iç çemberlerinin kesim noktaları P
ve Q olsun. PQ’nun sabit bir noktadan geçtiğini gösteriniz.
310. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar
sırasıyla D, E, F ve çemberin merkezi I olsun. BI ve CI, EF’yi sırasıyla P ve Q’da
kessin. PIQ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ise O, I, D noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
42
311. ABC dik üçgeninde m(A) = 900 ve üçgeninin iç teğet çemberi AC, BC ve AB
kenarlarına sırasıyla M, N ve S’de teğet olup merkezi I’dır. BI  MN = P ve SP 
AC = Q ise CQ = SI olduğunu gösteriniz.
312. ABC üçgeninin iç teğet çemberi AC ve BC kenarlarına M ve N’de teğet olup
merkezi I’dır. AI  MN = P ve BI  MN = Q olduğuna göre MP.IA = BC.IQ olduğunu gösteriniz.
l.c
om
313. ABC dik üçgeninde m(A) = 900 ve üçgeninin iç teğet çemberi AC, BC ve AB
kenarlarına sırasıyla M, N ve S’de teğettir. S’den MN’ye inilen dikme ayağı P ise
m(BPS) = 450 olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
ai
314. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar
sırasıyla D, E, F ve iç çemberin merkezi I olsun. D’den EF’ye inilen dikme ayağı
K ise FK : EK = BF : CE olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
315. Çeşitkenar ABC üçgeninin iç çember merkezi I ve yarıçapı r olmak üzere
BC’nin orta noktası M olsun. AH yükseklik olmak üzere MI  AH = E ise AE = r
olduğunu gösteriniz.
os
m
316. ABC üçgeninde CH yükseklik olup ACH ve BCH açılarının açıortayları sırasıyla CM ve CN olsun. CMN çemberi ile ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi çakışık ise AC + BC = AN + BM olduğunu gösteriniz.
317. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar
sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 ’dir. C 1 K iç çemberin çapı olmak üzere A 1 K  B 1 C 1 = P ise
CP = CB 1 olduğunu gösteriniz.
318. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F ‘de
teğettir. AD çemberi X’de kesmek üzere AX = XD olsun. BX ve CX çemberi sırasıyla Y ve Z’de kestiğine göre FY = EZ olduğunu gösteriniz.
43
319. ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olan I noktasından geçen bir
doğru AB ve AC kenarlarını sırasıyla D ve E’de kessin. BDEC kirişler dörtgeni ise
DE = DB + EC olduğunu gösteriniz.
om
320. ABC üçgeninin iç çemberinin merkezi I olup iç çember BC kenarına T’de
teğettir. T’den geçen IA’ya paralel doğru iç çemberi S’de kessin. İç çemberin
S’deki teğeti AB ve AC kenarlarını sırasıyla C 1 ve B 1 ’de kestiğine göre ABC üçgeni ile AB 1 C 1 üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
321. Dar açılı ABC üçgeninde AA 1 ve CC 1 yüksekliktir. AA 1 C ve AC 1 C
üçgenlerinin merkezleri sırasıyla Q ve P olsun. QP’nin AB ve BC’yi kestiği noktalar sırasıyla X ve Y ise BX = BY olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
00
@
322. ABC üçgeninin iç çemberi AB, BC, CA kenarlarına sırasıyla K, L, M’de teğet
olup merkezi I’dır. B’den geçen KL’ye paralel bir doğru MK ve ML’yi sırasıyla R
ve S’de kessin. RIS açısının dar açı olduğunu gösteriniz.
323. Dar açılı ABC üçgeninde AB > AC olup AH yüksekliktir. AH’in orta noktası
M ve üçgenin iç çemberinin BC’ye teğet olduğu nokta D olmak üzere DM, iç
çemberi tekrar N’de kessin. m(BND) = m(CND) olduğunu gösteriniz.
os
m
an
324. Bir üçgenin alanı ve çevresini aynı oranda bölen doğrunun iç çemberin merkezinden geçtiğini gösteriniz.
324. ABC üçgeninde BC’nin orta noktası M olmak üzere AM, iç çemberi K ve
L’de kessin. K ve L’den geçen BC’ye paralel doğrular iç çemberi X ve Y’de kessin. AX ve AY, BC’yi P ve Q’da kestiğine göre BP = CQ olduğunu gösteriniz.
325. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerinde sırasıyla alınan A 1 , B 1 , C 1
noktaları için AC 1 = AB 1 , BA 1 = BC 1 , CA 1 = CB 1 ise A 1 , B 1 , C 1 noktalarının ABC
üçgeninin iç teğet çemberinin kenarlara teğet olduğu noktalar olduğunu gösteriniz.
44
326. ABC üçgeninde CAB açısını açıortayı AM olup ABM ve AMC üçgenlerinin
iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r 1 ve r 2 olsun. İspatlayınız ki; r 1 = r 2
olması için gerek ve yeter şart ABC üçgeninin ikizkenar olmasıdır.
327. ABC üçgeninin iç çemberi kenarlara D, E, F’de teğettir. İç çember üzerinde
alınan herhangi bir K noktası için K noktasının DEF üçgeninin kenarlarına olan
uzaklıkları toplamı d olsun. KA + KB + KC > 2d olduğun gösteriniz.
ai
l.c
om
328. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. İç çemberin kenarlardan farklı herhangi bir teğeti d olmak üzere d doğrusu üzerinde seçilen A 1 , B 1 , C 1 noktaları için
AIA 1 = BIB 1 = CIC 1 = 90 ise AA 1 , BB 1 , CC 1 ’in noktadaş olduğunu gösteriniz.
00
@
gm
329. ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. EF, FD, DE doğru parçaları üzerinde sırasıyla M, N, P noktaları seçilsin. Gösteriniz ki; “AM, BN, CP noktadaştır ancak ve ancak DM, EN, FP noktadaştır.”
an
ek
iz
20
330. ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. E’den geçen AB’ye paralel doğru DF’yi Q’da, D’den geçen AB’ye paralel doğru EF’yi T’de kessin. CF, DE ve QT’nın noktadaş olduğunu gösteriniz.
os
m
331. ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. Üçgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir P noktası için PA, PB, PC, iç çemberi
sırasıyla X, Y, Z’de kessin. DX, EY, FZ’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
332. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olup AC ve AB’nin orta noktaları sırasıyla B 1 ve C 1 ’dir. B 1 I ve C 1 I, AB ve AC’yi sırasıya C 2 ve B 2 ’de kessin. A(ABC) =
A(AB 2 C 2 ) ise m(BAC) = ?
333. ABC üçgeninin iç çember merkezi I ise 3(IA2 + IB2 + IC2)  AB2 + BC2 +
CA2 olduğunu gösteriniz.
45
334. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olup BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla
D, E, F’de teğettir. AI  EF = K, ED  KC = L ve DF  KB = M ise LM // BC
olduğunu gösteriniz.
335. ABC üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde bir M noktası alınsın.
a) MA2 + MB2 + MC2 ifadesini en küçük yapan M noktasını bulunuz.
b) MA2 + MB2 + MC2 ifadesini en büyük yapan M noktasını bulunuz
gm
ai
l.c
om
336. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar
sırasıyla D, E, F ve çemberin merkezi I olsun. [BF] üzerinde alınan bir P noktasından iç çembere çizilen teğet ile AC, Q noktasında kesişsin. m(PIB) = m(QIC)
olduğunu gösteriniz
00
@
337. ABC üçgenin iç çember merkezinden geçen BC’ye paralel doğru AB ve
AC’yi sırasıyla P ve Q’da kessin. PQ = BP + CQ olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
338. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. BC üzerinde A 1 ve A 2 noktaları,
AC üzerinde B 1 ve B 2 noktaları, AB üzerinde C 1 ve C 2 noktaları alınsın. AI =
A 1 I = A 2 I, BI = B 1 I = B 2 I, CI = C 1 I = C 2 I olmak üzere A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 =
Ç(ABC) olduğunu gösteriniz.
os
m
339. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan X ve Y noktaları için BX.AB = IB2 ve CY.AC = IC2 dir. Eğer X, I, Y
doğrusal ise m(A) = 60 olduğunu gösteriniz.
340. Bir dik üçgende iç çemberin merkezi dik açının bulunduğu köşe ile hipotenüsün orta noktasına eşit uzaklıkta ise bu üçgenin açılarını bulunuz.
341. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F
noktalarında teğet olsun. AD, BE, CF’nin noktadaş olduğun gösteriniz.
332. ABC üçgeninde içteğet çemberin merkezi, Gergonne noktası ve A noktası
doğrusal ise üçgen ikizkenar olduğunu gösteriniz.
46
333. ABC üçgeninin Gergonne noktası G e olmak üzere
AGe
a (u  a)

DGe (u  b)(u  c)
oldu-
ğunu gösteriniz.
334. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E,
F’de teğet olsun. AD, BE ve CF’den herhangi ikisinin dik kesişmeyeceğini gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
335. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de
AGe BGe CGe 4 R



teğet olsun. Üçgenin Gergonne noktası G e olmak üzere
Ge D Ge E GeC
r
olduğunu gösteriniz.
20
00
@
336. Bir üçgenin bir köşesine ait yüksekliğin o köşeye ait açıortaya göre simetriği
olan doğru üçgenin çevrel çember merkezinden geçer.
an
ek
iz
337. ABC üçgeninde AH yükseklik ve AD kenarortaydır. A’ya ait açıortay HAD
açısını ortalıyor ise üçgenin dik üçgen olduğunu gösteriniz.
os
m
338. ABC üçgeninin iç çemberinin merkezi I olup AI, üçgenin çevrel çemberini A 1
noktasında kessin. A 1 B = A 1 I = A 1 C olduğunu gösteriniz.
339. Eşkenar olmayan ABC üçgeninde iç çember ve çevrel çemberin merkezleri I
ve O olsun. 900 ≥ m(AIO) olması için gerek ve yeter şartın AB + AC ≥ 2.BC olduğunu gösteriniz.
340. ABC üçgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde bir P noktası
verilsin. AP ile BC’nin kesim noktası Q olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeleri ispatlayınız.
47
i.
1
PQ
iii.

AQ
AP
1
PC


1
ii. AC2 = AQ.AP
PB
CQ.BQ
AP.BP
om
341. ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O olup AO, BC’yi P’de kessin.
AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla K ve L noktaları alınsın. PK = PB ve PL =
PC ise KPA = LPA olduğunu gösteriniz.
@
gm
ai
l.c
342. Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O olup A açısının açıortayı çevrel çemberi A 1 ’de kessin. A 1 noktasından AB’ye inilen dikme ayağı P ve
O noktasından AC ve AB’ye inilen dikme ayakları sırasıyla E ve F ise 2.AP = AB
+ AC ve A 1 P = OE + OF olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
00
343. ABC üçgeninin A, B, C açılarına ait iç açıortayları çevrel çemberi sırasıyla
A 1 , B 1 , C 1 noktalarında kessin. Açıortayların kesim noktası I ise I noktasının
A 1 B 1 C 1 üçgeninin diklik merkezi olduğunu gösteriniz.
os
m
an
344. ABC üçgeninde A, B, C açılarına ait açıortaylar çevrel çemberi sırasıyla A 1 ,
B 1 ve C 1 ’de kessin. AB ile B 1 C 1 , M’de, BC ile A 1 B 1 ise N’de kesişsin. MN’nin
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezinden geçtiğini gösteriniz.
345. ABC üçgeninde A, B, C açılarına ait açıortaylar çevrel çemberi sırasıyla A 1 ,
B 1 ve C 1 ’de kessin. AA 1 + BB 1 + CC 1 > BC + CA + AB olduğunu gösteriniz.
346. ABC üçgeninin A, B, C açılarına ait iç açıortayları çevrel çemberi sırasıyla
A 1 , B 1 , C 1 noktalarında kessin. Açıortayların kesim noktası I ise
IA1 .IC1
R
IB
olduğunu gösteriniz.
48
IA.IC
IB1
 2r
ve
347. ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O ve yarıçapı R, İç çember merkezi I
yarıçapı r’dir. İ çemberşn kenarlara teğet olduğu noktaların belirttiği üçgenin ağırOI 3R
lık merkezi K ise I’nın OK doğru parçası üzerinde ve

olduğunu gösteriIK
r
niz.
348. ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi O olup AO, BO, CO karşılarındaki
kenarları sırasıyla D, E, F’de kestiğine göre
1
AD

1
BE

1
CF

2
AO
olduğunu göste-
riniz
ai
l.c
om
349[Euler Özdeşliği]. Bir üçgende iç çember merkezi (I) ile çevrel çember merkezi (O) arasındaki uzaklık (d) değeri R2 – d2 = 2Rr’dir.
00
@
gm
350. Geniş açılı olmayan bir üçgenin çevresinin çevrel çemberinin çapının iki katından daha büyük olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
351. ABC üçgeninin çevrel çemberinin ACB yayının orta noktası E’dir. AB’nin
orta noktası C 1 ve E’den AC’ye inilen dikme ayağı F ise C 1 F’nin ABC üçgeninin
çevresini ortaladığını gösteriniz.
os
m
352. Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O olup AO  BC = K’dır.
AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan L ve M noktaları için KL = KB ve
KM = KC ise LM // BC olduğunu gösteriniz.
353. ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde bir M noktası alınsın.
a) MA2 + MB2 – 3.MC2 ifadesini en küçük yapan M noktasını bulunuz.
b) MA2 + MB2 – 3.MC2 ifadesini en büyük yapan M noktasını bulunuz.
354. ABC üçgenin çevrel çemberinin merkezi O yarıçapı R olsun. İç teğet çemberinin yarıçapı R olmak üzere O noktasının üçgenin kenarlarına olan uzaklıklarının
toplamı R + r olduğunu gösteriniz.
49
355. ABC üçgeninde 2.AB = AC + BC olduğuna göre ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi, çevrel çemberinin merkezi ile AC ve BC kenarlarının orta noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
356. Dar açılı bir üçgenin iç teğet ve çevrel çemberinin yarıçapları toplamının ortanca kenarın uzunluğundan küçük olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
357. ABC üçgeninde a < b < c ve a, b, c aritmetik dizi olsun. B açısının açıortayı
çevrel çemberi B 1 ’de kessin. İç çemberin merkezi I olmak üzere BI = IB 1 olduğunu gösteriniz.
20
00
@
358. ABC üçgenin iç çember merkezi I olup I noktasının BC üzerindeki dik izdüşümü D’dir. DI’nın iç çemberi kestiği nokta E ve AE ile BC’nin kesim noktası
F’dir. Üçgenin çevrel çember merkezi O, yarıçapı R ve iç çember yarıçapı r olmak
üzere IO // BC ise EF = 2(R – 2r) olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
359. ABC üçgeninin iç çember merkezi I ve çevrel çember merkezi O’dur. m(AIO)
= 90 ve m(CIO) = 45 ise AB : BC : CA = ?
360. ABC üçgeninin iç çember merkezi I, yarıçapı r olup I’dan geçen bir doğru iç
çemberi D ve E’de, çevrel çemberi F ve G’de kessin. D noktası I ile F arasında ise
DF.EG  r2 olduğunu gösteriniz.
361. ABC üçgeninde çevrel çember merkezi O, yarıçapı R, ağırlık merkezi G ve iç
çember yarıçapı r ise OG OG  R  R  2r  olduğunu gösteriniz.
362. ABC üçgeninin iç teğet çemberi kenarlara D, E, F’de teğettir. Üçgenin iç
2rp
 DE +EF
çember yarıçapı r, çevrel çember yarıçapı R ve yarı çevresi p ise
R
+FD  p olduğunu gösteriniz. Eşitlik hangi durumda geçerlidir?
50
363. ABC üçgeninin A açısına ait iç açıortayı çevrel çemberi D’de kessin. Üçgenin
iç çember merkezi I veBC’nin orta noktası M olmak üzere I noktasının M noktasına göre simetriği P’dir. DP, ABC üçgeninin çevre çemberini tekrar N’de kestiğine
göre AN, BN, CN’den ikisinin toplamının diğerine eşit olduğunu gösteriniz.
364. ABC üçgeninde O, I, H bilinen noktalar olsun. Üçgenin iç çemberi BC’ye
K’da teğet olmak üzere IO // BC ise AO // HK olduğunu gösteriniz
gm
ai
l.c
om
365. Dar açılı ABC üçgeninin iç bölgesinde bir O noktası verilsin. Üçgeninin kenar
orta noktalarını merkez kabul eden ve O noktasından geçen çemberlerin O’dan
başka kesim noktaları K, L, M’dir. Gösteriniz ki; “ O noktası KLM üçgeninin iç
çember merkezidir ancak ve ancak O noktası ABC üçgeninin çevrel çember merkezidir.”
iz
20
00
@
366. İkizkenar olmayan ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 ’de teğet olup merkezi I’dır. AIA 1 , BIB 1 , CIC 1 üçgenlerinin
çevrel çemberlerinin merkezlerinin doğrusal olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
367. ABC üçgenin çevrel çemberi k ve BAC açısının açıortayı AD olsun. AD, BD
ve k çemberine teğet olan çemberin AD’ye teğet olduğu noktanın ABC üçgenin iç
teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
368. Dar açılı ABC üçgeninde çevrel çember merkezi O yarıçapı R, diklik merkezi
H olmak üzere OH doğru parçası üzerinde alınan herhangi bir P noktası için PA +
PB + PC  3R olduğun gösteriniz.
DIŞ TEĞET ÇEMBERLER
Tanım. Bir üçgenin bir kenarı ile diğer iki kenarının uzantılarına teğet olan çembere üçgenin dış teğet çemberi denir. Üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır.
ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarlarına teğet olan dış teğet çemberlerinin merkezlerine sırasıyla I a , I b , I c , yarıçaplarına r a , r b , r c diyelim.
51
gm
ai
l.c
om
Ayrıca ABC üçgeninde BC doğrusu I a , I b , I c merkezli dış teğet çemberlere sırasıyla X a , X b , X c noktalarında teğet olsun. Benzer şekilde CA doğrusu I a , I b , I c
merkezli dış teğet çemberlere sırasıyla Y a , Y b , Y c noktalarında, AB doğrusu I a ,
I b , I c merkezli dış teğet çemberlere sırasıyla Z a , Z b , Z c noktalarında teğet olsun.
ABC üçgeninin iç çember merkezine de I diyelim.
00
@
Bilindiği üzere bir köşe ile karşısındaki dış teğet çemberin merkezini birleştiren
doğru iç çember merkezi olan I’dan geçer.
20
Verilen tanımlamalardan yol çıkarak çeşitli problemler çözelim.
an
ek
iz
369. ABC üçgeninde AE açıortay olup AE’nin üçgenin çevrel çemberini kestiği
nokta F olsun. Üçgenin BC kenarına teğet olan dış teğet çemberinin merkezi I a
olmak üzere F noktasının BCI a üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu
gösteriniz.
os
m
370. AZ b = u olduğunu gösteriniz.
371. I noktasının I a I b I c üçgeninin diklik merkezi olduğunu gösteriniz.
372. I a X a , I b Y b ve I c Z c ’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
373. I a X a , I b Y b ve I c Z c ’nin kesim noktasının I a I b I c üçgeninin çevrel çemberinin
merkezi olduğunu gösteriniz.
52
374. ABC üçgeninin dış teğet çember merkezleri I a , I b , I c olmak üzere I a I b I c çevrel
çember merkezi O 1 , yarıçapı R 1 ’dir. ABC üçgeninin iç çember merkezi I, çevrel
çember merkezi O ve yarıçapı R ise R 1 = 2R ve IO 1 = 2.IO olduğunu gösteriniz.
375. ABC üçgeninin iç bölgesinde alına bir P noktasından BC, CA, AB kenarlarına
inilen dikme ayakları sırasıyla D, E, F’dir. Dış teğet çemberlerin merkezleri ise I a ,
I b , I c ’dir. AP2 + PD2 = BP2 + PE2 = CP2 + PF2 ise P noktasının I a I b I c üçgeninin
çevrel çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
376. AZ c = CX a = u – b , BX a =AY b = u – c ve CY b = BZ c = u – a olduğunu gösteriniz.
00
@
377. AX a , BY b ve CZ c ’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
Tanım. AX a , BY b ve CZ c ’nin kesim noktasına N diyelim. N noktasına ABC üçgeninin Nagel Noktası denir. Köşeler ile N noktalarını birleştiren doğrulara ise
üçgenin nagel kesenleri denir.
os
m
378. AN’nin BC’yi kestiği noktaya L ise
AN
a

olduğun gösteriniz.
NX a u  a
379. ABC üçgeninde Gergonne noktası ile Nagel noktasını birleştiren doğru
b2  c2
olduğunu gösteriniz.
BC’ye paralel ise a 
bc
380. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC kenarına D noktasında teğet olsun. İç
çemberin merkezi I olmak üzere DI iç çemberi çemberi E noktasında kessin. AE
 BC = F ise F noktasının ABC üçgeninin A’nın karşısındaki dış çemberinin
BC’ye teğet olduğu nokta olduğunu gösteriniz.
53
381. ABC üçgeninde BC’ye teğet olan dış teğet çemberin merkezi I a ve bu çember
AB, BC, CA kenarlarına sırasıyla E, D, F noktalarında teğettir. B’den I a C’ye inilen
dikme ayağı H ise E, H, F noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
382. ABC üçgenini AD iç açıortaydır. Üçgeninin A köşesinin karşısındaki dış teğet
çemberinin merkezi I a olsun. AI a çaplı çembere K a diyelim. ABC üçgeninin çevrel
çemberi ile K a çemberi A’dan başka P’de kesişsin. APD çemberi BC’yi Q’da kessin. Q noktasının ABC üçgeninin I a merkezli dış teğet çemberi üzerinde olduğunu
gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
383. ABC üçgeninde iç çember merkezi I ve çevrel çember merkezi O’dur. Üçgenin A’nın karşısındaki dığ teğet çemberi AB, AC ve BC’ye sırasıyla K, M, N’de
teğet olsun. KM’nin orta noktası ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde ise O, N,
I’nın doğrusal olduğunu gösteriniz.
ek
iz
20
00
@
384. ABC üçgeninin iç teğet çemberi AC ve AB kenarlarına sırasıyla B 1 ve C 1 ’de
dış teğet çemberi bu kenarların uzantılarına sırasıyla B 2 ve C 2 noktalarında teğettir. BC’nin orta noktasının B 1 C 1 ve B 2 C 2 doğrularına eşit uzaklıkta olduğunu gösteriniz.
os
m
an
385. ABC ikizkenar üçgeninde CA = CB’dir. Üçgenin çevrel çember merkezi O ve
C’nin karşısındaki dış teğet çember merkezi M ise CM < 4.CO olduğunu gösteriniz.
386. ABC üçgeninde iç çember merkezi I ve A’nın karşısındaki dış teğet çember
merkezi I A ’dır. II a ile BC ve ABC üçgeninin çevrel çemberinin kesim noktası sırasıyla A 1 ve M’dir. MBA yayının orta noktası N olmak üzere NI ve NI a ’nın üçgenin
çevrel çemberini kestiği noktalar sırasıyla S ve T olsun. S, T, A 1 ’in doğrusal olduğunu gösteriniz.
389. ABC üçgeninde m(B) = 2.m(A) = 4.m(C)’dir. Üçgenin iç çember merkezi I ve
B ve A’nın karşısındaki dış çember merkezleri sırasıyla I b ve I a ’dır. ABC ve OI b I a
üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz.
54
390. ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde bir D noktası alınsın. A noktası ABD üçgeninin iç çember merkezi ile ABC üçgeninin B’nin karşısındaki dış çember merkezine uzaklığı eşit ise AC = AD olduğunu gösteriniz.
om
391. ABC üçgeninde AB = AC olup BC üzerinde bir D noktası alınsın. ABD üçgeninin iç çemberi ile ADC üçgeninin A’nın karşısındaki dış çemberi eştir. Bu
çemberlerin yarıçaplarının ABC üçgeninin B köşesine ait yüksekliğinin dörtte biri
olduğunu gösteriniz.
@
gm
ai
l.c
392 . ABC üçgeninde A’nın karşısındaki dış çemberi BC kenarına K’da, AB ve
AC’ye sırasıyla P ve Q’da teğettir. PQ’nun OB ve OC’yi kestiği noktalar sırasıyla
QN NM MP
M ve N ise


olduğunu gösteriniz.
AB BC CA
ek
iz
20
00
393. ABC üçgeninin BC ve AC kenarlarına teğet olan dı çemberlerinin merkezleri
sırasıyla I a ve I b ’dir. ABC üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir P noktası alınsın.
I a CP ve I b CP üçgenlerinin çevrel çember merkezleri sırasıyla M ve N ise MN’nin
orta noktasının ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
os
m
an
394. ABC üçgeninde BD ve CE iç açıortaylardır. ABC üçgeninin çevrel çember
merkezi O ve BC kenarına teğet olan dış çember merkezi I a ’dır. Bu çemberlerin
kesim noktaları P ve Q ise PQ // DE ve I a O  DE olduğunu gösteriniz.
395. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarlarına teğet olan dış teğet çemberlerinin
merkezlerine sırasıyla I a , I b , I c , yarıçaplarına r a , r b , r c diyelim. Üçgenin iççember
merkezi I yarıçapı r ve çevrel çember merkezi O yarıçapı R olsun. k = a, b, c olmak üzere I k O2 = R2 + 2Rr k olduğunu gösteriniz.
396. ABC üçgeninde iç çember merkezi I olup AI, BI, CI doğru parçaları üzerinde
sırasıyla A 1 ,B 1 , C 1 noktaları verilsin. AA 1 , BB 1 , CC 1 ’in orta dikmeleri birbirlerini
A 2 , B 2 , C 2 ’de kessin. Gösteriniz ki; “A 2 B 2 C 2 üçgeni ile ABC üçgeninin çevrel
çember merkezidir ancak ve ancak I noktası A 1 B 1 C 1 üçgeninin diklik merkezidir.”
55
397. İkizkenar olmayan ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 ’de teğet olp merkezi I’dır. IAA 1 , IBB 1 , ICC 1 üçgenlerinin çevrel
çember merkezlerinin doğrusal olduğun gösteriniz.
398. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. B’den geçen CI’ya teğet çember K 1 ,
C’den geçen BI’ya teğet çember K 2 ise ABC üçgenin çevrel çemberi, K 1 ve K 2
çemberlerinin bir ortak noktası olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
399. ABC dik üçgeninde m(C) = 90’dır.AC ışını üzerinde A ve C’dan farklı bir D
noktası seçilsin. ABC üçgeninin iç çember merkezinden geçen bir doğru ADB açısının açıortayına paralel ve BCD üçgeninin iç çemberine teğet ise AD = BD olduğunu gösteriniz.
iz
20
00
@
400. ABC üçgeninin çevrel çemberinin BC ve AC yaylarının orta noktaları sırasıyla M ve N’dir. C’yi içermeyen AB yayı üzerinde bir D noktası alınsın. ADC ve
BDC üçgenlerinin iç çember merkezleri sırasıyla I 1 ve I 2 olsun. DI 1 I 2 üçgeninin
çevrel çemberi ABC üçgeninin çevrel çemberini tekrar P’de kestiğine göre PNI 1 ve
PMI 2 üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
401. Şekilde m(BAC) = 90o, m(ACD) = 45o, m(DCB) = 15o ve BD = CE ise
m(CDE) = ?
402. Şekilde m(BAC) = 90o, m(ADB) = 90o, AB = 20 br. AC = 15 br. ve A(ABD)
= A(ADC) ise A(BCD) = ?
403. ABC dik üçgeninde m(BAC) = 90o olup BC kenarı üzerinde alınan bir D noktası için m(ADC) = 45o dir. AB = 2.AC ise BD : DC = ?
404. ABC dik üçgeninde m(ABC) = 90o olup B’den geçen AC’ye paralel bir doğru üzerinde alınan D noktası için AD = AC ise m(DAC) =?
405. ABC dik üçgeninde m(ABC) = 900 dir. AD ve AC kenarları üzerinde sırasıyla verilen D ve E noktaları için CB = BD = DE ve m(ADE) = 300 ise m(A) = ?
56
406. ABC üçgeninde m(BAC) = 90o olup AC kenarı üzerinde alınan bir D noktası
için m(CBD) = 45o ve AB = 2.AD ise DC : AD = ?
407. ABC ikizkenar dik üçgeninde m(BAC) = 90o olup CB ve CA kenarları üzerinde sıraıyla P ve Q noktaları alınsın. BP = 2.CP ve m(BPQ) = 120o ise m(QBP)
=?
om
408. ABC dik üçgeninde m(BCA) = 90o olup AC kenarı üzerinde alınan bir P noktası alısın. [BP] üzerinde alınan bir Q noktası için m(ABC) = m(PAQ) = m(PQA)
ise BQ = 2.PC olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
409. ABC dik üçgeninde C  900 ise 2r = a + b – c ve 2r c = a + b + c olduğunu
gösteriniz.
20
00
@
410. ABC dik üçgeninde m(BCA) = 90o olup CD yükseklik ve CF açıortaydır. BDC
ve ADC üçgenlerinin
os
m
an
ek
iz
411. ABC eşkenar üçgenin iç bölgesinde alınan bir M noktasından AB, BC, CA
kenarlarına sırasıyla MP, MQ, MR dikmeleri inilsin. Bu durumda
AP2 + BQ2 + CR2 = PB2 + QC2 + RA2 ve AP + BQ + CR = PB + QC + RA olduğunu gösteriniz.
412. ABC eşkenar üçgenin AC ve AB kenarları üzerinde alınan D ve E noktaları
için AD : DC = BE : EA : = 1 : 2 dir. BD  CE  O ise AOC  900 olduğunu
gösteriniz.
413. Bir çember bir üçgenin kenarlarını 3 eş parçaya bölüyorsa üçgenin eşkenar
olduğunu gösteriniz.
414. Bir üçgenin yükseklikleri kenarlarını aynı oranda bölüyorsa üçgenin eşkenar
olduğunu gösteriniz.
415. ABC üçgeninde a + h a = b + h b = c + h c ise üçgenin eşkenar olduğunu gösteriniz.
57
416. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar
sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 olsun. VABC : VA1 B1C1 ise ABC üçgeninin eşkenar olduğunu
gösteriniz.
417. ABC üçgeninde r = 1 ve ha , hb , hc  Z ise üçgenin eşkenar olduğunu gösteriniz.
418. ABC üçgeninde H noktası diklik merkezi olmak üzere AH : BH : CH = BC :
CA : AB ise ABC üçgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz.
ai
l.c
om
419. ABC eşkenar AB ve AC kenarları üzerinde alınan D ve E noktaları için ABC
AD AE

 1 olduğunu
üçgeninin iç teğet çemberi DE’ye teğettir. Bu durumda
DB EC
gösteriniz.
gm
420. ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olan O noktasında geçen
@
bir doğru BC, CA, AB’yi sırasıyla A 1 , B 1 , C 1 ’de kessin.
1
OA1
,
1
OB1
,
1
OC1
değerle-
20
00
rinden herhangi ikisinin toplamının diğerine eşit olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
421. ABC eşkenar üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla
D,E,F’de teğettir. İç teğet çemberin kısa olan EF yayı üzerinde alınan bir P noktasının BC, CA, AB kenarları üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla A 1 , B 1 ve C 1 olduğuna göre PB1  PC1  PA1 olduğunu gösteriniz.
422. ABC eşkenar üçgeninin BC ve AB kenarları üzerinde sırasıyla D ve E noktaları alınsın. ED’nin orta noktası F olmak üzere BE = DC ise AD = 2. BF olduğunu gösteriniz.
423. Dar açılı ABC üçgeninde CF yükseklik, BM kenarortay olmak üzere BM =
CF ve m(MBC) = m(FCA) ise ABC üçgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz.
424. ABC eşkenar üçgeninin AB ve AC kenarları üzerinde alınan K ve L noktaları
için BK = AL olsun. BL ile CK’nın kesim noktası P olmak üzere AP  CK ise AK :
KB = 2 : 1 olduğunu gösteriniz.
58
425. ABC eşkenar üçgenin BC kenarı üzerinde alınan P noktasından AB ve
AC’ye çizilen paralel doğrular AB ve AC’yi sırasıyla K ve L’de kessin. P’nin
KL’ye göre simetriği R ise R’nin ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olduğunu gösteriniz.
426. ABC eşkenar üçgeninin AB kenarı üzerinde A ve B’den farklı bir P noktası
verilsin. PAC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r 1 ve PBC üçgeninin dış teğet ( P’nin karşısında) çemberinin yarıçapı r 2 ise ABC’nin kenar uzunluğunu r 1 ve
r 2 cinsinden bulunuz.
l.c
om
427. ABC ve CDA birer dik üçgen AB  BC, CD  DA, DE  CA, m(DCA) = α,
m(BCA) = 2α, |AB| = 12 br, olduğuna göre |DE| = x kaç br dir?
gm
ai
428. Bir üçgende iki dış açıortay ile diğer açının iç açıortayı noktadaştır.
20
00
@
429. Bir üçgenin dış açıortay ayakları doğrusaldır.
an
ek
iz
430. Bir üçgenin iki dış açıortay ayağı ile diğer açının iç açıortay ayağı doğrusaldır.
os
m
431.[Steiner-Lehmus] Bir üçgenin iki iç açıortayının uzunluğu eşit isse bu üçgen
ikizkenar üçgendir.
432. Bir d doğrusu üzerinde sırasıyla A, P, B, Q noktaları ve bu doğru üzerinde
olmayan bir O noktası verilsin.
i)
AP : AQ = PB : BQ
ii) AOB açısının iç açıortayı OP’dir.
iii) OP  OQ dur.
Yukarıda belirtilen iddialardan herhangi ikisi doğru ise diğerininde doğru olduğunu gösteriniz.
433. ABC üçgeninin BC ve AC kenarları üzerinde sırasıyla A 1 ve B 1 noktaları
alınsın. AA 1  BB 1 = D ve A 1 B 1  CD = E olsun. m(A 1 EC) = 900 ve A, B, A 1 , E
noktaları çembersel ise AA 1 = BA 1 olduğunu gösteriniz.
59
434. Dar açılı ABC üçgeninde AD yükseklik ve AN açıortaydır. AND üçgeninin
çevrel çemberi AB ve AC’yi sırasıyla F ve E’de kessin. AD, BE ve CF’nin
noktadaş olduğunu gösteriniz.
435. ABC üçgeninde B ve C açılarının dış açıortaylarının kesim noktası O noktasıdır. AC’nin orta noktası M olmak üzere OM ve OA, BC’yi sırasıyla P ve K’da
kessin. m(BAC) = 2.m(ACB) ise BA = BP olduğunu gösteriniz.
436. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerinde sırasıyla N, L, M noktaları
alınsın. ABC açısının açıortayı BL olup AN, BL, CM noktadaş olsun. m(ALB) =
m(MNB) ise m(LNM) = 900 olduğunu gösteriniz.
l.c
om
437. ABC üçgeninde AD ve BE açıortaylar olup AE + BD = AB ise m(ACB) = 600
olduğunu gösteriniz.
gm
ai
C
D
@
E
F
/
B
20
A
00
/
os
m
an
ek
iz
438. ABC üçgeninde AB < AC olup B’den geçen AC’ye paralel doğru ile BAC açısının dış açıortayının kesim noktası D’dir. C’den geçen AB’ye paralel doğru ile
BAC açısının dış açıortayının kesim noktası E’dir. AC kenarı üzerinde seçilen bir
F noktası için FC = AB ise DF = EF olduğunu gösteriniz.
439. ABC dik üçgeninde m(C) = 900’dir. A ve B açılarının açıortayları BC ve CA
kenarlarını sırasıyla P ve Q’da kessin. P ve Q’dan AB’ye inilen dikme ayakları M
ve N ise m(MCN) = 450 olduğunu gösteriniz.
440. ABC üçgeninde BM kenarortay ve BH yükseklik olsun. A ve C’nin B açısının
açıortayı üzerindeki dik izdüşümü sırasıyla P ve Q ise H, P,M,Q noktalarının
çembersel olduğunu gösteriniz.
60
441. ABC ikizkenar dik üçgeninde m(A) = 900’dir. BC kenarı üzerinde m(DAE) =
450 olacak şekilde D ve E noktaları alınsın. ADE’nin çevrel çemberi AB ve AC’yi
sırasıyla P ve Q’da kestiğine göre BP + CQ = PQ olduğunu gösteriniz.
442. ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 açıortayları verilsin. AB  B 1 C 1 = K olmak üzere K’dan geçen BC’ye paralel doğru AB ve AC kenarlarını sırasıyla M ve N’de
kessin. 2.MN = BM + CN olduğunu gösteriniz. Bosna 2002
om
443. ABC üçgeninin B açısına ait dış açıortayı üzerinde alınan bir I a noktası için
m(BI a C) = 900 – m(A  2) ise CI a ’nın C açısının dış açıortayı olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
444. ABC üçgeninin B açısına ait dış açıortayı üzerinde alınan bir I a noktası için
mACB = 2m(BI a A) ise AI a ’nın A açısının iç açıortayı olduğunu gösteriniz.
00
@
445. ABC üçgeninde C açısının dış açıortayı d’dir. AB’nin orta noktasından geçen
d’ye paralel doğru AC’yi E’de kessin. AC = 7 ve BC = 4 ise CE =?
an
ek
iz
20
446. ABC üçgeninde açıortayların kesim noktası I olmak üzere I’dan geçen BC’ye
paralel doğru AC ve AB’yi sırasıyla C 1 ve B 1 ’de kessin. C 1 B 1 = BC 1 + CB 1 olduğunu gösteriniz.
os
m
447. ABC dik üçgeninde açıortayların kesim noktası I ve mA = 900 dir. I’dan geçen BC’ye paralel doğru AC ve AB’yi sırasıyla C 1 ve B 1 ’de kessin. BC 1 = 3 ve
CB 1 = 4 ise BC = ?
448. ABC üçgeninde A’dan B ve C açılarının açıortaylarına inilen dikme ayakları
P ve Q ise PQ // BC olduğunu gösteriniz.
449. ABC dik üçgeninde mA = 900 olup A’dan B ve C açılarının açıortaylarına
inilen dikme ayakları P ve Q’dur. AB = 5 ve AC = 12 ise PQ = ?
450. ABC dik üçgeninde mA = 900 olup BE ve CF açıortaylarının kesim noktası
I olsun. AI2 = AE.AF olduğunu gösteriniz.
61
451. ABC üçgeninde A noktasının B ve C açılarının iç ve dış açıortayları üzerindeki dik izdüşümlerinin doğrusal olduğunu gösteriniz.
452. ABC üçgeninde AD, BE ve CF açıortaylar olup mEDF = 900 ise mBAC =
1200 olduğunu gösteriniz.
453. ABC üçgeninde AB ve AC kenarlarının orta noktaları sırasıyla D ve E’dir.
BDE ve CED açılarının açıortaylarının BC üzerinde kesişmesi için gerek ve yeter
şartın 2BC = AB + AC olduğunu gösteriniz.
gm
ai
l.c
om
454. ABC üçgeninde AB = 15, BC =12 ve AC = 13 tür. AM kenarortayı ile BK
açıortayının kesim noktası O olmak üzere OL  AB ise m(OLK) = m(OLM) olduğunu gösteriniz.
00
@
455. ABC üçgeninde A noktasının B ve C açılarının iç ve dış açıortaylarına göre
simetriği olan noktaların doğrusal olduğunu gösteriniz.
an
ek
iz
20
456. ABC üçgeninin BB 1 açıortayı üzerinde bir P noktası verilsin. AP ve CP karşılarındaki kenarları sırasıyla A 1 ve C 1 ’de kessin. AA 1 = BB 1 ise BA = BC olduğunu gösteriniz.
os
m
457. ABC üçgeninin kenarortaylarının kesim noktası M olsun. BC üzerinde DC =
CE =AB olacak şekilde D ve E noktaları seçilsin. [BD] ve [DE] üzerinde sırasıyla
alınan P ve Q noktaları için 2BP = PD ve 2BQ = QE ise m(PMQ)=?
458. ABC üçgeninde m(A) = 600 olsun. AO = AH ve olduğunu gösteriniz.
459. Dar açılı eşkenar olmayan ABC üçgeninde m(A) = 60º ve O çevrel çember
merkezi, H diklik merkezi olmak üzere CH  AB = D ise OH’nin BHD açısını ortaladığını kanıtlayınız.
460. ABC üçgeninde m(A) = 600 olsun. IO = IH ve I a O = I a H olduğunu gösteriniz.
62
461. ABC üçgeninde m(A) = 1200 olsun. Üçgenin diklik merkezi ile çevrel çember
merkezinin A açısının dış açıortayına göre simetrik olduğunu gösteriniz.
462. ABC çeşitkenar üçgeninde BE ve CF yükseklikler olup m(A) = 600’dir. BE ve
CF yükseklikleri üzerinde BM = CN olacak şekilde M ve N noktaları alınsın. O ve
H bilinen gösterimler olmak üzere (MH + NH)/OH =?
463. ABC üçgeninde AD ve BE iç açıortaylar olup AE + BD = AB ise m(C) = 600
olduğunu gösteriniz.
ai
l.c
om
464. ABC üçgeninin diklik merkezi H ve m(A) = 600’dir. AH’ın orta noktası M ve
B’nin M’ye göre simetriği D olsun. CD = 2.AH olduğunu gösteriniz.
20
00
@
gm
465. Dar açılı ABC üçgeninde m(A) = 600 olup diklik merkezi H’dir. BH ve CH’ın
orta dikmeleri AB ve AC’yi M ve N’de kessin. M, N, H ve üçgeninin çevrel çember merkezinin doğrusal olduğunu gösteriniz.
ek
iz
466. ABC üçgeninin de OH’ın herhangi bir açının açıortayına paralel olması için
gerek ve yeter şart o açının ölçüsünün 1200 olmasıdır.
os
m
an
467. ABC üçgeninde m(A) = 600 olup O, I, H, I a bilinen gösterimler olsun. AC ve
AB kenarları üzerinde sırasıyla alınan B 1 ve C 1 noktaları için AB = AB 1 ve AC =
AC 1 olsun. Bu durumda aşağıda verilen önermelerin doğruluğunu gösteriniz.
a) B, C, H, O, I, I a , B 1 , C 1 noktaları çemberseldir.
b) OH, AB ve AC’yi sırasıyla M ve N’de kessin. AMN üçgeninin çevresi AB
+ AC’ye eşittir.
c) OH = AB – AC ’dir.
d) AC> AB ise 2.m(AHI) = 3.m(ACB)’dir.
468. ABC üçgeninde diklik merkezi, çevrel çember merkezi ve iç çember merkezi
sırasıyla H, O, I olsun. A, H, O, I, B noktaları çembersel aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) m(C) = ?
b) IH = IO olduğunu gösteriniz.
c) AH = HI ise m(B) = ?
63
469. ABC üçgeninde m(A) = 600 olup iç çemberin merkezi I noktasıdır. I’dan geçen AC’ye paralel doğru AB’yi F’de kessin. BC kenarı üzerinde alınan bir P noktası için 3.BP = BC ise 2.m(BFP) = m(ABC) olduğunu gösteriniz.
om
470. ABC eşkenar üçgen olup çevrel çemberinin merkezinden geçen herhangi bir
doğru BC, CA ve AB’yi sırasıyla D, E ve F noktalarında kessin. AEF, BFD ve
CDE üçgenlerinin Euler doğrularının ikişer ikişer kesişmesiyle oluşan noktaları
köşe kabul eden üçgenin ABC üçgeni ile eş olduğunu ve bu üçgenlerin merkezden
geçen doğru üzerindeki bir noktaya göre simetrik olduğunu kanıtlayınız.
gm
ai
l.c
471. ABC üçgeninde m(A) = 1200 olup AA 1 , BB 1 , CC 1 açıortayları verilsin.
A 1 B 1 C 1 üçgeninin dik üçgen olduğunu gösteriniz
20
00
@
472. Bir üçgeninin Euler doğrusu herhangi bir açısının açıortayına dik ise o açının
ölçüsünün 600 olduğunu gösteriniz.
os
m
an
ek
iz
473. ABC üçgeninde m(A) = 1200 olup AA 1 iç açıortay ise AA 1 (AB + AC) =
AB.AC olduğunu gösteriniz.
474. ABC üçgeninde m(A) = 120’dir. AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla K ve L
noktaları verilsin. ABC üçgenin dışına doğru BKP ve CLQ eşkenar üçgenleri inşa
edilsin. PQ 
3
2
 AB  AC 
olduğunu gösteriniz.
Bir ABC üçgeninin yükseklik ayaklarını köşe kabul eden üçgene ortik üçgen denir.
475. ABC üçgeninin diklik merkezi olan H, ortik üçgeninin iç teğet çember merkezidir.
476 [Fagnano]. Bir üçgenin iç bölgesinde, üç köşesi bu üçgenin üç farklı kenarı üzerinde bulunan
üçgenler içinde en küçük çevreye sahip olanı ortik üçgenidir.
477. Dar açılı bir üçgen ile ortik üçgeninin benzer olması için gerek ve yeter şart üçgenin eşkenar
olmasıdır.
64

PROJEKT˙IF (Düzlem) GEOMETR˙I(S˙I): Projektif geometri

şeftali bahçeleri - Journal of International Social Research

1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık

Download - ABC NEWS REDAZIONE

Download - ABC NEWS REDAZIONE

Scaricare il libro Top Secret 05. Die Sekte

Gloster Javelin

hot working pdf free - PDF eBooks Free | Page 1

Boy-kilo ölçümü neticesinde BAŞARILI olan adayların 20 Nisan

ue$Ger,eleni

ELEKTRoNixa - SDU-nun Elektron Kitabxanası

CONTOH MANUAL KAWALAN KESELAMATAN AIS - Kementerian

PDF Olarak İndir - Perinatal Dergi