T.C.
GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES
BLMSEL ARA“TIRMA PROJELER KOMSYONU
SONUÇ RAPORU
PROJE NO: 2007/11
ESNEK KÜMELER VE ESNEK KARAR VERME METOTLARI
Proje Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN
Matematik Anabilim Dal
Ara³trmac: Ar³. Gör. Serdar ENGNO‡LU
Matematik Anabilim Dal
Ara³trmac: Yrd. Doç. Dr. Hac AKTA“
Matematik Anabilim Dal
Nisan- 2009
ÖZET
ESNEK KÜMELER VE ESNEK KARAR VERME METOTLARI*
Esnek küme teorisi, Molodtsov tarafndan, belirsizlikle ba³a çkmak için bir matematiksel
araç olarak ortaya atld. Bu teori, karar verme problemleri, bilgi sistemleri, cebirsel
yaplar, optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi belirsizlik içeren bir çok alana
uyguland.
Bu tez çal³masnda, esnek kümeler teorisi üzerine baz yeni sonuçlar
geli³tirebilmek için, esnek kümelerin ve esnek küme i³lemlerinin daha i³levsel olan yeni
tanmlar verildi. Ardndan, esnek çarpm, BK ve KB karar fonksiyonlarn tanmlanarak,
esnek karar verme metotlar ortaya atld. Son olarak da bu metotlarn karar verme
problemleri üzerine iki uygulamas yapld.
Anahtar kelimeler:
Esnek Kümeler, Esnek Kümelerde ³lemler, Esnek Kümelerin
Çarpm, BK Karar Fonksiyonu, KB Karar Fonksiyonu, Esnek Karar Verme
*Bu çal³ma Gaziosmanpa³a Üniversitesi Bilimsel ara³trma Projeleri Komisyonu tarafndan
desteklenmi³tir. (Poroje No: 2007/11)
i
ABSTRACT
SOFT SETS AND SOFT DECISION MAKING METHODS
The soft set theory was produced by Molodtsov as a mathematical tool for dealing with
uncertainties . This theory is applied to decision making problems, information systems,
algebraic structures, optimization theory and basic mathematics analysis, etc. which are
contain uncertainties. In this thesis, the denitions of soft sets and operations of soft
sets are modied to make them more functional and improve several new results on soft
set theory. Afterwards, soft decision making methods are given by dening products of
soft sets and Uni-Int and Int-Uni decision functions. Finally, some applications of the
methods are presented.
Key words:
Soft Sets, Operations of Soft Sets, Products of Soft Sets, Uni-Int Decision
Function, Int-Uni Decision Function, Soft Decision Makings.
ii
TE“EKKÜR
Bu tez çal³masnda, deste§ini hiçbir zaman esirgemeyen, bilgilerini benimle cömertçe
payla³an saygde§er hocam Yrd. Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN'a minnettarl§m sunarm.
Ayrca, kymetli zamann ve kirlerini esirgemeyen Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU'na,
çal³mann tamamlanmasnda ve düzeltmelerinde eme§i geçen Yrd. Doç. Dr. Hakan
Kasm AKMAZ'a, Ar³. Gör. Serkan DEMRZ'e, YL Ö§r. Hayati OL‡AR'a ve adn
zikretmedi§im eme§i geçen di§er tüm hocalarma ve arkada³larma te³ekkür ederim.
Zamanlarndan çalp mesle§imle geçirdi§im anlar, anlay³la kar³layan sevgili e³ime,
canm kzm Yade'ye ve ba³ta annem ve babam olmak üzere tüm aile büyüklerime
te³ekkürlerimi sunarm.
Bu tez, 2007/11 nolu Bilimsel Ara³trma Projesi olarak Gaziosmanpa³a Üniversitesi
tarafndan nansal olarak desteklenmi³tir. Gaziosmanpa³a Üniversitesine verdi§i nansal
destekten dolay te³ekkür ederim.
iii
ÇNDEKLER
ÖZET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TE“EKKÜR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. GR“
2. TEMEL KAVRAMLAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1
Molodtsov'un Esnek Küme Yakla³m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Maji ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Pei ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. ESNEK KÜME “LEMLERNN MODFKASYONU
. . . . . . . . . . .
29
3.1
Esnek Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2
Esnek Küme ³lemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. METOTLAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Esnek Çarpmlar
4.2
Esnek Karar Verme Metotlar
5. UYGULAMALAR
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.1
BK-DE‡L-VE Karar Verme Metodunun Bir Uygulamas . . . . . . . . 48
5.2
BK-VE Karar Verme Metodunun Bir Uygulamas . . . . . . . . . . . . . 50
6. SONUÇ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
ÖZGEÇM“
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iv
1. GR“
Kar³la³lan problemlerle ba³a çkmak için ortaya atlan bir çok teori, güçsüz yanlarnn
da etkisiyle zaman içinde önemini yitirerek, tercih edilmez hale geldi.
Bu durum,
yaknmalar, yaknmalar ise yeni teorilerin ortaya atlmas sonucunu do§urdu.
Ancak bu teorilerin içerisinde, sadece bulunduklar ça§ de§il, asrlar sonrasn bile
etkileyenler bulunmaktadr. Cantor'un, bugün klasik olarak adlandrlan Kümeler Teorisi
buna iyi bir örnektir. Ortaya atldktan sonra matemati§in kümelerle tekrar in³a edilebilmesi,
Klein'in kümelerle olu³turulan Grup Teorisi yardmyla geometriyi ba³tan yazabilmesi
ve uygulama alanlarnn çok olmas bu teoriyi güçlü klan özeliklerden sadece bir kaçdr.
Ne varki, yetersiz yada belirsiz veriler için klasik küme yazlamamaktadr. Bu da teorinin
belirsizlikle ba³a çkmak için yeterli olmad§ anlamna gelmektedir.
Belirsiz tipteki problemlerin çözümü için, aralk matemati§i, olaslk teorisi, bulank
kümeler teorisi, yakla³ml kümeler teorisi, esnek kümeler teorisi gibi farkl teoriler
geli³tirildi.
Her bir teorinin güçlü oldu§u uygulamalar bulunmaktadr.
Bu teoriler
arasndan en göze çarpanlardan birisi, Zadeh (1965)'in bulank kümeler teorisidir. Bu teori
hzla geli³mesine ra§men baz yapsal zorluklara sahiptir. Bir bulank küme onun üyelik
fonksiyonu yoluyla tanmlanr. Molodtsov (1999)'a göre üyelik fonksiyonun do§asnn
fazlasyla bireysel olmasndan dolay, her bir durum için bir üyelik fonksiyonu in³a etme
zorlu§uyla kar³la³lr. Bu nedenle, üyelik fonksiyonu in³asndan ba§msz bir kümeler
teorisine ihtiyaç vardr.
Esnek kümeler teorisi, Molodtsov (1999) tarafndan belirsizlikle ba³a çkmak için bir
matematiksel araç olarak ortaya atld. Molodtsov (1999), sürekli diferansiyellenebilir
fonksiyonlar, oyun teorisi, i³lem ara³trmalar, Riemann integrasyonu, Perron integrasyonu,
olaslk, ölçüm teorisi vb. alanlarda esnek küme teorisini kullanarak, ba³arl çal³malar
yapt. Ayrca, yazar yakla³k nesne tanm kavramn formüle etti (2001) ve esnek küme
teorisi isimli bir kitap yaymlad (2004).
2
Maji ve ark. (2002,2003), Pawlak (1982)'n yakla³ml küme teorisi yardmyla, bir
karar verme probleminde esnek kümelerin bir uygulamasn sundu ve esnek
kümelerde baz i³lemleri tanmlad. Xiao ve ark. (2003) esnek küme temelli i³ rekabet
kapasitesi için yapay bir hesaplama metodu üzerine bir çal³ma yapt. Yang ve ark. (2004),
esnek kümeler ve yakla³ml kümelere dayal klinik te³hisin karar analizi ve indüksiyon
ba³lkl bir çal³ma yapt. Chen ve ark. (2003,2005) ile Kong ve ark. (2008) esnek
kümelerde parametre indirgemesi üzerine çal³malar yapt. Xiao ve ark. (2005) ile Pei ve
Miao (2005), esnek tabanl bilgi sistemleri üzerine çal³malar sundular. Mushrif ve ark.
(2006), esnek küme temelli snandrmalar üzerine bir çal³ma yapt.
Esnek kümelerin cebirsel özelikleri baz yazarlar tarafndan çal³lmaktadr. Akta³ ve
Ça§man (2007) esnek gruplarn yeni bir tanmn vererek, baz temel özellliklerini elde etti.
Jun (2008a) esnek BCK/BCI-cebirleri ve esnek altcebir kavramlarn ortaya atarak, onlarn
baz temel özeliklerini türetti. Jun ve Park (2008b) esnek kümeleri BCK/BCI- cebirlerine
uygulayarak, BCK/BCI-cebirlerinde esnek kümelerin cebirsel özeliklerini tart³t. Park
ve ark. (2008), esnek WS-cebirleri üzerine bir çal³ma yapt. Feng ve ark. (2008) esnek
küme teorisini kullanarak esnek halkalar çal³masn sundu ve ilgili baz özeliklerini
inceledi. Sun ve ark. (2008) esnek modüllerin tanmn verdi. Ayrca modülleri ve
Molodtsov'un esnek küme tanmn kullanarak baz temel özelikleri in³a etti.
Zou ve Xiao (2008) eksik bilgi altnda esnek kümelerin veri analizi yakla³mn ortaya
koydu. Bu yakla³mlar esnek kümelerde eksik verilerin mevcut durumlarn yanstmak
için tercih edilebilir.
Maji ve ark. (2001), bulank esnek kümeleri tanmlad. Daha sonra pek çok ara³trmac
bulank esnek kümeler üzerine çal³malar yapt. Akta³ ve Ça§man (2007) esnek kümeleri,
bulank kümeler ve yakla³ml kümelerin ilgili kavramlaryla kar³la³trd. Roy ve Maji
(2007) bir karar verme probleminde bulank esnek kümelerin bir uygulamas üzerinde
baz sonuçlar ortaya koydu. Yang ve ark. (2007) bulank esnek kümelerde indirgemeyi
tanmlayarak, bulank esnek kümeler yoluyla bir karar verme problemini analiz etti.
Majumdar ve Samanta (2008) bulank esnek kümelerde benzerlik ölçümünü ortaya att.
Kong ve ark.(2008) ile Xiao ve ark. (2009), bulank esnek küme üzerine dayal baz
yakla³mlar konu alan bir çal³ma yapt.
3
Molodtsov ve ark.
(2006) tarafndan, esnek küme teorisi üzerine dayal bir analiz
geli³tirerek, esnek say, esnek türev, esnek integral gibi kavramlar formüle edildi. Bu
analiz, Kovkov ve ark.
(2007) tarafndan optimizasyon teorisi ile ilgili problemlere
uyguland. “u anda, esnek küme teorisi ve onun uygulamalar üzerine yaplan çal³malar
hzla geli³mektedir.
Bu tez çal³masnda, ilk olarak Molodtsov (1999), Maji ve ark. (2002,2003) ve Pei
ve Miao (2005)'nun esnek kümeler üzerine yapt§ teorik çal³malar tantld ve daha
detayl teorik bir çal³ma yapabilmesi için, esnek küme i³lemlerinin daha i³levsel olan
yeni tanmlarn verildi.
Daha sonra esnek çarpm tanmlanarak, geli³tirilen esnek
yakla³m metotlar sunuldu. Son olarak, bu metotlarn karar verme problemleri üzerine
iki uygulamas verildi.
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, esnek küme teorisiyle ilgili temel kavramlar ve esnek i³lemler üzerine
yaplan teorik çal³malar, sonraki bölümlerde verilen yeni tanmlarn daha iyi anla³lmas
ve kar³la³trma yaplabilmesi için, Molodtsov (1999), Maji ve ark. (2002,2003) ile Pei
ve Miao (2005)'nun çal³malarndan derlenerek verilecektir.
2.1
Molodtsov'un Esnek Küme Yakla³m
Molodtsov, çal³malarn esnek kümelerde i³lemler yada esnek kümeler arasndaki ili³kiler
yerine, esnek analiz üzerine yo§unla³trm³tr. Molodtsov (1999), Esnek Küme Teorisi
ve lk Sonuçlar ba³lkl çal³masnda özellikle limit gibi temel analiz konularn
esnekle³tirerek, daha sonraki çal³malarna hazrlk yapm³tr. Yazarn Rusya'da yaygn
olarak çal³lan Optimizasyon Teorisi üzerine çal³malar yapmas, çal³malarnda bu
teoriye de yer vermesini sa§lam³tr. Yazarn esnek yakla³m, kendi ifadeleriyle a³a§daki
gibidir.
Ekonomi, mühendislik ve çevre bilimindeki karma³k problemlerin çe³itli belirsizlik
tiplerinin var olmasndan dolay, bu problemleri çözmek için, klasik metotlar ba³arl bir
³ekilde kullanamayz. Belirsizlikle ba³a çkmak için matematiksel bir araç olarak göz
önüne alabilece§imiz, Olaslk Teorisi, Bulank Küme Teorisi ve Aralk Matemati§i
³eklinde üç teori vardr. Fakat bu teorilerin tamam, yaplarndan kaynaklanan bir takm
zorluklara sahiptir.
Olaslk teorisi sadece uygun istatistiksel olaylarla u§ra³abilir. Matematiksel detaylara
girmeksizin uygun bir matematiksel olayla kastetmek istedi§imiz ³ey, uzun bir deneme
serisinde
n
1X
µn =
xi
n i=1
basit ortalamasnn mevcut olmasdr. Burada, denemelerde olaylar gerçekle³irse xi , 1
e, olaylar geçekle³mezse xi , 0 a e³ittir. Limitin varl§n test etmek için çok sayda
5
deneme yapmalyz.
Bunu mühendislikte gerçekle³tirebiliriz fakat birçok ekonomik,
çevrebilim ve sosyal problemlerde gerçekle³tiremeyiz.
Aralk matemati§i, bir problemin kesin çözümü için tahmini bir aralk in³a ederek,
hesaplama hatalarn göz önünde bulunduran bir metot olarak ortaya çkar. Bu birçok
durumda faydaldr ama aralk matemati§indeki metotlar farkl belirsizliklere sahip
problemler için yeterince uygun de§ildir. Bu metotlar düzgün de§i³en, güvensiz, yetersiz
ve ksmen amaçla çeli³en hatal bir bilgiyi, vb. durumlar yakla³k olarak tanmlayamaz.
Belirsizlikle ba³a çkmak için en yakn teori, Zadeh [1] tarafndan geli³tirilen bulank
küme teorisidir. “imdi bulank küme kavramnn tanmn hatrlayalm. Her A ⊂ X
kümesi için onun µA karakteristik fonksiyonu

 1, x ∈ A
µA (x) =
 0, x ∈
/A
³eklinde tanmlanr.
Bir küme ile onun karakteristik fonksiyonu arasndaki bu e³leme açk olarak 1 − 1 bir
e³lemedir. Bir F bulank cümlesi, onun µF üyelik fonksiyonu ile tanmlanr. Bu fonksiyon
her x ∈ X noktasna, [0, 1] kapal aral§nda bir µF (x) reel saysn kar³lk getirir. µF (x)
says, x'in F bulank kümesine ait olma derecesi olarak yorumlanr.
Bulank kümeler teorisi, bulank kümeler için ilk bak³ta do§al i³lemler sunar. F ve G
bulank kümeler, µF ve µG de srasyla bu kümelerin üyelik fonksiyonlar olsun. Bu
taktirde, F nin CF ile gösterilen tümleyeni
µCF = 1 − µF (x)
üyelik fonksiyonu yoluyla tanmlanr. F ve G nin F ∩ G ile gösterilen arakesiti a³a§daki
üyelik fonksiyonlarndan biri ile tanmlanabilir.
µF ∩G (x) = min{µF (x), µG (x)}
6
µF ∩G (x) = µF (x).µG (x)
µF ∩G (x) = max{0, µF (x) + µG (x) − 1}
F ∪ G ile gösterilen birle³im için üyelik fonksiyonlarnn üç olas durumu vardr.
µF ∪G (x) = max{µF (x), µG (x)}
µF ∪G (x) = µF (x) + µG (x) − µF (x).µG (x)
µF ∪G (x) = min{1, µF (x), µG (x)}
Bu küme teorisi üzerine yaplan çal³malar, ³imdilerde hzl bir ³ekilde ilerliyor. Fakat
bir zorluk mevcuttur: Özel her bir durumda üyelik fonksiyonu nasl kurulur?
Üyelik fonksiyonu kurmak için sadece bir yola yüklenmemeliyiz. Üyelik fonksiyonunun
do§as son derece bireyseldir. µF (x) = 0, 7 notasyonunu herkes kendi tarznda anlayabilir.
Bu yüzden, üyelik fonksiyonlar ile yaplan aritmetik i³lemlere dayanan bulank küme
i³lemleri, do§al gözükmez. Görülebilir ki bu i³lemler, a§rlk ve uzunluklarn toplamna
benzerdir.
Muhtemelen bu zorluklarn sebebi, teorinin parametrizasyon araçlarnn yetersizli§idir.
Bir sonraki bölümde, belirsizliklerle u§ra³mak için yukarda bahsedilen zorluklardan
ba§msz bir matematiksel araç önerece§iz.
Tanm 2.1.1.
U evrensel küme ve E parametrelerin bir kümesi olsun. (F, E) sral ikilisi
U üzerinde bir esnek küme olarak adlandrlr ancak ve ancak F , E 'den U 'nun tüm alt
kümelerinin kümesine bir dönü³ümdür.
Ba³ka bir ifadeyle bir esnek küme U kümesinin alt kümelerinin parametrize edilmi³ bir
ailesidir. ε ∈ E için bu aileden olan her F (ε) kümesi, (F, E) esnek kümesinin
ε− elemanlarnn yada ε− yakla³ml elemanlarnn kümesi olarak göz önüne alnabilir.
A³a§daki örnekleri göz önüne alalm.
Örnek 2.1.2.
Bir (F, E) esnek kümesi, Bay X'in satn alaca§ evlerin çekicili§i olarak
tanmlansn. U , göz önüne alnan bütün evlerin kümesi ve E , parametrelerin bir kümesi
7
-ki bu parametreler bir kelime veya kümedir- olsun. E = {pahal
etraf bahçeli, modern, iyi durumda, kötü durumda
, güzel, ah³ap, ucuz,
}. Bu durumda, bir esnek küme
tanmlamak pahal evleri, güzel evleri, vb. vurgulamak anlamna gelir. Burada, F (ε)
kümelerinin key olabilece§ine dikkat edilmelidir. Onlardan bazlar bo³, bazlarnn ise
arakesitleri bo³tan farkl olabilir.
Örnek 2.1.3.
Zadeh'in bulank kümesi, esnek kümenin bir özel hali olarak göz önüne
alnabilir. A bir bulank küme ve µA 'da A bulank kümesinin üyelik fonksiyonu yani
µA : U → [0, 1] ³eklinde bir dönü³üm olsun. µA fonksiyonu için α− seviye kümelerinin
F (α) = {x ∈ U : µA (x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
ailesini göz önüne alalm. E§er F ailesini biliyorsak a³a§daki formülü kullanarak µA (x)
fonksiyonlarn bulabiliriz.
µA (x) = sup α
α∈[0,1],
x∈F (α)
Böylece, Zadeh'in her A bulank kümesi (F, [0, 1]) esnek kümesi olarak göz önüne
alnabilir.
Örnek 2.1.4.
(X, τ ) -bir topolojik uzay olsun. Burada, X bir küme ve T bir topolojidir.
Di§er bir ifadeyle T , X 'in açk küme olarak adlandrlan alt kümelerinin bir ailesidir. Bu
taktirde
T (x) = {V ∈ T : x ∈ V }
olarak gösterilen x noktasnn T (x) açk kom³uluklarnn ailesi (x'i ihtiva eden T 'daki
açklarn kümesi), (T (x), T ) esnek kümesi olarak göz önüne alnabilir.
Esnek küme teorisinde herhangi bir nesneyi tanmlamann yolu, klasik matematikte
kulland§mz yollardan aslen fakldr. Klasik matematikte bir nesnenin matematiksel
modelini in³a ediyoruz ve bu modelin tam çözümü kavramn tanmlyoruz. Genel olarak
matematiksel model çok kar³ktr ve tam çözümü bulamayz. Bu nedenle, ikinci admda,
yakla³k çözüm kavramn ortaya koyuyoruz ve bu kavramla çözümü hesaplyoruz.
8
Esnek küme teorisinde bu probleme zt bir yakla³ma sahibiz. Nesnenin ba³langç tanm
do§al bir yakla³ma sahiptir. Bu yüzden tam çözüm kavramn ortaya koymaya ihtiyaç
duymuyoruz.
Esnek küme teorisinde yakla³k tanmlamalar üzerinde herhangi bir kstlamann
bulunmay³, bu teoriyi ikna edici ve pratikte kolayca uygulanabilir yapar. Kelimeler ve
kümeler, reel saylar, fonksiyonlar, dönü³ümler vb. arasndan tercih etti§imiz herhangi
bir parametrizasyonu kullanabiliriz.
Kastetti§imiz ³ey ³udur ki esnek küme teorisinde herhangi bir üyelik fonksiyonu kurma
veya buna benzer herhangi bir problem ortaya çkmaz.
Tanm 2.1.5.
Kabul edelim ki, U kümesinin alt kümeleri için, ∗ ile gösterilen, bir ikili
i³lemimiz var olsun. (F, A) ve (G, B), U üzerinde iki esnek küme olsun. Bu taktirde
esnek kümeler için ∗ i³lemi a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
(F, A) ∗ (G, B) = (H, A × B)
Burada H(α, β) = F (α) ∗ G(β), α ∈ A, β ∈ B ve A × B , A ve B kümelerinin kartezyen
çarpmdr. Bu tanm herhangi bir esnek kümenin kendine has bir özelik olarak göz önüne
alnabilir.
E§er biz esnek kümelerle çok sayda i³lem üretirsek, sonuç, parametrelerin çok geni³
bir kümesine sahip bir esnek küme olacaktr. Bazen parametrelerin kümesinin böyle bir
geni³lemesi faydal olabilir. Bu nedenle Örnek 2.1.2'de ki esnek kümenin kendisi ile
arakesiti daha ayrntl tarife sahip bir esnek küme verir. Sonuç olarak elde edilen esnek
küme pahal, güzel, ucuz vb. evleri vurgular.
Parametrelerin kümesinin bu tür bir geni³lemesinin kullan³l olmad§ durumlarda, kesme
i³lemlerini çokça kullanabiliyoruz. Tabiî ki bu kesme i³lemlerinin kabulü özel duruma
ve göz önüne alnan ³art altndaki probleme ba§ldr.
E§er genel bir matematiksel araç in³a etmek istiyorsak, parametrelerin kümesi için
evrensel bir kesme i³lemi tantmayaca§z.
Esnek küme teorisi bakmndan, bulank
9
kümelerle i³lemleri göz önüne alrsak, bulank kümelerdeki bütün ikili i³lemlerin evrensel
kesme i³lemini içerdi§ini anlarz. Örne§in A ve B gibi iki bulank kümenin arakesitinin
µA∩B (x) = min{µA (x), µB (x)}
³eklindeki ilk versiyonu göz önüne alalm. A, B ve A ∩ B bulank kümelerine, srasyla,
(FA , [0, 1]), (FB , [0, 1]) ve (FA∩B , [0, 1]) esnek kümelerini kar³lk getirelim. Burada
FA (α) = {x ∈ U : µA (x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
FB (α) = {x ∈ U : µB (x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
FA∩B (α) = {x ∈ U : µA (x) ≥ α, µB (x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
³eklindedir. (FA , [0, 1]) ve (FB , [0, 1]) esnek kümelerinin kesi³imi (H, [0, 1]) × [0, 1] ile
gösterilir. Buradan
H(α, β) = FA (α) ∩ FB (β) = {x ∈ U : µA (x) ≥ α, µB (x) ≥ β}
elde ederiz. H(α, β) ve FA∩B (α)'y kyaslarsak, görebiliriz ki, bu durumda kesme i³lemi,
[0, 1] × [0, 1] kartezyen çarpmnn, onun kö³egeni ile de§i³imi anlamna gelir.
Bir bulank kümenin kendine has yaps, evrensel kesme i³lemi ile çeli³ir. Bu da teorinin
uygulama alanlarnda birçok zorlu§a yol açar ( Molodtsov, 1999).
2.2
Maji ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m
Maji ve ark. son zamanlarda hzla geli³en Yakla³ml Kümeler Teorisi üzerine çal³malar
yapmalarndan dolay, esnek kümelerle benzer çal³malar yapabilmek için, esnek kümelerde
i³lemleri tanmladlar ve karar verme problemleri üzerine baz metotlar sundular. Yazarlarn
esnek yakla³m, kendi ifadeleriyle a³a§daki gibidir.
10
Formal modelleme, muhakeme ve hesaplama için bilinen yöntemlerimizin ço§u keskin,
belirli ve kesin karakterlidir. Ancak, ekonomi, mühendislik, çevre, sosyal bilim, tp
bilimi gibi her zaman keskin olmayan veriler içeren pek çok karma³k problem vardr.
Bu problemlerde sunulan çe³itli belirsizlik türlerinden dolay, klasik metotlar kullanarak
ba³arl olamayz.
Belirsizliklerle ilgilenen matematik araçlar olarak göz önüne
alnabilecek, olaslk teorisi, bulank kümeler teorisi [2, 3], sezgisel bulank kümeler
teorisi, belirsiz kümeler teorisi, aralk matemati§i teorisi [3, 5] ve yakla³ml küme teorisi
[6] gibi teoriler vardr. Fakat [7]'de dikkat çekildi§i gibi tüm bu teoriler do§alarndan bir
takm zorluklara sahiptirler. Muhtemelen bu zorluklarn sebebi, teorilerin parametrizasyon
araçlarnn yetersizli§idir. Bu nedenle Molodtsov [7], yukardaki zorluklardan ba§msz,
belirsizliklerle ba³a çkmak için bir matematik arac olarak esnek teori kavramn ortaya
att. ( Esnek Kümelerin, Pawlak [8] tarafndan farkl bir kavram olarak tanmland§n
ve di§er baz tip problemleri çözmek için kullanld§n biliyoruz.) Esnek küme teorisi,
Molodtsov'un öncü çal³masnda [7] bir kaçn gösterdi§i, farkl yönlerdeki uygulamalar
için zengin bir potansiyele sahiptir.
Molodtsov [7], esnek küme teorisini a³a§daki ³ekilde tanmlad.
Tanm 2.2.6.
U evrensel küme ve E parametrelerin bir kümesi olsun. P (U ), U 'nun
kuvvet kümesi ve A ⊂ E olarak gösterilsin.
( Bkz [7].) Bir (F, A) sral ikilisi U üzerinde esnek küme olarak adlandrlr. Burada
F , F : A → P (U ) ile verilen bir dönü³ümdür. Di§er bir ifadeyle, U üzerinde bir esnek
küme, U evreninin alt kümelerinin parametrize edilmi³ bir ailesidir. ε ∈ A için F (ε),
(F, A) esnek kümesinin ε− yakla³ml elemanlarnn cümlesi olarak göz önüne alnabilir.
Açkça bir esnek küme, küme de§ildir.
Örneklemek için Molodtsov'un [7] de göz önüne ald§ birkaç örnekten birisini a³a§da
sunuyoruz.
Örnek 2.2.7.
Kabul edelim ki, U , göz önüne alnan ³artlar altndaki evlerin kümesi ve
E , parametrelerin kümesi olsun. Her bir parametre bir kelime yada cümledir.
E = { pahal, güzel, ah³ap, ucuz, etraf bahçeli, modern, iyi durumda, kötü durumda } Bu
durumda bir esnek küme tanmlamak, pahal evler, güzel evler ve di§erlerini belirtmek
11
anlamna gelir. (F, E) esnek kümesi, Mr. X'in satn alaca§ evlerin çekicili§i ni
belirtiyor. Sonraki tart³malarmz için ayn örne§i daha detayl olarak a³a§da göz önüne
alalm.
Kabul edelim ki, U = {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 , h6 } ile verilen U evreninde 6 ev
olsun ve e1 `pahal' parametresini, e2 `güzel' parametresini, e3 `ah³ap' parametresini, e4
`ucuz' parametresini, e5 `bahçeli' parametresini göstermek üzere, E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 }
³eklinde verilsin. Kabul edelim ki, F (e1 ) = {h2 , h4 }, F (e2 ) = {h1 , h3 }, F (e3 ) =
{h3 , h4 , h5 }, F (e4 ) = {h1 , h3 , h5 } ve F (e5 ) = {h1 } olsun. (F, E) esnek kümesi U
kümesinin alt kümelerinin {F (ei ), i = 1, 2, 3, ..., 8} parametrize edilmi³ bir ailesidir ve
bir nesnenin yakla³k tanmlarnn bir koleksiyonunu verir. Göz önüne alnan F dönü³ümü
evler (.) ³eklindedir. Burada nokta (.), bir e ∈ E parametresi ile doldurulur. Bu yüzden
F (e1 ), fonksiyonel de§eri {h2 , h4 } kümesi olan `evler pahal' anlamna gelir.
Bu nedenle, biz (F, E) esnek kümesini a³a§daki gibi yakla³mlarn bir koleksiyonu
olarak gösterebiliriz: (F, E) = { pahal evler= {h2 , h4 }, güzel evler= {h1 , h3 }, tahta
evler= {h3 , h4 , h5 }, ucuz evler= {h1 , h3 , h5 }, bahçeli evler= {h1 } }.
Burada her bir yakla³mn iki ksm vardr.
i.
ii.
Bir tahmini p ; ve
Bir v yakla³k de§er kümesi ( veya basitçe v de§er kümesi)
Örne§in pahal evler= {h2 , h4 } yakla³m için biz, a³a§daki özeliklere sahibiz.
i.
ii.
Tahmini isim yakla³k evlerdir; ve
Yakla³k de§er kümesi veya de§er kümesi {h2 , h4 } tür.
12
U
`pahal'
`güzel'
`ah³ap'
`ucuz'
`bahçeli'
h1
0
1
0
1
1
h2
1
0
0
0
0
h3
0
1
1
1
0
h4
1
0
1
0
0
h5
0
0
1
1
0
h6
0
0
0
0
0
Tablo 1. Esnek bir kümenin tablo gösterimi
Bu yüzden bir (F, E) esnek kümesi, a³a§daki gibi yakla³mlarn bir koleksiyonu olarak
gösterilebilir.
(F, E) = {p1 = v1 , p2 = v2 , ..., pn = vn }
Bir esnek kümeyi bir bilgisayarda depolamak için, esnek kümeyi Tablo 1'deki gibi temsil
edebiliriz. (yukardaki bir esnek kümenin yerini tutan)
(F, E) esnek kümesinin tüm de§er kümelerinin snfna, esnek kümenin
Tanm 2.2.8.
de§er snf denir ve C(F,E) ile gösterilir. Yukardaki örnek için, C(F,E) = {v1 , v2 , ..., vn }
³eklindedir. Açkça C(F,E) ⊆ P (U ) kapsamas do§rudur.
Tanm 2.2.9.
i.
ii.
U üzerinde (F, A) ve (G, B) esnek kümeleri için, e§er
A ⊆ B ve
∀ε ∈ A için F (ε) ve G(ε) özde³ yakla³mlar
˜
ise (F, A), (G, B)'nin esnek alt kümesidir diyebiliriz ve (F, A)⊂(G,
B) ile gösteririz.
E§er (G, B), (F, A)'nin esnek alt kümesi ise (F, A)'ya (G, B)'nin esnek üst kümesidir
˜
denir ve (F, A)⊇(G,
B) ile gösterilir.
Tanm 2.2.10.
E§er (F, A), (G, B)'nin esnek alt kümesi ve (G, B) de (F, A)'nn esnek
alt kümesi ise (F, A) ve (G, B) esnek kümelerine U üzerinde esnek e³ittir denir.
13
Örnek 2.2.11.
A = {e1 , e3 , e5 } ⊂ E ve B = {e1 , e2 , e3 , e5 } ⊂ E ³eklinde olsun.
Açkça A ⊂ B dir. (F, A) ve (G, B) ayn U = {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 , h6 } evrensel kümesi
üzerinde G(e1 ) = {h2 , h4 }, G(e2 ) = {h1 , h3 }, G(e3 ) = {h3 , h4 , h5 }, G(e5 ) = {h1 },
F (e1 ) = {h2 , h4 }, F (e3 ) = {h3 , h4 , h5 } ve F (e5 ) = {h1 } olacak ³ekilde iki esnek küme
˜
olsun. O halde (F, A)⊂(G,
B) dir.
Tanm 2.2.12.
E = {e1 , e2 , e3 , ..., en } parametrelerin bir kümesi olsun. qE ile gösterilen
DE‡L küme qE = {¬e1 , ¬e2 , ¬e3 , ..., ¬en } ile tanmlanr. Burada, ¬ei = not ei , ∀i .
(Fark edilebilir ki q ile ¬ farkl operatörlerdir.)
Önerme 2.2.13.
A³a§daki sonuçlar açktr.
1. q(qA) = A
2. q(A ∪ B) =qA∪qB
3. q(A ∩ B) =qA∩qB
Önerme 2.2.14.
Örnek 2.2.7'de sunulan örnek göz önüne alnrsa qE = {pahal
de§il,
} ³eklinde yazlr.
güzel de§il, ah³ap de§il, ucuz de§il, bahçeli de§il
Tanm 2.2.15.
Bir (F, A) esnek kümesinin (F, A)c ile gösterilen tümleyeni (F, A)c =
(F c , qA) yoluyla tanmlanr. Burada, F c :qA → P (U ), F c (α) = U − F (¬α), ∀α ∈qA
ile verilen bir dönü³ümdür.
F c 'yi F 'nin esnek tümleyen fonksiyonu olarak isimlendirelim. Açkça, (F c )c , F ile
ayndr ve ((F, A)c )c = (F, A) ³eklindedir.
Örnek 2.2.16.
Örnek 2.2.7 göz önüne alnrsa, (F, E)c = {
pahal olmayan evler=
{h1 , h3 , h5 , h6 }, güzel olmayan evler= {h2 , h4 , h5 , h6 }, ah³ap olmayan evler= {h1 , h2 , h6 },
ucuz olmayan evler
{h2 , h4 , h6 },
bahçeli olmayan evler=
{h2 , h3 , h4 , h5 , h6 }} ³eklinde
yazlr.
Tanm 2.2.17.
E§er ∀ε ∈ A, F (ε) = φ (bo³ küme) ise U
bo³ esnek küme olarak isimlendirilir ve
Örnek 2.2.18.
üzerinde bir
(F, A) esnek kümesi
Φ ile gösterilir.
Kabul edelim ki U , göz önüne alnan ³artlar altndaki ah³ap evlerin kümesi
ve A parametrelerin bir kümesi olsun. U = {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 } ile verilen U evreninde
14
be³ ev olsun ve A = {tu§la,
çamur, çelik. ta³
} ³eklinde verilsin. (F, A) esnek kümesi
evlerin yapm olarak tanmlansn.
Tu§ladan yaplan evler anlamna gelen F (tu§la); çamurdan yaplan evler anlamna gelen
F (çamur); çelikten yaplan evler anlamna gelen F (çelik); ta³tan yaplan evler anlamna
gelen F (ta³) yoluyla tanmlanan (F, A), yakla³mlarn bir koleksiyonu olarak
(F, A) = { tu§ladan yaplan evler = φ, çamurdan yaplan evler = φ, çelikten yaplan
evler = φ, ta³tan yaplan evler = φ} ³eklinde yazlr. Burada, (F, A) bo³ esnek kümedir.
Tanm 2.2.19.
E§er ∀ε ∈ A, F (ε) = U ise U üzerinde bir (F, A) esnek kümesi mutlak
˜ ile gösterilir. Açkça, A˜c = Φ ve Φc = A˜ dr.
esnek küme olarak isimlendirilir ve A
Örnek 2.2.20.
Kabul edelim ki U , göz önüne alnan ³artlar altndaki ah³ap evlerin kümesi
ve B parametrelerin bir kümesi olsun. U = {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 } ile verilen U evreninde
be³ ev olsun ve B = {tu§la
de§il, çamur de§il, çelik de§il, ta³ de§il
} ³eklinde verilsin.
(G, B) esnek kümesi evlerin yapm olarak tanmlansn.
Tu§la olmayan evler anlamna gelen G(tu§la de§il); çamur olmayan evler anlamna gelen
G(çamur de§il); çelik olmayan evler anlamna gelen G(çelik de§il ); ta³ olmayan evler
anlamna gelen G(ta³
) yoluyla tanmlanan (G, B) yakla³mlarn bir koleksiyonu
de§il
olarak (G, B) = { tu§la olmayan evler = {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 }, çamur olmayan evler
= {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 }, çelik olmayan evler = {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 }, ta³ olmayan evler
= {h1 , h2 , h3 , h4 , h5 }} ³eklinde yazlr. Burada, (G, B) mutlak esnek kümedir.
Molodtsov tarafndan [7]'de verilen öneriler yardmyla, iki esnek küme üzerinde V E ve
V EY A i³lemi kavramlarn a³a§daki gibi sunuyoruz.
Tanm 2.2.21.
E§er (F, A) ve (G, B) iki esnek küme ise, (F, A) ∧ (G, B) ile gösterilen
(F, A) V E (G, B) i³lemi (F, A) ∧ (G, B) = (H, A × B) ile tanmlanr.
Burada
H(α, β) = F (α) ∩ G(β), ∀(α, β) ∈ A × B ³eklindedir.
Örnek 2.2.22.
evlerin pahas ile tanmlanan (F, A) ve evlerin çekicili§i olarak
tanmlanan (G, B) esnek kümeleri göz önüne alnsn. Kabul edelim ki, U = {h1 , h2 , h3 , h4 ,
h5 , h6 , h7 , h8 , h9 , h10 }, A = {çok
³eklinde verilsin.
pahal, pahal, ucuz
} ve B = {güzel,
}
bahçeli, ucuz
15
F (çok
= {h2 , h4 , h7 , h8 }, F (pahal)= {h1 , h3 , h5 }, F (ucuz)= {h6 , h9 , h10 },
pahal)
G(güzel) = {h2 , h3 , h7 }, G(bahçeli)= {h5 , h6 , h8 }, G(ucuz)= {h6 , h9 , h10 }
halde
(F, A) ∧ (G, B) = (H, A × B) dir.
pahal, bahçeli)
bahçeli)
Burada
olsun.
O
H (çok pahal, güzel)= {h2 , h7 }, H (çok
= {h8 }, H (çok pahal, ucuz)= φ, H(pahalı, g¨
uzel) = {h3 }, H (pahal,
= {h5 }, H (pahal,
ucuz)
= φ, H (ucuz,
güzel)
= φ, H (ucuz,
bahçeli)
= {h6 },
H (ucuz, ucuz)= {h6 , h9 , h10 } ³eklindedir.
Tanm 2.2.23.
E§er (F, A) ve (G, B) iki esnek küme ise, (F, A) ∨ (G, B) ile gösterilen
(F, A) V EY A (G, B) i³lemi (F, A) ∨ (G, B) = (O, A × B) ile tanmlanr. Burada
O(α, β) = F (α) ∪ G(β), ∀(α, β) ∈ A × B ³eklindedir.
Örnek 2.2.24.
Örnek 2.2.22 gözönüne alnsn. O halde (F, A) ∨ (G, B) = (O, A ×
B) dir. Burada O(çok
{h2 , h4 , h5 , h6 , h7 , h8 },
pahal, güzel)
O(çok
{h1 , h3 , h5 , h6 , h9 , h1 0}, O(ucuz,
pahal, bahçeli)
=
= {h2 , h4 , h6 , h7 , h8 , h9 , h10 }, O(pahal,
pahal, ucuz)
= {h1 , h2 , h3 , h5 , h7 }, O(pahal
güzel)
= {h2 , h3 , h4 , h7 , h8 }, O(çok
bahçeli)
güzel)
= {h1 , h3 , h5 , h6 , h8 }, O(pahal,
ucuz)
=
= {h2 , h3 , h6 , h7 , h9 , h10 }, O(ucuz,bahçeli)=
{h5 , h6 , h8 , h9 , h10 }, O(ucuz,ucuz)= {h6 , h9 , h10 } ³eklindedir.
Önerme 2.2.25.
A³a§da, i³lemlerin De'Morgan kurallarn sa§lad§n görüyoruz.
i.
((F, A) ∨ (G, B))c = (F, A)c ∧ (G, B)c
ii.
((F, A) ∧ (G, B))c = (F, A)c ∨ (G, B)c
spat .
i.
Kabul edelim ki, (F, A) ∨ (G, B) = (O, A × B) olsun. O halde ((F, A) ∨ (G, B))c =
(O, A × B)c = (Oc , q(A × B)) ³eklindedir. Buradan
(F, A)c ∧ (G, B)c = (F c , qA) ∧ (Gc , qB)
= (J, qA×qB) burada
= (J, q(A × B))
J(x, y) = F c (x) ∩ Gc (y)
16
elde edilir. “imdi (¬α, ¬β) ∈q(A × B) alalm. Bu taktirde,
Oc (¬α, ¬β) = U − O(α, β)
= U − [F (α) ∪ G(β)]
= [U − F (α)] ∩ [U − G(β)]
= F c (¬α) ∩ Gc (¬β)
= J(¬α, ¬β)
⇒ Oc ve J ayndrlar. O halde ispat tamamlanr.
ii.
Kabul edelim ki, (F, A) ∧ (G, B) = (H, A × B) olsun. O halde ((F, A) ∧ (G, B))c =
(H, A × B)c = (H c , q(A × B)) ³eklindedir. Burada
(F, A)c ∨ (G, B)c = (F c , qA) ∨ (Gc , qB)
= (K, qA×qB) burada
K(x, y) = F c (x) ∪ Gc (y)
= (K, q(A × B))
elde edilir. “imdi (¬α, ¬β) ∈q(A × B) alalm. Bu taktirde,
H c (¬α, ¬β) = U − H(α, β)
= U − [F (α) ∩ G(β)]
= [U − F (α)] ∪ [U − G(β)]
= F c (¬α) ∪ Gc (¬β)
= K(¬α, ¬β)
⇒ H c ve K ayndrlar. O halde ispat tamamlanr.
Tanm 2.2.26.
U üzerinde (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin birle³imi, (H, C) dir.
Burada, C = A ∪ B and ∀e ∈ C için,
H(e) = F (e) e˘
g er
e ∈ A − B,
= G(e) e˘
g er
e ∈ B − A,
= F (e) ∪ G(e) e˘
g er
e ∈ A ∩ B,
˜ (G, B) = (H, C) ³eklinde yazarz.
ile tanmlanr. Bunu (F, A)∪
17
˜ (G, B) = (H, C) dir. Burada, H (çok pahal)= {h2 , h4 , h7 ,h8 },
Yukardaki örnekte, (F, A)∪
H (pahal)= {h1 , h3 , h5 }, H (ucuz)= {h6 , h9 , h1 0}, H (güzel)= {h2 , h3 , h7 }, H (bahçeli)=
{h5 , h6 , h8 } ³eklindedir.
Tanm 2.2.27.
U üzerinde (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin kesi³imi, (H, C) dir.
Burada, C = A ∩ B ve ∀e ∈ C için, H(e) = F (e) veya G(e), (her ikiside ayn küme
˜ (G, B) = (H, C) ³eklinde yazarz.
oldu§unda) ile tanmlanr. Bunu (F, A)∩
Yukardaki örnekte, (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin kesi³imi (H, C) dir. Burada,
C = {ucuz } ve H (ucuz)= {h6 , h9 , h10 } ³eklindedir.
A³a§daki sonuçlar açktr.
Önerme 2.2.28.
i.
˜ (F, A) = (F, A)
(F, A)∪
ii.
˜ (F, A) = (F, A)
(F, A)∩
iii.
iv.
v.
vi.
˜ Φ = Φ, burada Φ bo³ esnek kümedir.
(F, A)∪
˜Φ = Φ
(F, A)∩
˜ A˜ = A˜, burada A˜ mutlak esnek kümedir.
(F, A)∪
˜ A˜ = (F, A)
(F, A)∩
Önerme 2.2.29.
i.
((F, A) ∪ (G, B))c = (F, A)c ∪ (G, B)c
ii.
((F, A) ∩ (G, B))c = (F, A)c ∩ (G, B)c
18
spat .
i.
˜ (G, B) = (H, C) olsun. Burada,
Kabul edelim ki (F, A)∪
H(α) = F (α) e˘
g er
α ∈ A − B,
= G(α) e˘
g er
α ∈ B − A,
= F (α) ∪ G(α) e˘
g er
³eklindedir.
α ∈ A ∩ B,
Bu taktirde, ((F, A) ∪ (G, B))c = (H, A ∪ B)c = (H c , qA∪qB)
³eklindedir. “imdi, H c (¬α) = U − H(α), ∀¬α ∈qA∪qB alalm. Bu taktirde,
H c (¬α) = F c (¬α)
e˘
g er
¬α ∈qA−qB,
= Gc (¬α)
e˘
g er
¬α ∈ ¬B−qA,
= F c (¬α) ∪ Gc (¬α) e˘
g er
¬α ∈qA∩qB,
˜ (G, B)c = (F c , qA)∪
˜ (Gc , qB) = (K, qA∪qB) dir.
³eklindedir. Tekrar, (F, A)c ∪
Burada,
K c (¬α) = F c (¬α)
e˘
g er
¬α ∈qA−qB,
= Gc (¬α)
e˘
g er
¬α ∈qB−qA,
= F c (¬α) ∪ Gc (¬α) e˘
g er
¬α ∈qA∩qB,
⇒ H c ve K ayndrlar. O halde ispat tamamlanr.
ii.
˜ (G, B) = (H, A∩B) olsun. Bu taktirde, ((F, A)∩
˜ (G, B))c =
Kabul edelim ki (F, A)∩
(H c , qA∩qB) dir. “imdi
˜ (G, B)c = (F c , qA)∩
˜ (Gc , qB) = (K, qA∩qB)
(F, A)c ∩
alalm. Burada, ∀¬α ∈ (qA∩qB) ³eklindedir.
K c (¬α) = F c (¬α) veya
= F (α)
veya
Gc (¬α)
G(α),
burada
= H(α)
= H c (¬α)
⇒ K ve H c ayn fonksiyonlardr. O halde ispat tamamlanr.
α∈A∩B
19
Önerme 2.2.30.
E§er (F, A), (G, B) ve (H, C), U üzerinde üç esnek küme ise o halde
a³a§dakiler geçerlidir.
i.
˜ ((G, B)∪
˜ (H, C)) = ((F, A)∪
˜ (G, B))∪
˜ (H, C)
(F, A)∪
ii.
˜ ((G, B)∩
˜ (H, C)) = ((F, A)∩
˜ (G, B))∩
˜ (H, C)
(F, A)∩
iii.
˜ ((G, B)∪
˜ (H, C)) = ((F, A)∩
˜ (G, B))∪
˜ ((F, A)∩
˜ (H, C))
(F, A)∩
iv.
˜ ((G, B)∩
˜ (H, C)) = ((F, A)∪
˜ (G, B))∩
˜ ((F, A)∪
˜ (H, C))
(F, A)∪
Önerme 2.2.31.
E§er (F, A), (G, B) ve (H, C), U üzerinde üç esnek küme ise o halde
a³a§daki e³itlikler sa§lanr.
i.
(F, A) ∨ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∨ (H, C)
ii.
(F, A) ∧ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∧ (H, C)
iii.
(F, A) ∨ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∧ ((F, A) ∨ (H, C))
iv.
(F, A) ∧ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∨ ((F, A) ∧ (H, C))
(Maji ve ark., 2003).
Maji ve ark. (2003), yukarda yer verilen çal³ma ile e³ zamanl olarak Bir Karar Verme
Probleminde Esnek Kümelerin Bir Uygulamas (2002) ba³lkl bir çal³ma yaymladlar
ve bir esnek kümede en uygun seçim için bir karar kural (di§er bir deyi³le karar
verme metodu) tanmladlar. Pawlak (1982)'n yakla³ml küme teorisinde kullanlan
parametre indirgemesini kullanarak verdikleri bu kuraln, esnek kümelerde çal³mad§n
gösteren Chen (2003), yeni bir indirgeme yöntemi tanmlad. Daha sonra Kong ve ark.
(2008), Chen (2003)'in indirgeme yönteminin do§ru sonuçlar vermedi§ini belirterek, iki
indirgeme yöntemi sundu. Bu tez çal³masnda, indirgeme yöntemi kullanlmadan bir
esnek karar metodu tanmland ve çal³mann dördüncü bölümünde sunuldu.
20
2.3
Pei ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m
Pei ve ark. (2005), esnek kümeler ile bilgi sistemleri arasndaki ili³kileri tart³arak, esnek
kümelerin bilgi sistemlerinin özel bir snf oldu§unu gösterdi. Daha sonra esnek kümeleri
birkaç snfa geni³leterek, parçal tipten esnek kümeler ile bilgi sistemlerinin ayn formal
yapya sahip oldu§unu kantlad. Son olarak bulank esnek kümeler ile bulank bilgi
sistemlerinin birbirine denk oldu§unu ortaya koydu. Yazarlarn esnek yakla³m, kendi
ifadeleriyle a³a§daki gibidir.
Ciddi gözlem yapan bir ki³i, esnek kümeler ile bilgi sistemleri arasnda sk bir ili³kinin
mevcut oldu§unu görebilir. Bu iki bran³ arasndaki ili³kiyi açklayarak onlar birle³timeyi
hedeiyoruz. Sonuçlar, esnek kümelerin, ilgi sistemlerinin özel bir snf oldu§unu ve hem
esnek kümeler hemde bilgi sistemlerindeki ara³trmalarn birle³tirilebilece§ini, dahas
birkaç yeni sonuç ve metodun beklenebilece§ini gösteriyor.
Burada herhangi bir U kümesinin kuvvet kümesine kar³lk P(U ) ve U 'nun bütün bulank
alt kümelerinin kümesine kar³lk F(U ) notasyonlarn kullanaca§z.
Tanm 2.3.32.
U evrensel küme olarak adlandrlan, nesnelerin bo³ olmayan sonlu bir
kümesi olsun. Bir (F, E) sral ikilisine U üzerinde bir esnek küme denir. Burada F ,
E 'den P(U )'ya bir dönü³ümdür. U üzerindeki bütün esnek kümelerin kümesi S(U ) ile
gösterilir.
Aslnda bir esnek küme U 'nun alt kümelerinin parametrize edilmi³ bir ailesi olarak
yorumlanabilir ve bu yüzden E 'den parametrelerin bir kümesi olarak söz edebiliriz. [5]
Bazen sadece, U üzerinde parametre kümeleri ayn olan ve standart esnek kümeler
olarak adlandrlan kümeleri dü³ünece§iz ve U üzerindeki bütün standart esnek kümelerin
kümesini S0 (U ) ile gösterece§iz.
ki önemsiz esnek küme, bo³ esnek küme ve total esnek kümedir. (veya mutlak esnek
kümedir [4]). Srasyla
21
i.
∀e ∈ E için Φ = (F, E) : F (e) = φ,
ii.
∀e ∈ E için Ψ = (F, E) : F (e) = U
³eklinde tanmlanr.
Molodtsov [5], bulank kümelerin ve topolojik uzaylarn özel esnek kümeler olarak
dü³ünülebilece§ini gösterdi.
Kabul edelim ki, A, U evreninde bir bulank küme olsun. Parametre kümesini E = [0, 1]
olarak alalm ve F : E → P(U ) dönü³ümünü a³a§daki gibi tanmlayalm.
F (α) = {x ∈ U : A(x) ≥ α}, α ∈ E
Ba³ka bir ifadeyle, F (α), A kümesinin α− seviye kümesidir.
Bulank kümelerdeki ayr³m teoremini kullanarak [2], bir bulank kümenin bir esnek
küme olarak, tek bir ³ekilde temsil edilebilece§ini görüyoruz [12].
Aslnda, X üzerindeki bir esnek küme, (F, X) sral ikilisi olarak da tanmlanabilir.
Burada (X, T ) bir topolojik uzay ve F (x), X 'deki bir x noktasnn bütün açk
kom³uluklarnn bir ailesidir. Yani,
F (x) = {V ∈ T : x ∈ V }
³eklindedir. Benzer olarak, yakla³ml kümeleride, esnek kümelerin çats içine koyabiliriz.
Verilen herhangi U, R ⊆ U × U kümelerine U üzerinde bir ikili ba§nt denir. E§er,
∀x ∈ U için (x, x) ∈ R ise R'ye yansyandr denir. E§er, ∀x, y ∈ U için (x, y) ∈ R iken
(y, x) ∈ R ise R'ye simetriktir denir. E§er ∀x, y, z ∈ U için (x, y) ∈ R ve (y, z) ∈ R
iken (y, z) ∈ R ise geçi³melidir denir. E§er, U üzerindeki ba§nt, yansyan, simetrik ve
geçi³meli ise bir denklik ba§nts olarak isimlendirilir.
22
Pawlak'a göre [7,8], (U, R) sral ikilisine bir yakla³m uzay yada bir ba§nt bilgi sistemi
denir. Burada, U bir evrensel küme ve R de U üzerinde bir denklik ba§ntsdr. U 'nun
herbir A alt kümesi için, apr R yakla³m dönü³ümü, A kümesini, onun alt yakla³m kümesi
olan apr R (A) kümesine ve apr R yakla³m dönü³ümü, A kümesini, onun üst yakla³m
kümesi olan apr R (A) kümesine dönü³türür. Burada [x]R , R denklik ba§ntsna göre x'in
denklik snfn göstermek üzere,
aprR (A) = {x ∈ U : [x]R ⊆ A}
aprR (A) = {x ∈ U : [x]R ∩ A 6= ∅}
³eklindedir. Bu nedenle, (U, R) yakla³ml küme modeli, U üzerindeki (apr R , P(U )) ve
(aprR , P(U )) iki esnek kümesi gibi görülebilir.
Ba³langçta Pawlak [7,8], R ikili ba§ntsnn U evrensel kümesi üzerinde bir denklik
ba§nts oldu§unu kabul etti. Bu tür yakla³m uzaylarna klasik yakla³m uzaylar veya
Pawlak yakla³m uzaylar denir.
Daha sonra bir çok bilim insan Pawlak yakla³m
uzaylarn daha genel durumlara genelle³tirmek için çal³t. Örne§in, Yao [10] ( bkz.
[14]), Pawlak yakla³m uzaylarn, genelle³tirilmi³ yakla³m uzaylar olarak adlandrlan,
denklik ba§ntlarnn U üzerindeki key ikili ba§ntlarla de§i³tirildi§i durumlara geni³letti.
Bu çal³ma boyunca, U evrensel kümesi üzerindeki bütün Pawlak yakla³m uzaylarnn
kümesine kar³lk P AS(U ) notasyonunu kullanaca§z.
Molodtsov [5] ve Maji ve ark.[4] tarafndan esnek kümelerin kapsama ve e³itlik kavramlar
ile baz i³lemleri tanmland. Ancak, S0 (U ) kümesinin cebirsel yapsn yeterince tart³mak
için, onlarn tanmlarn biz uygun bir ³ekilde a³a§daki gibi yeniden tanmlyoruz.
Tanm 2.3.33.
i.
(F, A) ve (G, B) ∈ S(U ) olsun.
E§er ∀a ∈ A için A ⊆ B ve F (a) ⊆ G(a) ise (F, A) ya (G, B)'nin alt kümesi denir
ve (F, A) ⊆ (G, B) ile gösterilir.
ii.
E§er (F, A) ⊆ (G, B) ve (G, B) ⊆ (F, A) ise (F, A), (G, B)'ye esnek e³ittir denir
ve (F, A) = (G, B) ile gösterilir.
23
Tanm 2.3.34.
(F, E) ∈ S(U ) ve E = {e1 , ..., en }, ¬ olumsuzluk i³lemi ile bir parametre
kümesi olsun. A ⊆ E için ¬A = {¬e|e ∈ A} ile gösterilir. (F c , ¬A), (F, A) esnek
kümesinin tümleyeni olarak adlandrlr ve (F, A)c ile gösterilir. Burada F c : ¬A →
P(U ),
F c (e) =∼ F (e) = U \ F (¬e), e ∈ A
³eklindedir. Biz (F, A)c ile (F, A) esnek kümesinin tümleyenini kastediyoruz.
Tanm 2.3.35.
i.
(F, A) ve (G, B) ∈ S(U ) olsun.
(F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin temel kesi³imi, U × U üzerinde
(H, C) = (F, A) ∧ (G, B)
esnek kümesi olarak tanmlanr. Burada, C = A × B ve ∀(a, b) ∈ A × B için
H(a, b) = F (a) ∩ G(b) ³eklindedir.
ii.
(F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin temel birle³imi, U × U üzerinde
(H, C) = (F, A) ∨ (G, B)
esnek kümesi olarak tanmlanr. Burada, C = A × B ve ∀(a, b) ∈ A × B için
H(a, b) = F (a) ∪ G(b) ³eklindedir.
iii.
(F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin (H, C) birle³imi, C = A ∪ B ve ∀c ∈ C için
H(c) =







F (c), c ∈ A \ B,
G(c), c ∈ B \ A,
F (c) ∪ G(c), c ∈ A ∩ B;
³eklindedir ve (F, A) ∪ (G, B) ile gösterilir.
iv.
(F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin (H, C) kesi³imi, C = A ∩ B ve ∀c ∈ C için
H(c) = F (c) ∩ G(c) ³eklindedir ve (F, A) ∩ (G, B) ile gösterilir.
24
Dikkat edilmelidir ki S(U )'daki (F, A) ve (G, B) için, (F, A)∧(G, B) ve (F, A)∨(G, B),
S(U × U )'dadr. Ancak (F, A) ∪ (G, B) ve (F, A) ∩ (G, B), S(U )'dadr.
Yukardaki tanmda iv.'te, [4]'te verilen esnek kümelerin kesi³imi ile ilgili yanl³ düzelttik.
Çünkü genellikle, ∀c ∈ C için H(c) and G(c)'nin e³it olmas ³art de§ildir.
Önerme 2.3.36.
i.
(F, A) ve (G, B) ∈ S(U ) olsun. O halde
∧ ve ∨ i³lemleri, c 'ye göre De' Morgan kurallarn sa§lar.
((F, A) ∨ (G, B))c = (F, A)c ∧ (G, B)c
((F, A) ∧ (G, B))c = (F, A)c ∨ (G, B)c
ii.
∧ ve ∨ i³lemleri, birle³me ve da§lma özeliklerini sa§lar.
(F, A) ∨ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∨ (H, C)
(F, A) ∧ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∧ (H, C)
(F, A) ∨ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∧ ((F, A) ∨ (H, C))
(F, A) ∧ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∨ ((F, A) ∧ (H, C))
iii.
∪ ve ∩ i³lemleri tek kuvvet, birle³im ve de§i³im özeliklerini sa§lar.
(F, A) ∪ (F, A) = (F, A)
(F, A) ∩ (F, A) = (F, A)
(F, A) ∪ ((G, B) ∪ (H, C)) = ((F, A) ∪ (G, B)) ∪ (H, C)
(F, A) ∩ ((G, B) ∩ (H, C)) = ((F, A) ∩ (G, B)) ∩ (H, C)
(F, A) ∪ ((G, B) ∩ (H, C)) = ((F, A) ∪ (G, B)) ∩ ((F, A) ∪ (H, C))
(F, A) ∩ ((G, B) ∪ (H, C)) = ((F, A) ∩ (G, B)) ∪ ((F, A) ∩ (H, C))
iv.
Φ ∈ S0 (U ) bo³ esnek kümesi, ∪ i³leminin birim eleman ve ∩ i³leminin bo³
elemandr. Yani, ∀(F, E) ∈ S0 (U ) için
(F, E) ∪ Φ = (F, E)
(F, E) ∩ Φ = Φ
e³itlikleri do§rudur.
25
v.
Ψ ∈ S0 (U ) total esnek kümesi, ∪ i³leminin bo³ eleman ve ∩ i³leminin birim
elemandr. Yani, ∀(F, E) ∈ S0 (U ) için
(F, E) ∪ Ψ = Ψ
(F, E) ∩ Ψ = (F, E)
e³itlikleri do§rudur.
Esnek küme i³lemlerinin özeliklerini özetleyen a³a§daki sonuçlar verebiliriz.
Önerme 2.3.37.
(S0 (U ), Φ, Ψ, ∪, ∩) yaps snrl da§lml bir kafestir.
Ancak, (S0 (U ), Φ, Ψ,c , ∧, ∨) yaps snrl da§lml bir kafes de§ildir. Çünkü, ∧ ve ∨
i³lemleri S0 (U )'da kapal de§ildir. Fakat, Boolean cebirinin tümleyen kurallarna benzer
olarak a³a§daki özelikleri kolayca elde edebiliriz.
Önerme 2.3.38.
Her (F, E) ∈ S0 (U ) için
i.
(F, E) ∧ (F, E)c = Φ
ii.
(F, E) ∨ (F, E)c = Ψ
e³itlikleri do§rudur.
Burada, Φ ve Ψ, U × U üzerinde srasyla bo³ ve total esnek
kümelerdir.
“imdi, herhangi bir ki³i tarafndan satn alnacak olan evlerin çekicili§ini tanmlada,
Molodtsov [5] tarafndan verilen bir örne§e göz atalm.
Örnek 2.3.39.
U ; üzerinde dü³ünülen evlerin kümesi,
E = {pahal,ucuz,güzel,modern,bahçeli,ah³ap,iyi görünümlü,kötü görünümlü} ³eklinde
parametrelerin bir kümesi ve F 'de E 'den P(U )' ya bir dönü³üm olsun.
26
A³a§daki tabloyu [4]'den olu³turabiliriz.
O E B W C G
h1
0
1
0
1
0
h2
1
0
0
0
0
h3
0
1
1
1
0
h4
1
0
1
0
0
h5
0
0
1
1
0
h6
0
0
0
0
0
Yukardaki tabloda, O har nesnelere, E har pahal parametresine, B har güzel
parametresine, W har ah³ap parametresine, C har ucuz parametresine ve G har
de "bahçeli parametresine kar³lk gelmektedir.
Bu klasik örnekten, esnek kümelerin çok basit iki görüntüyle kar³mza çkt§n görebiliriz.
lki, her parametre için nesneleri sadece iki basit snf içinde (evet yada hayr) snayan bir
dönü³üm olmas, ikincisi ise, her parametrenin dönü³üm altnda görüntüsünün evrensel
kümenin bir keskin alt kümesi olmasdr.
Ancak, esnek kümeleri teoriksel ve uygulamal olarak çal³an ara³trmaclar için bu
durumlar genellikle daha da kar³ktr. Bu nedenle, esnek küme kavramn daha genel
durumlara geni³letmek çok do§al bir problemdir.
lk olarak, klasik küme teorisi bak³ açs ile, verilen standart her parametrenin sadece iki
derece de§il, çok dereceler içerdi§ini dü³ünelim. Örne§in, önceki örnekte evlerin pahal
olma derecesi üçe ayrlabilir: a³r, orta ve dü³ük.
Bu durumlarda, her parametre evrensel kümenin bir parçalanmasn belirtir. Dolaysyla,
biz klasik esnek küme kavramn, bir parametrenin dönü³üm altndaki görüntüsünün
everensel kümenin bir parçalanmas olan daha genel durumlara geni³letebiliriz.
T ⊆ P(U ) olsun. T 'ye e§er a³a§daki ³artlar sa§lanyor ise U evrensel kümesinin bir
parçalanmas denir.
27
i.
ii.
iii.
∅∈
/ T,
∀A, B ∈ T için A 6= B iken A ∩ B = ∅,
S
T = U.
U evrensel kümesinin bütün parçalanmalarnn kümesi P ar(U ) ile gösterilir.
Tanm 2.3.40.
U bir evrensel küme olsun. E§er F , E 'den P ar(U ) kümesi içerisine bir
dönü³üm ise bir (F, E) sral ikilisine, U üzerinde bir parçal tipten esnek küme denir
U üzerindeki bütün parçal tipten esnek kümelerin kümesi P S(U ) ile gösterilir. U
üzerindeki klasik bir (F, E) esnek kümesinin aslnda parçal tipten (F˜ , E) esnek kümesinin
özel bir durumu oldu§unu görebiliriz. Gerçekten, her e ∈ E parametresi için F (e) 6=
∅ ve F (e) 6= U oldu§u herzaman F˜ (e) görüntüsü, {F (e), U \ F (e)} kümesinin bir
parçalanmas olarak tanmlanabilir. Böylece, kolayca bu parçalanmann U 'nun parçalanmalarna
kar³lk geldi§i görülür.
Herhangi bir evrensel kümenin bir parçalanmasnn evrensel kümenin bir örtüsü olmas
gerekti§i gerçe§ini kullanarak, daha da genel olan durumlar (her parametrenin dönü³üm
altndaki görüntüsünün evrensel kümenin bir örtüsü oldu§u durumlar gibi) dü³ünebiliriz.
C ⊆ P(U ) olsun. E§er a³a§daki ³artlar sa§lanyor ise, C 'ye U evrensel kümesinin bir
örtüsü denir.
i.
ii.
∅∈
/ C,
S
C = U.
U evrensel kümesinin bütün örtülerinin kümesi Cov(U ) ile gösterilir.
Tanm 2.3.41.
U bir evrensel küme olsun. E§er, F , E 'den Cov(U ) içine bir dönü³üm
ise, (F, E) sral ikilisine U üzerinde örten tipten bir esnek küme denir. U üzerindeki
bütün örten tipten bir esnek kümelerin kümesi CS(U ) ile gösterilir.
28
kinci olarak, bulank küme bak³ açs ile yakla³lacak olunursa, klasik esnek küme
kavram, her parametrenin dönü³üm altndaki görüntüsünün evrensel kümenin bir bulank
alt kümesi oldu§u durumlara geni³letilebilir. Aslnda, bu geni³leme snar pratikte
baklacak olunursa son derece do§aldr. Önceki örnekte, bir evin pahal", güzel yada
ucuz olmas durumlar tamamen bulanktr. Genellikle, evin kalite derecesini ölçmek
için ki³i [0, 1] birim aral§nda bir reel say verir.
U evrensel kümesinden [0, 1] birim aral§na tanml bir A dönü³ümüne U üzerinde bir
bulank küme denir. U üzerindeki bütün bulank kümelerin kümesi F(U ) ile gösterilir
[12].
Tanm 2.3.42.
U bir evrensel küme olsun. E§er F , E 'den F(U ) kümesine bir dönü³üm
ise (F, E) sral ikilisine U kümesi üzerinde bir bulank esnek küme denir. U üzerindeki
bütün bulank esnek kümelerin kümesi F S(U ) ile gösterilir.
Bir U evrensel kümesi üzerindeki klasik bir (F, E) esnek kümesinin bir (F˜ , E) bulank
esnek kümesi olarak görülebilece§i açktr. Gerçekten, e ∈ E için e'nin F˜ altndaki
görüntüsü F (e) kümesinin karakteristik fonksiyonu olarak
F˜ (e) = χF (e)

 1, a ∈ F (e)
=
 0, a ∈
/ F (e)
³eklinde tanmlanabilir.
Genelle³tirilmi³ esnek kümelerin üç snf için de kapsama, e³itlik ve Tanm 2-4 de ki
di§er i³lemler benzer olarak tanmlanabilir.
Önceki ksmda verilen esnek küme kavram ve esnek küme örne§inden de görülebilece§i
gibi bir klasik esnek küme aslnda sadece 0 ve 1 de§erlerini alma özelli§ine sahip basit
bir bilgi sistemidir ( Pei ve ark., 2005).
3. ESNEK KÜME “LEMLERNN MODFKASYONU
Bu bölümde ilk olarak, Maji ve ark. (2002, 2003)'nn esnek kümeler teorisi üzerine
yaptklar baz tanmlar, daha i³levsel olmalar için modiye edildi. Ayrca, bu yeni
tanmlar kullanlarak esnek kümelerin temel özelikleri ve esnek küme i³lemleri verildi.
3.1
Esnek Kümeler
Esnek küme kavram, U evrensel kümesinin alt kümeler ailesinin parametrize edilmi³
bir ailesidir. Bir esnek kümede sral ikililer, esnek kümenin eleman veya üyesi olarak
isimlendirilirler. Biz bu esnek kümeleri FA , FB , ..., GA , ... ³eklinde büyük harer ile
gösterece§iz.
Bir nesneler kümesi üzerinde esnek küme tanmlamak için, nesneleri karakterize eden
özelikleri ifade etmek zorundayz. Bu özelikleri ifade etmek için kullanaca§mz
parametrelerin kümesine parametre kümesi denir. Birinci bile³ende parametre, ikinci
bile³ende özeli§i sa§layan nesnelerin kümesi olacak ³ekilde yazlan sral ikililerle bir
esnek küme yazabiliriz. Di§er bir deyi³le bir esnek küme bu ³ekilde iyi tanml sral
ikililerin bir koleksiyonudur.
Tanm 3.1.1.
U bir ba³langç evreni; P (U ), U 'nun kuvvet kümesi; E ba³langç evreninin
elemanlarn niteleyen tüm parametrelerin kümesi ve A ⊆ E olsun. U üzerinde bir (fA , E)
esnek kümesi, sral ikililerin bir kümesi ile a³a§daki ³ekilde tanmlanr.
(fA , E) = {(e, fA (e)) : e ∈ E, fA (e) ∈ P (U )},
(3.1)
burada, fA : E → P (U ) ve e ∈
/ A için fA (e) = ∅ ³eklindedir.
Burada, fA yakla³m fonksiyonu olarak isimlendirilir. e ∈ E parametreleri ile ili³kili
nesneleri içeren fA (e) kümesi, e-yakla³m de§er kümesi veya e-yakla³m kümesi olarak
adlandrlr.
30
Esnek kümenin tanmna göre, bir (fA , E) esnek kümesi biçimsel olarak onun üyelik
fonksiyonu olan fA 'ya e³ittir. Biz herhangi bir esnek kümeyi onun üyelik fonksiyonu ile
belirliyoruz ve bu iki kavram birbiri ile yer de§i³tirebilir olarak görüyoruz.
Ksalk için, bundan sonra (fA , E) notasyonu yerine FA notasyonunu kullanaca§z. fA
notasyonunda ki A alt indisi, fA 'nn FA esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu
gösterir.
E§er (e, fA (e)), FA esnek kümesine aitse (e, fA (e)) ∈ FA aksi taktirde (e, fA (e)) ∈
/ FA
³eklinde yazarz. Di§er bir ifadeyle, her bir (e, fA (e)) eleman için sadece bir olaslk
vardr. (e, fA (e)), ya FA esnek kümesine dahildir ya da de§ildir.
Esnek küme teorisindeki temel kavram yakla³mdr. e1 , e2 ∈ E için fA (e1 ) ⊂ fA (e2 ) ise
e2 parametresinin yakla³m de§eri e1 parametresinin yakla³m de§erinden daha büyüktür.
Bunun anlam, e2 , U 'da e1 den daha fazla elemanla ili³kilidir.
Bir esnek kümeyi, onun elemanlarn listeleme yoluyla gösterebiliriz. Örne§in, U =
{u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } nesnelerin kümesi, E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 }
parametrelerin
kümesi ve A = {e2 , e3 , e5 , e6 }, E 'nin alt kümesi olsun. Kabul edelim ki fA (e2 ) =
{u2 , u4 }, fA (e3 ) = ∅, fA (e5 ) = {u1 , u2 } ve fA (e6 ) = {u2 , u3 , u5 } ³eklinde belirtilsin. O
halde FA esnek kümesi
FA = {(e2 , {u2 , u4 }), (e5 , {u1 , u2 }), (e6 , {u2 , u3 , u5 )}
³eklinde yazlr. Listelenmi³ olan elemanlarn sras önemli de§ildir. Yani,
{(e2 , {u2 , u4 }), (e5 , {u1 , u2 })} = {(e5 , {u1 , u2 }), (e2 , {u2 , u4 })}
e³itli§i do§rudur. Bunun yansra bir eleman sadece bir defa listelenir.
{(e2 , {u2 , u4 }), (e5 , {u1 , u2 }), (e2 , {u2 , u4 })} yerine {(e2 , {u2 , u4 }), (e5 , {u1 , u2 })}
gösterimi kullanrz.
31
Ayrca, bir esnek kümeyi, onun elemanlar bir veya daha fazla ortak özeli§e sahip
oldu§unda, bu özeli§i kullanarak da gösterebiliriz. Örne§in,
FA = {(e, fA (e)) : fA (e) = ∅, e ∈ E}
Yukardaki gösterimlerin yansra, i³lenen verilerin daha rahat görülebilmesi için tablo
yöntemi kullanlabilir. U bir evrensel küme, E tüm parametrelerin kümesi ve A ⊆ E
olsun. U üzerinde bir FA esnek kümesi için, onun bilgi tablosu, i = 1, 2, ..., m ve
j = 1, 2, ..., n için
ρfA : U × E → {0, 1}

 1, h ∈ f (e )
i
A j
(hi , ej ) → ρfA (hi , ej ) =
 0, hi ∈
/ fA (ej )
yoluyla a³a§daki gibi elde edilir.
.
.
.
ej
h1
ρfA (h1 , e1 ) ρfA (h1 , e2 ) .
.
.
ρfA (h1 , ej )
h2
ρfA (h2 , e1 ) ρfA (h2 , e2 ) .
.
.
ρfA (h2 , ej )
ρf A
e1
e2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
hi
ρfA (hi , e1 )
ρfA (hi , e2 )
.
.
.
ρfA (hi , ej )
Örne§in, yukarda in³a etti§imiz FA esnek kümesi,
ρf A
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
ρf A
e2
e5
e6
u1
0
0
0
0
1
0
0
u1
0
1
0
u2
0
1
0
0
1
1
0
u2
1
1
1
u3
0
0
0
0
0
1
0
u3
0
0
1
u4
0
1
0
0
0
0
0
u4
1
0
0
u5
0
0
0
0
0
1
0
u5
0
0
1
³eklinde gösterilebilir.
veya
32
FA , U üzerinde bir esnek küme olsun. E§er e ∈ E için fA (e) = ∅ ise fA (e)
Tanm 3.1.2.
e-yakla³m kümesine, fA 'nn bo³-de§eri denir ve (e, fA (e)), FA 'nn bo³-eleman olarak
adlandrlr.
fA (e) = ∅ olmasnn anlam U da ki elemanlarn hiçbirinin e ∈ E parametresi ile ili³kili
olmad§dr. Bu yüzden bu tür parametrelerin göz önüne alnmas anlamsz oldu§u için,
biz böyle elemanlar bir esnek kümede göstermeyece§iz.
E§er bir esnek kümenin bütün elemanlar bo³ ise o halde, esnek küme bo³
Tanm 3.1.3.
esnek küme olarak adlandrlr ve FΦ ile gösterilir. Açktr ki her e ∈ E için fΦ (e) = ∅
³eklindedir.
FA , U üzerinde bir esnek küme olsun.E§er e ∈ E için fA (e) = U
Tanm 3.1.4.
oluyorsa, o halde fA (e) e-yakla³m kümesine, fA 'nn mutlak-de§eri ve (e, fA (e)), FA 'nn
mutlak-eleman olarak adlandrlr.
fA (e) = U olmasnn anlam, U 'nun bütün elemanlarnn e ∈ E parametresi ile ilgili
oldu§udur.
E§er bir FA esnek kümesinin tüm elemanlar mutlak ise, o halde bu esnek
Tanm 3.1.5.
küme, mutlak esnek küme olarak adlandrlr ve FA˜ ile gösterilir.
E§er A = E ise, mutlak esnek kümeye, evrensel esnek küme denir ve FE˜ ile gösterilir.
Örnek 3.1.6.
U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } evrensel küme, E = {e1 , e2 , e3 , e4 } ise parametreler
kümesi olsun.
E§er A = {e2 , e3 , e4 } ve fA (e2 ) = {u2 , u4 }, fA (e3 ) = ∅, fA (e4 ) = U ise, o halde FA
esnek kümesi FA = {(e2 , {u2 , u4 }), (e4 , U )} ³eklinde yazlr.
E§er B = {e1 , e3 } ve fB (e1 ) = ∅, fB (e3 ) = ∅ ise, o halde FB esnek kümesi bo³ esnek
kümedir. Yani FB = FΦ ³eklindedir.
E§er C = {e1 , e2 } ve fC (e1 ) = U , fC (e2 ) = U ise, o halde FC esnek kümesi mutlak
esnek kümedir. Yani FC = FC˜ ³eklindedir.
33
E§er D = E ve her ei ∈ E i = 1, 2, 3, 4 için fA (ei ) = U ise, FD esnek kümesine evrensel
esnek küme denir. Yani FD = FE˜ ³eklindedir.
Tanm 3.1.7.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için
fA (e) ⊆ fB (e)
e B ile gösterilir.
oluyorsa, FA 'ya FB 'nin esnek alt kümesidir denir ve FA ⊆F
Yorum 3.1.8.
e B olmas, FA 'nn her elemannn FB 'nin eleman olmas anlamna
FA ⊆F
gelmez. Bu yüzden, klasik alt küme tanm esnek alt küme tanm için geçerli de§ildir.
Örne§in, U = {u1 , u2 , u3 , u4 } evrensel küme ve E = {e1 , e2 , e3 } tüm parametrelerin
kümesi olsun.
E§er A = {e1 }, B = {e1 , e3 } ve FA = {(e1 , {u2 , u4 })}, FB =
{(e1 , {u2 , u3 , u4 }), (e3 , {u1 , u5 })} ise, o halde her e ∈ FA için fA (e) ⊆ fB (e) do§rudur.
e B . Açktr ki (e1 , fA (e1 )) ∈ FA fakat (e1 , fA (e1 )) ∈
Dolaysyla FA ⊆F
/ FB dir.
Önerme 3.1.9.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar
geçerlidir.
e E˜
i. FA ⊆F
e A
ii. FΦ ⊆F
e A
iii. FA ⊆F
e B ve FB ⊆F
e C ⇒ FA ⊆F
e C
iv. FA ⊆F
spat .
spatlar esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlar kullanlarak yapalm. Her e ∈ E
için,
i.
fA (e) ⊆ U oldu§undan fA (e) ⊆ fE˜ (e)
ii.
∅ ⊆ fA (e) oldu§undan fΦ (e) ⊆ fA (e)
iii.
iv.
fA (e) = fA (e) oldu§undan fA (e) ⊆ fA (e)
fA (e) ⊆ fB (e) ve fB (e) ⊆ fC (e) ⇒ fA (e) ⊆ fC (e)
34
Önerme 3.1.10.
U üzerinde a³a§daki sonuçlar geçerlidir.
i. Bo³ esnek küme tektir.
ii. Evrensel esnek küme tektir.
spat .
Tanm 3.1.3 ve 3.1.5'ten açktr.
Tanm 3.1.11.
e B için, FB 'de FA 'nn eleman olmayan en az bir eleman varsa,
E§er FA ⊆F
e B ile gösterilir.
FA 'ya FB 'nin öz esnek alt kümesi denir ve FA ⊂F
Tanm 3.1.12.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için
fA (e) = fB (e)
oluyorsa FA esnek kümesi FB esnek kümesine e³ittir denir ve FA = FB ile gösterilir.
Önerme 3.1.13.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
i. FA = FB ve FB = FC ⇔ FA = FC
e B ve FB ⊆F
e A ⇔ FA = FC
ii. FA ⊆F
spat .
Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.
i.
fA (e) = fB (e) ve fB (e) = fC (e) ⇔ fA (e) = fC (e)
ii.
fA (e) ⊆ fB (e) ve fB (e) ⊆ fA (e) ⇔ fA (e) = fB (e)
Tanm 3.1.14.
FA esnek kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine, FA esnek kümesinin
kuvvet kümesi denir.
Tanm 3.1.15.
FA , U üzerinde bir esnek küme olsun. O halde FA esnek kümesinin FA◦
ile gösterilen tümleyeni
fA◦ (e) = fAc (e),
her e ∈ E,
yakla³m fonksiyonu yoluyla elde edilir. Burada fAc (e) = U − fA (e) ³eklindedir.
35
Kar³kl§ önlemek için, “◦ ” ³eklinde esnek tümleyen ve “c ” ³eklinde klasik tümleyen
kullandk. Burada,A◦ bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fA◦ 'nn FA◦ esnek kümesinin
yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.
Önerme 3.1.16.
FA , U üzerinde bir esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar
geçerlidir.
i. (FA◦ )◦ = FA
ii. FΦ◦ = FE˜
spat .
e ∈ E için esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispat kolayca
yapabiliriz.
i.
ii.
3.2
(fAc (e))c = fA (e)
fΦc (e) = U − fΦ (e) = U − ∅ = U = fE˜ (e)
Esnek Küme ³lemleri
Tanm 3.2.1.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. FA ve FB esnek kümelerinin
birle³imi,
fA∪e B (e) = fA (e) ∪ fB (e),
her e ∈ E,
e FB ile gösterilir.
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FA ∪
e ” ³eklinde esnek birle³im ve “∪00 ³eklinde klasik birle³im
Kar³kl§ önlamek için, “∪
e B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fA∪e B 'nin FA∪e B esnek
kullandk. Burada, A∪
kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.
36
Önerme 3.2.2.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
e FA = FA
i. FA ∪
e FΦ = FA
ii. FA ∪
e FE˜ = FE˜
iii. FA ∪
e FA◦ = FE˜
iv. FA ∪
e FB = FB ∪
e FA
v. FA ∪
e FB )∪
e FC = FA ∪
e (FB ∪
e FC )
vi. (FA ∪
spat .
Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.
i.
fA∪e A (e) = fA (e) ∪ fA (e) = fA (e)
ii.
fA∪e Φ (e) = fA (e) ∪ fΦ (e) = fA (e)
iii.
fA∪e E˜ (e) = fA (e) ∪ fE˜ (e) = fE˜ (e)
iv.
v.
vi.
fA (e) ∪ fAc (e) = fE˜ (e)
fA∪e B (e) = fA (e) ∪ fB (e) = fB (e) ∪ fA (e) = fB ∪e A (e)
f(A∪e B)∪e C (e) = fA∪e B (e) ∪ fC (e)
= (fA (e) ∪ fB (e)) ∪ fC (e)
= fA (e) ∪ (fB (e) ∪ fC (e))
= fA (e) ∪ fB ∪e C (e)
= fA∪e (B ∪e C) (e)
Tanm 3.2.3.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. FA ve FB esnek kümelerinin
kesi³imi,
fA∩e B (e) = fA (e) ∩ fB (e),
her e ∈ E,
e FB ile gösterilir.
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FA ∩
37
e ” ³eklinde esnek birle³im ve “ ∩ ” ³eklinde klasik birle³im
Kar³kl§ önlemek için, “∩
e B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fA∩e B 'nin FA∩e B esnek
kullandk. Burada, A∩
kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.
Önerme 3.2.4.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
e FA = FA
i. FA ∩
e FΦ = FΦ
ii. FA ∩
e FE˜ = FA
iii. FA ∩
e FA◦ = FΦ
iv. FA ∩
e FB = FB ∩
e FA
v. FA ∩
e FB )∩
e FC = FA ∩
e (FB ∩
e FC )
vi. (FA ∩
e B ⇒ FA ∪
e FB = FB ve FA ∩
e FB = FA
vii. FA ⊆F
spat .
Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.
i.
fA∩e A (e) = fA (e) ∩ fA (e) = fA (e)
ii.
fA∩e Φ (e) = fA (e) ∩ fΦ (e) = fΦ (e)
iii.
fA∩e E˜ (e) = fA (e) ∩ fE˜ (e) = fA (e)
iv.
v.
vi.
fA (e) ∩ fAc (e) = fΦ (e)
fA∩e B (e) = fA (e) ∩ fB (e) = fB (e) ∩ fA (e) = fB ∩e A (e)
f(A∩e B)∩e C (e) = fA∩e B (e) ∩ fC (e)
= (fA (e) ∩ fB (e)) ∩ fC (e)
= fA (e) ∩ (fB (e) ∩ fC (e))
= fA (e) ∩ fB ∩e C (e)
= fA∩e (B ∩e C) (e)
38
vii.
fA (e) ⊆ fB (e) ⇒ fA (e) ∪ fB (e) = fB (e) ve fA (e) ∩ fB (e) = fA (e)
Önerme 3.2.5.
U üzerindeki FA ve FB esnek kümeleri için, De'Morgan kurallar geçerlidir.
e FB )◦ = FA◦ ∩
e FB◦
i. (FA ∪
e FB )◦ = FA◦ ∪
e FB◦
ii. (FA ∩
spat .
Her e ∈ E için,
i. f(A∪e B)◦ (e) = fAc ∪e B (e)
= (fA (e) ∪ fB (e))c
= (fA (e))c ∩ (fB (e))c
ii. f(A∩e B)◦ (e) = fAc ∩e B (e)
= (fA (e) ∩ fB (e))c
= (fA (e))c ∪ (fB (e))c
Önerme 3.2.6.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde, a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
e (FB ∩
e FC ) = (FA ∪
e FB )∩
e (FA ∪
e FC )
i. FA ∪
e (FB ∪
e FC ) = (FA ∩
e FB )∪
e (FA ∩
e FC )
ii. FA ∩
spat .
Her e ∈ E için,
i. fA∪e (B ∩e C) (e) = fA (e) ∪ fB ∩e C (e)
= fA (e) ∪ (fB (e) ∩ fC (e))
= (fA (e) ∪ fB (e)) ∩ (fA (e) ∪ fC (e))
= fA∪e B (e) ∩ fA∪e C (e)
= f(A∪e B)∩e (A∪e C) (e)
39
ii. fA∩e (B ∪e C) (e) = fA (e) ∩ fB ∪e C (e)
= fA (e) ∩ (fB (e) ∪ fC (e))
= (fA (e) ∩ fB (e)) ∪ (fA (e) ∩ fC (e)) Buradaki birle³im ve kesi³im
= fA∩e B (e) ∪ fA∩e C (e)
= f(A∩e B)∪e (A∩e C) (e)
i³lemleri, ikili i³lem olarak adlandrlr.
Tanm 3.2.7.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. FA ve FB esnek kümelerinin
fark,
fAe\B (e) = fA (e) \ fB (e),
her e ∈ E,
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FAe
\FB ile gösterilir.
Kar³kl§ önlemek için, “e
\” ³eklinde esnek birle³im ve “ \ ” ³eklinde klasik birle³im
kullandk. Burada, Ae
\B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe\B 'nin FAe\B esnek
kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.
Önerme 3.2.8.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
e FB◦
i. FAe
\FB = FA ∩
e B
ii. FAe
\FB = FΦ ⇔ FA ⊆F
iii. A ∩ B = ∅ ⇒ FAe
\FB = FA ve FB e
\FA = FB
spat .
i.
ii.
iii.
Her e ∈ E için,
fAe\B (e) = fA (e) \ fB (e) = fA (e) ∩ fB (e)c
fA (e) \ fB (e) = fΦ (e) = ∅ ⇔ fA (e) ⊆ fB (e)
A ∩ B = ∅ ⇒ fA (e) \ fB (e) = fA (e) ve fB (e) \ fA (e) = fB (e)
Tanm 3.2.9.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. FA ve FB esnek kümelerinin
e B ile gösterilen simetrik fark,
FA ∆F
e B (e) = (fA (e) \ fB (e)) ∪ (fB (e) \ fA (e))
fA (e)∆f
40
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 3.2.10.
FA ve FB esnek kümeleri ayrktr ancak ve ancak FA ∩FB = FΦ olmasdr.
“imdi yukardaki tanm ve önermeleri örnekleyelim;
Örnek 3.2.11.
U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } evrensel küme ve E = {e1 , e2 , e3 , e4 } tüm
parametreler kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e1 , e2 } ve B = {e2 , e3 , e4 }, gibi
E 'nin iki alt kümesi için FA = {(e1 , {u2 , u4 }), (e2 , {u1 , u3 })} ve FB = {(e2 , {u1 , u2 }),
(e3 , {u1 , u4 }), (e4 , U )} ³eklinde yazlsn. O halde biz bu esnek kümeleri a³a§daki gibi
yazabiliriz.
FA◦ = {(e1 , {u1 , u3 , u5 }), (e2 , {u2 , u4 , u5 }), (e3 , U ), (e4 , U )}
e FB = {(e1 , {u2 , u4 }), (e2 , {u1 , u2 , u3 }), (e3 , {u1 , u4 }), (e4 , U )}
FA ∪
e FB = {(e2 , {u1 })}
FA ∩
e FB )◦ = {(e1 , {u1 , u3 , u5 }), (e2 , {u4 , u5 }), (e3 , {u2 , u3 , u5 })} = FA◦ ∩
e FB◦
(FA ∪
e FB )◦ = {(e1 , U ), (e2 , {u2 , u3 , u4 , u5 }), (e3 , U ), (e4 , U )} = FA◦ ∪
e FB◦
(FA ∩
e FB◦
FAe
\FB = {(e1 , {u2 , u4 }), (e2 , {u3 })} = FA ∩
e B = {(e1 , {u2 , u4 }), (e2 , {u2 , u3 }), (e3 , {u1 , u4 }), (e4 , U )}
FA ∆F
4. METOTLAR
Bu bölümde, esnek çarpmlar tanmlandktan sonra, bu çarpmlar kullanarak esnek karar
verme metotlar verilecektir.
4.1
Esnek Çarpmlar
“imdiye kadar, esnek kümeler üzerinde tek de§i³kenli yakla³m fonksiyonu yoluyla ikili
i³lemler tanmland. “imdi, iki de§i³kenli yakla³m fonksiyonu kullanarak, esnek kümeler
üzerinde bir ikili i³lem olan esnek çarpmlar tanmlanarak, temel özelikleri incelenecektir.
Esnek küme teorisinde, VE çarpm, VEYA çarpm, DE‡L-VE çarpm, DE‡L-VEYA
çarpm olmak üzere ba³lca dört tür çarpm vardr. Bunlardan ilk ikisi, srasyla, VE
i³lemi ve VEYA i³lemi olarak Maji ve ark. (2003) tarafndan tanmlanm³t.
Tanm 4.1.1.
FA ve FB , U üzerinde fA ve fB yakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FA ve FB esnek kümeleri arasnda FA ∧ FB ile gösterilen esnek çarpm, her
(x, y) ∈ E × E için
fA∧B : E × E → P (U ),
fA∧B (x, y) = fA (x) ∩ fB (y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 4.1.2.
FA ve FB , U üzerinde fA ve fB yakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FA ve FB esnek kümeleri arasnda FA ∨ FB ile gösterilen esnek çarpm, her
(x, y) ∈ E × E için
fA∨B : E × E → P (U ),
fA∨B (x, y) = fA (x) ∪ fB (y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 4.1.3.
FA ve FB , U üzerinde fA ve fB yakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FA ve FB esnek kümeleri arasnda FA Z FB ile gösterilen esnek çarpm, her
42
(x, y) ∈ E × E için
fAZB : E × E → P (U ),
fAZB (x, y) = fA (x) \ fB (y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 4.1.4.
FA ve FB , U üzerinde fA ve fB yakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FA ve FB esnek kümeleri arasnda FA Y FB ile gösterilen esnek çarpm, her
(x, y) ∈ E × E için
fAYB : E × E → P (U ),
fAYB (x, y) = fA (x) ∪ fBc (y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Yorum 4.1.5.
Yakla³m fonksiyonlarnn alt indisi olarak kullanlan, ∧, ∨, Z, Y klasik
küme i³lemi de§ildir. Onlar, fA∧B , fA∨B , fAZB ve fAYB 'nin, srasyla, FA∧B , FA∨B ,
FAZB ve FAYB esnek kümelerinin yakla³m fonksiyonlar oldu§unu gösterir.
“imdi yukardaki tanmlar örnekleyelim.
Örnek 4.1.6.
U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } evrensel küme ve E = {e1 , e2 , e3 , e4 } tüm
parametrelerin bir kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e2 , e3 , e4 } ve B = {e1 , e3 , e4 },
E 'nin iki alt kümesi için
FA = {(e2 , {u2 , u3 , u4 , u5 }), (e3 , {u1 , u2 , u3 }), (e4 , {u1 , u2 , u5 })}
FB = {(e1 , {u1 , u2 }), (e3 , {u3 , u4 , u5 }), (e4 , U )}
³eklinde yazlsnlar. O halde FA ∧ FB ,
FA ∧ FB = ((e2 , e1 ), {u2 }), ((e2 , e3 ), {u3 , u4 , u5 }), ((e2 , e4 ), {u2 , u3 , u4 , u5 }),
((e3 , e1 ), {u1 , u2 }), ((e3 , e3 ), {u3 }), ((e3 , e4 ), {u1 , u2 , u3 }),
((e4 , e1 ), {u1 , u2 }), ((e4 , e3 ), {u5 }), ((e4 , e4 ), {u1 , u2 , u5 })
³eklindedir. Burada liste biçiminde yazmaktan daha kullan³l oldu§u için tablo yöntemi
kullanlabilir.
43
FA ∧ FB
e1
e3
e4
e2
{u2 }
{u1 , u2 }
{u1 , u2 }
e3
{u3 , u4 , u5 }
{u3 }
{u5 }
e4
{u2 , u3 , u4 , u5 }
{u1 , u2 , u3 }
{u1 , u2 , u5 }
FA ∨ FB ve FA Z FB esnek çarpmlar benzer yolla elde edilebilir.
Burada ∨, ∧, Y ve Z i³lemlerinin de§i³meli olmad§ kolayca görülebilir.
Önerme 4.1.7.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun.O halde, a³a§daki ³artlar
geçerlidir.
i. FA ∨ (FB ∨ FC ) = (FA ∨ FB ) ∨ FC
ii. FA ∧ (FB ∧ FC ) = (FA ∧ FB ) ∧ FC
Dikkat edilirse, fA ∩(fB ∩fCc )c 6= (fA ∩fBc )∩fCc ve fA ∪(fB ∪fCc )c 6= (fA ∪fBc )∪fCc oldu§u
için respectively, FA Z (FB Z FC ) 6= (FA Z FB ) Z FC ve FA Y (FB Y FC ) 6= (FA Y FB ) Y FC
³eklindedir.
Önerme 4.1.8.
FA ve FB , U üzerinde iki esnek küme olsun. O halde bu iki kümenin
esnek çarpmlar için De Morgan kurallar sa§lanr.
i. (FA ∨ FB )◦ = FA◦ ∧ FB◦
ii. (FA ∧ FB )◦ = FA◦ ∨ FB◦
iii. (FA Y FB )◦ = FA◦ Z FB◦
iv. (FA Z FB )◦ = FA◦ Y FB◦
spat .
spatlar, yakla³m fonksiyonlar kullanlarak a³a§daki gibi yaplabilir.
(x, y) ∈ A × B için,
Her
44
c
(x, y)
i. f(A∨B)◦ (x, y) = f(A∨B)
= (fA (x) ∪ fB (y))c
= fAc (x) ∩ fBc (y)
= fA◦ ∧B ◦ (x, y)
c
iii. f(AYB)◦ (x, y) = f(AYB)
(x, y)
= (fA (x) ∪ fBc (y))c
= fAc (x) ∩ fB (y)
= fAc (x) ∩ (fBc (y))c
= fA◦ ZB ◦ (x, y)
ii.
ve iv.'ün ispatlar benzer ³ekilde yaplabilir.
Önerme 4.1.9.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsunlar. O halde a³a§daki
e³itlikler do§rudur.
i. FA ∨ (FB ∧ FC ) = (FA ∨ FB ) ∧ (FA ∨ FC )
ii. FA ∧ (FB ∨ FC ) = (FA ∧ FB ) ∨ (FA ∧ FC )
iii. FA ∧ (FB Z FC ) = (FA ∧ FB ) Z (FA ∧ FC )
iv. FA ∨ (FB Y FC ) = (FA ∨ FB ) Y (FA ∨ FC )
Önerme 4.1.10.
U üzerindeki FA , FB ve FC esnek kümeleri için a³a§daki e³itlikler
sa§lanr.
i. FA Z (FB ∧ FC ) = (FA Z FB ) ∨ (FA Z FC )
ii. FA Z (FB ∨ FC ) = (FA Z FB ) ∧ (FA Z FC )
iii. FA Y (FB ∧ FC ) = (FA Y FB ) ∨ (FA Y FC )
iv. FA Y (FB ∨ FC ) = (FA Y FB ) ∧ (FA Y FC )
Önerme 4.1.11.
FA , FB ve FC , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde, a³a§daki
e³itlikler do§rudur.
45
i. (FA ∨ FB ) Z FC = (FA Z FC ) ∨ (FB Z FC )
ii. (FA ∧ FB ) Z FC = (FA Z FC ) ∧ (FB Z FC )
iii. (FA Z FB ) ∧ FC = (FA ∧ FC ) Z (FB ∧ FC )
iv. (FA Y FB ) ∨ FC = (FA ∨ FC ) Y (FB ∨ FC )
v. (FA ∨ FB ) Y FC = (FA Y FC ) ∨ (FB Y FC )
vi. (FA ∧ FB ) Y FC = (FA Y FC ) ∧ (FB Y FC )
4.2
Esnek Karar Verme Metotlar
Bu alt bölümde, esnek karar fonksiyonlar yoluyla, esnek karar verme metotlar in³a
edilecektir.
Tanm 4.2.12.
SP , FA ve FB esnek kümeleri arasnda tanml tüm esnek çarpmlarn bir
e B ∈ SP için BK(FA ×F
e B ) esnek karar metodu, BK ile
kümesi olsun. O halde FA ×F
gösterilen birle³im- kesi³im esnek karar fonksiyonu yoluyla,
BK : SP → P (U ),
e B ) = ∪y∈B (∩x∈A (fA×e B (x, y)))
BK(FA ×F
e , ∨, ∧, Z ve Y esnek çarpmlarndan birisidir.
³eklinde tanmlanr. Burada ×
e B ) de§erine FA ×F
e B 'nin U ni − Int karar kümesi denir.
U ni − Int(FA ×F
e B ∈ SP için KB(FA ×F
e B ) esnek karar metodu, KB ile gösterilen
Benzer ³ekilde FA ×F
kesi³im- birle³im esnek karar fonksiyonu yoluyla,
KB : SP → P (U ),
³eklinde tanmlanr.
e B ) = ∩y∈B (∪x∈A (fA×e B (x, y)))
KB(FA ×F
46
Burada ∩x∈A ifadesinin anlam, x sabit olarak gözönüne alnd§nda y 'lerin kesi³iminin
alnmasdr. Benzer ³ekilde ∪y∈B 'nin anlam, y 'ler sabit olarak göz önüne alnd§nda
x'lern birle³iminin alnmasdr.
Yukardaki iki esnek karar fonksiyonu ve bir önceki bölümde verilen üç farkl esnek çarpm
ile bir yakla³m kümesi elde etmek için KB-VE, KB-VEYA, KB-DE‡L-VE, BK-VE,
BK-VEYA ve BK-DE‡L-VE ³eklinde alt farkl kombinasyon olu³turmu³ olduk. Bu
kombinasyonlarn herbiri bir esnek yakla³m metodu olarak isimlendirilir. Bu yöntemlerin
hangisinin di§erinden daha kullan³l oldu§unu söylemeye çal³mak hatal olur. lgilenilen
problemin türüne veya esnek kümelerin olu³turulu³ tarzna göre en uygununu seçmek daha
daha do§ru olacaktr.
Biz burada BK-DE‡L-VE ve BK-VE yakla³m metotlarn verece§iz.
U bir evrensel küme, E tüm parametrelerin kümesi ve A, B ∈ E olsun. O halde metotlar
a³a§daki algoritma yoluyla çal³trlr,
BK-DE‡L-VE:
Adm 1:
Tüm parametreler kümesinden, var olmas istenilen özelikler için uygun
parametreler seçilerek, A kümesi ve var olmas hiç istenmeyen özelikler için uygun
parametreler seçilerek, B kümesi olu³turulur.
Adm 2:
FA ve FB esnek kümeleri in³a edilir.
Adm 3:
FA Z FB kümesi elde edilir.
Adm 4:
BK(FA Z FB ) yakla³m metodu kullanlarak BK yakla³m kümesi bulunur. Bu
kümenin elemanlar problem için yakla³k çözümdür.
U bir evrensel küme, E tüm parametrelerin kümesi ve A, B ∈ E olsun. O halde metot
a³a§daki algoritma yoluyla çal³trlr,
47
BK-VE :
Adm 1:
Tüm parametreler kümesinden, uygun parametreleri seçerek, birinci ki³i A
kümesini ve ikinci ki³i ise B kümesini olu³turur.
Adm 2:
FA ve FB esnek kümeleri in³a edilir.
Adm 3:
FA ∧ FB kümesi elde edilir.
Adm 4:
BK(FA ∧ FB ) yakla³m metodu kullanlarak BK yakla³m kümesi bulunur. Bu
kümenin elemanlar problem için yakla³k çözümdür.
Di§er yöntemler benzer ³ekilde verilebilir.
Örnek 4.2.13.
Örnek 4.1.6'teki FA ∧ FB esnek çarpm için BK(FA ∧ FB ) yakla³m
kümesi
BK(FA ∧ FB ) = ∪({u2 }, ∅, {u2 }) = {u2 }.
³eklindedir.
5. UYGULAMALAR
Bu bölümde, sadece iki esnek karar verme metodunun uygulamas yaplacaktr. Di§er
metotlarn uygulamalar benzer yollarla verilebilir.
5.1
BK-DE‡L-VE Karar Verme Metodunun Bir Uygulamas
Kabul edelim ki, bir emlak osi, E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 } parametre kümesinin
elemanlar tarafndan parametrize edilen alt evi sat³a çkarsn. Bu evlerin kümesini
U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 } ile gösterelim. i = 1, 2, ..., 9 için ei parametreleri srasyla
pahal",güzel", ³ehir merkezine yakn",ucuz".bahçeli", modern", geni³", ortalama
büyüklükte" ve küçük" olsunlar.
Farz edelim ki, Bay X bir ev satn almak için bu ose ba³vursun. Burada Bay X için en
uygun evi belirleme problemini BK-VE-DE‡L yakla³m metodunu kullanarak çözelim.
Adm 1:
Emlakç, Bay X'e var olan parametreler kümesinden, önce kendisi için uygun
olanlar belirlemesini, daha sonrada almak istedi§i evlerde bulunmasn hiç istemedi§i
özelikleri ifade eden parametreleri seçmesini ister. Ardndan seçilen bu iki parametre
grubu küme olarak yazlr. Bu kümeler A = {e2 , e4 , e6 , e7 } ve B = {e1 , e3 , e8 } ³eklinde
olsun.
Adm 2:
Bu kümeler için FA ve FB esnek kümeleri in³a edilir.
FA = {(e2 , {u1 , u3 , u4 , u6 }), (e4 , {u2 , u3 }), (e6 , {u1 }), (e7 , {u1 , u3 })}
FB = {(e1 , {u1 , u4 , u5 , u6 }), (e3 , {u2 , u4 , u5 }), (e8 , {u2 , u4 , u5 , u6 })}
49
Adm 3:
Verilen esnek kümelerin VE-DE‡L çarpm hesaplanr.
FA Z FB = {((e2 , e1 ), {u3 }), ((e2 , e3 ), {u1 , u3 , u6 }), ((e2 , e8 ), {u1 , u3 }),
((e4 , e1 ), {u2 , u3 }), ((e4 , e3 ), {u3 }), ((e4 , e8 ), {u3 }), ((e6 , e1 ), ∅),
((e6 , e3 ), {u1 }), ((e6 , e8 ), {u1 }), ((e7 , e1 ), {u3 }), ((e7 , e3 ), {u1 , u3 }),
((e7 , e8 ), {u1 , u3 }}
Adm 4:
Bu çarpm ve BK-karar fonksiyonu kullanlarak, BK(FA Z FB ) karar kümesi
elde edilir.
FA Z FB
y = e1
y = e3
y = e8
x = e2
{u3 }
{u1 , u3 , u6 }
{u1 , u3 }
{u3 }
x = e4
{u2 , u3 }
{u3 }
{u3 }
{u3 }
x = e6
∅
{u1 }
{u1 }
∅
x = e7
{u3 }
{u1 , u3 }
{u1 , u3 }
{u3 }
{u3 }
Burada
∩y∈B (fAZB (e2 , y)) = {u3 } ∩ {u1 , u3 , u6 } ∩ {u1 , u3 } = {u3 }
∩y∈B (fAZB (e4 , y)) = {u2 , u3 } ∩ {u3 } ∩ {u3 } = {u3 }
∩y∈B (fAZB (e6 , y)) = ∅ ∩ {u1 } ∩ {u1 } = ∅
∩y∈B (fAZB (e7 , y)) = {u3 } ∩ {u1 , u3 } ∩ {u1 , u3 } = {u3 }
seklindedir. Buradan
∪x∈A (∩y∈B (fAZB (x, y))) = {u3 } ∪ {u3 } ∪ ∅ ∪ {u3 } = {u3 }
BK(FA Z FB ) = {u3 } elde edilir. Sonuç olarak, Emlakç, Bay X için en uygun ev olarak
üç numaral evi tavsiye eder.
50
5.2
BK-VE Karar Verme Metodunun Bir Uygulamas
Kabul edelim ki, bir emlak osi, E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 } parametre kümesinin
elemanlar tarafndan parametrize edilen alt evi sat³a çkarsn. Bu evlerin kümesini
U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 } ile gösterelim. i = 1, 2, ..., 9 için ei parametreleri srasyla
pahal",güzel", ³ehir merkezine yakn",ucuz".bahçeli", modern", geni³", ortalama
büyüklükte" ve küçük" olsunlar.
Farz edelim ki, Bay X ve Bayan X çifti, bir ev satn almak için bu emlak osine gitsinler.
Emlakç, bu çifte var olan evleri arasndan en uygun olanlarn tavsiye edebilmek için
BK-VE karar fonksiyonunu kullanarak bir çözümü a³a§daki ³ekilde üretir.
Adm 1:
Emlakç, Bay X ve Bayan X'in herbirinden, var olan parametreler kümesinden
kendileri için uygun olanlar belirlemelerini ister.
Daha sonra seçilen bu iki grup
parametreyi küme olarak yazar. Bu kümeler A = {e2 , e4 , e6 , e7 } ve C = {e1 , e2 , e3 , e6 , e8 }
³eklinde olsun.
Adm 2:
Bu kümeler için FA ve FC esnek kümeleri in³a edilir.
FA = {(e2 , {u1 , u3 , u4 , u6 }), (e4 , {u2 , u3 }), (e6 , {u1 }), (e7 , {u1 , u3 })}
FC = {(e1 , {u3 , u4 , u6 }), (e2 , {u1 , u3 , u4 , u5 }), (e3 , {u2 , u4 , u5 }),
(e6 , {u2 , u3 , u4 , u6 }), (e8 , {u1 , u4 , u5 })}
Dikkat edilirse, u2 , Bayan X e göre modern olarak kabul edilmesine ra§men, Bay X'e
göre modern bulunmam³tr. Yine, Bay X u6 'y güzel bulmasna ra§men, Bayan X güzel
bulmam³tr. Buyüzden fA (e2 ) 6= fB (e2 ) ve fA (e6 ) 6= fB (e6 ) ³eklindedir.
51
Adm 3:
Bu çarpm ve BK-VE karar fonksiyonu kullanlarak, BK(FA ∧FB ) karar kümesi
elde edilir.
FA ∧ FB = {((e2 , e1 ), {u3 , u4 , u6 }), ((e2 , e2 ), {u1 , u3 , u4 }), ((e2 , e3 ), {u4 }),
((e2 , e6 ), {u3 , u4 , u6 }), ((e2 , e8 ), {u1 , u4 }), ((e4 , e1 ), {u3 }),
((e4 , e2 ), {u3 }), ((e4 , e3 ), {u2 }), ((e4 , e6 ), {u3 }), ((e4 , e8 ), ∅}),
((e6 , e1 ), ∅), ((e6 , e2 ), {u1 }), ((e6 , e3 ), ∅), ((e6 , e6 ), ∅),
((e6 , e8 ), {u1 }), ((e7 , e1 ), {u3 }), ((e7 , e2 ), {u1 , u3 }), ((e7 , e3 ), ∅),
((e7 , e6 ), {u3 }), ((e7 , e8 ), {u1 })}
Adm 4:
Sonuçta BK(FA ∧ FB ) = {u4 } olarak bulunan BK-VE karar kümesi eleman,
emlakç tarafndan Bay X ve Bayan X çiftine, onlar için en uygun ev olarak tavsiye
edilir. Burada, karar kümesinin eleman says birden fazla olabilir. Böyle bir durumda bu
elemanlardan birisi tavsiye edilebilir.
6. SONUÇ
Molodtsov (1999) tarafndan ortaya atldktan sonra, yakla³ml kümeler veya bulank
esnek kümeler yardmyla karar verme problemleri üzerine bir çok çal³ma yapld. Bu
çal³mada, esnek kümeler üzerinde daha detayl çal³malar yapabilmek için, esnek küme
i³lemleri, daha i³levsel olarak yeniden tanmland. Daha sonra bulank esnek kümeler veya
yakla³ml kümeler kullanlmadan, verilen alternatierden en uygun olanlarn seçebilmek
için baz esnek karar verme metotlar ortaya atld.
Son olarak da, bu metotlardan
ikisi, karar verme problemlerine uyguland. Bu metotlar, belirsizlik içeren ba³ka tipteki
problemlere de uygulanabilir.
53
KAYNAKLAR
Akta³, H. and Ça§man, N., 2007. Soft sets and soft groups. Information Sciences, 177(1),
2726-2735.
Chen, D-G., Tsang, E.C.C., Yeung, D.S., 2003. Some notes on the parameterization
reduction of soft sets. International Conference on Machine Learning and Cybernetics,
3, 1442-1445.
Chen, D., Tsang, E.C.C., Yeung, D.S. and Wang, X., 2005. The parameterization reduction
of soft sets and its applications. Computers and Mathematics with Applications, 49(1),
757-763.
Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008. Soft semirings. Computers and Mathematics with
Applications, 56(10), 2621-2628.
Jun, Y. B., 2008. Soft BCK/BCI-algebras. Computers and Mathematics with Applications,
56(1), 1408-1413.
Jun, Y. B. and Park, C. H., 2008. Applications of soft sets in ideal theory of
BCK/BCI-algebras. Information Sciences, 178(1) 2466-2475.
Kong,Z., Gao, L., Wang, L., 2008. Comment on "A fuzzy soft set theoretic approach to
decision making problems". Journal of Computational and Applied Mathematics, xxx,
xxx-xxx. (In Press)
Kong, Z., Gao, L., Wang, L. and Li, S., 2008. The normal Parameter Reduction of Soft Sets
and Its Algoritm. Computers and Mathematics with Applications, 56(1), 3029-3037.
Kovkov, D. V., Kolbanov, V. M. and Molodtsov, D. A., 2007. Soft Sets Theory-Based
Optimization. Journal of Computer and Systems Sciences International, 46(6), 872-880.
Maji, P.K., Biswas, R. and Roy, A.R., 2001. Fuzzy soft sets. Journal of Fuzzy Mathematics,
9(3), 589-602.
54
Maji, P. K., Bismas, R. and Roy, A.R., 2003. Soft set theory. Computers and Mathematics
with Applications, 45(1), 555-562.
Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2002. An application of soft sets in a decision
making problem. Computers and Mathematics with Applications, 44(1), 1077-1083.
Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2004. On Intuitionistic Fuzzy soft sets. J. Fuzzy
Math, 12(3) 669-683.
Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2008. Similarity measure of soft sets. New Mathematics
and Natural Computation, 4(1), 1-12.
Molodtsov, D., 1999. Soft set theory-rst results. Computers and Mathematics with
Applications, 37(1), 19-31.
Molodtsov, D., 2004. The Theory of Soft Sets (in Russian). URSS Publishers, Moscow.
Molodtsov, D. A., Leonov V. Yu. and Kovkov D. V., 2006. Soft Sets Technique and Its
Application. Nechetkie Sistemy i Myagkie Vychisleniya, 1(1), 8-39.
Mushrif, M.M., Sengupta, S. and Ray, A.K., 2006. Texture Classication Using a Novel,
Soft-Set Theory Based Classication, Algorithm. Lecture Notes In Computer Science,
3851 246-254.
Park, C.H., Jun, Y.B. and Öztürk, M.A., 2008. Soft WS-algebras. Commun. Korean Math.
Soc, 23(3), 313-324.
Pawlak, Z., 1982. Rough sets. International Journal of Information and Computer
Sciences, 11(1), 341-356.
Pei, D. and Miao, D., 2005. From Soft Sets to Information Systems. In: Proceedings of
Granular Computing (Eds: X. Hu, Q. Liu, A. Skowron, T.Y. Lin, R.R. Yager, B.Zhang)
IEEE, 2, 617-621.
Roy, A.R. and Maji, P.K., 2007. A fuzzy soft set theoretic approach to decision making
problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 203(1), 412-418.
Sun, Q-M., Zhang, Z-L. and Liu, J., 2008. Soft Sets and Soft Modules. (In Guoyin
Wang, Tian-rui Li, Jerzy W. Grzymala-Busse, Duoqian Miao, Andrzej Skowron, Yiyu
55
Yao Eds.): Rough Sets and Knowledge Technology, RSKT, Proceedings, Springer,
403-409.
Xiao, Z., Chen, L., Zhong, B. and Ye, S., 2005. Recognition for Soft Information Based
on the Theory of Soft Sets. In Proceedings of ICSSSM-05 (Ed: J. Chen), IEEE, 2,
1104-1106.
Xiao, Z., Gong, K. and Zou, Y., 2009. A combined forecasting approach based on fuzzy
soft sets. Computers and Mathematics with Applications, xx, xxx-xxx. (In Press)
Xiao, Z., Li, Y., Zhong, B. and Yang, X., 2003. Research on synthetically evaluating
method for business competitive capacity based on soft set. Statistical Research, 52-54.
Yang, H., Qu, C., Li, N-C., 2004. The induction and decision analysis of clinical
diagnosis based on rough sets and soft sets. (Fangzhi Gaoxiao Jichukexue Xuebao
Ed.), September, 17(3), 208-212.
Yang, X., Yu, D.,Yang, J. and Wu, C., 2007. Generalization of Soft Set Theory: From
Crisp to Fuzzy Case. In Fuzzy Information and Engineering: Proceedings of ICFIE,
(Bing-Yuan Cao Ed.), Advances in Soft Computing 40, Springer, 345-355.
Zadeh, L.A., 1965. Fuzzy Sets. Inform. and Control, 8(1), 338-353.
Zou, Y. and Xiao, Z., 2008. Data analysis approaches of soft sets under incomplete
information. Knowledge-Based Systems, 21(1), 941-945.
56
ε− yakla³ml, 6, 10
kesi³im, 9, 17, 23, 24, 36, 39, 45, 46
Kong, 2, 19
Akta³, 2
alt yakla³m, 22
birle³im, 6, 16, 23, 24, 35, 37, 39, 45, 46
BK, 10, 22, 4551
bo³ esnek küme, 13, 14, 17, 20, 24, 25, 32,
34
bulank, 1, 2, 410, 20, 21, 28, 52
Ca§man, 2
Kovkov, 3
kuvvet kümesi, 20, 29, 34
Maji, 14, 9, 19, 22, 29, 41
Molodtsov, 14, 9, 10, 14, 21, 22, 25, 52
Mushrif, 2
mutlak esnek küme, 14, 17, 20, 32
olaslk, 1, 4, 10, 30
Cantor, 1
Park, 2
Chen, 2, 19
Pei, 24, 20, 28
De Morgan, 15, 24, 43
Roy, 2
DE‡L küme, 13
DE‡L-VE çarpm, 41
DE‡L-VEYA çarpm, 41
esnek çarpm, 3, 4143, 4547
Sun, 2
tümleyen, 5, 13, 23, 25, 34, 35
topoloji, 7, 21
esnek e³it, 12, 22
ust yakla³m, 22
esnek küme, 14, 617, 1950, 52
uyelik fonksiyonu, 1, 58, 30
esnek karar, 19, 41, 45, 46, 48, 52
evrensel esnek küme, 3234
Feng, 2
Jun, 2
kafes, 25
kapsama, 12, 22, 28
karakteristik, 28
VE çarpm, 41
VEYA çarpm, 41
Xiao, 2
Yang, 2
Zadeh, 1, 5, 7
Zou, 2
57
ÖZGEÇM“
Ki³isel Bilgiler
Ad Soyad:
Serdar ENGNO‡LU
Do§um Tarihi ve Yer:
Medeni Hali:
Evli
Yabanc Dili:
ngilizce
27.09.1977 Bayburt
Telefon:
(356) 252 16 16 - 3302
E-posta:
[email protected] / [email protected]
E§itim:
Derece
E§itim Birimi
Mezuniyet Tarihi
Tokat Gaziosmanpa³a Üniversitesi
2008
Lisans
Erzurum Atatürk Üniversitesi
1998
Lise
Amasya Atatürk Üniversitesi
1994
Yüksek Lisans
³ Deneyimi:
Yl
2006 - ...
1998 - 2006
Yer
Görev
Tokat GOÜ Fen Bilimleri Enstitüsü
Ar³. Gör.
MEB'e Ba§l lk ve Ortaö§renim Kurumlar
Mat. Ö§rt.
Yaynlar:
1. Ça§man, N. ve Engino§lu, S., 2008. Soft Set Theory and Soft Decision Making.
European Journal of Operational Research, (Submitted).
2. Ça§man, N. and Engino§lu, S., Esnek Kümelerde ³lemler, XXI. Ulusal Matematik
Sempozyumu, 01-04 Eylül 2008, Koç Üniversitesi, stanbul.
3. Ça§man, N. and Engino§lu, S., Belirsiz Kümeler, XX. Ulusal Matematik Sempozyumu,
03-06 Eylül 2007, Atatürk Üniversitesi, Erzurum.
Hobiler
Zeka sorular çözmek, Ney üemek, Kudüm vurmak (Türk tasavvuf musikisinde bir
ritim saz), Çö§ür saz çalmak (Ksa sap ba§lama), Kaval ve Mey üemek, Serbest dal³
yapmak, Balk avlamak (genellikle geri atmak ³artyla), Motosiklete binmek.

KULLANMA TALIMATI RECTODERM rektal merhem Haricen

PROJEKT˙IF (Düzlem) GEOMETR˙I(S˙I): Projektif geometri

şeftali bahçeleri - Journal of International Social Research

1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık

I. Kadın Matematikçiler Derne˘gi C¸alıstayı

sayı =70037391-51.01_/`_ 9 44] - erzurum

hot working pdf free - PDF eBooks Free | Page 1

Document 5037730

İstanbul Yazı- Yorum Kurs Programı

Document 5039561

Kazanım Kavramı Testleri ile ilgili bakanlık yazısı için tıklayınız

datagram ağlar ve virtual-circuit ağlar.

PDF Olarak İndir - Perinatal Dergi

ue$Ger,eleni

6,09 MB - BM Ofis

Yazı ve Belgeler İçin Tıklayınız

Document 5044976

Napoleon Teoremi - Matematik Olimpiyat Merkezi

ELEKTRoNixa - SDU-nun Elektron Kitabxanası

Seçilmiş Makaleler Kitapçığı - BEÜN Özel Eğitim Hizmetleri

ZATEN BELLİYDİ BAŞTAN.musx

OOA[ayev, RiMemmedova - SDU