T.C.
GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
SOYUT LNEER OPERATÖRLE ETKLENM“
BR SÜREKSZ STURM-LOUVLLE
PROBLEMNN ÖZDE‡ERLER
Kadriye AYDEMR
Yüksek Lisans Tezi
Matematik Anabilim Dal
Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU
2010
Her hakk sakldr
T.C.
GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
MATEMATK ANABLM DALI
YÜKSEK LSANS TEZ
SOYUT LNEER OPERATÖRLE ETKLENM“ BR SÜREKSZ
STURM-LOUVLLE
PROBLEMNN ÖZDE‡ERLER
Kadriye AYDEMR
TOKAT
2010
Her hakk sakldr
Prof.
Dr.
Oktay MUHTARO‡LU dan³manl§nda, Kadriye AYDEMR tarafndan
hazrlanan bu çal³ma 15/01/2010 tarihinde a³a§daki jüri tarafndan oy birli§i/oy çoklu§u
ile Matematik Anabilim Dal'nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmi³tir.
Ba³kan: Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU
mza:
Üye: Doç. Dr. E³ref ORUÇOV
mza:
Üye: Yrd. Doç. Dr. Zülgar AKDO‡AN
mza:
Yukardaki sonucu onaylarm
(mza)
Prof. Dr. Metin YILDIRIM
Enstitü Müdürü
/.../2010
TEZ BEYANI
Tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu tezin yazlmasnda bilimsel ahlâk
kurallarna uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel
normlara uygun olarak atfta bulunuldu§unu, tezin içerdi§i yenilik ve sonuçlarn ba³ka
bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi bir tahrifat yaplmad§n, tezin
herhangi bir ksmnn bu üniversite veya ba³ka bir üniversitedeki ba³ka bir tez çal³mas
olarak sunulmad§n beyan ederim.
mza
Kadriye AYDEMR
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SOYUT LNEER OPERATÖRLE ETKLENM“ BR SÜREKSZ
STURM-LOUVLLE
PROBLEMNN ÖZDE‡ERLER
Kadriye AYDEMR
Gaziosmanpa³a Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal
Dan³man : Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU
Bu tezde snr ³artlarndan birinde özde§er parametresi bulunduran bir diferansiyel-operatör
snr-de§er-geçi³ probleminin baz spektral özelliklerini ara³trdk.
bölümden olu³maktadr.
Bu çal³ma be³
Birinci bölümde, ara³trlan konunun güncelli§i, uygulama
alanlar, teorik ve pratik önemi hakknda ksa bilgiler verdik.
kinci bölümünde tez
konumuzla ilgili yaplm³ olan çal³malar hakknda bilgi verdik.
Üçüncü bölümde
çal³mamz için gerekli olan baz temel tanm ve teoremleri verdik. Dördüncü bölümde
problemimizle ilgili olan yardmc ba³langç-de§er problemlerini inceleyerek, problemimiz
için temel çözüm fonksiyonlarn tanmladk ve bu fonksiyonlar için asimptotik formüller
elde ettik. Daha sonra bu formüllerden yararlanarak özde§erler için asimptotik formüller
bulduk. Son bölüm tezimizin orjinal ksmn olu³turmaktadr. Bu bölümde denkleminde
soyut lineer operatör bulunduran snr-de§er-geçi³ probleminin özde§erleri için asimptotik
formüller bulduk.
2010, 121 sayfa
Anahtar kelimeler: : Sturm-Liouville problemleri, snr ³artlar, özde§er, özfonksiyon,
diferansiyel operatör, Green fonksiyonu.
i
ABSTRACT
Undergreduate Thesis
EIGENVALUES OF ONE DISCONTINUOUS STURM-LIOUVILLE PROBLEM
PERTURBATED By ABSTRACT LINEAR OPERATOR
Kadriye AYDEMR
Gaziosmanpasa University
Faculty of Arts and Sciences
Department of Mathematics
Supervisor : Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU
In this thesis, we investigated some spectral properties of one differential-operator
boundary-value-transmission problem which contain eigenvalue parameter in one of
boundary conditions.
This thesis are arranged in ve chapters.
In the rst chapter,
we indicated a brief explanation about current interest, application areas, theoretical and
practical importance. In the second chapter, we gave information about studies which
related to the investigated problem this thesis study. In Chapter 3, we explained some
basic denitions and theorems which are used through the thesis study. In Chapter 4,
by examining some auxiliary initial-value problems we dene fundamental solutions
for our problem and found asymptotic formulas for these solutions.
these formulas we establish asymptotic formulas for eigenvalues.
Then by using
The last section is
original part of the thesis, in which we found asymptotic formulas for eigenvalues of
boundary-value-transmission problems for the case when the equation contain abstract
linear operator.
2010, 121 pages
Key words: : Sturm Liouville problems, boundary conditions , eigenvalue,
eigenfunction, differential operator, Green function.
ii
TE“EKKÜR
Bu tez çal³masnda bilgisini, deste§ini, eme§ini hiçbir zaman esirgemeyen ve her türlü
skntda daima yanmda olan de§erli hocam Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU' na en
içten sayg ve sevgilerimi sunarm.
Ayrca tez çal³mam boyunca kar³la³t§m sorunlarda zamann ve kirlerini benimle
payla³an Ara³trma görevlisi arkada³larma, bölümdeki tüm hocalarma ve çal³mam
boyunca ortak kir al³ veri³inde bulundu§um Ar³.
Gör.
Hayati OL‡AR'a te³ekkür
ederim.
Lisans ve yüksek lisans ö§renimim boyunca daima bana güvenen, benden maddi ve
manevi desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen ba³ta canm annem olmak üzere tüm
aileme ve adn zikretmedi§im ama sevgilerini daima yüre§imde hissetti§im di§er tüm
arkada³larma te³ekkürü bir borç bilirim.
Bu tez, 2009/39 nolu Bilimsel Ara³trma Projesi olarak Gaziosmanpa³a Üniversitesi
tarafndan desteklenmi³tir.
Gaziosmanpa³a Üniversitesine verdi§i nansal destekten
dolay te³ekkür ederim.
iii
ÇNDEKLER
ÖZET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TE“EKKÜR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. GR“
2. LTERATÜR ÖZET
3. GENEL BLGLER
3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Sturm-Liouville Denklemi
3.1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Regüler Sturm-Liouville Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
Lineer Diferansiyel fade ve Snr “artlar
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3
Lineer Operatörlerin Özde§er ve Özfonksiyonlar . . . . . . . . . . . . .
6
3.4
L2 [a, b]
Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.5
Hilbert Uzaylarnda Simetrik ve Kendine E³lenik Operatörler . . . . . . .
7
3.6
Mutlak Sürekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.7
Kompleks Fonksiyonlarn Sfr Yerlerinin Says . . . . . . . . . . . . . .
11
3.8
Parametreye Ba§l Snr-De§er Probleminin Çözümünün Varl§, Tekli§i
ve Parametreye Göre Tamlk Teoremi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Asimptotik fadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.10 Green Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.9
3.11 Rezolvent Operatörü, Snrl ve Kompakt Operatörler, Kompakt Gömülmeler 16
3.12 Sobolev Uzaylar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Diskret Spektrumlu Operatörler
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4. METOTLAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5. BULGULAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.1
Snr De§er Probleminin fadesi, Özde§erlerinin Reelli§i ve Özfonksiyonlarnn
Ortogonelli§i
5.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Verilmi³ Problemle lgili BazYardmcBa³langç-De§er Problemlerinin
Temel Çözümleri Ve bu Temel Çözümlerle lgili Önermeler . . . . . . . .
iv
28
5.3
5.4
5.2.1
Baz Yardmc Ba³langç De§er Problemleri
. . . . . . . . . . .
28
5.2.2
Temel Çözümler ile E³de§er Olan ntegral Denklemler . . . . . .
38
Φ(x, λ)
ve
χ(x, λ) Temel Çözümlerinin Asimptotik Davran³lar
. . . .
Temel Çözümler, Karakteristik Fonksiyon ve Karakteristik Fonksiyonun
Asimptotik Davran³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.4.1
Temel Çözümler ve Karakteristik Fonksiyon
. . . . . . . . . . .
58
5.4.2
Karakteristik Fonksiyonun Asimptotik Davran³lar . . . . . . . .
66
5.5
Özde§erler çin Asimptotik Davran³lar
5.6
Verilen Snr-De§er-Geçi³ Problemi ile AynÖzde§erlere Sahip Olan Lineer
Diferansiyel Operatörün Kurulmas
5.7
5.8
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
72
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Rezolventinin ve Green Fonksiyonunun
Kurulmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.7.1
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Rezolventi ve Green Fonksiyonu .
78
5.7.2
Rezolvent Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Diferansiyel-Operatör Snr-De§er-Geçi³ Probleminin fadesi, zomoru§u,
Rezolventinin Normunun De§erlendirilmesi, Spektrumu ve Özde§erlerinin
Asimptoti§i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.8.1
Giri³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.8.2
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin zomoru§u . . . . . . . . . . . .
93
5.8.3
Esas Diferansiyel Ksmna Göre Kompakt Olan Operatörle Etkilenmi³
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Özde§erlerinin Asimptoti§i
6. SONUÇ VE ÖNERLER
. . .
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
ÖZGEÇM“
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
v
1. GR“
Bilind§i gibi bir çok matematiksel zik problemlerinin çözümü için uygulanan baz
yöntemler, uygun adi diferansiyel denklemler için snr de§er problemlerinin spektral
özelliklerinin ara³trlmasn gerektirmektedir. Bu özelliklere örnek olarak özde§erler ve
özfonksiyonlarn asimptoti§inin bulunmas, Green fonksiyonunun in³a edilmesi, rezolvent
operatörünün kurulmas v.b. özellikler gösterilebilir.
Birçok matematiksel zik probleminin, de§i³kenlerine ayrma yöntemiyle incelenebilmesi
için Sturm-Liouville tipinde problemlerin özelliklerinin incelenmesi gerekmektedir. Bu
tür problemlerin önemi matematiksel zik problemlerinin çözümünde etkin biçimde
uygulanabilmesidir. Ancak ça§da³ mekanik ve zi§in talepleri yeni ve standart (al³lm³)
olmayan snr-de§er problemlerinin incelenmesi ihtiyacn ortaya koymu³tur.
Bu tez çal³masnn esas konusu bir diferansiyel operatör snr-de§er-geçi³ problemi için
yukarda bahsetti§imiz özelliklerin incelenmesidir.Tez çal³masnda incelenen problemin
ifadesi klasik Sturm-Liouville problemlerin ifadesinden a³a§daki farklar bulundurmaktadr.
1) Denklemde soyut (genel) lineer operatör bulunmaktadr.
2) Verilen aralkta süreksizlik noktas vardr ve süreksizlik noktasnda problem geçi³
³artlaryla birlikte verilmi³tir.
3)Ayrca snr ³artlarndan bir tanesinde özde§er parametresi bulunmaktadr.
2. LTERATÜR ÖZET
Matematik zi§in problemleri genelde ksmi diferansiyel denklemlerin baz ba³langç ve
snr ³artlarn sa§layan çözümlerin bulunmasna indirgenmektedir. Böyle problemlerin
incelenmesi için çok farkl yöntemler geli³tirilmi³tir.
Bu yöntemlerin bir ksmnn,
örne§in; özellikle Fourier yönteminin(de§i³kenlere ayrma yönteminin) esaslandrlmas
adi diferansiyel denklemler için snr de§er problemleminin spektral özelliklerinin
incelenmesini gerektirmektedir. Böyle snr de§er problemlerinden biri olan Sturm-Liouville
problemleri ilk olarak 19. yüzyln ortalarnda s ve madde iletimi problemleri ara³trlrken
Sturm ve Liouville tarafndan tanmlanm³ ve incelenmi³tir.
Daha sonra bu tip problemlerde Birkoff (1908) özde§er parametresine ba§l adi diferansiyel
denklemlerin temel çözümleri için asimptotik e³itlikler elde etmi³, regüler snr ³artlarn
tanmlam³ ve regüler snr-de§er problemleri için özfonksiyonlar ve özfonksiyonlara
ba§l fonksiyonlar sisteminin taml§ ile ilgili teoremler ispatlam³tr.
Tamarkin (1917)'in çal³malarnda parametreye ba§l lineer diferansiyel denklemler için
temel çözüm fonksiyonlann asimtoti§i bulunmu³, regüler ve güçlü regüler snr ³artlar
tanmlanm³tr. Bu çal³malarda regüler snr-de§er problemleri için Green fonksiyonu
de§erlendirilmi³ ve tanm bölgesindeki fonksiyonlarn verilmi³ snr de§er problemlerinin
özfonksiyonlar ve özfonksiyonlarna ba§lanm³ fonksiyonlar sistemi
üzerine seriye açlm formülleri elde edilmi³, ayrca snr ³artlarnn güçlü regüler oldu§u
durumda özde§erler için asimptotik formüller bulunmu³tur.
Daha sonraki yllarda ister soyut teorinin iç talepleri, isterse de matematik zi§in özelliklede
kuantum mekani§inin, ortaya koydu§u yeni yeni somut problemlerin ara³trlma ihtiyaçlar
diferansiyel operatörlerin spektral teorisinin hzl bir ³ekilde geli³mesine neden olmu³tur.
Yüzlerce kitap ve makale yaynlanmasna ra§men Sturm-Liouville problemleri hem
diferansiyel denklemler teorisinin hem de uygulamal matemati§in en önemli ve en
güncel konusu olmaya devam etmektedir. Bununda esas nedeni matematik zi§in ortaya
koydu§u yeni ve güncel problemlerdir.
Böyle yeni problemler klasik Sturm-Liouville
problemlerinin farkl yönlerden genelle³tirilmesi ve ara³trma yöntemlerinin geli³tirilmesi
3
ihtiyacn ortaya çkarmaktr.
Örne§in, farkl ziksel özelliklere sahip olan maddeler
arasndaki s ve madde iletimi problemleri snr ³artlarnn yan sra geçi³ ³artlar da
içeren Sturm-Liouville problemlerinin incelenmesini gerektirmektedir.
Son yllarda
Sturm-Liouville problemlerinin farkl yönlerde genelle³tirilmeleri yaygn olarak
ara³trlmaktadr. Snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran baz kendine e³lenik
snr-de§er problem leri kaynaklar ksmnda yer alan Walter (1973), Schneider (1974),
Fulton (1977), Hinton (1970) tarihli çal³malarda incelenmi³tir.
Russakovskiy' in 1975' deki çal³masnda özde§er parametresi snr ³artlarna polinomal
³ekilde dahil oldu§u için uygun lineer A operatörü
L2 (a, b)
yerine
L2 (a, b) ⊕ CN
³eklinde uzaylarda tanmlanm³tr.
Shkalikov'un, 1983' deki ve onu takip eden birkaç çal³masnda ise özde§er parametresinin
hem diferansiyel denkleminin katsay fonksiyonlarnda, hem de snr ³artlarnda polinomal
³ekilde içeren kendine e³lenik olmayan snr-de§er problemlerinin ara³trlmas için yeni
yorum ve lineerle³tirme yöntemi geli³tirmi³tir.
Muhtarov'un, 1988' deki çal³masnda snr ³artlarnda özde§er parametresi bulundurmayan,
ancak denkleminde soyut lineer operatör bulunduran ve esas ksm kendine e³lenik
olan snr-de§er probleminin özde§erlerinin asimptoti§i bulunmu³tur.
Altn³k' n,
1998 ylnda yazd§ "snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran süreksiz katsayl
snr-de§er problemi" ba³lkl Doktora Tezi'n de ise snr ³artlarnda özde§er parametresi
bulunduran süreksiz katsayl snr-de§er probleminin spektral özellikleri ara³trlm³tr.
Demir' in 1999 ylnda yazd§ "bir diferansiyel-operatör denklem için snr-de§er problemi"
ba³lkl Doktora Tezi' n de ise hem snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran hem
de denkleminde soyut linner operatör bulunduran ve esas ksm kendine e³lenik olan
snr-de§er probleminin özde§erlerinin asimptoti§i ara³trlm³tr.
Son yllarda ise bu alanda en önemli sonuçlar Yakubov ve Yakubov'un çal³malarnda
elde edilmi³tir (Yakubov, Y., 1993; 1994; 1998 and Yakubov and Yakubov, 1999; 2000).
Yakubov' un , 1994' de yaymlanan kitabnda reguler diferansiyel operatörlerin genel
teorisi kurulmu³ ve bu teori de yeni yöntemler geli³tirilmi³tir. Yakubov' un son yllardaki
çal³malarnda ise irregüler snr-de§er problemlerinin spektral özellikleri ara³trlarak
elde edilen sonuçlar bir çok ziksel problemlere uygulanm³tr. Yakubov (1995;1998)'
un çal³malar örnek olarak verilebilir.
3. GENEL BLGLER
3.1
Sturm-Liouville Denklemi
Snr-de§er problemleri arasnda Sturm-Liouville problemlerinin önemli bir yeri vardr.
Sturm-liouville problemini ifade etmeden önce herhangi ikinci mertebeden
00
0
−u + p(x)u + r(x)u = λs(x)u
bir diferansiyel denklemin (s(x) ikinci mertebeden,
diferansiyellenebilir fonksiyonlar ise ve
(3.1.1)
p(x) ise birinci mertebeden sürekli
s(x) > 0 ise)
00
−v + q(y)v = λv
(3.1.2)
biçiminde denkleme indirgenebilece§ini belirtelim. Bunun için x ve u
1
y=
c
Z
x
p
1
s(t)dt, c =
π
a
p
v(y) = 4 s(x)exp
dönü³ümleri ile yeni
aral§
[0, π]
y
ve
= u(x) de§i³kenlerinden
Z bp
s(t)dt
¶
µ Z x
1
p(t)dt u(x)
2 a
v = v(y) de§i³kenlerine geçmek yeterlidir.
aral§na dönü³ür.
(3.1.3)
a
(3.1.4)
Bu durumda
[a, b]
Bu dönü³üm, Liouville dönü³ümü olarak adlandrlr
(Titchmars, 1962).
3.1.1
Regüler Sturm-Liouville Problemi
Genel olarak regüler Sturm-Liouville problemi
L2 [a, b] (−∞ < a < b < +∞)
Hilbert
uzaynda verilmi³
00
Lu =: −u + q(x)u = λu, x ∈ [a, b]
(3.1.5)
5
denkleminin ve baz snr ³artlarnn olu³turdu§u snr de§er problemleri olarak tanmlanmaktadr.
Böyle snr ³artlardan biri de ,
0
α1 u(a) + α2 u (a) = 0
(3.1.6)
0
β1 u(b) + β2 u (b) = 0
snr ³artlarndan olu³maktadr.
fonksiyon,
α 1 , α2 , β 1 , β 1
Burada
q(x)
(3.1.7)
verilen aralkta reel de§erli sürekli bir
α12 + α22 6= 0, β12 + β22 6= 0
reel sabitler,
ve
λ ∈ C ise x
den
ba§msz parametredir.
E§er herhangi
λ = λ0
çözümü bulunursa,
de§eri için bu problemin a³ikar olmayan
u0 ∈ W22 [a, b] (u0 6= 0)
λ0 saysna verilmi³ problemin özde§eri, u = u0 (x) fonksiyonuna ise
bu özde§ere uygun özfonksiyon denir.
3.1.5−3.1.7 Sturm Liouville probleminde [a, b] aral§ sonlu ve bu aralkta q(x) fonksiyonu
integrallenebilirse bu tip problemlere regüler Sturm-Liouville problemler aksi taktirde
yani
[a, b]
aral§ sonsuzsa veya
q(x)
fonksiyonu bu aralkta integrallenemezse veya
her iki ³art sa§lanyorsa, (yani hem aralk sonsuz, hemde
q(x)
fonksiyonu bu aralkta
integrallenemezse) bu tip problemlere singüler Sturm-Liouville problemleri denir.
p(a) =
p(b) olmak üzere e§er 3.1.5 diferansiyel denklemi
u(a) = u(b)
0
(3.1.8)
0
u (a) = u (b)
(3.1.9)
snr ³artlaryla verilmi³se bu tip problemlere de periyodik Sturm-Liouville problemi
denir.
3.2
Lineer Diferansiyel fade ve Snr “artlar
pi (x) : R −→ R (i = 0, 1, 2, ..., n),
sürekli fonksiyonlar olmak üzere
`(y) := p0 (x)y (n) + p1 (x)y (n−1) + ... + pn (x)y,
x ∈ (a, b)
(3.2.1)
6
biçimindeki ifadeye
için
p0 (x) 6= 0
n−mertebeden lineer diferansiyel ifade denir.
Genel olarak her
x
oldu§u kabul edilir.
U (y) := α0 y(a) + α1 y 0 (a) + ... + αn−1 y (n−1) (a)
+β0 y(b) + β1 y 0 (b) + ... + βn−1 y (n−1) (b)
biçimindeki ifadeye ise snr de§er ifadesi denir.
(3.2.2)
Ui (y), i = 1, 2, ..., m ifadeleri snr de§er
ifadeleri oldu§unda
Ui (y) = 0, i = 1, 2, ..., m
(3.2.3)
biçimindeki e³itlikler snr ³artlar olarak adlandrlr.
Bilindi§i gibi
C[a, b]
ile,
[a, b]
aral§nda tanml ve sürekli olan fonksiyonlarn lineer
uzay gösterilir.
{f ∈ C[a, b] |f 0 , f 00 , ..., f (n) ∈ C[a, b]}
lineer uzay ise
C (n) [a, b] biçiminde gösterilir. L : C[a, b] −→ C[a, b]
D(L) = D = {y ∈ C[a, b] | y ∈ C (n) [a, b], Ui (y) = 0, i = 1, 2, ..., m}
L(y) = `(y) = p0 (x)y (n) + p1 (x)y (n−1) + ... + pn (x)y
e³itlikleri ile tanmlanan
L−lineer
operatörüne lineer diferansiyel operatör veya
`(y)
diferansiyel ifadesi ile
Ui (y) = 0, i = 1, 2, ..., m
snr ³artlarnn üretti§i lineer diferansiyel operatör denir (Naimark, 1967).
3.3
H
Lineer Operatörlerin Özde§er ve Özfonksiyonlar
kompleks lineer uzaynda tanm bölgesi
λ kompleks parametresi verilsin.
E§er
D(A) olan A : H −→ H
lineer operatörü ve
λ = λ0 için
Ay = λ0 y
(3.3.1)
7
operatör denkleminin
y0 6= 0 çözümü varsa, λ0
saysna
A operatörünün özde§eri, y0 ∈
D(A) elemanna ise bu özde§ere uygun özfonksiyonu denir (Kreyszig, 1989).
3.4
L2 [a, b]
Verilmi³
Uzay
[a, b] aral§nda tanml ve Lebesgue anlamnda ölçülebilir olan f (x) fonksiyonu
2
için |f (x)| fonksiyonu bu aralkta Lebesgue anlamnda integrallenebilir ise f (x) fonksiyon
una
[a, b]
aral§nda karesi integrallenebilir fonksiyon denir (Naimark, 1967).
Karesi
integrallenebilir fonksiyonlarn lineer uzaynda
Z
b
< f, g >:=
f (x)g(x)dx
(3.4.1)
a
ile gösterilen bu formül bir iç çarpm tanmlar (Birbiriyle e³de§er olan (yani h.h.h. e³it
olan) fonksiyonlar e³it fonksiyonlar olarak kabul ediyoruz.
Bu durumda sfr olarak
h.h.h. sfra e³it olan bütün fonksiyonlar snfn kabul ediyoruz.). Bu ³ekilde tanmlanan
iç çarpm uzaynn bir Hilbert uzay oldu§u bilinmektedir. Bu uzay
L2 [a, b] ile gösterilir.
[a, b] aral§ sonlu oldu§u durumda L2 (a, b)'den olan herbir fonksiyonun (a, b) aral§nda
Lebesgue anlamnda integrallenebilir olaca§ açktr.
3.5
Hilbert Uzaylarnda Simetrik ve Kendine E³lenik Operatörler
Tanm 3.5.1.
H
Hilbert uzaynda tanm bölgesi
lineer operatörü verilsin. E§er her
D(A) ⊂ H
x, y ∈ D(A)
olan
A : D(A) ⊂ H −→ H
için
hAx, yiH = hx, AyiH
e³itli§i sa§lanyorsa,
Tanm 3.5.2.
H
A
operatörüne simetrik operatör denir (Naimark, 1967).
Hilbert uzaynda
yerde yo§un olacak ³ekilde )
D(A) = H
olacak ³ekilde (yani tanm bölgesi her
A : D(A) ⊂ H −→ H
lineer operatörü verilsin.
8
E§er herhangi
y∈H
eleman için öyle
zy ∈ H
eleman varsa ki,
hAx, yiH = hx, zy iH
y ∈ D(A)
e³itli§i bütün
dönü³ümüne
A
y −→ zy : H −→ H
operatörünün e³lene§i denir (Naimark, 1967) ve
özelli§e sahip olan bütün
olarak kabul edilir ve
Sonuç 3.5.1.
elemanlar için sa§lansn, o halde
A∗
y ∈H
D(A∗ )
elemanlar kümesi
A∗
A∗
ile gösterilir. Bu
operatörünün tanm bölgesi
ile gösterilir.
operatörü bir lineer operatördür ve her
x ∈ D(A) , y ∈ D(A∗ )
için
hAx, yiH = hx, A∗ yiH
e³itli§i sa§lanr.
Sonuç 3.5.2. Her
x ∈ D(A)
A : H −→ H
simetrik operatörü için
D(A) ⊂ D(A∗ ) '
dr ve her
için
A∗ x = Ax
e³itli§i sa§lanr. Yani, her simetrik operatörün e³lene§i bu operatörün bir geni³lemesidir
(devamdr).
Simetrik operatörlerle e³lenikleri arasndaki çok önemli bir ba§nty verebilmek için önce
a³a§daki tanmlar verelim.
H
Hilbert uzay verilsin.
H × H := {(x, y)|x ∈ H, y ∈ H} kümesi al³lm³ yöntemle
lineer uzaya dönü³türülebilir. Bu lineer uzayda
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ H × H
elemanlar için
hx, yiH⊕H := hx1 , y1 iH + hx2 , y2 iH
e³itli§i bir iç çarpm tanmlyor ve bu iç çarpma göre
H ⊕ H := (H × H, h., .iH⊕H )
bir Hilbert uzaydr (Kreyszig, 1989).
9
Tanm 3.5.3.
A
lineer operatörü verilsin. E§er
ΓA := {(x, y) ∈ H ⊕ H| x ∈ D(A), y = Ax}
kümesi
H⊕H
ΓA ' ya
operatör denir.
H
Hilbert uzaynda kapal bir küme ise o halde
Hilbert uzaynda
verilsin.
A + λI
A
operatörüne kapal
bu operatörün gra§i denir.
A : D(A) ⊂ H −→ H
lineer operatörü ve
λ∈C
kompleks says
operatörünün de§er bölgesini
R(A + λI) := {Ax + λx | x ∈ D(A)}
ile gösterelim. Ayrca
M ⊂H
alt kümesi verildi§inde
M ⊥ ile M
kümesinin ortogonal
tümleyenini gösterelim:
M ⊥ = {x ∈ H | y ∈ M ⇒ hx, yiH = 0}
“imdi a³a§daki teoremi ifade edebiliriz (Kreyszig, 1989).
Teorem
3.5.1.
H
Hilbert uzaynda tanm bölgesi her yerde yo§un olan simetrik
lineer operatörü verilsin. E§er
her
λ∈C
A
kompleks says ve her
kapal operatör ise o halde
y ∈ D(A∗ )
Imλ 6= 0
olacak ³ekilde
eleman için
z = x + y1 + y2 , x ∈ D(A), y1 ∈ (R(A + λy))⊥ , y2 ∈ (R(A + λy))⊥
olacak ³ekilde
Bu anlamda
(x, y1 , y2 )
D(A∗ )
üçlüsü var ve tektir.
tanm bölgesi
D(A∗ ) = D(A) + (R(A + λI))⊥ + (R(A + λI))⊥
biçiminde gösterilebilir (Debnath ve Mikusinski, 2005).
A
10
Sonuç 3.5.3.
H
Hilbert uzaynda tanm bölgesi her yerde yo§un olan kapal ve simetrik
A : D(A) ⊂ H −→ H
lineer operatörü için
(R(A + λI)) = H
λ ∈ C ve Imλ 6= 0
olacak ³ekilde
yani
H
ve
(R(A + λI)) = H
says mevcut ise
A
operatörü kendine e³leniktir,
A∗ = A' dr.
A
Hilbert uzaynda verilmi³
D(A∗ ) = D(A)
simetrik operatörünün kendine e³lenik olmas için
olmasnn gerek ve yeter ³art oldu§u açktr (Debnath ve Mikusinski,
2005).
H
Teorem 3.5.2.
varsa ki
halde
A
Hilbert uzaynda
(A − λI)
ve
(A − λI)
A
simetrik operatörü verilsin. E§er
operatörlerin de§er bölgeleri
H
λ∈C
says
uzay ile çak³sn, o
operatörü kendine e³leniktir (Debnath ve Mikusinski, 2005).
spat: Herhangi bir
y ∈ D(A∗ )
elemann alalm. O halde
x ∈ D(A)
için
hAx, yi = hx, y ∗ i
e³itli§i sa§lanr. Buradan
¡
¢
(A − λI)x, y = hAx, yi − hλx, yi = hx, y ∗ i − hx, λyi = hx, y ∗ − λyi
e³itli§i elde edilir.
A − λI
operatörünün de§erleri bütün
H
uzay ile çak³t§ için
hA − λIiz = y ∗ − λy
olacak ³ekilde
z ∈ D(A)
eleman bulunur.
A
3.5.1, 3.5.2 ve 3.5.3
(3.5.2)
operatörü simetrik oldu§u için
hx, y ∗ − λyi = hx, (A − λI)zi = h(A − λI)x, zi (x ∈ D(A))
e³itli§i sa§lanr.
(3.5.1)
(3.5.3)
e³itliklerinden
h(A − λI)x, yi = h(A − λI)x, zi
(3.5.4)
11
e³itli§i bütün
x ∈ D(A)
için sa§lanr.
(A − λI)
operatörünün de§er bölgesi bütün
H
uzay ile çak³k olaca§ndan sonuncu e³itlikten
y = z ∈ D(A)
elde edilir. Böylece
3.6
D(A) ⊂ D(A∗ )
oldu§u ispatlanm³ oldu. spat bitti.
Mutlak Sürekli Fonksiyonlar
Tanm
3.6.1.
[a, b]
aral§nda tanmlf fonksiyonu verilsin. E§er
δ > 0 says varsa ki
∀ ε > 0
için öyle
n
X
(bk − ak ) < δ
k=1
her sonlu sayda ayrk
(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), ...(an , bn ) aralklar için
|
X
f (bk ) − f (ak ) |< ε
k
olsun, o zaman bu f fonksiyonuna [a, b] aral§nda mutlak süreklidir denir (burada
n ∈ N;
(ak , bk ) ⊂ [a, b], k = 1, 2, ...n) (Balc, 2000 ).
Teorem 3.6.1.
f
fonksiyonu
noktasnda türevlenebilirdir ve
3.7
[a, b]
de mutlak sürekli ise
[a, b]
nin hemen-hemen her
f 0 integrallenebilirdir(Balc, 2000 ).
Kompleks Fonksiyonlarn Sfr Yerlerinin Says
Tanm 3.7.1.D
⊂ C bir bölge olsun.f : D −→ C ve z0 ∈ D olsun.
E§er f fonksiyonu z0 '
n enaz bir kom³ulu§unda diferansiyellenebilir ise f fonksiyonuna z0 noktasnda analitiktir
denir.
Tanm
3.7.2.
D ⊂ C
bir bölge olsun.
diferansiyellenebilir ise f fonksiyonuna
Tanm
3.7.3.
E§er
f : C −→ C
E§er
f : D −→ C
bütün
D
bölgesinde
D bölgesinde analitiktir denir.
bütün
C
düzleminde diferansiyellenebilir ise f
12
fonksiyonuna tam fonksiyon denir.
Sfrdan farkl olan tam fonksiyonun sfr yerlerinin sonlu veya saylabilir sayda oldu§u
ve de sonlu y§lma noktasnn bulunmad§ (veya hiç olmad§) kompleks analizden iyi
bilinmektedir.
f : C −→ C
ile tanml f (z) fonksiyonu ve
z0 ∈ C
noktas verildi§inde
f (z0 ) = f 0 (z0 ) = ... = f (k−1) (z0 ) = 0, f (k) (z0 ) 6= 0
ise bu durumda
z = z0
noktasna
f (z)
fonksiyonunun
k
katl sfr yeri denir. Sfrdan
farkl tam fonksiyonlarn herbir sfr yerinin sonlu katl oldu§u kompleks analizden iyi
bilinmektedir.
Teorem 3.7.1. (Rouche Teoremi)
E§er
f (z)
ve
ϕ(z)
kompleks fonksiyonlar kapal düzlenebilir Jordan e§risi olan
z∈Γ
üzerinde ve içinde analitiklerse ve her
Γ
için,
|f (z)| > |ϕ(z)|
³art sa§lanyorsa; o halde
says ile
f (z)
Γ
e§risinin içinde
fonksiyonunun sfr
f (z) + ϕ(z)
yerlerinin
fonksiyonunun sfr yerlerinin
says (her
sfr
yeri
kat sayda
hesaplanmak üzere) e³ittir (Ulucay, 1971).
3.8
Parametreye Ba§l Snr-De§er Probleminin Çözümünün Varl§ , Tekli§i ve
Parametreye Göre Tamlk Teoremi
Teorem 3.8.1. Kabul edelim ki
q : [a, b] −→ R fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.
halde
−u00 + q(x)u = λu,
x ∈ [a, b]
diferansiyel denkleminin
u(a) = sin α,
u0 (a) = − cos α
α ∈ [0, π)
O
13
snr ³artlarn sa§layan bir tek
için
3.9
u(x, λ) çözümü vardr, tekdir ve bu çözüm her x ∈ [a, b]
λ ∈ C parametresinin tam fonksiyonudur (Titchmarsh, 1939).
Asimptotik fadeler
Kompleks düzlemin herhangi
G ⊂ C
bölgesinde tanml olan
f (z), g(z)
ve
h(z)
fonksiyonlar verilsin. E§er
|f (z)| ≤ M |g(z)| ,
olacak ³ekilde
R > 0, M > 0
z ∈ G ∩ {z : |z| > R}
saylar mevcutsa
f (z) = O(g(z)),
z ∈ G,
z −→ ∞
(3.9.1)
³eklinde yazlr. Bu ifadeye asimptotik e³itlik denir. E§er,
f (z) − h(z) = O(g(z)),
z ∈ G,
z −→ ∞
f (z) = h(z) + O(g(z)),
z ∈ G,
z −→ ∞
ise o halde
yazlr.
z0 ∈ G verilsin.
E§er
f (z) = g(z)α(z) ve
lim
z→z0 , z∈G
olacak biçimde
f (z)
küçüktür denir.
e§er
α(z) = 0
α(z) : C → C fonksiyonu varsa
f (z) = o(g(z)),
yazlr ve
(3.9.2)
fonksiyonu
z0
z ∈ G,
z −→ z0
noktasnn yakn kom³ulu§unda
f (z)
fonksiyonu
g(z)
z0
(3.9.3)
g(z)'ye
göre sonsuz
noktasnn herhangi kom³ulu§unda snrl ise, yani
z0 -n öyle kom³ulu§u ve öyle M>0 varsa ki bu kom³ulukta
14
|f (z)| ≤ M |g(z)|
olsun. O halde
f (z) = O(g(z)),
yazlr. E§er
lim
z→z0
z ∈ G,
z −→ z0
(3.9.4)
f (z)
=1
g(z)
ise
f (z) ∼ g(z),
yazlr.
Hangi
G
z ∈ G,
z −→ z0
bölgesinden bahsedildi§i açk ³ekilde bilinirse bazen
(3.9.5)
z ∈ G
ifadesi
yazlmaz.
{an }
{bn }
,
varsa ki
ve
{cn } reel veya kompleks say dizileri verildi§inde ∃n0 ∈ N ve ∃M > 0
∀n ≥ n0 için | an |≤ M | bn | olsun, o halde
an = O(bn )
yazlr.
(3.9.6)
an − cn = O(bn ) oldu§unda ise bu durum
an = cn + O(bn )
³eklinde gösterilir. E§er
(3.9.7)
an = αn bn , αn → 0 olacak biçimde (αn ) dizisi mevcutsa
( lim
n→∞
an
= 0 ise)
bn
bu durum
an = o(bn )
³eklinde gösterilir.
an − cn = o(bn ) oldu§unda ise bu durum
an = cn + o(bn )
³eklinde gösterilir.
(Titchmars, 1962).
(3.9.8)
3.9.1 − 3.9.9
(3.9.9)
³eklindeki formüllere asimptotik formüller denir
15
3.10
Green Fonksiyonu
Srasyla
3.2.1
1, 2, 3, ....., n
ve
3.2.3
`(y)
ile tanml
diferansiyel ifadesinin ve
Ui (y) = 0, i =
snr ³artlarnn üretti§i L lineer operatörü için Ly=0 denkleminin bir tek
y=0 a³ikar çözümünün bulundu§unu kabul edelim.
Bu halde
`(y) = 0
denkleminin her bir
y1 , y2 , ...., yn
lineer ba§msz çözüm sistemi için
det|Ui (yj )|i,j=1,2,....,n 6= 0
olaca§ndan L operatörünün
L−1
ters operatörü olacak ve bu ters operatörün
Z
b
−1
G(x, t)f (t)dt
L f=
(3.10.1)
a
biçiminde ifade edilebilece§i bilinmektedir. Bu durumda
3.10.1
integral operatörünün
G(x,t) çekirde§ine L lineer diferansiyel operatörünün Green fonksiyonu denir (Naimark,
1967).
Green fonksiyonunun bulunmas için a³a§daki Teorem yaygn bir ³ekilde uygulanmaktadr.
Teorem 3.10.1. E§er
varsa, o halde
L
Ly = 0
snr-de§er probleminin sadece
lineer diferansiyel operatörünün bir tek
G(x, t)
y=0
a³ikar çözümü
Green fonksiyonu var
ve bu fonksiyon a³a§daki ³artlar sa§lyor:
1.
G(x, t)
aral§nda
t ∈ [a, b]
fonksiyonu her
(n − 2).
için süreklidir ve
mertebeye kadar (n
− 2'
x-de§i³kenine göre bütün [a, b]
ci mertebe de dahil olmak üzere ) sürekli
diferansiyellenebilirdir.
2.
G(x, t)
fonksiyonu her
x-de§i³kenine göre (n − 1).
diferansiyellenebilirdir ve
süreksizdir ve
t ∈ (a, b)
için
[a, t)
ve
(t, b]
aralklarnn her birinde
mertebeden (n − 1' ci mertebe de dahil olmak üzere ) sürekli
(n − 1).
mertebeden türev fonksiyonu
1
sçramasna sahiptir, yani
p0 (t)
∂ n−1
1
∂ n−1
G(t
+
0,
t)
−
G(t
−
0,
t)
=
∂xn−1
∂xn−1
p0 (t)
x = t
noktasnda
16
3.
[a, t) ve (t, b]
aralklarnn her birinde G(x, t) fonksiyonu x-de§i³kenine göre
diferansiyel denklemini ve
Ui (y) = 0, i = 1, 2, 3, ....., n
Bunun terside do§rudur. Yani, teoremin ³artlar altnda
bir tek
G(x, t)
fonksiyonu var ve bu fonksiyon
L
`(y) = 0
snr ³artlarn sa§lyor.
(1.) − (3.)
³artlarn sa§layan
operatörü için Green fonksiyonudur
(Naimark, 1967).
3.11
Rezolvent Operatörü, Snrl ve Kompakt Operatörler, Kompakt Gömülmeler
Tanm 3.11.1. Özde§er olmayan her
Green fonksiyonu vardr ve her
λ∈C
f ∈ C[a, b]
bir tek
Z
için
için
L − λI
(L − λI)y = f
operatörünün
G(x, t; λ)
snr-de§er probleminin
b
G(x, t; λ)f (t)dt
y(x) =
(3.11.1)
a
çözümü bulunur. Bu çözüme
`(y) = λy
(3.11.2)
Ui y = 0, i = 1, 2, ...., n
(3.11.3)
snr-de§er probleminin Rezolventi,
Z
−1
(L − λI)
b
f =
G(x, t; λ)f (t)dt
a
ters operatörüne ise
L
operatörünün veya
Rezolvent operatörü denir ve
R(λ, L)
(3.11.2), (3.11.3)
snr-de§er probleminin
ile gösterilir:
R(λ, L) = (L − λI)−1
(Naimark, 1960)
Not: Baz kaynaklarda
E§er verilmi³
varsa
λ
λ∈C
saysna
L
(λI − L)−1
operatörüne Rezolvent operatörü denir.
kompleks says için
λI − L
operatörünün snrl ters operatörü
operatörünün regüler de§eri denir.
17
L
operatörünün regüler de§eri olmayan bütün kompleks saylar kümesine
σ(L)
spektrumu denir ve
ile gösterilir.
L
L
operatörünün
operatörünün regüler de§erler kümesi ise
ρ(L)
ile gösterilir (Triebel, 1978).
Tanm
X
3.11.2.
metrik uzaynda
E ⊂X
alt kümesi verilsin. E§er
E
kümesinin
elemanlarndan olu³mu³ her dizinin yaknsak altdizisi varsa bu kümeye kompakt küme
denir. E§er bu altdizilerin limitleri
denir, aksi halde ise
E -ye X -e
önkompakt ) küme denir.
X
E -nin eleman ise E -ye kendi içinde kompakt küme
göre kompakt küme veya
E -ye X -de
kümesinin kendisi kompakt ise
X
kompakt (bazen
metrik uzayna kompakt
denir.
Tanm
A
X
3.11.3.
ve
Y
Banach uzay ve
operatörünün tanm bölgesini
D(A) = X
ise ve istenilen her
D(A),
u∈X
A : X −→ Y
de§er bölgesini
lineer operatörü verilsin.
R(A)ile
gösterelim.
E§er
için
kAukY ≤ C kukX
olacak ³ekilde bir
C > 0 says varsa A
operatörüne
X −→ Y ' ye snrl operatör denir.
(Yakubov, 1994).
Bütün snrl
L(X)
E§er
A : X −→ Y
operatörler kümesini
L(X, Y )
ile,
L(X, X)'
i ise ksaca
ile gösterece§iz (Yakubov, 1994).
D(A) = X
önkompakt ise
A
ise ve her
M ⊂X
operatörüne
snrl kümesinin
A(M ) ⊂ Y
görüntüsü
Y ' de
X ' den Y ' ye giden kompakt operatör denir (Kreyszig,
1989).
Tanm
3.11.4.
X
Banach uzayndan
i³lemleri koruyan
J : X −→ Y
denir.
J(X)
Bu halde
gösterilir.
J
ile
X
Y
Banach uzayna giden bire-bir ve cebirsel
dönü³ümü verilmi³se, o halde
X, Y
ayn uzaylar olarak kabul edilir ve
' ye gömülmü³tür
X ⊂ Y
operatörüne ise gömülme operatörü denir (Kreyszig, 1989).
olarak
18
J : X −→ Y
gömülme operatörü sürekli ise
X ⊂Y
gömülmesi de sürekli gömülme
olarak adlandrlr (Triebel, 1978).
J : X −→ Y
gömülme operatörü kompakt ise
X⊂Y
gömülmesi de kompakt gömülme
olarak adlandrlr (Triebel, 1978).
E§er
J(X)
görüntü kümesi,
Y ' de her yerde yo§un ise X ⊂ Y
gömülmesi de her yerde
yo§undur denir (Triebel, 1978) .
Lemma 3.11.1. A³a§daki üç ³artn sa§land§n kabul edelim.
1)
X
2)
X⊂Y
3)
ve
Y
bazlar bulunan birer Banach uzaylardr ve
X
yansmaldr.
gömülmesi de her yerde yo§un ve süreklidir.
B : X −→ Y
operatörü kompakttr. O halde her
ε>0
ve bütün
u∈X
için
kBukY ≤ ε kukX + C(ε) kukY
olacak ³ekilde
3.12
(a, b)
C(ε) > 0
says vardr (Yakubov, 1994).
Sobolev Uzaylar
aral§nda tanml ve lokal integrallenebilir olan
u(x)
ve
v(x)
fonksiyonlar
verilsin. E§er sonsuz mertebeden diferansiyellenebilir ve
sup ϕ = {x | ϕ(x) 6= 0} ⊂ (a, b)
³artn sa§layan her
ϕ(x)
Z
fonksiyonu için
Z
b
(n)
u(x)ϕ
v(x)
v(x)ϕ(x)dx
(x)dx = (−1)
a
a
e³itli§ini sa§lyorsa
b
n
fonksiyonuna
u(x)
genelle³tirilmi³ türevi denir (Triebel, 1978).
fonksiyonunun
n (n ∈ N)
mertebeden
19
(a, b) ⊂ R
aral§
q>1
reel says ve
m>0
tamsays verildi§inde
0
k = 1, 2, ...., m
00
u (x), u (x), ...., u(m) (x)
aral§nda Lebesque anlamnda ölçülebilir ve
türevleri bulunan ve her
u(k) ∈ L2 (a, b)
için
Wqm (a, b)
ile
(a, b)
genelle³mi³
olan fonksiyonlarn lineer
uzayn gösterece§iz. Bu uzayda
hu, viW2m (a,b) =
à m
X
! 21
h u(k) , v (k) iL2 (a,b)
k=0
formülü bir iç çarpm tanmlyor.
Bu uzaylara Sobolev uzaylar denir.
Bu uzaylarn
Hilbert uzaylar oldu§u biliniyor (Triebel, 1978).
leride, literatürde de oldu§u gibi
3.13
H
L2 (a, b)
yerine bazen
yazaca§z.
Diskret Spektrumlu Operatörler
A : H −→ H
Hilbert uzay verilsin ve
operatörü kapal olsun ( hatrlatalm ki, e§er
un ∈ D(A) (n ∈ N), un −→ u , Aun −→ v
için
W20 (a, b)
u ∈ D(A) ve Au = v
ise
A
³artlarn sa§layan her
operatörüne
H
un (n ∈ N)
dizisi
' da kapal operatör denir).
A : H −→ H , D(A) H-da heryerde yo§un yani D(A) = H olacak biçide snrl olmayan
A
lineer kapal operatörü verilsin . E§er en az bir
λ = λ0
için
R(λ, A) = (A − λI)−1
mevcut ve kompakt ise A-ya diskret spektrumlu operatör denir (Kato).
Böyle operatör için
N (r, A)
ile
A
operatörünün
{λ ∈ C | |λ| ≤ r}
N (r, A)
bulunan özde§erlerin katlarnn toplamn gösterece§iz.
operatörünün özde§erlerinin da§lm fonksiyonu denir.
N (r, φ, A) =
φ⊂C
X
1
|λj (A)|≤r, λ∈φ
gösterimini kullanaca§z.
Ψ±
α = {λ ∈ C : | arg(±λ)| < α}
kapal yuvarnda
fonksiyonuna
A
herhangi küme oldu§unda
(3.13.1)
20
oldu§unda
N (r , Ψ±
α , A)
N± (r , α , A)
yerine
yazaca§z.
pozitif ve negatif reel saylar kümesini gösterdi§inde
N± (r , A)
A
R+ ve R−
N (r , R± , A)
uygun olarak
yerine sadece
yazaca§z.
operatörü diskret spektrumlu oldu§unda onun özde§erlerinin
|λ1 | ≤ |λ2 | ≤ |λ3 | ≤ ....
³eklinde mutlak de§erlerinin azalmayan srasna göre sraland§n kabul edece§iz ( bu
durumda her özde§erin kat sayda yazld§n da kabul ediyoruz). Her bir
kök linealinde baz vektörleri seçelim ve bütün bu baz vektörlerinden
1, 2, ....
olmak üzere
{fi } , i = 1, 2, ...
mλi (A) ⊂ H
fi ∈ mλi (A), i =
vektörler sistemini olu³turalm. Bu sisteme
A
operatörünün kök vektörler sistemi (öz ve ³erik vektörler sistemi) denir.
Tanm 3.13.1. E§er
de§eri mevcutsa ve
BR(λ, A)
A : H −→ H
D(B) ⊃ D(A)
lineer operatörünün hiç olmazsa bir tane
olacak ³ekilde
operatörü kompakt ise o halde
B
B : H −→ H
operatörüne
A
λ
regular
lineer operatörü için
operatörüne göre(nazaran)
kompakt operatör denir.
Teorem 3.13.1. E§er
S
diskret spektrumlu kendine e³lenik operatör ise, o halde
ye göre kompakt olan her lineer
B
operatörü için
S+B
S'
de diskret spektrumludur
(Gohberg ve Krein , 1969).
Teorem
3.13.2.
kompakt olan
B
S
kendine e³lenik diskret spektrumlu lineer opeatörü ve
lineer operatörü olsun. E§er
S
N+ (r(1 + ε), S)
=1
N+ (r, S)
ε −→ 0
ise o halde
0<α<
π
olacak ³ekilde her
2
lim
r−→∞
dir (Markus ve Matsayev , 1982).
α
ye göre
operatörünün sonsuz sayda pozitif
özde§eri mevcut ise ve
lim
r −→ ∞
S'
says için
N+ (r, α, S + B)
=1
N+ (r, S)
4. METOTLAR
Ça§da³ mekanik ve zi§in talepleri gere§i, son yllarda özde§er parametresini hem
diferansiyel denkleminde hem de snr ³artlarnda içeren snr-de§er problemlerine ilgi
gittikçe artmaktadr.
Bu çal³mada klasik Sturm-Liouville problemlerinden üç esas fark olan ve sadece esas
ksm diferansiyel operatör olan bir snr-de§er-geçi³ probleminin spektral özellikleri
(özde§erler ve özfonksiyonlarn asimptotik ifadelerinin bulunmas, Green fonksiyonunun
in³a edilmesi, rezolvent operatörünün kurulmas, özelliklerinin incelenmesi ve normunun
de§erlendirilmesi v.b.) incelenmi³tir. Bu farklar a³a§daki biçimde sralanabilir.
lk olarak özde§er parametresinin sadece diferansiyel denklemde de§il ayn zamanda snr
³artlarnn bir tanesinde de bulunmasdr. kinci olarak verilen aralkta süreksizlik noktas
mevcuttur ve bu süreksizlik noktasnda problem geçi³ ³artlaryla birlikte verilmi³tir.
Sonuncusu ve bizim için en önemlisi olan denklemde soyut (genel) lineer operatör
bulunmasdr.
Tez çal³mamzda literatürden bilinen a³a§daki materyal ve metotlardan yararlanlm³tr.
Diferansiyel operatörler teorisinden regüler Sturm-Liouville teorisi ve yöntemleri ;
fonksiyonel analizden baz temel tanmlar ve simetrik operatörlerin baz temel özellikleri
Kompleks analizden tam fonksiyonlarn sfr yerleri ile ilgili olan Rouche teoremi ; Lineer
diferansiyel denklemler teorisi Lineer integral denklemlerin çözümlerinin asimptoti§ini
bulma yöntemleri ; asimptotik de§erlendirmelerle ilgili yöntemler ile birlikte Sturm-Liouville
teorisi yöntemleri ve kaynaklar ksmnda yer alan çal³malardan özellikle yararlanlm³
olup gösterilmi³ yöntemlerden faydalanlm³tr.
5. BULGULAR
Tez çal³mamzn esas konusu; Denkleminde soyut lineer operatör bulunduran
u00 (x) + q(x)u(x) + (Bu)(x) = λu(x),
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
diferansiyel denkleminden,
u(−1) = 0
u0 (1) = λu(1)
snr ³artlarndan ve de
x = 0 süreksizlik noktasndaki
u(+0) = δu(−0)
u0 (+0) = γu0 (−0)
geçi³ ³artlarndan olu³an snr-de§er-geçi³ probleminin baz spektral özelliklerinin
incelenmesidir. Biz ilk önce a³a§daki
5.1
5.1.1 − 5.1.5 Sturm-Liouville problemini ele aldk.
Snr De§er Probleminin fadesi, Özde§erlerinin Reelli§i ve Özfonksiyonlarnn
Ortogonelli§i
Bu bölümde ,
Lu := −u00 + q(x)u = λu,
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
diferansiyel (Sturm-Liouville) denkleminden bir tanesi
λ
(5.1.1)
özde§er parametresine ba§l
olan
snr ³artlarndan ve
u(−1) = 0
(5.1.2)
λu(1) − u0 (1) = 0
(5.1.3)
x = 0 süreksizlik noktasndaki
u(+0) − δu(−0) = 0
(5.1.4)
23
u0 (+0) − γu0 (−0) = 0
(5.1.5)
geçi³ ³artlarndan olu³an Sturm-Liouville probleminin baz spektral özellikleri incelenecektir.
Burada
q(x); [−1, 0)
ve
(0, 1]
aralklarnda sürekli,
λ
limit de§erlerine sahip olan bir fonksiyon,
katsaylardr. Bundan sonra heryerde
Teorem 5.1.1.
x = 0
noktasnda ise sonlu
kompleks özde§er parametresi ve
q(±0)
δ, γ
reel
δγ > 0 oldu§unu kabul edece§iz.
5.1.1 − 5.1.5 e³itlikleri ile verilmi³ snr - de§er - geçi³ probleminin bütün
özde§erleri reeldir.
spat:
5.1.1 − 5.1.5 snr-de§er-geçi³ probleminin λ özde§erine uygun özfonksiyonu u
olsun.
u, u'
nun ve
λ, λ'
nn e³lene§i olmak üzere,
5.1.1 − 5.1.5 ve
−u00 + q(x)u = λu
(5.1.6)
u(−1) = 0
(5.1.7)
u0 (1) = λu(1)
(5.1.8)
u(+0) = δu(−0)
(5.1.9)
u0 (+0) = γu0 (−0)
e³itlikleri sa§lanr.
5.1.1
u
denklemi
ile
5.1.6
(5.1.10)
denklemi de
u
ile çarplp taraf tarafa
çkartlrsa,
00
00
uu − uu = (λ − λ)uu
e³itli§i elde edilir.
00
0
00
0 0
uu − uu = (uu − uu )
0
(5.1.11)
oldu§undan
0 0
(uu − uu ) = (λ − λ)uu
yazlabilir.
(5.1.12)
5.1.12 e³itli§i −1' den 0' a integrallenirse
Z
Z
0
0
0
0 0
(uu − uu ) dx = (λ − λ)
uudx
−1
−1
Z
0
(uu − uu
0
)|0−1
0
= (λ − λ)
uudx
−1
24
0
0
0
0
u(−0)u (−0) − u(−0)u (−0) − u(−1)u (−1) + u(−1)u (−1)
Z 0
= (λ − λ)
uudx
(5.1.13)
−1
5.1.2
elde edilir. Di§er taraftan
ve
5.1.7 snr ³artlar sa§land§ için
u(−1)u0 (−1) − u(−1)u0 (−1) = 0
bulunur.
(5.1.14)
5.1.14' de elde etti§imiz ifade 5.1.13' te yerine yazlrsa
Z
0
0
0
u(−0)u (−0) − u(−0)u (−0) = (λ − λ)
uudx
(5.1.15)
−1
elde edilir. Ayn ³ekilde
5.1.12
Z
ifadesi
0' dan 1' e integrallenirse;
Z
1
0
1
0 0
(uu − uu ) dx = (λ − λ)
uudx
0
0
Z
0
(uu − uu
0
)|10
1
= (λ − λ)
uudx
0
u(1)u0 (1) − u(1)u0 (1) − u(+0)u0 (+0) + u(+0)u0 (+0)
Z 1
= (λ − λ)
uudx
(5.1.16)
0
elde edilir.
5.1.3
ve
5.1.8' deki
u0 (1) = λu(1)
snr ³artlar
ve
u0 (1) = λu(1)
5.1.16' da yerine yazlrsa
Z
0
1
0
λu(1)u(1) − λu(1)u(1) − {u(+0)u (+0) − u(+0)u (+0)} = (λ − λ)
uudx
0
Z
0
1
0
(λ − λ)u(1)u(1) − {u(+0)u (+0) − u(+0)u (+0)} = (λ − λ)
uudx
0
(5.1.17)
25
ifadesi elde edilir.
5.1.3 − 5.1.4
ve
5.1.9 − 5.1.10 geçi³ ³artlar kullanlarak
1
u(+0)
δ
1 0
u0 (−0) =
u (+0)
γ
1
u(−0) =
u(+0)
δ
1 0
u0 (−0) =
u (+0)
γ
u(−0) =
e³itlikleri yazlabilir. Bu e³itlikler
(5.1.18)
5.1.15' de yerine yazlrsa,
Z 0
i
1 h
0
0
u(+0)u (+0) − u(+0)u (+0) = (λ − λ)
uudx
δγ
−1
elde edilir. Bu son e³itlik
5.1.17' de yerine yazlp gerekli düzenlemeler yaplrsa,
Z
Z
0
uudx = (λ − λ)
(λ − λ)u(1)u(1) − δγ (λ − λ)
−1
·
Z
Z
0
(λ − λ) δγ
δγ > 0
esitli§i bulunur.
ve
uudx
0
¸
1
uudx +
−1
1
uudx + u(1)u(1) = 0
0
u özfonksiyonu sfrdan farkl oldu§undan dolay parentez
içindeki ifade sfrdan farkldr. O halde sonuncu e³itlikten
λ=λ
elde edilir. spat bitti.
Not Bundan sonra her yerde
δγ > 0 oldu§unu kabul edece§iz.
5.1.1 − 5.1.5
Teorem 5.1.2.
snr-de§er-geçi³ probleminin iki farkl
özde§erlerine uygun özfonksiyonlar
Z
Z
0
δγ
e³itli§i sa§lanr.
ve
un olsun.
ve
λn
Bu durumda
1
um (x)un (x)dx +
−1
um
λm
um (x)un (x)dx + um (1)un (1) = 0
0
(5.1.19)
26
spat:
um
ve
un
srasyla
λm
ve
λn özde§erlerine uygun özfonksiyonlar oldu§undan
00
−um + q(x)um = λm um
(5.1.20)
00
−un + q(x)un = λn un
5.1.20
e³itlikleri sa§lanr.
e³itli§i
un
ve
5.1.21
(5.1.21)
um
e³itli§i
ile çarplp taraf tarafa
çkarlrsa
00
00
um un − um un = (λm − λn )um un
elde edilir. Bu son e³itlik ilk olarak
Z
−1
−1' den 0' a integrallenirse,
Z
0
0
0
Z
(um un −
0
0
0
(um un − um un ) dx = (λm − λn )
0
(5.1.22)
0
um un )|0−1
um un dx
−1
0
um un dx
= (λm − λn )
−1
0
0
0
=⇒ um (−0)un (−0) − um (−0)un (−0) − um (−1)un (−1) + um (−1)un (−1)
Z 0
= (λm − λn )
um un dx
(5.1.23)
−1
elde edilir. Problemimizde verilmi³ olan
5.1.2 snr ³art um
ve
un
özfonksiyonlar için
de geçerli oldu§undan,
um (−1) = 0
e³itlikleri sa§lanr. Bu de§erler
ve
um (−1) = 0
5.1.23' te yerine yazlrsa,
Z
0
0
um (−0)un (−0) − um (−0)un (−0) = (λm − λn )
elde edilir. Ayn ³ekilde
0
um un dx
(5.1.24)
−1
5.1.22 e³itli§i 0' dan 1' e integrallenip
0
um (1) = λm um (1)
ve
0
un (1) = λn un (1)
snr ³artlar uygulanrsa,
0
0
(λn − λm )um (1)un (1) − [um (+0)un (+0) − um (+0)un (+0)]
Z 1
= (λm − λn )
um un dx
0
(5.1.25)
27
e³itli§i elde edilir. Yine
5.1.3 − 5.1.4 geçi³ ³artlar kullanlarak
1
um (+0)
δ
1 0
0
um (−0) =
u (+0)
γ m
1
un (−0) =
un (+0)
δ
1 0
0
un (−0) =
u (+0)
γ n
um (−0) =
e³itlikleri yazlabilir . Bu ifadeler
(5.1.26)
5.1.24' de yerine yazlrsa
Z
0
0
0
[um (+0)un (+0) − um (+0)un (+0)] = (λm − λn ) δγ
elde edilir. Elde etti§imiz bu son e³itlik
5.1.25'
um un dx
−1
te yerine yazlp gerekli düzenlemeler
yaplrsa,
·
Z
Z
0
(λm − λn ) δγ
um un dx +
−1
elde edilir.
1
¸
um un dx + um (1)un (1) = 0
0
λm 6= λn oldu§undan dolay,
Z
Z
0
δγ
1
um un dx +
−1
um un dx + um (1)un (1) = 0
0
bulunur.
Not: Bu teorem ve klasik Sturm-Liouville teorisindeki uygun teorem dikkate alnrsa,
problemimize özgü olan yeni bir ortogonallik kavram tanmlamamz gerekti§i kolayca
anla³labilir. O halde
5.1.19
e³itli§ini sa§layan
un ve um özfonksiyonlarna ortogonaldir
dememiz gerekir. ileride problemimize özgü olarak kuraca§mz Hilbert uzay ve ortagonellik
kavram tanmlanacaktr.
28
5.2
Verilmi³ Problemle lgili Baz Yardmc Ba³langç-De§er Problemlerinin Temel
Çözümleri Ve bu Temel Çözümlerle lgili Önermeler
5.2.1
Baz Yardmc Ba³langç De§er Problemleri
Bu bölümde ara³trd§mz
olan ve sadece
[−1, 0]
veya
5.1.1 - 5.1.5
snr-de§er-geçi³ problemi ile yakndan ilgili
[0, 1] alt aralklarnda (esas [-1,1] aral§nn alt aralklarnda)
verilmi³ baz yardmc ba³langç-de§er problemlerinin çözümlerinin mevcut oldu§u ve bu
çözümlerin
λ
kompleks özde§er parametresine göre bütün kompleks düzlemde analitik
(tam fonksiyon) oldu§u ispat edilecektir.
5.1.1
denkleminin
5.1.1
-
5.1.5
Daha sonra bu çözümlerden yararlanarak
snr-de§er-geçi³ problemi için temel olacak çözümleri
tanmlanacaktr.
Teorem 5.2.1. Her
λ ∈ C için
00
−u (x) + q(x)u(x) = λu(x),
x ∈ [−1, 0]
u(−1) = 0
(5.2.2)
u0 (−1) = −1
(5.2.3)
e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek
ve bu çözüm her bir
düzlemde analitiktir.
x ∈ [−1, 0]
Yani her
(5.2.1)
de§eri için
x ∈ [−1, 0]
için
Φ1 (x, λ)
çözümü bulunur
λ
de§i³kenine göre bütün kompleks
λ
parametresinin tam fanksiyonudur
(Titchmarsh,1962).
Teorem 5.2.2. Her
λ ∈ C için
00
−u (x) + q(x)u(x) = λu(x),
u(0) = δΦ1 (0, λ)
0
u0 (0) = γ Φ1 (0, λ)
x ∈ [0, 1]
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.6)
29
e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek
x ∈ [0, 1]
bu çözüm her bir
analitiktir (yani
de§eri için
λ
Φ2 (x, λ)
çözümü bulunur ve
de§i³kenine göre bütün kompleks düzlemde
λ de§i³keninin tam fonksiyonudur).
spat: Öncelikle
00
−u (x) + q(x)u(x) = λu(x)
denklemini
00
u (x) = (q(x) − λ)u(x)
biçiminde yazalm. Bu ifade ard arda iki kere integrallenirse,
Z
x
0
u (x) =
Z
Z
x
u(x) =
(5.2.7)
(q(t) − λ)u(t)dt + c0 (λ)x + c1 (λ), x ∈ [0, 1]
(5.2.8)
s
ds
0
(q(t) − λ)u(t)dt + c0 (λ), x ∈ [0, 1]
0
0
bulunur. Bu son ifadedeki integral sras de§i³tirilir, gerekli i³lemler yaplrsa,
Z
x
u(x) =
(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt + c0 (λ)x + c1 (λ)
(5.2.9)
0
c0 (λ)
e³itli§i elde edilir.
5.2.7
³artlarn
ve
c1 (λ)
ifadelerini elde etmek için
5.2.5
-
5.2.6
ba³langç
5.2.9' da yerine koyarsak
ve
u(0) = c1 (λ) = δΦ1 (0, λ)
0
u0 (0) = c0 (λ) = γΦ1 (0, λ)
bulunur.
c0 (λ)
c1 (λ) de§erleri 5.2.9' da yerlerine yazlrsa
ve
Z
x
u(x) =
0
elde edilir.
Φ2 (x, λ)'
(5.2.10)
5.2.10 integral denklemi 5.2.4−5.2.6 ba³langç-de§er problemi ile e³de§erdir.
nn
∀ x ∈ [0, 1]
için yani
0
(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt + γΦ1 (0, λ)x + δΦ1 (0, λ)
5.2.4 − 5.2.6
için
λ ∈ C
ba³langç-de§er probleminin bir tek çözümü oldu§u ve
kompleks de§i³keninin tam fonksiyonu oldu§unu ispatlamak
Φ2 (x, λ) fonksiyonuna yaknsayan fonksiyon dizisinin in³a edilmesi için ard³k
30
yakla³mlar metodundan yararlanlacaktr.
0
u0 (x, λ) = γΦ1 (0, λ)x + δΦ1 (0, λ)
Z x
un (x, λ) =
(x − t)(q(t) − λ)un−1 (t)dt + u0 (x, λ) n = 1, 2, ...
(5.2.11)
(5.2.12)
0
biçiminde tanmlanm³
{un (x, λ)}
fonksiyonlar dizisini olu³turalm. Bu diziyi kullanarak
u0 (x, λ) +
∞
X
[un (x) − un−1 (x)]
(5.2.13)
n=1
serisi olu³turulur.
ve
u(x)
N > 0 için, |λ| ≤ N
oldu§unu kabul edelim.
fonksiyonlar sürekli olduklarndan ve de sonlu
oldu§undan
|q(x)| ≤ M
ve
|u(x)| ≤ K
q(±0)
olacak biçimde
0 ≤ x ≤ 1 için, q(x)
limit de§erleri mevcut
M >0
ve
K >0
saylar
mevcuttur.
Bu durumda,
|un (x) − un−1 (x)|
|u1 (x) − u0 (x)| =
≤
≤
≤
=
=⇒ |u1 (x) − u0 (x)| ≤
ifadesini gözönüne alalm.
n=1
için,
¯Z x
¯
¯
¯
¯ (x − t)(q(t) − λ)u0 (t)dt + u0 (x) − u0 (x)¯
¯
¯
Z 0x
|q(t) − λ| |u0 (t)| |x − t|dt
0
Z x
(|q(t)| + |λ|) |u0 (t)| |x − t|dt
Z0 x
Z x
(N + M )K(x − t)dt = (N + M )K
(x − t)dt
0
0
¸x
·
¸
·
x2
t2
2
= (N + M )K x −
(N + M )K xt −
2 o
2
2
x
(N + M )K
(5.2.14)
2!
31
n=2
bulunur.
için,
|u2 (x) − u1 (x)| =
=
≤
≤
≤
=
=
=⇒ |u2 (x) − u1 (x)| ≤
bulunur. Sonuç itibariyle
¯Z x
¯
Z x
¯
¯
¯ (x − t)(q(t) − λ)u1 (t)dt −
(x − t)(q(t) − λ)u0 (t)dt¯¯
¯
0
¯ Z0 x
¯
¯
¯
¯ (q(t) − λ) (u1 (t) − u0 (t)) (x − t)dt¯
¯
¯
Z 0x
|q(t) − λ| |u1 (t) − u0 (t)| |x − t|dt
0
Z x
t2
(|q(t)| + |λ|) (N + M )K (x − t)dt
2
0
Z x
1
(N + M )2 Kt2 (x − t)dt
2 0
Z
¤
(N + M )2 K x £ 2
t x − t3 dt
2
0
4
1
x
(N + M )2 K
2
12
4
x
(5.2.15)
(N + M )2 K
4!
n > 0 için Tümevarm yöntemini kullanarak,
|un (x) − un−1 (x)| ≤ (N + M )n K
x2n
(2n)!
(5.2.16)
e³itsizli§i kolayca bulunabilir.
x ∈ [0, 1] oldu§undan 0 ≤ x2n ≤ 1 ve buna ba§l olarak,
|un (x) − un−1 (x)| ≤
elde edilir.
(N + M )n K
(2n)!
(5.2.17)
∞
X
(N + M )n K
(2n)!
n=1
saysal serisi yaknsak oldu§undan,
5.2.13
serisi
x ∈ [0, 1]
ve
³artlaryla birlikte mutlak ve düzgün yaknsaktr. Di§er taraftan
|λ| ≤ N
ile tanmlanm³ bölgede analitik oldu§u için,
analitiktir.
N >0
için,
|λ| ≤ N
5.2.13 serisi N > 0
ve
Φ2 (x, λ) ksmi toplamlar diziside
Di§er taraftan serinin yaknsak oldu§u durumda
{un (x, λ)}
dizisinin limiti, serinin ksmi toplamlar dizisinin limiti oldu§undan
fonksiyonlar
5.2.13' de n −→ ∞
32
için limit almakla,
Φ2 (x, λ) = u0 (x, λ) +
∞
X
[un (x) − un−1 (x)]
n=1
Z
x
=
0
(x − t)(q(t) − λ)Φ2 (t, λ))dt + γΦ1 (0, λ)x + δΦ1 (0, λ)(5.2.18)
0
e³itli§i elde edilir. Ayrca
5.2.12 ile tanmlanan {un (x, λ)} fonksiyonlar dizisinin
Z
0
x
0
un (x) − un−1 (x) =
00
(q(t) − λ){un−1 (t) − un−2 (t)}
0
00
un (x) − un−1 (x) = (q(x) − λ){un−1 (x) − un−2 (x)}
birinci ve ikinci türevleri mevcut oldu§u için
5.2.18 serisi x
de§i³kenine göre terim terim
diferansiyellenebilir ve de
∞
X
00
Φ2 (x, λ) =
00
00
[un (x) − un−1 (x)]
n=1
∞
X
=
{q(x) − λ}{un−1 (x) − un−2 (x)}
n=1
∞
X
= {q(x) − λ} {u0 (x) +
{un−1 (x) − un−2 (x)}}
n=2
00
=⇒ Φ2 (x, λ) = {q(x) − λ}Φ2 (x, λ)
e³itli§i sa§lanr. Bu sonuç
Φ2 (x, λ)'
nn ayn zamanda
(5.2.19)
5.2.1
denkleminin bir çözümü
oldu§unu gösterir. spat bitti.
Sonuç 5.2.1.
∀λ ∈ C

 Φ (x, λ), x ∈ [−1, 0)
1
Φ(x, λ) =
 Φ2 (x, λ), x ∈ (0, 1]
ile tanml
Φ(x, λ) fonksiyonu,
00
−u + q(x)u = λu,
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
(5.2.20)
33
diferansiyel denkleminin birinci snr ³art olan,
u(−1) = 0
(5.2.21)
u(+0) = δu(−0)
(5.2.22)
u0 (+0) = γu0 (−0)
(5.2.23)
³artn ve de
geçi³ ³artlarnn her ikisini sa§lar.
spat: Her
λ ∈ C teorem 5.2.1' den dolay, x ∈ [−1, 0) için
Φ(x, λ) = Φ1 (x, λ)
oldu§undan ve de
5.2.2 snr ³art sa§land§ndan dolay,
Φ(−1, λ) = Φ1 (−1, λ) = 0
bulunur.
Böylece
Φ(x, λ)
fonksiyonu
5.2.21
snr ³artn sa§lam³ olur.
“imdi geçi³
³artlarn sa§lad§n gösterelim. 5.2.5 ba³langç ³artndan dolay,
Φ2 (0, λ) = δΦ1 (0, λ)
oldu§u açktr. Bu yüzden de
Φ2 (0, λ) − δΦ1 (0, λ) = Φ2 (+0, λ) − δΦ1 (−0, λ) = Φ(+0, λ) − δΦ(−0, λ) = 0
=⇒ Φ(+0, λ) = δΦ(−0, λ)
elde edilir. Yine ayn ³ekilde
5.2.4 − 5.2.6 ba³langç-de§er probleminin 5.2.6 ³artndan
dolay
0
0
Φ2 (0, λ) = γΦ1 (0, λ)
olup buradan,
0
0
0
0
Φ (+0, λ) = Φ2 (0, λ) = γΦ1 (0, λ) = γΦ (−0, λ)
34
yazlr. Yani
0
0
Φ (+0, λ) = γΦ (−0, λ)
e³itli§i elde edilir.
Böylece
Φ(x, λ) fonksiyonunun 5.2.20
denklemini,
5.2.21
snr ³artn ve de
5.2.22 −
5.2.23 geçi³ ³artlarnn her ikisini de sa§lad§ ispatlanm³ olur.
Teorem 5.2.3. Her
λ ∈ C için
00
−u (x) + q(x)u(x) = λu(x),
x ∈ [0, 1]
u(1) = 1
(5.2.25)
u0 (1) = λ
(5.2.26)
e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek
ve bu çözüm her bir
∀ x ∈ [0, 1]
için
λ
x ∈ [0, 1]
(5.2.24)
de§eri için
λ
χ2 (x, λ)
çözümü bulunur
de§i³kenin tam fonksiyonudur.
Yani
kompleks parametresine göre tüm kompleks düzlemde analitik
fonksiyondur (Titchmarsh,1962).
Teorem 5.2.4. Her
λ ∈ C için
00
−u (x) + q(x)u(x) = λu(x),
x ∈ [−1, 0]
(5.2.27)
1
χ2 (0, λ)
δ
1 0
u0 (0) = χ2 (0, λ)
γ
u(0) =
ba³langç-de§er probleminin bir tek
x ∈ [−1, 0]
de§eri için
λ
χ1 (x, λ)
(5.2.28)
(5.2.29)
çözümü bulunur ve bu çözüm her bir
de§i³keninin tam fonksiyonudur.
Yani
∀x ∈ [0, 1]
için
λ
kompleks parametresine göre tüm kompleks düzlemde analitik fonksiyondur.
spat:
5.2.27
denklemi için
Teorem
5.2.2' de ki yöntem kullanlarak
5.2.9
integral
denkleminin ayns yazlabilir. Yani
Z
0
u(x) =
(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + c0 (λ)x + c1 (λ)
x
(5.2.30)
35
e³itli§i yazlr.
“imdi
c0
c1
ve
ifadelerini elde etmek için
5.2.28 − 5.2.29
ba³langç
³artlarn uygulayalm.Bu taktirde
u(0) = c1 (λ) =
olur.
1
χ2 (0, λ)
δ
5.2.30 e³itli§i x' e göre türevlenirse
Z
0
0
u (x) =
(q(t) − λ)u(t)dt + c0 (λ)
(5.2.31)
x
elde edilir. Bu son denklemde
5.4.29 ba³langç ³art uygulanrsa,
u0 (0) = co (λ) =
bulunur.
c0 (λ)
ve
Z
c1 (λ) de§erleri 5.2.30' integral denkleminde yerlerine yazlrsa,
0
u(x) =
(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt +
x
elde edilir.
e³de§erdir.
oldu§u ve
1 0
χ (0, λ)
γ 2
5.2.32
integral denklemi
χ1 (x, λ)'
nn
∀ x ∈ [−1, 0]
ispatlamak için, yani
5.2.27 − 5.2.29
5.2.27 − 5.2.29
için
1
1 0
χ2 (0, λ) + χ2 (0, λ)x
δ
γ
(5.2.32)
ba³langç-de§er problemi ile
ba³langç-de§er probleminin bir tek çözümü
λ ∈ C kompleks de§i³keninin tam fonksiyonu oldu§unu
χ1 (x, λ) fonksiyonuna yaknsayan fonksiyon dizisinin in³a edilmesi
için ard³k yakla³mlar metodundan yararlanlacaktr. Teorem 5.2.2' nin ispatna benzer
³ekilde,
1
1 0
χ2 (0, λ) + χ2 (0, λ)x
δ
γ
Z 0
un (x, λ) =
(t − x)(q(t) − λ)un−1 (t)dt + u0 (x, λ)
u0 (x, λ) =
(5.2.33)
(5.2.34)
x
biçiminde
{un (x, λ)}
fonksiyonlar dizisi olu³turulur ve bu diziyi kullanarak,
u0 (x, λ) +
∞
X
[un (x) − un−1 (x)]
n=1
serisi olu³turulabilir.
N >0
için
|λ| ≤ N
,
M := max |q(x)| , K := max |u0 (x, λ)|
x∈[−1,0]
x∈[−1,0]
(5.2.35)
36
olmak üzere
5.2.33 − 5.2.34
e³itliklerinin mutlak de§erleri incelenecektir. Bu durumda
yine Teorem 5.2.2' nin ispatyla benzer biçimde,
x2
2!
x4
|u2 (x) − u1 (x)| ≤ (N + M )2 K
4!
|u1 (x) − u0 (x)| ≤ (N + M ) K
e³itsizlikleri ve
n ≥ 2 için tümevarm yöntemi kullanlarak,
|un (x) − un−1 (x)| ≤ (N + M )n K
e³itsizlikleri elde edilir.
x ∈ [−1, 0]
oldu§undan
x2n
(2n)!
(5.2.36)
0 < x2n ≤ 1
olup bir önceki
e³itsizlikten,
(N + M )n K
|un (x) − un−1 (x)| ≤
(2n)!
elde edilir.
(5.2.37)
∞
X
(N + M )n K
(2n)!
n=1
saysal serisi yaknsak oldu§undan
5.2.35
serisi
x ∈ [−1, 0]
³artlar dahilinde mutlak ve düzgün yaknsaktr. Ayrca
ve
N >0
için,
5.2.35 serisi N > 0
ve
|λ| ≤ N
|λ| ≤ N
ile tanmlanm³ bölgede serinin her terimi analitik oldu§u için,
χ1 (x, λ) ksmi toplamlar
diziside analitiktir. Ayrca serinin yaknsak oldu§u durumda
{un (x, λ)}
dizisinin limiti ile serinin ksmi toplamlar dizisi ayn oldu§undan
5.2.34'
fonksiyonlar
de
n −→ ∞
için limit almakla,
Z
0
χ1 (x, λ) =
x
1
1 0
(t − x)(q(t) − λ)χ1 (t, λ))dt + χ2 (0, λ) + χ2 (0, λ)x
δ
γ
(5.2.38)
e³itli§i elde edilir. Ayrca,
χ1 (x, λ) = u0 (x, λ) +
∞
X
n=1
[un (x) − un−1 (x)]
(5.2.39)
37
ifadesi
x'
e göre düzgün yaknsak oldu§u için ve de
tanmlanan
n ≥ 2
için
5.2.33 − 5.2.34
ile
{un (x, λ)} fonksiyonlar dizisinin,
Z
0
0
0
un (x) − un−1 (x) =
00
(q(t) − λ){un−1 (t) − un−2 (t)}dt
x
00
un (x) − un−1 (x) = (q(x) − λ){un−1 (x) − un−2 (x)}
birinci ve ikinci türevleri mevcut oldu§undan
5.2.35
serisi
x
de§i³kenine göre terim
terim diferansiyellenebilir ve de
00
χ1 (x, λ) =
∞
X
00
00
[un (x) − un−1 (x)]
n=1
∞
X
=
{q(x) − λ}{un−1 (x) − un−2 (x)}
n=1
∞
X
= {q(x) − λ} {u0 (x) +
{un−1 (x) − un−2 (x)}}
n=2
00
=⇒ χ1 (x, λ) = {q(x) − λ}χ1 (x, λ)
e³itli§i sa§lanr. Bu sonuç
χ1 (x, λ)' nn
ayn zamanda
(5.2.40)
5.2.27 denkleminin bir çözümü
oldu§unu gösterir. Buda ispat tamamlar.
Sonuç 5.4.2.
∀λ ∈ C için

 χ (x, λ), x ∈ [−1, 0)
1
χ(x, λ) =
 χ2 (x, λ), x ∈ (0, 1]
ile tanml
χ(x, λ) fonksiyonu
00
−u + q(x)u = λu,
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
(5.2.41)
diferansiyel denklemini,
u0 (1) = λu(1)
(5.2.42)
u(+0) = δu(−0)
(5.2.43)
u0 (+0) = γu0 (−0)
(5.2.44)
ikinci snr ³artn ve de
38
geçi³ ³artlarn sa§lar.
spat: Sonuç 5.4.1 ile benzer ³ekilde yaplr.
5.2.2
Temel Çözümler ile E³de§er Olan ntegral Denklemler
Önceki bölümde Φi (x, λ) ve
χi (x, λ) (i = 1, 2) fonksiyonlarnn λ kompleks parametresine
göre bütün kompleks düzlemde analitik fonksiyon olduklar ispatlanm³t. Bu bölümde
yardmc ba³langç problemlerinin e³de§er olduklar integral ve integral-diferansiyel
denklemler bulunacak ve ilerde her yerde
Teorem 5.2.5.
∀x∈C
için,
λ = s2
gösteriminden yararlanlacaktr.
λ = s2 olmak üzere 5.2.1 − 5.2.3 ba³langç de§er problemi
Z
1
1 x
u(x) = − sin s(x + 1) +
sin s(x − y)u(y)q(y)dy
s
s −1
Z x
0
cos s(x − y)u(y)q(y)dy
u (x) = − cos s(x + 1) +
(5.2.45)
(5.2.46)
−1
integral denklemleriyle e³de§erdir.
spat:
5.2.1
denklemi
00
−u + λu = q(x)u
³eklinde yazlabilir.
(5.2.47)
Bu denklemi çözmek için denklem homojen lineer diferansiyel
denklem gibi kabul edilerek,
00
u + λu = 0
denkleminin çözümlerinden hareket edilir. Son yazd§mz denklemin genel çözümü,
u(x) = c0 (x) cos
√
λx + c1 (x) sin
√
λx
u(x) = c0 (x) cos sx + c1 (x) sin sx
³eklinde yazlabilir.
Burada
c0 (x) = c0 (x, λ)
ve
c1 (x) = c1 (x, λ)
(5.2.48)
yeni bilinmeyen
fonksiyonlardr. Bu yeni bilinmeyen fonksiyonlar bulmak için iki tane denklem kurulacaktr.
39
Bu denklemlerden bir tanesin de
c0 (x), c1 (x) fonksiyonlarn öyle seçilecek ki
0
0
c0 (x) cos sx + c1 (x) sin sx = 0
e³itli§i sa§lansn. 5.2.48 e³itli§inin her iki yannda
(5.2.49)
x' e göre türevi alnrsa,
0
0
u0 (x) = −sc0 (x) sin sx − sc0 (x) cos sx + c1 (x) sin sx + sc1 (x) cos sx
elde edilir. 5.2.49 e³itli§i bu son buldu§umuz ifadede yerine yazlrsa,
u0 (x) = −sc0 (x) sin sx + sc1 (x) cos sx
x' e
elde edilir. Tekrar
00
göre türev alnrsa,
0
0
u (x) = −sc0 (x) sin sx − s2 c0 (x) cos sx + sc1 (x) cos sx − s2 c1 (x) sin sx
e³itli§i bulunur.
5.2.50
ve
5.2.51 e³itlikleri 5.2.47' de
0
e³itli§i elde edilir. “imdi
0
c0 (x)
5.2.49
ve
5.2.52
e³itliklerini bir arada dü³ünerek,
de§i³kenlerine göre lineer denklem sistemi gibi çözersek
0
¯
¯
¯ 0
sin sx
¯
¯
¯ q(x)u s cos sx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c0 (x) = ¯¯
¯ cos sx
sin sx
¯
¯
¯ −s sin sx s cos sx
¯=
¯
¯
¯
¯
¯
(5.2.51)
yerine yazlrsa,
−sc0 (x) sin sx + sc1 (x) cos sx = q(x)u
0
(5.2.50)
(5.2.52)
0
c0 (x)
ve
s 6= 0 için,
− sin sx q(x)u
s
(5.2.53)
bulunur. Bu e³itlik integrallenirse,
1
c0 (x) = −
s
Z
x
sin sy q(y) u(y)dy + c0 (λ)
−1
(5.2.54)
40
elde edilir. Benzer ³ekilde,
0
c1 (x) =
cos sx q(x)u
s
(5.2.55)
bulunur. Son e³itlik integrallenirse,
1
c1 (x) =
s
bulunur.
ifadeleri
Burada
c0 (λ)
5.2.48' de
Z
c1 (λ)
ve
x
cos sy q(y) u(y)dy + c1 (λ)
(5.2.56)
−1
key sabitlerdir.
Buldu§umuz
5.2.54
ve
5.2.56
yazlp gerekli düzenlemeler yaplrsa,
Z x
1
u(x) = −
cos sx
sin sy q(y) u(y)dy + c0 (λ) cos sx
s
−1
Z x
1
+
sin sx
cos sy q(y) u(y)dy + c1 (λ) sin sx
s
−1
elde edilir. Son ifade düzenlenirse,
Z x
1
u(x, λ) = −
sin s(x − y) q(y) u(y)dy + c0 (λ) cos sx
s −1
+ c1 (λ) sin sx
bulunur. Benzer yöntemle
5.2.54
ve
5.2.56
e³itlikleri
5.2.50'
de
(5.2.57)
yerlerine yazlp
gerekli düzenlemeler yaplrsa,
Z
x
0
u (x) =
cos s(x − y) q(y) u(y)dy − sc0 (λ) sin sx
−1
+ sc1 (λ) cos sx
bulunur. Bu durumda
halde
5.2.57
ve
5.2.48
denklemi
(5.2.58)
5.2.57 integral denklemine indirgenmi³ olur.
5.2.58 ifadeleri 5.2.2 − 5.2.3
O
ba³langç ³artlarn sa§lar. Bu ba³langç
³artlar uygulanrsa,
u(−1) = c0 (λ) cos s − c1 (λ) sin s = 0
u0 (−1) = sc0 (λ) sin s + sc1 (λ) cos s = −1
lineer denklem sistemi bulunur.
c1 (λ)
denklem sistemini çözelim. Bunun için
ve
0
c2 (λ)
c1 (x, λ)
ve
(5.2.59)
sabitlerini bulmak için bu lineer
0
c2 (x, λ)
fonksiyonlarnn çözümleri
41
bulunurken yaplan i³lemler tekrarlanlrsa,
1
sin s
s
1
c1 (λ) = − cos s
s
c0 (λ) = −
elde edilir.
Bu
c0
ve
c1
de§erleri
5.3.13
(5.2.60)
(5.2.61)
integral denkleminde yerine yazlrsa ve
düzenlenirse,
1
1
u(x) = − sin s(x + 1) +
s
s
Z
x
sin s(x − y) u(y) q(y)dy
(5.2.62)
−1
integral denklemi elde edilir.
Böylece
5.2.1 − 5.2.3
ile verilen ba³langç de§er problemi
5.2.62
integral denklemine
indirgenmi³ olur.
Ayn ³ekilde
c0
c1
ve
düzenlemeler yaplrsa
Sonuç 5.2.3.
de§erleri
5.2.58
integral denkleminde yerine yazlp gerekli
5.2.46 e³itli§inin de sa§land§ kolayca gösterilebilir.
Φ1 (x, λ) fonksiyonu a³a§daki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
sa§lar.
Z
1
1 x
Φ1 (x, λ) = − sin s(x + 1) +
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)q(y)dy
s
s −1
Z x
0
Φ1 (x, λ) = − cos s(x + 1) +
cos s(x − y)Φ1 (y, λ)q(y)dy
(5.2.63)
(5.2.64)
−1
spat: Önce
5.2.1
5.2.63
e³itli§ini ispat edelim.
Φ1 (x, λ)
fonksiyonu
[−1, 0]
aral§nda
denklemini sa§lad§ için,
00
q(y)Φ1 (y, λ) = Φ1 (y, λ) + λΦ1 (y, λ)
e³itli§i sa§lanr. Buradan,
Z
Z
x
x
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)dy =
−1
−1
Z
= λ
Z
+
00
sin s(x − y)(Φ1 (y, λ) + λΦ1 (y, λ))dy
x
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)dy
−1
x
−1
00
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)dy
(5.2.65)
42
e³itlikleri bulunur.
E³itli§in sa§ tarafndaki ikinci integrale iki kere ard arda ksmi
integrasyon uygulanrsa ve
5.2.1 − 5.2.3
Φ1 (−1, λ) = 0
probleminin
ve
0
Φ1 (−1, λ) = −1
ba³langç de§erlerinden yararlanlp gerekli düzenlemeler yaplrsa,
Z
Z
x
−1
00
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)q(y)dy = sin s(x −
0
y)Φ1 (y, λ)|x−1
x
+s
−1
0
cos s(x − y)Φ1 (y, λ)dy
0
= − sin s(x + 1)Φ1 (−1, λ) + s cos s(x − y)Φ1 (y, λ)|x−1
Z x
2
− s
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)dy
−1
= sin s(x + 1) + sΦ1 (x, λ)
Z x
2
− s
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)dy
−1
son e³itlik
5.2.65' de yerine yazlrsa,
Z
x
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)q(y)dy = sin s(x + 1) + sΦ1 (x, λ)
−1
elde edilir. Buradan gerekli düzenlemeler yaplrsa,
1
1
Φ1 (x, λ) = − sin s(x + 1) +
s
s
Z
x
sin s(x − y)Φ1 (y, λ)q(y)dy
(5.2.66)
−1
bulunur. Böylece 5.2.63 e³itli§i ispatlanm³ olur. Bu e³itli§in her iki tarafnda
x' e göre
türev alnrsa 5.2.64 e³itli§inin de sa§land§ kolayca ispatlanabilir.
Teorem 5.2.6.
∀x ∈ C
için,
λ = s2 olmak üzere 5.2.4 − 5.2.6 ba³langç de§er problemi,
1
0
u(x, λ) = δΦ1 (0, λ) cos sx + γ Φ1 (0, λ) sin sx
s
Z
1 x
+
sin s(x − y)q(y)u(y, λ)dy
s 0
0
u0 (x, λ) = −sδΦ1 (0, λ) sin sx + γ Φ1 (0, λ) cos sx
Z x
+
cos s(x − y)q(y)u(y, λ)dy
0
integral denklemleriyle e³de§erdir.
(5.2.67)
(5.2.68)
43
spat:
Teorem 5.2.5' in
Sonuç 5.2.4.
Φ2 (x, λ)
ispatna benzer ³ekilde yaplr.
fonksiyonu a³a§daki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
sa§lar.
1
0
Φ2 (x, λ) = δΦ1 (0, λ) cos sx + γ Φ1 (0, λ) sin sx
s
Z
1 x
+
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy
s 0
0
0
Φ2 (x, λ) = −sδΦ1 (0, λ) sin sx + γ Φ1 (0, λ) cos sx
Z x
+
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy
(5.2.69)
(5.2.70)
0
spat:
Sonuç 5.2.3' in
Teorem 5.2.7.
∀x ∈ C
ispatna benzer ³ekilde yaplr.
için,
λ = s2
olmak üzere
5.2.24 − 5.2.26
ba³langç de§er
problemi,
u(x, λ) = cos s(x − 1) + s sin s(x − 1)
Z
1 1
+
sin s(x − y)q(y)u(y, λ)dy
s x
u0 (x, λ) = −s sin s(x − 1) + s2 cos s(x − 1)
Z 1
+
cos s(x − y)q(y)u(y, λ)dy
x
integral denklemleriyle e³de§erdir.
spat:
Teorem 5.2.5' in
ispatna benzer ³ekilde yaplr.
(5.2.71)
(5.2.72)
44
Sonuç 5.2.5.
χ2 (x, λ)
fonksiyonu a³a§daki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
sa§lar.
χ2 (x, λ) = cos s(x − 1) + s sin s(x − 1)
Z
1 1
+
sin s(x − y)q(y)χ2 (y, λ)dy
s x
0
χ2 (x, λ) = −s sin s(x − 1) + s2 cos s(x − 1)
Z 1
+
cos s(x − y)q(y)χ2 (y, λ)dy
(5.2.73)
(5.2.74)
x
spat:
Sonuç 5.2.3' ün
Teorem 5.2.8.
∀x ∈ C
ispatna benzer ³ekilde yaplr.
λ = s2
için,
olmak üzere
5.2.27 − 5.2.29
ba³langç de§er
problemi,
1
1 0
χ2 (0, λ) cos sx +
χ (0, λ) sin sx
δ
sγ 2
Z
1 0
+
sin s(x − y)q(y)u(y, λ)dy
s x
1
1 0
u0 (x, λ) = −s χ2 (0, λ) sin sx + χ2 (0, λ) cos sx
δ
γ
Z 0
+
cos s(x − y)q(y)u(y, λ)dy
u(x, λ) =
(5.2.75)
(5.2.76)
x
integral denkelemleriyle e³de§erdir.
spat:
Teorem 5.2.5' in
Sonuç 5.2.6.
χ1 (x, λ)
ispatna benzer ³ekilde yaplr.
fonksiyonu a³a§daki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
sa§lar.
1
1 0
χ2 (0, λ) cos sx +
χ (0, λ) sin sx
δ
sγ 2
Z
1 0
+
sin s(x − y)q(y)χ1 (x, λ)dy
s x
1 0
1
0
χ1 (x, λ) = −s χ2 (0, λ) sin sx + χ2 (0, λ) cos sx
δ
γ
Z 0
+
cos s(x − y)q(y)χ1 (y, λ)dy
χ1 (x, λ) =
x
(5.2.77)
(5.2.78)
45
spat:
Sonuç 5.2.3' ün
Φ(x, λ)
5.3
Bu kesimde
ve
ispatna benzer ³ekilde yaplr.
χ(x, λ) Temel Çözümlerinin Asimptotik Davran³lar
Φi (x, λ)
ve
χi (x, λ) (i = 1, 2)
temel çözümlerinin önceki bölümde
ispatlad§mz e³de§er oldu§u integral denklemleri kullanarak , bunlarn
göre
λ parametresine
|λ| −→ ∞ için asimptotik formülleri elde edilecektir.
Teorem 5.3.1.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t
olmak üzere,
Φ1 (x, λ)
fonksiyonu için
−1 ≤ x ≤ 0 aral§nda
µ
Φ1 (x, λ) =
0
Φ1 (x, λ) =
Φ1 (x, λ) =
0
Φ1 (x, λ) =
¶
1 |t|(x+1)
O
e
, |λ| −→ ∞
|s|
¡
¢
O e|t|(x+1) , |λ| −→ ∞
µ
¶
1 |t|(x+1)
1
− sin s(x + 1) + O
e
, |λ| −→ ∞
s
|s|2
µ
¶
1 |t|(x+1)
− cos s(x + 1) + O
e
, |λ| −→ ∞
|s|
(5.3.1)
(5.3.2)
(5.3.3)
(5.3.4)
asimptotik e³itlikleri sa§lanr.
spat: ( Titcmarch (1962) Lemma 1.7(ii)).
Teorem 5.3.2.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t
olmak üzere,
Φ2 (x, λ)
fonksiyonu için
0 ≤ x ≤ 1 aral§nda a³a§daki asimptotik e³itlikler sa§lanr.
µ
¶
1 |t|(x+1)
Φ2 (x, λ) = O
e
, |λ| −→ ∞
|s|
¡
¢
0
Φ2 (x, λ) = O e|t|(x+1) , |λ| −→ ∞
(5.3.5)
(5.3.6)
spat:
F (x, λ) := e−|t|(x+1) Φ2 (x, λ)
(5.3.7)
46
ile gösterrelim.
Φ2 (x, λ) için daha önce göstermi³ oldu§umuz sonuç 5.2.46' deki integral
denklemini üstteki e³itlikte yerine yazalm.
·
1
0
δΦ1 (0, λ) cos sx + γ Φ1 (0, λ) sin sx
s
¸
Z x
1
+
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy
s 0
F (x, λ) = e
−|t|(x+1)
1
0
F (x, λ) = δΦ1 (0, λ) cos sxe−|t|(x+1) + γ Φ1 (0, λ) sin sxe−|t|(x+1)
s
Z
1 x
+
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)e−|t|(x+1) dy
s 0
5.3.1
ve
5.3.2
(5.3.8)
asimptotik e³itlikleri dikkate alnrsa,
µ
¶
1 |t|
Φ1 (0, λ) = O
e
|s|
¡ ¢
0
Φ1 (0, λ) = O e|t|
=⇒ |Φ1 (0, λ)| ≤ M1
=⇒
bulunur. Bu son iki e³itsizlikte bulunan de§erler
| sin z| ≤ e|Imz|
ve
1 |t|
e
|s|
0
|Φ1 (0, λ)| ≤ M2 e|t|
5.3.8 e³itli§inde yerine yazlrsa ve
| cos z| ≤ e|Imz|
ifadelerinden yararlanlrsa,
1
1
|F (x, λ)| ≤ M1 δ e|t| e|t|x e−|t|(x+1) + M2 γ e|t| e|t|x e−|t|(x+1)
|s|
|s|
Z x
1
+
| sin[s(x − y)]| |q(y)| |F (y, λ)|e|t|(y+1) e−|t|(x+1) dy
|s| 0
Z x
¤
1£
=
δM1 + γM2 +
e|t|(x−y) |q(y)||F (y, λ)|e−|t|(x−y) dy
|s|
Z0 x
£
¤
1
=
δM1 + γM2 +
|q(y)||F (y, λ)|dy
(5.3.9)
|s|
0
elde edilir.
5.3.9 e³itsizli§inde,
Z
1
F1 := max |F (x, λ)| , q1 := max
x∈[0,1]
x∈[0,1]
|q(y)|dy
0
47
ile tanmlayalm. Bu durumda,
Z x
¤
1£
|F (x, λ)| ≤
δM1 + γM2 +
|q(y)||F (y, λ)|dy
|s|
0
¤
1£
≤
δM1 + γM2 + F1 q1
|s|
(5.3.10)
M := δM1 + γM2 + F1 q1
ile gösterirsek,
1
1
M =⇒ |e−|t|(x+1) Φ2 (x, λ)| ≤ M
|s|
|s|
1
=⇒ |Φ2 (x, λ)| ≤
M e|t|(x+1)
|s|
|F (x, λ)| ≤
Elde etti§imiz bu son e³itsizlikten,
µ
Φ2 (x, λ) = O
¶
1 |t|(x+1)
e
, |λ| −→ ∞
|s|
asimptotik e³itli§i elde edilir. Böylece istenilen ilk asimptotik e³itli§in sa§land§ gösterildi.
“imdi
5.3.6 asimptotik e³itli§ini ispatlayalm.
Daha önce,
0
0
Φ2 (x, λ) = −δsΦ1 (0, λ) sin sx + γ Φ1 (0, λ) cos sx
Z x
+
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy
0
oldu§u gösterilmi³ti. “imdi bu integral denklemini gözönüne alarak istenilen asimptotik
e³itli§in sa§land§n gösterelim. Daha önceden bilindi§i gibi
µ
¶
1 |t|
Φ1 (0, λ) = O
e
|s|
¡ ¢
0
Φ1 (0, λ) = O e|t|
=⇒ |Φ1 (0, λ)| ≤ M1
=⇒
0
1 |t|
e
|s|
|Φ1 (0, λ)| ≤ M2 e|t|
idi. Bu ifadelerden yararlanlarak,
| − sδΦ1 (0, λ) sin sx| ≤ M1 δ|s|
1 |t| |t|x
e e
|s|
48
olup buradan,
¡
¢
−sδΦ1 (0, λ) sin sx = O e|t|(x+1)
(5.3.11)
asimptotik e³itli§i elde edilir. Ayn ³ekilde,
0
|γΦ1 (0, λ) cos sx| ≤ M2 γe|t| e|t|x
olup yine buradan asimptotik e³itlik tanm gere§i,
¡
¢
0
γΦ1 (0, λ) cos sx = O e|t|(x+1)
(5.3.12)
yazlr.
µ
Φ2 (x, λ) = O
¶
1 |t|(x+1)
e
, |λ| −→ ∞
|s|
asimptotik e³itli§i gözönüne alnrsa ve
Z
1
q1 := max
x∈[0,1]
|q(y)|dy
0
ile tanmlanrsa, a³a§daki integral denklem için,
Z
x
|
0
1
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy| ≤
|s|
Z
x
|e|t|(x−y) |q(y)|e|t|(y+1) dy
0
1 |t|(x+1)
≤ q1
e
|s|
≤ M3 e|t|(x+1)
bulunur. Buradan,
Z
x
¢
¡
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy = O e|t|(x+1)
0
yazlr.
0
5.3.11 - 5.3.13 ifadeleri Φ2 (x, λ) integral denkleminde yerine yazlrsa,
¡
¢
0
Φ2 (x, λ) = e|t|(x+1)
asimptotik e³itli§i elde edilir.
(5.3.13)
49
Teorem 5.3.3.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t
olmak üzere,
Φ2 (x, λ)
fonksiyonu için
0 ≤ x ≤ 1 aral§nda
1
1
Φ2 (x, λ) = −δ sin s cos sx + γ cos s sin sx
µs
¶ s
1 |t|(x+1)
+ O
e
, |λ| −→ ∞
|s|2
(5.3.14)
0
Φ2 (x, λ) = δ sin s sin sx − γ cos s cos sx
µ
¶
1 |t|(x+1)
+ O
e
, |λ| −→ ∞
|s|
(5.3.15)
asimptotik e³itlikleri sa§lanr.
spat:
Önce
5.3.14
asimptotik e³itli§ini ispatlayalm.
Bu ifadeyi ispatlamak için
Φ2 (x, λ) için sonuç 5.2.4' de buldu§umuz
1 0
Φ2 (x, λ) = δΦ1 (0, λ) cos sx + γ Φ1 (0, λ) sin sx
s
Z
1 x
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy
+
s 0
integral denkleminin sa§ tarafndaki terimlerin asimptotik e³itleri ayr ayr de§erlendirilecektir.
Teorem
5.3.1'deki 5.3.3
ve
5.3.4 e³itliklerinden,
µ
¶
1 |t|
1
Φ1 (0, λ) = − sin s + O
e
, |λ| −→ ∞
s
|s|2
µ
¶
1 |t|
0
e
, |λ| −→ ∞
Φ1 (0, λ) = − cos s + O
|s|
elde edilir. Buradan
µ
¶
£ 1
1 |t| ¤
Φ1 (0, λ) cos sx = cos sx − sin s + O
e
s
|s|2
µ
¶
¡ |t|(x) ¢
1 |t|
1
e
= − sin s cos sx + O
O
e
s
|s|2
µ
¶
1 |t|(x+1)
1
e
= − sin s cos sx + O
s
|s|2
(5.3.16)
50
µ
¶
1 |t| ¤
Φ1 (0, λ) sin sx = sin sx − cos s + O
e
|s|
µ
¶
¡
¢
1 |t|
= − cos ssinsx + O
O e|t|(x)
e
|s|
µ
¶
1 |t|(x+1)
= − cos s sin sx + O
e
|s|
£
0
“imdi üstte
Φ2 (x, λ)
Φ2 (x, λ)
için yazd§mz integral denklemdeki integral ifade de§erlendirilecektir.
için daha önce buldu§umuz
5.3.5
asimptotik e³itli§i gere§i,
|Φ2 (x, λ)| ≤ M
olacak ³ekilde
x
ve
(5.3.17)
1 |t|(x+1)
e
|s|
λ' dan ba§msz M > 0 sabiti mevcuttur.
Bu durumda,
¯
¯ Z x
Z x
¯
¯1
1
¯
¯
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy ¯ ≤
| sin s(x − y)| |q(y)| |Φ2 (y, λ)|dy
¯s
|s|2 0
0
Z x
1
≤
e|t|(x−y) |q(y)| M e|t|(y+1) dy
|s|2 0
Z
1 |t|(x+1) 1
|q(y)|dy
≤ M 2e
|s|
0
yazlr.
q1 := maxy∈[0,1]
R1
0
|q(y)|dy ile tanmlanrsa,
¯
¯ Z x
¯
¯1
1
¯
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy ¯¯ ≤ M q1 2 e|t|(x+1)
¯s
|s|
0
e³itsizli§i bulunur. Buradan asimptotik e³itlik tanm gere§i,
1
s
e³itli§i bulunur.
Z
µ
x
sin s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy = O
0
1 |t|(x+1)
e
|s|2
¶
(5.3.18)
5.3.16−5.3.18 asimptotik ifadeleri Φ2 (x, λ) integral denkleminde yazlr
ve gerekli düzenlemeler yaplrsa,
µ
¶
1 |t|(x+1)
1
1
e
Φ2 (x, λ) = −δ sin s cos sx + δO
− γ cos s sin sx
2
s
|s|
s
µ
¶
µ
¶
1
1 |t|(x+1)
1 |t|(x+1)
+
γO
e
+O
e
|s|
|s|
|s|2
µ
¶
1
1
1 |t|(x+1)
= −δ sin s cos sx − γ cos s sin sx + O
e
s
s
|s|2
51
asimptotik e³itli§i bulunur. Böylece
“imdi
5.3.14
asimptotik e³itli§inin sa§land§ ispatland.
5.3.15 asimptotik e³itli§ini ispatlayalm.
Bunun için,
0
0
Φ2 (x, λ) = −δsΦ1 (0, λ) sin sx + γ Φ1 (0, λ) cos sx
Z x
+
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy
0
integral denkleminin sa§ tarfndaki sa§ tarafndaki terimlerin asimptotik ifadeleri ayr ayr
de§erlendirilecektir.
µ
¶
1
1 |t| ¤
−δsΦ1 (0, λ) sin sx = sin sx (−s)(− sin s) + (−s)O
e
s
|s|2
µ
¶
¡
¢
1 |t|
≤ sin s sin sx + O
e
O e|t|(x)
|s|
µ
¶
1 |t|(x+1)
= sin s sin sx + O
e
|s|
£
µ
¶
£
1 |t| ¤
Φ1 (0, λ) cos sx = cos sx − cos s + O
e
|s|
µ
¶
¡
¢
1 |t|
≤ − cos s cos sx + O
e
O e|t|(x)
|s|
µ
¶
1 |t|(x+1)
= − cos s cos sx + O
e
|s|
(5.3.19)
0
“imdi
(5.3.20)
0
Φ2 (x, λ) integral denklemindeki integral içeren ifadeyi inceleyelim.
¯Z
¯
¯
¯
x
0
bulunur.
¯
Z
¯
¯
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy ¯ ≤
x
| cos s(x − y)| |q(y)| |Φ2 (y, λ)|dy
Z x
1
≤
e|t|(x−y) |q(y)| M e|t|(y+1) dy
|s| 0
Z
1 |t|(x+1) 1
|q(y)|dy
≤ M e
|s|
0
q1 := maxx∈[0,1]
¯Z
¯
¯
¯
x
0
R1
0
0
|q(y)|dy ile tanmlanrsa,
¯
¯
1
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy ¯¯ ≤ M q1 e|t|(x+1)
|s|
52
e³itsizli§i bulunur. Asimptotik e³itlik tanm gere§i son ifadeden,
Z
µ
x
cos s(x − y)q(y)Φ2 (y, λ)dy = O
0
yazlr.
1 |t|(x+1)
e
|s|
¶
(5.3.21)
5.3.16 − 5.3.18 asimptotik ifadeleri Φ2 (x, λ) integral denkleminde yazlrsa,
µ
¶
1 |t|(x+1)
Φ2 (x, λ) = δ sin s sin sx + δO
e
− γ cos s cos sx
|s|
µ
¶
µ
¶
1 |t|(x+1)
1 |t|(x+1)
+ γO
e
+O
e
|s|
|s|
0
elde edilir. Bu son ifadede gerekli düzenlemeler yaplrsa,
0
Φ2 (x, λ) = δ sin s sin sx − γ cos s cos sx
µ
¶
1 |t|(x+1)
+ O
e
, |λ| −→ ∞
|s|
asimptotik e³itli§i bulunur. Böylece
Böylece
Φ1 (x, λ)
ve
“imdi bu formüller
fonksiyonu
χ2 (x, λ)
5.3.15 asimptotik e³itli§inin sa§land§da gösterildi.
Φ2 (x, λ) fonksiyonlar için gerekli asimptotik formüller bulundu.
χ1 (x, λ)
ve
χ2 (x, λ)
fonksiyonlar için bulunacaktr.
χ1 (x, λ)
fonksiyonu aracl§ ile tanmland§ için bu formüllerin öncelikle
χ2 (x, λ) fonksiyonu için bulunmas gerekir.
Ancak
χ2 (x, λ) fonksiyonu için geçerli olan
asimptotik formüller ispatsz olarak verilecektir. spat, Titcmarch (1962) kayna§ndaki
Lemma 1.7 (ii)' nin ispatna tpatp benzerdir.
Teorem 5.3.4.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t
olmak üzere,
χ2 (x, λ)
fonksiyonu için
0 ≤ x ≤ 1 aral§nda
¡
¢
χ2 (x, λ) = O |s| e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
¡
¢
0
χ2 (x, λ) = O |s|2 e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
¢
¡
χ2 (x, λ) = s sin s(x − 1) + O e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
¡
¢
0
χ2 (x, λ) = s2 cos s(x − 1) + O |s| e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
asimptotik e³itlikleri sa§lanr.
(5.3.22)
(5.3.23)
(5.3.24)
(5.3.25)
53
Teorem 5.3.5.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t
olmak üzere,
χ1 (x, λ)
fonksiyonu için
−1 ≤ x ≤ 0 aral§nda
¡
¢
χ1 (x, λ) = O |s| e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
¡
¢
0
χ1 (x, λ) = O |s|2 e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
(5.3.26)
(5.3.27)
asimptotik e³itlikleri sa§lanr.
spat:
Teorem 5.3.4' deki asimptotik e³itlikler gözönüne alnrsa,
¡
¢
χ2 (x, λ) = O |s| e|t|(1−x) =⇒ |χ2 (x, λ)| ≤ M1 |s| e|t|(1−x)
¡
¢
0
0
χ2 (x, λ) = O |s|2 e|t|(1−x) =⇒ |χ2 (x, λ)| ≤ M2 |s|2 e|t|(1−x)
yazlr.
F (x, λ) := χ1 (x, λ) e−|t|(1−x)
ile gösterelim. O halde
F (x, λ fonksiyonu için,
·
1
1 0
χ2 (0, λ) cos sx +
χ (0, λ) sin sx
δ
γs 2
¸
Z
1 x
sin s(x − y)q(y)χ1 (y, λ)dy
+
s 0
−|t|(x+1)
F (x, λ) = e
e³itli§i sa§lanr. Bu durumda son e³itlikte,
| sin z| ≤ e|Imz|
ve
| cos z| ≤ e|Imz|
ifadelerinden yararlanlrsa,
1
1
M1 e|t| e−|t|x e−|t|(1−x) +
M2 |s|2 e|t| e−|t|x e−|t|(1−x)
δ
γ|s|
Z x
1
+
e|t|(y−x) |q(y)| e|t|(1−y) |F (y, λ)|e−|t|(1−x) dy
|s| 0
Z x
1
1
1
≤
M1 |s| + M2 |s| +
|q(y)||F (y, λ)|dy
δ
γ
|s| 0
|F (x, λ)| ≤
(5.3.28)
54
Z
1
F1 (x, λ) := max |F (x, λ)| , q1 := max
x∈[−1,0]
x∈[−1,0]
|q(y)|dy
0
alnrsa,
·
¸
1
1
1
|F (x, λ)| ≤ |s| M1 + M2 + q1 2 F1 (x, λ)
δ
γ
|s|
≤ M0 |s|
buradan,
|χ1 (x, λ) e−|t|(1−x) | ≤ M0 |s| =⇒ |χ1 (x, λ)| ≤ M0 |s|e|t|(1−x)
e³itsizli§i bulunur. Buradan,
¡
¢
χ1 (x, λ) = O |s|e|t|(1−x)
asimptotik e³itli§i bulunur. Böylece
“imdi
5.3.26
asimptotik e³itli§inin sa§land§ gösterildi.
5.3.27 asimptotik e³itli§ini ispatlayalm.
1
1 0
0
χ1 (x, λ) = − sχ2 (0, λ) sin sx + χ2 (0, λ) cos sx
δ
γ
Z 0
cos s(x − y)q(y)χ1 (y, λ)dy
+
x
integral denklemini gözönüne alalm. Yine Teorem 5.3.4' deki
¡
¢
χ2 (x, λ) = O |s| e|t|(1−x)
¡
¢
0
χ2 (x, λ) = O |s|2 e|t|(1−x)
asimptotik e³itlikleri gözönüne alnrsa,
1
1
| − sχ2 (0, λ) sin sx| ≤
M1 |s||s|e|t| e−|t|x
δ
δ
1
=
M1 |s|2 e|t|(1−x)
δ
elde edilir. O halde asimptotik e³itlik tanm gere§i,
¢
¡
1
− sχ2 (0, λ) sin sx = O |s|2 e|t|(1−x)
δ
(5.3.29)
55
yazlr.
|
1 0
1
χ2 (0, λ) cos sx| ≤
M2 |s|2 e|t| e−|t|x
γ
γ
1
=
M2 |s|2 e|t|(1−x)
γ
buradanda,
¡
¢
1 0
χ2 (0, λ) cos sx = O |s|2 e|t|(1−x)
γ
(5.3.30)
yazlr. “imdi,
¡
¢
χ1 (x, λ) = O |s|e|t|(1−x)
asimptotik e³itli§i ve
Z
1
|q(y)|dy
q1 := max
x∈[−1,0]
0
³eklinde tanmlanan ifade gözönüne alnrsa a³a§daki integral denklem için,
Z
Z
0
|
x
cos s(x − y)q(y)χ1 (y, λ)dy| ≤ |s|
x
e|t|(y−x) |q(y)| e|t|(1−y) dy
0
|s|2 |t|(1−x)
≤
q1 e
|s|
= M |s|2 e|t|(1−x) , M =
q1
|s|
olup buradan,
Z
0
¡
¢
cos s(x − y)q(y)χ1 (y, λ)dy = O |s|2 e|t|(1−x)
(5.3.31)
x
asimptotik e³itli§i elde edilir.
0
5.3.30−5.3.32 ifadeleri χ1 (x, λ)' nn integral denkleminde
yerine yazlrsa,
¡
¢
χ1 (x, λ) = O |s|2 e|t|(1−x)
asimptotik e³itli§i elde edilir. Buda ispat tamamlar.
(5.3.32)
56
Teorem 5.3.6.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t
olmak üzere,
χ1 (x, λ)
fonksiyonu için
−1 ≤ x ≤ 0 aral§nda
1
1
χ1 (x, λ) = − s sin s cos sx + s cos s sin sx
δ
γ
¡ |t|(1−x) ¢
+ O e
, |λ| −→ ∞
1 2
1
0
χ1 (x, λ) =
s sin s sin sx + s2 cos s cos sx
δ
γ
¡
¢
+ O |s| e|t|(1−x) , |λ| −→ ∞
(5.3.33)
(5.3.34)
asimptotik e³itlikleri sa§lanr.
spat:
Yukardaki istenilen e³itlikleri göstermek için,
1
1 0
χ2 (0, λ) cos sx +
χ (0, λ) sin sx
δ
sγ 2
Z
1 0
+
sin s(x − y)q(y)χ1 (x, λ)dy
s x
χ1 (x, λ) =
integral denkleminin sa§ tarafndaki ifadeler ayr ayr de§erlendirilecektir.
Daha önce
χ2 (x, λ) için yazlan asimptotik e³itliklerden,
¡ ¢
χ2 (0, λ) = −s sin sx + O e|t|
¡
¢
0
χ2 (0, λ) = s2 cos s + O |s| e|t|
bulunur.
·
¸
¡ |t| ¢
χ2 (0, λ) cos sx = cos sx − s sin s + O e
¢
¡ ¢ ¡
= −s sin s cos sx + O e|t| O e−|t|x , x ∈ [−1, o]
¡
¢
= −s sin s cos sx + O e|t|(1−x)
(5.3.35)
¢
1 2
1 ¡
1 0
χ2 (0, λ) sin sx =
s cos s sin sx + O |s| e|t| cos sx
s
s
¢
¢ ¡
¡s
= s cos s sin sx + O |s| e|t| O e−|t|x , x ∈ [−1, o]
¡
¢
= s cos s sin sx + O e|t|(1−x)
(5.3.36)
57
³imdi denklemdeki integral içeren ifade de§erlendirilirse,
χ1 (x, λ) için bir önceki teorem
gere§i,
|χ1 (x, λ)| ≤ M |s|e|t|(1−x)
olacak ³ekilde
x
λ' dan ba§msz M > 0 says vardr.
ve
Z
1
q1 := max
x∈[−1,0]
|q(y)|dy
0
olmak üzere,
1
|
s
Z
0
x
Z 0
1
sin s(x − y)q(y)χ1 (x, λ)dy| ≤
| sin s(x − y)||q(y)||χ1 (x, λ)|dy
|s| x
Z 0
1
≤
e|t|(y−x) |q(y)|s|e|t|(1−y) dy
M
|s|
x
|t|(1−x)
≤ M q1 e
e³itsizli§i bulunur. Buradan tanm gere§i,
1
s
Z
0
¡
¢
sin s(x − y)q(y)χ1 (x, λ)dy = O e|t|(1−x)
(5.3.37)
x
oldu§u kolayca görülür.
5.3.35 − 5.3.37
ifadeleri
χ1 (x, λ)
integral denkleminde yerine
yazlp gerekli düzenlemeler yaplrsa,
1
1
χ1 (x, λ) = − s sin s cos sx + s cos s sin sx
δ
γ
¡ |t|(1−x) ¢
+ O e
, |λ| −→ ∞
asimptotik e³itli§i bulunur.
Böylece istenilen ilk asimptotik e³itlik ispatlanm³ olur.
Benzer yöntemle üstte yapt§mz i³lemler
0
(5.3.38)
0
χ1 (x, λ)' nn integral denklemi için uygulanrsa,
1
1 2
s sin s sin sx + s2 cos s cos sx
δ
γ
¡
¢
|t|(1−x)
+ O |s| e
, |λ| −→ ∞
χ1 (x, λ) =
asimptotik e³itli§i bulunur. Bu ise teoremin ispatn tamamlar.
(5.3.39)
58
5.4
Temel Çözümler, Karakteristik Fonksiyon ve Karakteristik Fonksiyonun Asimptotik
Davran³
5.4.1
Temel Çözümler ve Karakteristik Fonksiyon
Bu kesimde
00
Lu : = −u + q(x)u = λu,
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
(5.4.1)
L1 u : = u(−1) = 0
(5.4.2)
L2 u : = λu(1) − u0 (1) = 0
(5.4.3)
L3 u : = u(+0) − δu(−0) = 0
(5.4.4)
L4 u : = u0 (+0) − γu0 (−0) = 0
(5.4.5)
Snr- de§er- geçi³ probleminin özde§er ve özfonksiyonlar arasndaki baz temel ba§ntlar
incelenecektir. Önceki bölümlerde,
için
Φ2 (x, λ)
ve
χ2 (x, λ)
Φ1 (x, λ)
ve
fonksiyonlarnn ise
bütün kompleks düzlemde analitiktik (yani
ispatlam³tk. Bu fonksiyonlarn
[−1, 1]
e i (x, λ) ve χ
Φ
ei (x, λ) ile gösterelim.
χ1 (x, λ) fonksiyonlarnn ∀ x ∈ [−1, 0]
∀ x ∈ [0, 1]
için
λ
parametresine göre
λ parametresinin tam fonksiyonu) oldu§unu
aral§nda sfrla devamlarna uygun olarak
Yani

 Φ , x ∈ [−1, 0)
1
e
Φ1 =
 0, x ∈ (0, 1]

 0, x ∈ [−1, 0)
e2 =
Φ
 Φ2 , x ∈ (0, 1]

 χ , x ∈ [−1, 0)
1
χ
e1 =
 0, x ∈ (0, 1])

 0, x ∈ [−1, 0)
χ
e2 =
 χ2 , x ∈ (0, 1]
59
Φi (x, λ)
ile gösterelim.
χi (x, λ)
ve
(i=1,2) olmak üzere, bu çözüm fonksiyonlarn
wronskiyeni,
0
0
ωi (λ) = W (Φi (x, λ), χi (x, λ)) = Φi (x, λ)χi (x, λ) − Φi (x, λ)χi (x, λ)
ω1 (λ)
ile tanmldr.
Φ2 (x, λ)
ile
Φ1 (x, λ)
ω2 (λ)
ile
Ayrca
W (Φ1 (x, λ), χ1 (x, λ))
x ∈ [−1, 0]
ve
ve
χ2 (x, λ)
x ∈ [0, 1]
χ
ei (x, λ) (i = 1, 2) her bir x
fonksiyonlar
ve
ve
χ1 (x, λ)
çözüm fonksiyonlarnn wronskiyeni,
çözüm fonksiyonlarnn wronskiyeni gösterilecektir.
W (Φ2 (x, λ), χ2 (x, λ))
wronskiyenleri uygun olarak
de§i³kenlerinden ba§msz olduklar için ve
için
e i (x, λ)
Φ
ve
λ parametresinin tam fonksiyonu olduklarndan dolay,
ω1 (λ) := W (Φ1 (x, λ), χ1 (x, λ))
(5.4.6)
ω2 (λ) := W (Φ2 (x, λ), χ2 (x, λ))
(5.4.7)
λ parametresinin tam fonksiyonlardr.
Lemma 5.4.1.
∀ λ ∈ C için
ω(λ) = ω1 (λ) =
1
ω2 (λ)
δγ
(5.4.8)
e³itli§i sa§lanr.
spat:
5.4.6 − 5.4.7
e³itlikleri
x de§i³keninden ba§msz olduklarndan,
0
0
0
0
W (Φ2 (x, λ), χ2 (x, λ)) = Φ2 (x, λ)χ2 (x, λ) − Φ2 (x, λ)χ2 (x, λ)
= Φ2 (0, λ)χ2 (0, λ) − Φ2 (0, λ)χ2 (0, λ)
e³itli§i sa§lanr. Di§er taraftan
gere§i,
Φi (x, λ)
ve
χi (x, λ) (i = 1, 2)
(5.4.9)
çözümlerinin tanmlar
60
Φ2 (0, λ) = δΦ1 (0, λ)
0
0
Φ2 (0, λ) = γΦ1 (0, λ)
χ2 (0, λ) = δχ1 (0, λ)
0
0
χ2 (0, λ) = γχ1 (0, λ)
e³itlikleri de sa§lanr. Bu de§erler
5.4.9' da yerine yazlrsa,
0
0
ω2 (λ) = δΦ1 (0, λ)γχ1 (0, λ) − γΦ1 (0, λ)δχ1 (0, λ)
¢
¡
0
0
= δγ Φ1 (0, λ)χ1 (0, λ) − Φ1 (0, λ)χ1 (0, λ)
= δγω1 (λ)
elde edilir.
Sonuç 5.4.1.
ω1 (λ)
ve
ω2 (λ)
tam fonksiyonlarnn sfr yerleri çak³ktr.
“imdi
[−1, 0) ∪ (0, 1]' de tanml olan Φ(x, λ) ve χ(x, λ) fonksiyonlarn

 Φ (x, λ), x ∈ [−1, 0)
1
Φ(x, λ) =
 Φ2 (x, λ), x ∈ (0, 1]

 χ (x, λ), x ∈ [−1, 0)
1
χ(x, λ) =
 χ2 (x, λ), x ∈ (0, 1]
e³itlikleri ile tanmlanrsak, Lemma 5.4.1' den a³a§daki sonuç elde edilir.
Sonuç 5.4.2.
Φ(x, λ)
aralklarnn her birinde
ve
x
χ(x, λ)
fonksiyonlarnn wronskiyeni
de§i³keninden ba§mszdr ve
x
de§i³kenin her bir
[−1, 0) ∪ (0, 1] de§erinde, λ parametresinin tam fonksiyonudur.
ω(λ) = W (Φ(x, λ), χ(x, λ))
ile gösterelim. O halde
[−1, 0) ∪ (0, 1]
x ∈
61

 ω (λ),
x ∈ [−1, 0)
1
ω(λ) = W (Φ(x, λ), χ(x, λ)) =
 1 ω2 (λ), x ∈ (0, 1]
δγ
formülü elde edilir. Bu durumda Lemma
5.5.1
gere§i
1
ω2 (λ)
δγ
ω(λ) = ω1 (λ) =
e³itli§i yazlr.
(5.4.10)
Bundan sonraki bölümlerde her yerde Lemma
5.4.1
dikkate alnarak
5.4.10 gösteriminden yararlanlacaktr.
Teorem 5.4.1.
5.4.1 -5.4.5 snr de§er probleminin özde§erleri ancak ve ancak
ω(λ)
fonksiyonun sfr yerlerinden ibarettir.
spat:
(⇒) : λ = λ0
says
ω(λ)' nn sfr olsun.
λ0 saysnn özde§er oldu§unu göstermeliyiz.
ω1 (λ0 ) = 0
olur.
ω1 (λ0 ) = 0
ise
Yani
ω(λ0 ) = 0
olsun. Bu durumda
5.4.10 e³itli§i gere§i,
ve
ω2 (λ0 ) = 0
ω1 (λ)' nn tanmndan,
W (Φ1 (x, λ), χ1 (x, λ)) = 0
yazlr.
Bu durumda
Φ1 (x, λ)
teorisinden iyi bilinen "y1 (x),
ve
χ1 (x, λ)
fonksiyonlar diferansiyel denklemler
y2 (x), y3 (x),..., yn (x)
fonksiyonlar
n.
mertebeden
diferansiyel denklemin lineer ba§ml çözümleri ise o halde bu fonksiyonlarn wronskiyeni
bütün noktalarda sfrdr." teoreminin sonucu olarak lineer ba§mldr. Yani,
χ1 (x, λ0 ) = kΦ1 (x, λ0 ), x ∈ [−1, 0]
olacak biçimde
k 6= 0 says mevcuttur. 5.4.11
ve
(5.4.11)
Φ1 (x, λ)' nn tanmndan dolay,
χ1 (−1, λ0 ) = kΦ1 (−1, λ0 ) = 0
62
Φ1 (−1, λ0 )' nn çözümünden dolay
elde edilir.
χ(−1, λ0 ) = 0
bulunur.
Bu sonuç
χ(−1, λ0 )
5.4.3
ayn zamanda
sa§lad§ndan dolay
fonksiyonu
χ(−1, λ0 )
λ0
fonksiyonunun
5.4.2
ba³langç ³artn ve
5.4.1 − 5.4.5
snr ³artn sa§lad§n gösterir.
5.4.4 − 5.4.5
probleminin çözümü olur.
geçi³ ³artlarn da
Bu durumda
λ = λ0
özde§erine uygun özfonksiyon olur. Bu ise
χ(−1, λ0 )
saysnn özde§er
oldu§unu gösterir.
(⇐) :
“imdi ise tersine
λ = λ0
says
5.4.1 − 5.4.5
probleminin özde§eri olsun bu
durumda
ω(λ0 ) = 0
oldu§unu gösterilecektir.
ω(λ0 ) 6= 0
olsun.
Kabul edelim ki
λ0 5.4.1 − 5.4.5
Bu durumda 5.4.10 e³itli§inden
probleminin özde§eri ve
ω1 (λ0 ) 6= 0
ve
ω2 (λ0 ) 6= 0
olur.
Buradan
W (Φ1 (x, λ0 ), χ1 (x, λ0 )) 6= 0
elde edilir.
fonksiyonu
Bu durumda,
Φ1 (x, λ0 )
ve
W (Φ2 (x, λ0 ), χ2 (x, λ0 )) 6= 0
fonksiyonu
χ1 (x, λ0 )
χ2 (x, λ0 ) fonksiyonuyla lineer ba§msz olacaktr.
fonksiyonuyla,
Φ2 (x, λ0 )
Böylece 5.5.1 denkleminin
genel çözümü,
e 1 (x, λ) + c2 χ
e 2 (x, λ) + c4 χ
u(x, λ) = c1 Φ
e1 (x, λ) + c3 Φ
e2 (x, λ)
³eklinde ifade edilebilir. Bu durumda,
λ0 özde§erine uygun olan her u0 (x) özfonksiyonu
için,
e 2 (x, λ0 ) + k4 χ
e 1 (x, λ0 ) + k2 χ
e2 (x, λ0 )
e1 (x, λ0 ) + k3 Φ
u0 (x) = k1 Φ
olacak ³ekilde enaz biri sfrdan farkl olan
e³itli§i
ile verilen
sa§lad§ndan,
u0 (x)
k1 , k 2 , k 3 , k 4
(5.4.12)
reel saylar bulunur. 5.4.12
özfonksiyonu 5.4.2 - 5.4.5 snr
ve
geçi³
³artlarn
63
e 1 (x, λ0 ))k1 + L1 (e
e 2 (x, λ0 ))k3 + L1 (e
L1 (Φ
χ1 (x, λ0 ))k2 + L1 (Φ
χ2 (x, λ0 ))k4 = 0
e 1 (x, λ0 ))k1 + L2 (e
e 2 (x, λ0 ))k3 + L2 (e
L2 (Φ
χ1 (x, λ0 ))k2 + L2 (Φ
χ2 (x, λ0 ))k4 = 0
e 1 (x, λ0 ))k1 + L3 (e
e 2 (x, λ0 ))k3 + L3 (e
L3 (Φ
χ1 (x, λ0 ))k2 + L3 (Φ
χ2 (x, λ0 ))k4 = 0
e 1 (x, λ0 ))k1 + L4 (e
e 2 (x, λ0 ))k3 + L4 (e
L4 (Φ
χ1 (x, λ0 ))k2 + L4 (Φ
χ2 (x, λ0 ))k4 = 0
e³itlikleri geçerlidir.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ki katsaylarnn en az biri enaz biri sfrdan farkl oldu§undan dolay,
e 1 (x, λ0 )) L1 (e
e 2 (x, λ0 ))
L1 (Φ
χ1 (x, λ0 )) L1 (Φ
e 1 (x, λ0 )) L2 (e
e 2 (x, λ0 ))
L2 (Φ
χ1 (x, λ0 )) L2 (Φ
e 1 (x, λ0 )) L3 (e
e 2 (x, λ0 ))
L3 (Φ
χ1 (x, λ0 )) L3 (Φ
e 1 (x, λ0 )) L4 (e
e 2 (x, λ0 ))
L4 (Φ
χ1 (x, λ0 )) L4 (Φ
¯
L1 (e
χ2 (x, λ0 )) ¯¯
¯
L2 (e
χ2 (x, λ0 )) ¯¯
¯=0
L3 (e
χ2 (x, λ0 )) ¯¯
¯
L4 (e
χ2 (x, λ0 )) ¯
elde edilir. “imdi bu elemanlarn determinantn hesaplayalm:
(i = 1, 2)
e i (x, λ)
Φ
(5.4.13)
ve
χ
ei (x, λ)
fonksiyonlarnn tanm gere§i,
e 1 (x, λ0 )) =
L1 (Φ
e 1 (−1, λ0 ) = Φ1 (−1, λ0 ) = 0
Φ
(5.4.14)
L1 (e
χ1 (x, λ0 )) = χ
e1 (−1, λ0 ) = χ1 (−1, λ0 )
0
0
= Φ1 (−1, λ0 )χ1 (−1, λ0 ) − Φ1 (−1, λ0 χ1 (−1, λ0 )
= W (Φ1 (x, λ0 ), χ1 (x, λ0 ))|x=−1
= ω1 (λ0 )
e 2 (x, λ0 )) =
L1 (Φ
(5.4.15)
e 2 (−1, λ0 = 0
Φ
(5.4.16)
L1 (e
χ2 (x, λ0 )) = χ
e2 (−1, λ0 ) = 0
(5.4.17)
64
e 1 (x, λ0 )) = λ Φ
e 1 (1, λ0 ) − Φ
e 0 (1, λ0 )
L2 (Φ
1
0
= λ Φ1 (1, λ0 ) − Φ1 (1, λ0 )
= λ0 − 0
= 0
(5.4.18)
0
L2 (e
χ1 (x, λ0 )) = λ χ
e1 (1, λ0 ) − χ
e1 (1, λ0 )
0
= λ χ1 (1, λ0 ) − χ1 (1, λ0 )
= λ0 − 0
= 0
(5.4.19)
e 2 (x, λ0 )) = λ Φ
e 2 (1, λ0 ) − Φ
e 02 (1, λ0 )
L2 (Φ
0
= λ Φ2 (1, λ0 ) − Φ2 (1, λ0 )
0
0
= χ2 (1, λ0 )Φ2 (1, λ0 ) − χ2 (1, λ0 )Φ2 (1, λ0 )
= W (Φ2 (x, λ0 ), χ2 (x, λ0 ))|x=1
= ω2 (λ0 )
(5.4.20)
0
L2 (e
χ2 (x, λ0 )) = λe
χ2 (1, λ0 ) − χ
e2 (1, λ0 )
0
= λχ2 (1, λ0 ) − χ2 (1, λ0 )
0
0
= χ2 (1, λ0 )χ2 (1, λ0 ) − χ2 (1, λ0 )χ2 (1, λ0 )
= 0
(5.4.21)
e 1 (x, λ0 )) = δΦ1 (−0, λ0 ) − Φ1 (+0, λ0 )
L3 (Φ
= δΦ1 (−0, λ0 )
(5.4.22)
L3 (e
χ1 (x, λ0 )) = δχ1 (−0, λ0 ) − χ1 (+0, λ0 )
= δχ1 (−0, λ0 )
(5.4.23)
e 2 (x, λ0 )) = δΦ2 (−0, λ0 ) − Φ2 (+0, λ0 )
L3 (Φ
= −Φ2 (+0, λ0 )
(5.4.24)
L3 (e
χ2 (x, λ0 )) = δχ2 (−0, λ0 ) − χ2 (+0, λ0 )
= −χ2 (+0, λ0 )
(5.4.25)
65
e 1 (x, λ0 )) = γ Φ0 (−0, λ0 ) − Φ0 (+0, λ0 )
L4 (Φ
1
1
0
= γ Φ1 (−0, λ0 )
0
(5.4.26)
0
L4 (e
χ1 (x, λ0 )) = γχ1 (−0, λ0 ) − χ1 (+0, λ0 )
0
= γχ1 (−0, λ0 )
(5.4.27)
e 2 (x, λ0 )) = γΦ02 (−0, λ0 ) − Φ02 (+0, λ0 )
L4 (Φ
0
= −Φ2 (+0, λ0 )
0
(5.4.28)
0
L4 (e
χ2 (x, λ0 )) = γχ2 (−0, λ0 ) − χ2 (+0, λ0 )
0
= −χ2 (+0, λ0 )
elde edilir.
(5.4.29)
“imdi bulunan 5.4.14 - 5.4.29 e³itlikleri 5.4.13 determinantnda yerlerine
yazlrsa,
¯
¯
0
ω1 (λ0 )
0
0
¯
¯
¯
0
0
ω2 (λ0 )
0
¯
¯
¯ δΦ1 (−0, λ0 ) δχ1 (−0, λ0 ) −Φ2 (+0, λ0 ) −χ2 (+0, λ0 )
¯
¯
¯ γΦ01 (−0, λ0 ) γχ01 (−0, λ0 ) −Φ02 (+0, λ0 ) −χ02 (+0, λ0 )
¯
¯
¯ δΦ1 (−0, λ0 ) −χ2 (+0, λ0 )
=⇒ ω1 (λ0 )ω2 (λ0 ) ¯¯
¯ γΦ01 (−0, λ0 ) −χ02 (+0, λ0 )
elde edilir. Kabülümüz gere§i
ω1 (λ0 ) 6= 0
ve
ω2 (λ0 ) 6= 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
e³itliklerini dikkate alnrsa
son e³itlikteki determinant sfr olur. O halde,
γ χ2 (+0, λ0 ) Φ01 (−0, λ0 ) − Φ1 (−0, λ0 ) χ02 (+0, λ0 ) = 0
e³itli§i bulunur.
5.4.3
ve
5.4.4
geçi³ ³artlar gere§i,
χ2 (+0, λ0 ) = δχ1 (−0, λ0 )
yazlabilir. Bunlar
5.4.39' da
(5.4.30)
ve
0
0
χ2 (+0, λ0 ) = γ χ1 (−0, λ0 )
yerine yazlp gerekli düzenlemeler yaplrsa,
−δγ ω1 (λ0 ) = 0
(5.4.31)
66
elde edilir.
5.4.10' dan
ve
δ, γ > 0
oldu§undan dolay
5.4.31
e³itli§inden,
ω(λ0 ) = 0
(5.4.32)
e³itli§i elde edilir.
Bu ise
ω(λ0 ) 6= 0
oldu§u kabulüyle çeli³ir.
probleminin özde§erleri
Bu durumda verilen snr-de§er-geçi³
ω(λ) fonksiyonun sfr yerlerinden ibarettir.
5.4.2
Karakteristik Fonksiyonun Asimptotik Davran³lar
Bölüm
5.5.1' de ara³trlan problemin özde§erleri ω(λ)
ibaret oldu§u için öncelikle
ω(λ)
fonksiyonunun sfr yerlerinden
fonksiyonunun asimptotik davran³ incelenecek ve
daha sonra bu asimptotik ifadeden yararlanarak problemimizin özde§erleri için asimptotik
formüller elde edilecektir.
Teorem 5.4.2.
λ = s2 , s = σ + it, Ims = t olmak üzere ω(λ)
karakteristik fonksiyonu
için a³a§daki asimptotik e³itlik sa§lanr.
¡
¢
1
ω(λ) = − (δ + γ) s sin(2s) + O e2|t|
2
spat:
ω(λ)
fonksiyonunu
(5.4.33)
x de§i³keninden ba§msz oldu§u için,
ω(λ) = ω2 (λ) = W (Φ2 (x, λ), χ2 (x, λ))
= W (Φ2 (1, λ), χ2 (1, λ))
= Φ2 (1, λ)χ02 (1, λ) − Φ02 (1, λ)χ2 (1, λ)
biçiminde yazlabilir.
χ2 (x, λ)
(5.4.34)
fonksiyonu çözümü oldu§u problemin ba³langç ³artlarn
sa§lad§ndan dolay,
χ2 (1, λ) =
1
(5.4.35)
χ02 (1, λ) =
λ = s2
(5.4.36)
67
sa§lanr. Bulunan bu de§erler ve
Φ2 (1, λ)
ile
Φ2 (1, λ)'
nn asimptotik ifadelerinden
elde edilen,
1
1
Φ2 (1, λ) = − δ sin s cos s − γ cos s sin s
sµ
s
¶
1 2|t|
+ O
e
, |λ| −→ ∞
|s|2
(5.4.37)
0
Φ2 (1, λ) = δ sin2 s − γ cos2 s
µ
¶
1 2|t|
+ O
e
, |λ| −→ ∞
|s|
(5.4.38)
ifadeleri 5.4.34' de yerine koyulursa,
ω(λ) = (Φ2 (1, λ)χ02 (1, λ) − Φ02 (1, λ)χ2 (1, λ))
·
¸
µ
¶
1
1
1 2|t|
2
= s −δ sin s cos s + γ cos s sin s + O
e
s
s
|s|2
¶¸
·
µ
1 2|t|
2
2
e
− δ sin s − γ cos s + O
|s|
bulunur. Son e³itlik düzenlenirse,
¡
¢¤
−s [δ sin s cos s + γ sin s cos s] + O e2|t|
¶¸
·
µ
1 2|t|
2
2
e
− δ sin s − γ cos s + O
|s|
ω(λ) =
elde edilir.
£
(5.4.39)
£
¤
¡
¢
− sin2 (s) − γ cos2 (s) = O e2|t|
yazlabilir. Bu durumda 5.4.39 e³itli§i
¢
¡
1
ω(λ) = − (δ + γ)s sin 2s + O e2|t|
2
³eklinde yazlabilir. Böylece
Teorem 5.4.3.
ω(λ) snr fonksiyonunun asimptotik e³itli§i elde edilir.
5.4.1 − 5.4.5
n = 0, 1, 2, ... olacak ³ekilde K
snr-de§er-geçi³ probleminin özde§erleri için
λn ≥ K ,
reel says vardr. Yani özde§erler a³a§dan snrldr.
68
spat:
5.4.33
asimptotik e³itli§i için durumu ara³tralm. Bu durumda
5.4.33
ifadesinde
s = it, (t > 0) yazlrsa,
¡ ¢
ω(−t2 ) = (δ + γ)t sinh t cosh t + O e2t
e³itli§i elde edilir.
(5.4.40)
δγ > 0 ( ayn i³aretli) oldu§undan dolay 5.4.40 e³itli§inden,
lim ω(−t2 ) = ∞
(5.4.41)
t→∞
oldu§u açkça görülebilir. Bundan dolay
t0 > 0 says bulunur.
olmak üzere
5.5
Dolaysyla
λn > K ' dr.
t > t0
λ < −t20
için
oldu§unda
ω(−t2 ) 6= 0
ω(λ) 6= 0 olacaktr.
olacak ³ekilde
Buna göre
K = t20
Buda ispat tamamlar.
Özde§erler çin Asimptotik Davran³lar
Bir önceki bölümde
bölümde
ω(λ)
5.4.1 − 5.4.5
çak³k oldu§undan
snr fonksiyonun asimptotik davran³ incelenmi³ti.
probleminin özde§erleri ile
ω(λ)
ω(λ)
Bu
snr fonksiyonun sfr yerleri
snr fonksiyonun sfr yerlerinin asimptoti§i ara³trlacaktr.
Bunun için daha önce elde etti§imiz,
¡
¢
1
ω(λ) = − (δ + γ)s sin 2s + O e2|t|
2
asimptotik ifadeki ilk terim
ω
f1 (λ)
ile, ikinci terim ise
ω
f2 (λ)
ile gösterilirse,
1
ω
f1 (λ) = − (δ + γ) s sin(2s)
2
¢
¡
ω
f2 (λ) = ω(λ) − ω
f1 (λ) = O e2|t|
(5.5.1)
(5.5.2)
yazlabilir. Buradan,
ω(λ) = ω
f1 (λ) + ω
f2 (λ)
(5.5.3)
³eklinde ifade edebiliriz.
Kompleks analizden iyi bilinen Rouche Teoreminden yararlanmakla
ω
f1 (λ)
fonksiyonunun
69
ω
f1 (λ) = ω
f1 (s2 )
sfr yeri kat sayda yazlrsa,
fonksiyonunun sfrlar
s− de§i³keninin
fonksiyonu olarak
..., −
3π
π
π
3π
, −π , − , 0 0 , π ,
, 2π , ...
2
2
2
2
(5.5.4)
³eklinde sralanr. Kompleks s-düzleminde,
½
π
1
π
1
s = σ + it ∈ C : |σ| ≤ (n + ), |t| ≤ (n + ) , n = 0, 1, 2, ...
2
2
2
2
bölgesinin snrn
Γn
¾
(5.5.5)
ile gösterilsin. Kompleks analizden iyi bilinen,
| sin s| =
p
sinh2 t + sin2 σ
e³itli§inden ve bu e³itlikten elde edilen
p
sinh2 t + 1 ≥ | sin s| ≥ | sin ht|
ve
| sin s| ∼
1 |t|
e , |t| −→ ∞
2
özelliklerinden yararlanmakla,
¯
¯
¯
¯ 1
|f
ω1 (λ)| = ¯¯− (δ + γ) s sin 2s¯¯
2
|f
ω1 (λ)| ∼
elde edilir. Ayrca en az bir
1
|δ + γ| |t| e2|t| , |t| −→ ∞
4
M >0
(5.5.6)
vardr öyleki,
|f
ω2 (λ)| ≤ M e2|t|
yazlabilir.
Burada
n'
nin
yeteri kadar büyük de§erlerinde
(n ≥ n0
için)
s ∈ Γn
oldu§unda,
|f
ω1 (λ)| > |f
ω2 (λ)| , s ∈ Γn , n ≥ n0
(5.5.7)
70
n ≥ n0
e³itsizli§i sa§lanr. O halde
e³itsizli§ini sa§layan
ω
f1 (λ)
ve
ω
f2 (λ)
için
s ∈ Γn
olmak üzere
|f
ω1 (λ)| > |f
ω2 (λ)|
fonksiyonlarna Rouche teoremi uygulanarak bu
teoremin gere§i,
ω
f0 (λ) = ω
f1 (λ) + ω
f2 (λ)
fonksiyonunun
Γn
e§risi içinde kalan sfr yerlerinin saysyla,
e§risi içinde kalan sfr yerlerinin says e³ittir.
ω
f1 (λ)
fonksiyonunun
Γn
5.5.4
ω
f1 (λ)
fonksiyonunun
Γn
ifadesinden de anla³lacabile§i gibi
e§risi içinde kalan sfr yerlerinin saysnn
2(n + 1) = 2n + 2
sayda sfr yeri oldu§u açktr.
ω
f1 (λ) = ω
f1 (s2 )
ve
ω
e (λ) = ω
e (s2 )
fonksiyonlar oldu§undan ,
ω
e (λ)
fonksiyonlarn herbiri
|s|−
de§i³keninin çift
fonksiyonunun her sfr yerine kar³lk
fonksiyonunun iki tane sfr yeri olu³aca§ndan ve ayrca
ω
e (s2 ) ve ω
f1 (s2 )
ω
e (s2 )
fonksiyonlarnn
bütün sfr yerleri reel eksen üzerinde oldu§undan sadece pozitif reel eksende yerle³en
sfr yerlerini incelemek yeterli olur.
ω
f1 (s2 )
fonksiyonunun pozitif reel eksen üzerindeki
sfr yerleri,
se0 = 0 , se1 =
³eklinde sralansn.
ω
e (s2 )
π
3π
nπ
, se2 = π, se3 =
, ..., sen =
2
2
2
fonksiyonunun pozitif reel eksendeki sfr yerleri ise,
s0 < s1 < s2 < s3 < s4 < ...
³eklinde sralansn. Rouche Teoremi gere§i
π
1
π
1
(n − ) < s < (n + )
2
2
2
2
aralklarnn her birinde
n ≥ n0
sa§lanr.
ω
e (s2 )
için
5.5.8
fonksiyonunun bir tek
sn −
1
π
1
π
(n − ) < sn < (n + )
2
2
2
2
ve
5.5.10
(5.5.8)
ifadelerinden;
n ≥ n0
|sn − sen | <
n ≥ n0
için,
(5.5.9)
sfr yeri bulunur. Yani,
(5.5.10)
için
π
4
elde edilir.
δn := sn − sen
(5.5.11)
71
gösteriminden yararlanrsa,
n ≥ n0
için
nπ
π
+ δn , |δn | <
2
4
sn =
bulunur. “imdi
yerine
sn
{δn }
(5.5.12)
dizisini asimptotik olarak de§erlendirelim.
yazlrsa,
1
sn sin(2sn ) = O( )
n
5.5.12
elde edilir. Di§er taraftanda
5.4.33
ifadesinde
s
(5.5.13)
e³itli§inden dolayda,
sn = O(n)
oldu§u açktr.
5.5.12
ve
5.5.13' den,
1
sin(2sn ) = O( )
n
elde edilir.
5.5.12 ifadesi 5.5.14' de
(5.5.14)
yerine yazlrsa,
1
sin(nπ + 2δn ) = O( )
n
(5.5.15)
asimptotik e³itli§i bulunur. Bilinen baz trigonometrik özde³liklerden yararlanarak
sin(nπ + 2δn ) = (−1)n sin(2δn )
(5.5.16)
oldu§u görülür. Son iki e³itlikten,
1
sin(2δn ) = O( )
n
asimptotik e³itli§i elde edilir.
e³itlikte
n −→ ∞
|δn | <
π
oldu§u için
4
|2δn | <
π
yazlr. Buradan sonuncu
2
almakla limite geçersek,
lim sin(2δn ) = 0
n−→∞
elde edilir. Burada
(5.5.17)
|δn | <
(5.5.18)
π
oldu§u dikkate alnarak,
4
lim δn = 0
n−→∞
(5.5.19)
72
bulunur. Bu son iki ifadeden,
sin(2δn ) ∼ δn , n −→ ∞
elde edilir.
5.5.17
ve
(5.5.20)
5.5.20' den
1
δn = O( )
n
oldu§u kolayca görülür. Bu son e³itlik
5.7.12' de
sn =
(5.5.21)
yazlrsa
nπ
1
+ O( )
2
n
(5.5.22)
asimptotik e³itli§i bulunur.
Teorem 5.5.1.
5.4.1 − 5.4.5
probleminin özde§erleri için,
n2 π 2
λn =
+ O(1)
4
(5.5.23)
asimptotik formülü geçerlidir.
5.6
Verilen Snr-De§er-Geçi³ Problemi ile Ayn Özde§erlere Sahip Olan Lineer
Diferansiyel Operatörün Kurulmas
Bu bölümde 5.5.1 − 5.1.5 snr-de§er-geçi³ problemine uygun Hilbert Uzay ve bu uzayda
özde§erleri ile uygun özfonksiyonlar ara³trlan
5.1.1 − 5.1.5
probleminin özde§erleri
ve uygun özfonksiyonlar ile çak³an lineer diferansiyel operatör kurulacaktr.
L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
Cile gösterilsin.
f (x)
 iki bile³enli
f (x) ∈ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) , f1 ∈ C olmak üzere F = 
f1
elamanlarn lineer uzayn ise H = L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) ⊕ C ile gösterelim.
Hilbert uzay ile kompleks saylarn Hilbert uzay







f (x)
 : f (x) ∈ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1), f1 ∈ C
H= F =


f1
(5.6.1)
73
biçiminde olan direkt toplamdaki iç çarpm a³a§daki gibi tanmlayalm.

F =

f (x)
f1

 ∈ H,

g(x)
G=
g1
Z
∈H
δ, γ > 0 olmak üzere
ve
Z
0
1
f (x)g(x)dx +
< F, G >= δγ
e³itli§i ile tanmlayalm. O halde
H
f (x)g(x)dx + f1 g1
(5.6.2)
0
−1
iç çarpm uzaynn bir Hilbert Uzay olaca§ açktr.
“imdi 5.1.1−5.1.5 probleminin özde§erleri ve uygun özfonksiyonlar ile çak³an A lineer
operatörünü a³a§daki biçimde tanmlayalm.
A : H −→ H
(5.6.3)
lineer operatörünün tanm kümesi

D(A) = { F = 

f (x)
 ∈ H : f (x) ve f 0 (x) fonksiyonlar [−1, 0) ve (0, 1]
f1
aralklarnda mutlak süreklidirler ve sonlu
de§erleri mevcuttur.
f (±0) ve f 0 (±0) limit
− f 00 + q(x)f ∈ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
f (−1) = 0, f (+0) = δf (−0), f 0 (+0) = γf 0 (−0), f1 = f (1) }(5.6.4)

olmak üzere
AF = 

00
−f + q(x)f
f (x)
F =
(5.6.5)
f (1)


e³itli§iyle tanmlansn. Burada

0
f (1)
 ∈ D(A) ve
00
AF = −f + q(x)f
dr. Bu durumda
5.1.1 − 5.1.5
ile verilen snr-de§er- geçi³ problemi
AF = λF
operatör denklem biçiminde yazlabilir.
(5.6.6)
H
uzaynda
(5.6.7)
74

Gerçekten
F =

f (x)


ve
f (1)

00
−f + q(x)f
AF = 
0
f (1)

AF = λF =⇒ 
³eklinde yazlr.

00
−f + q(x)f
0
f (1)
 oldu§undan

 = λ

f (x)

f (1)
(5.6.8)
5.6.8 e³itli§i,
−f 00 + q(x)f = λf
(5.6.9)
f 0 (1) = λf (1)

e³itlikleri biçiminde yazlabilir. Ayrca
e³itlikleri sa§lanr.
F =
(5.6.10)

f (x)
f (1)
 ∈ D(A) oldu§u için,
f (−1) = 0
(5.6.11)
f (+0) − δf (−0) = 0
(5.6.12)
f 0 (+0) − γf 0 (−0) = 0
(5.6.13)
5.6.9 − 5.6.13
e³itlikleri birarada yazlrsa,
5.6.7
e³itli§i ile e³de§er
olan a³a§daki denklem sistemi elde edilir.
−f 00 + q(x)f = λf
f 0 (1) = λf (1)
f (−1) = 0
(5.6.14)
f (+0) − δf (−0) = 0
f 0 (+0) − γf 0 (−0) = 0
Demek ki ara³trd§mz
5.1.1 − 5.1.5
snr-de§er-geçi³ problemi,

F =
³eklinde yazlabilir. Bu nedenle
ile
5.1.1 − 5.1.5

f (x)
f (1)

=⇒ AF = λF
(5.6.15)
A operatörün özde§erleri ve uygun özfonksiyonlar sras
probleminin özde§erleri ve özfonksiyonlar olarak adlandrlr.
75
Teorem 5.6.1.
ile tanml
H := L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) ⊕ C Hilbert uzaynda 5.6.4 − 5.6.5
A operatörü simetriktir.

spat:
e³itlikleri
∀ F, G ∈ D(A) ⊂ H , F = 

f (x)

, G = 
f1 = f (1)

g(x)
∈H
g1 = g(1)
< AF, G >H = < F, AG >H
oldu§u gösterilmelidir. Gerçekten
Z
0
< AF, G >H = δγ
için
(5.6.16)
H ' daki iç çarpm tanmna göre
Z
1
00
(−f (x) + q(x)f (x))g(x)dx +
−1
(−f 00 (x) + q(x)f (x))g(x)dx
0
0
+ f (1)g(1)
Z 0
Z 0
00
f (x)g(x)dx + δγ
q(x)f (x)g(x)dx
= −δγ
−1
−1
Z 1
Z 1
0
00
−
f (x)g(x)dx +
q(x)f (x)g(x)dx + f (1)g(1)
0
(5.6.17)
0
³eklinde yazlabilir.
Z
0
δγ
Z
(−f (x) + q(x)f (x))g(x)dx = −δγ
−1
Z
0
00
00
−1
Herhangi aralkda diferansiyellenebilir iki
0
f (x)g(x)dx + δγ
f (x)
ve
q(x)f (x)g(x)dx
−1
g(x) fonksiyonlarnn Wronskiyen'i
W (f, g; x) = f (x)g 0 (x) − g(x)f 0 (x)
tanmn kullanarak son e³itli§in sa§ tarfndaki ilk integrale ard arda iki kere ksmi
integrasyon uygulanp i³lemlere devam edilirse,
76
Z
0
0
|0−1
Z
0
0
(x)g 0 (x)dx}
= −δγ {f (x)g(x)
−
f
+ δγ
q(x)f (x)g(x)dx
−1
−1
Z 0
Z 0
0
= δγ
f (x)g 0 (x)dx + δγ
q(x)f (x)g(x)dx − δγ (f 0 (x)g(x) |0−1 )
−1
−1
Z 0
Z 0
0
0
00
= δγ {f (x)g (x) |−1 −δγ
f (x)g (x)dx} + δγ
q(x)f (x)gdx − δγ (f 0 (x)g(x) |0−1 )
−1
−1
Z 0
Z 0
= δγ
f (x)g 00 (x)dx + δγ
q(x)f (x)g(x)dx + δγ {f (−0)g 0 (−0) − f (−1)g 0 (−1)}
−1
0
−1
0
− δγ {f (−0)g(−0) − f (−1)g(−1)}
Z 0
Z 0
00
= −δγ
f (x)g (x)dx + δγ
q(x)f (x)g(x)dx + δγ W (f, g; −0)
−1
−1
−δγ W (f, g; −1)
Z 0
= δγ
f (x)(−g 00 (x) + q(x)g(x))dx + δγ W (f, g; −0) − δγ W (f, g; −1)
(5.6.18)
−1
elde edilir.
Z
Z
1
1
00
(−f (x) + q(x)f (x))g(x)dx = −
0
Z
1
00
f (x)g(x)dx +
0
q(x)f (x)g(x)dx
0
benzer ³ekilde e³itli§in sa§ndaki ilk terime iki kere arda arda ksmi integrasyon uygulanp
gerekli i³lemler yaplrsa,
Z
0
|10
1
Z
0
1
= −{f (x)g(x) −
f (x)g 0 (x)dx} +
q(x)f (x)g(x)dx
0
0
Z 1
Z 1
0
0
=
f (x)g (x)dx +
q(x)f (x)g(x)dx − (f 0 (x)g(x) |10 )
0
Z 1 0
Z 1
1
0
00
= {f (x)g (x) |0 −
f (x)g (x)dx} +
q(x)f (x)g(x)dx − (f 0 (x)g(x) |10 )
0
0
Z 1
Z 1
= −
f (x)g 00 (x)dx +
q(x)f (x)gdx + {f (1)g 0 (1) − f (+0)g 0 (+0)}
0
0
− {f 0 (1)g(1) − f 0 (+0)g(+0)}
Z 1
Z 1
= −
f (x)g 00 (x)dx +
q(x)f (x)gdx + f (1)g 0 (1) − f 0 (1)g(1) − W (f, g; +0)
0
Z 10
=
f (x)(−g 00 (x) + q(x)g(x))dx + f (1)g 0 (1) − f 0 (1)g(1) − W (f, g; +0)(5.6.19)
0
77
bulunur.
5.6.18
5.6.19 , 5.6.17' de yerine yazlrsa,
ve
Z
Z
0
1
f (x)(−g 00 (x) + q(x)g(x))dx +
< AF, G >H = δγ
f (x)(−g 00 (x) + q(x)g(x))dx
−1
0
+ f (1)g 0 (1) − W (f, g; +0) + δγ W (f, g; −0)
− δγ W (f, g; −1)
(5.6.20)
elde edilir.
Z
Z
0
f (x)(−g 00 (x)
< F, AG >H = δγ
1
f (x)(−g 00 (x) + q(x)g(x))dx
+ q(x)g(x))dx +
−1
0
+ f (1)g 0 (1)
yazlabilir. Buradan
5.6.20
(5.6.21)
ve
5.6.21 ifadeleri taraf tarafa çkartlrsa,
< AF, G >H − < F, AG >H = δγ W (f, g; −0) − δγ W (f, g; −1)
− W (f, g; +0)
(5.6.22)
e³itli§i bulunur.
A
operatörünün simetrik oldu§unu söyleyebilmek için
sfra e³it oldu§unu göstermemiz gerekir.
Bunun için
5.6.22
f (x)
e³itli§inin sa§ tarafnn
ve
g(x)
fonksiyonlar
A
operatörünün tanm bölgesinin elemanlar olduklarndan snr ³artlarn kullanarak
W (f, g; −1) = 0
ifadeleri bulunur.
Bu ifadeler
ve
5.6.22'
W (f, g; +0) = δγ W (f, g; −0)
de yerine yazlrsa sa§ tarafn sfra e³it oldu§u
görülür. Sonuç itibariyle
< AF, G >H = < F, AG >H
e³itli§ini elde ederiz. Bu da bize
tamamlar.
A operatörünün simetrik oldu§unu gösterir.
(5.6.23)
Bu ise ispat
78
5.7
5.7.1
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Rezolventinin ve Green Fonksiyonunun Kurulmas
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Rezolventi ve Green Fonksiyonu
Bu kesimde verilmi³
5.1.1 − 5.1.5
snr-de§er-geçi³ problemine uygun olan rezolventi
kurulacaktr. Bunun için
00
L(u) := −u + [q(x) − λ]u = f (x),
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
(5.7.1)
homojen olmayan diferansiyel denkleminin
L1 (u) := u(−1) = 0
(5.7.2)
L2 (u) := λu(1) − u0 (1) = 0
(5.7.3)
L3 (u) := u(+0) − δu(−0) = 0
(5.7.4)
L4 (u) := u0 (+0) − γu0 (−0) = 0
(5.7.5)
homojen snr-de§er-geçi³ ³artlarn sa§layan çözümü (bu çözüm rezolvent olarak adlandrlr)
bulunacaktr. Bunun için önce a³a§daki Lemma ispat edilecektir.
Lemma 5.7.1. E§er
λ = λ0 ∈ C
özde§eri de§ilse, o halde
says
5.7.1 − 5.7.5
5.1.1 − 5.1.5
probleminin
spat: Aksini kabul edelim. Yani kabul edelim ki,
5.7.1 − 5.7.5
probleminin
λ = λ0
snr-de§er-geçi³ probleminin
λ = λ0
u1 (x, λ0 )
için çözümü varsa tektir.
ve
u2 (x, λ0 )
fonksiyonlar
de§erine uygun farkl çözümleri olsun. O halde
u0 (x, λ0 ) := u1 (x, λ0 ) − u2 (x, λ0 ) 6= 0
fonksiyonunun uygun homojen
olaca§ açktr.
Buna göre
probleminin özfonksiyonudur.
5.1.1 − 5.1.5
u0 (x, λ0 )
Bu ise
snr-de§er-geçi³ probleminin çözümü
fonksiyonu
λ = λ0
gelir. Bu ise kabülle çeli³ir. Buda ispat tamamlar.
5.1.1 − 5.1.5
snr-de§er-geçi³
saysnn özde§er oldu§u anlamna
79
“imdi
f ∈ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
u(x, λ)
çözümünü,
Φ(x, λ)
ve özde§er olmayan
χ(x, λ)
ve
λ
için
5.7.1 − 5.7.5
probleminin
çözümleri ile ifade eden formül çkarlacaktr.
Bunun için a³a§daki yardmc önerme verilecektir.
Lemma 5.7.2.
5.1.4 − 5.1.5
λ∈C
says özde§er de§ilse o halde
geçi³ ³artlarn sa§layan her
u(x, λ)
5.1.1
diferansiyel denkleminin
çözümü
u(x, λ) = c1 Φ(x, λ) + c2 χ(x, λ)
5.1.1, 5.1.4, 5.1.5
biçiminde ifade edilebilir. Yani,
biçimindedir. (Burada
spat:
λ
c1
ve
c2 )
özde§er olmad§ için
(5.7.6)
probleminin genel çözümü
5.7.6
katsaylar key sabitlerdir.
(i = 1, 2)
olmak üzere
ωi (λ) = W (Φi (x, λ), χi (x, λ)) 6= 0 , i = 1, 2
Wronskiyenleri sfrdan farkl oldu§u için
ba§mszdrlar. Bu nedenle
5.1.1
Φi (x, λ)
ve
χi (x, λ)
denkleminin genel çözümü
fonksiyonlar lineer
c1 , c 2 , d 1 , d 2
katsaylar
key sabitler olmak üzere

 c Φ (x, λ) + c χ (x, λ) , x ∈ [−1, 0)
1 1
2 1
u(x, λ) =
 d1 Φ2 (x, λ) + d2 χ2 (x, λ) , x ∈ (0, 1]
biçiminde yazlabilir. Bu ifade
5.1.4 − 5.1.5
(5.7.7)
geçi³ ³artlarnda yazlrsa,
δ(c1 Φ1 (0, λ) + c2 χ1 (0, λ)) = d1 Φ2 (0, λ) + d2 χ2 (0, λ)
0
0
0
0
γ(c1 Φ1 (0, λ) + c2 χ1 (0, λ)) = d1 Φ2 (0, λ) + d2 χ2 (0, λ)
e³itlikleri elde edilir.
Φi (x, λ)
ve
χi (x, λ) , i = 1, 2
fonksiyonlarnn
geçi³ ³artlarn sa§ladklar dikkate alnrsa son iki e³itlikten,
(c1 − d1 )Φ2 (0, λ) + (c2 − d2 )χ2 (0, λ) = 0
0
0
(c1 − d1 )Φ2 (0, λ) + (c2 − d2 )χ2 (0, λ) = 0
5.1.4 − 5.1.5
80
elde edilir. Bu e³itlikler
(c1 − d1 )
ve
(c2 − d2 )
de§i³kenlerine göre lineer denklem
sistemidir. Bu sistem de
W (Φ2 (0, λ), χ2 (0, λ)) = ω2 (λ) 6= 0
oldu§u için bir tek
(c1 − d1 ) = 0 , (c2 − d2 ) = 0
çözümü bulunur. “imdi
5.7.7' de c1 = d1 =: C , c2 = d2 =: D
yazarsak,
u(x, λ) = CΦ(x, λ) + Dχ(x, λ) , x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
elde edilir. Bu ise ispat tamamlar.
“imdi

 ω (λ) , x ∈ [−1, 0)
1
ω(x, λ) = W (Φ(x, λ), χ(x, λ)) =
 1 ω2 (λ) , x ∈ (0, 1]
(5.7.8)
δγ
gösterimini dahil ederek a³a§daki teoremi ispat edelim.
Teorem 5.7.1. Özde§er olmayan her
λ ∈ C
için
5.7.1 − 5.7.5
homojen olmayan
snr-de§er-geçi³ probleminin çözümü vardr ve tektir. Ayrca bu çözüm için
Z
Z
χ(x, λ) x
Φ(x, λ) 1
u(x, λ) =
Φ(y, λ)f (y)dy +
χ(y, λ)f (y)dy
ω(λ) −1
ω(λ) x

R
1 Φ1 (x,λ) 1


 δγ ω(λ) 0 χ2 (y, λ)f (y)dy , x ∈ [−1, 0)
+


 χ2 (x,λ) R 0
Φ (y, λ)f (y)dy , x ∈ (0, 1]
ω(λ)
−1 1
(5.7.9)
formülü geçerlidir.
spat: Özde§erlerden farkl olan ∀λ
∈C
için
5.1.1 diferansiyel denkleminin Φi (x, λ), χi (x, λ)
çözümleri lineer ba§msz olduklarndan bu denklemin genel çözümü,

 c Φ (x, λ) + d χ (x, λ) , x ∈ [−1, 0)
1 1
1 1
u(x, λ) =
 c2 Φ2 (x, λ) + d2 χ2 (x, λ) , x ∈ (0, 1]
(5.7.10)
81
³eklinde ifade edilebilir. Burada
c1 , c2 , d1 , d2 key sabitlerdir.
Sabitin de§i³imi yöntemini kullanarak homojen olmayan
−u00 + q(x)u = λu − f (x)
(5.7.11)
diferansiyel denkleminin genel çözümünü,

 c Φ (x, λ) + d χ (x, λ) , x ∈ [−1, 0)
1 1
1 1
u(x, λ) =
 c2 Φ2 (x, λ) + d2 χ2 (x, λ) , x ∈ (0, 1]
³eklinde arayalm.
fonksiyonlar







denklem sisteminin,



ve
d1 (x, λ)
için,
0
c1 (x, λ)Φ1 (x, λ) + d01 (x, λ)χ1 (x, λ) = 0
(5.7.13)
0
0
0
c1 (x, λ)Φ1 (x, λ) + d01 (x, λ)χ1 (x, λ) = f (x)
c2 (x, λ)




ve
d2 (x, λ)
fonksiyonlar da
x ∈ (0, 1]
için,
0
c2 (x, λ)Φ2 (x, λ) + d02 (x, λ)χ2 (x, λ) = 0
(5.7.14)
0
0
0
c2 (x, λ)Φ2 (x, λ) + d02 (x, λ)χ2 (x, λ) = f (x)
denklem sistemininin çözümünden bulunacaktr.
ve
c1 (x, λ)
Sabitin de§i³imi yöntemi gere§i srasyla,
x ∈ [−1, 0)
(5.7.12)
λ özde§er olmad§ndan,
¯
¯
¯ Φ1 (x, λ) χ1 (x, λ)
W (Φ1 (λ), χ1 (λ); x) = ¯¯ 0
0
¯ Φ1 (x, λ) χ1 (x, λ)
¯
¯
¯
¯ 6= 0
¯
¯
¯
¯
¯ Φ2 (x, λ) χ2 (x, λ)
W (Φ2 (λ), χ2 (λ); x) = ¯¯ 0
0
¯ Φ2 (x, λ) χ2 (x, λ)
¯
¯
¯
¯ 6= 0
¯
¯
82
olur. O halde
çözümler
5.7.13
ve
x ∈ [−1, 0)
0
c1 (x, λ) =
d01 (x, λ) =
0
c2 (x, λ) =
d02 (x, λ) =
5.7.14
c1
için
denklem sistemlerinin herbiri tek çözüme sahiptir. Bu
ve
d1 , x ∈ (0, 1]
için
c2
ve
d2 olmak üzere,
Z 0
1
1
−
f (x)χ1 (x, λ) =⇒ c1 (x, λ) =
f (y)χ1 (y, λ)dy + c1 (λ)
ω1 (λ)
ω1 (λ) x
Z x
1
1
f (x)Φ1 (x, λ) =⇒ d1 (x, λ) =
f (y)Φ1 (y, λ)dy + d1 (λ)
ω1 (λ)
ω1 (λ) −1
Z 1
1
1
−
f (x)χ2 (x, λ) =⇒ c2 (x, λ) =
f (y)χ2 (y, λ)dy + c2 (λ)
ω2 (λ)
ω2 (λ) x
Z x
1
1
f (x)Φ2 (x, λ) =⇒ d2 (x, λ) =
f (y)Φ2 (y, λ)dy + d2 (λ)
ω2 (λ)
ω2 (λ) 0
³eklinde bulunur. Buldu§umuz bu de§erler










u(x, λ) =









homojen olmayan
R0
Φ1 (x,λ)
ω1 (λ)
x
5.7.12' de yerine yazlrsa,
χ1 (x,λ)
ω1 (λ)
f (y)χ1 (y, λ)dy +
Rx
f (y)Φ1 (y, λ)dy
−1
+c1 (λ)Φ1 (x, λ) + d1 (λ)χ1 (x, λ) ,
Φ2 (x,λ) R 1
ω2 (λ)
x
f (y)χ2 (y, λ)dy +
x ∈ [−1, 0)
χ2 (x,λ) R x
ω2 (λ)
0
(5.7.15)
f (y)Φ2 (y, λ)dy
+c2 (λ)Φ2 (x, λ) + d2 (λ)χ2 (x, λ) ,
5.7.11
x ∈ (0, 1]
diferansiyel denkleminin genel çözümü elde edilmektedir.
Buldu§uz bu son ifade diferansiyellenirse,
0










u (x, λ) =
0
Φ1 (x,λ)
ω1 (λ)
R0
x
0
f (y)χ1 (y, λ)dy +
0
Rx
−1
0
+c1 (λ)Φ1 (x, λ) + d1 (λ)χ1 (x, λ) ,









0
Φ2 (x,λ)
ω2 (λ)
R1
x
f (y)χ2 (y, λ)dy +
0
0
χ2 (x,λ)
ω2 (λ)
0
f (y)Φ1 (y, λ)dy
x ∈ [−1, 0)
Rx
0
+c2 (λ)Φ2 (x, λ) + d2 (λ)χ2 (x, λ) ,
ifadesi bulunur. Son iki e³itli§i kullanmakla
elde edilir.
χ1 (x,λ)
ω1 (λ)
(5.7.16)
f (y)Φ2 (y, λ)dy
x ∈ (0, 1]
Li(u) , i = 1, 2, 3, 4
için a³a§daki e³itlikler
i = 1 için,
L1 (u) = u(−1)
Z
Φ1 (−1, λ) 0
f (y)χ1 (y, λ)dy
=
ω1 (λ)
x
+ c1 (λ)Φ1 (−1, λ) + d1 (λ)χ1 (−1, λ)
83
elde edilir.
u(−1) = Φ1 (−1, λ) = 0
0
u0 (−1) = −1 =⇒ Φ1 (−1, λ) = −1
olup bu de§erler bir üstteki e³itlikte yerine yerine yazlrsa,
L1 (u) = d1 (λ)χ1 (−1, λ)
0
0
= d1 (λ)(Φ1 (−1, λ)χ1 (−1, λ) − Φ1 (−1, λ)χ1 (−1, λ))
= d1 (λ)ω1 (λ)
= 0
bulunur.
ω1 (λ) 6= 0
(5.7.17)
oldu§undan,
d1 (λ) = 0
(5.7.18)
bulunur.
Benzer ³ekilde
i=2
için,
L2 (u) = λu(1) − u0 (1)
Z 1
1
0
=
{λχ2 (1, λ) − χ2 (1, λ)}
f (y)Φ2 (y, λ)dy
ω2 (λ)
0
0
+ c2 (λ){λΦ2 (1, λ) − Φ2 (1, λ)}
0
+ d2 (λ){λχ2 (1, λ) − χ2 (1, λ)}
(5.7.19)
bulunur.
u(1) = 1 =⇒ χ2 (1, λ) = 1
0
u0 (1) = λ =⇒ χ2 (1, λ) = λ
e³itliklerinden dolay
Φ2 (x, λ)
ve
χ2 (x, λ)
a³a§daki denklemleri sa§lar.
0
λ χ2 (1, λ) − χ2 (1, λ) = 0
0
λ Φ2 (1, λ) − Φ2 (1, λ) = ω2 (λ)
(5.7.20)
(5.7.21)
84
5.7.20 − 5.7.21
e³itlikleri
5.7.19' da
yerine yazlrsa,
L2 (u) = c2 (λ)ω2 (λ) = 0
formülü bulunur.
ω2 (λ) 6= 0
(5.7.22)
oldu§undan
c2 (λ) = 0
bulunur. Yine benzer ³ekilde
i = 3, 4
(5.7.23)
için,
L3 (u) = u(+0) − δu(−0)
Z
Φ2 (+0, λ) 1
f (y)χ2 (y, λ)dy + c2 (λ)Φ2 (+0, λ) + d2 (λ)χ2 (+0, λ)
=
ω2 (λ)
0
Z
χ1 (−0, λ) 0
− δ{
f (y)Φ1 (y, λ)dy − c1 (λ)Φ1 (−0, λ) − d1 (λ)χ1 (−0, λ)}
ω1 (λ)
−1
Z
Z
χ1 (−0, λ) 0
Φ2 (+0, λ) 1
f (y)χ2 (y, λ)dy −
f (y)Φ1 (y, λ)dy
=
ω2 (λ)
ω1 (λ)
0
−1
− c1 (λ)Φ1 (−0, λ) + d2 (λ)χ2 (+0, λ)
(5.7.24)
L4 (u) = u0 (+0) − γu0 (−0)
Z
0
Φ2 (+0, λ) 1
0
=
f (y)χ2 (y, λ)dy + d2 (λ)χ2 (+0, λ)
ω2 (λ)
0
Z
0
χ1 (−0, λ) 0
0
− γ{
f (y)Φ1 (y, λ)dy − γ c1 (λ)Φ1 (−0, λ)}
ω1 (λ)
−1
bulunur.
Buldu§umuz bu
c1 (λ) ve d2 (λ)
Li (u) = 0 , i = 1, 2, 3, 4
(5.7.25)
e³itlikleri dikkate alnrsa
sabitlerini bulmak için a³a§daki lineer denklem sistemi elde edilir.
δ c1 (λ)Φ1 (−0, λ) − d2 (λ)χ2 (+0, λ) =
−
0
0
γ c1 (λ)Φ1 (−0, λ) − d2 (λ)χ2 (+0, λ) =
−
Z
Φ2 (+0, λ) 1
f (y)χ2 (y, λ)dy
ω2 (λ)
0
Z
χ1 (−0, λ) 0
δ
f (y)Φ1 (y, λ)dy
ω1 (λ)
−1
Z
0
Φ2 (+0, λ) 1
f (y)χ2 (y, λ)dy
ω2 (λ)
0
Z
0
χ1 (−0, λ) 0
f (y)Φ1 (y, λ)dy
γ
ω1 (λ)
−1
85
φi (x, λ)
ve
χi (x, λ)
(i=1,2) çözüm fonksiyonlarnn tanmndan yararlanlrsa lineer
denklem sisteminin determinant için
¯
¯
¯ δ Φ1 (−0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯
¯
0
0
¯ γ Φ1 (−0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ Φ2 (+0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯=¯
¯ ¯ 0
0
¯ ¯ Φ2 (+0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯
¯
¯
¯ = −ω2 (λ) 6= 0
¯
¯
e³itli§i bulunur. Bu determiant sfrdan farkl oldu§u için lineer denklem sisteminin bir
tek çözümü bulunur. Bu sistem çözülürse,
c1 (λ)
ve
d2 (λ)
katsaylar için,
Z 1
1
c1 (λ) =
f (y)χ2 (y, λ)dy
ω2 (λ) 0
Z 0
1
d2 (λ) =
f (y)Φ1 (y, λ)dy
ω1 (λ) −1
denklemler elde edilir. Sonuç itibariyle
5.7.15' de
5.7.18, 5.7.23, 5.7.26, 5.7.27
(5.7.27)
de§erleri
yerine yazlrsa,










u(x, λ) =









Φ1 (x,λ) R 0
χ1 (x,λ) R x
f
(y)χ
(y,
λ)dy
+
1
ω1 (λ)
ω1 (λ)
x
−1
Φ1 (x,λ) R 1
+ ω2 (λ) 0 f (y)χ2 (y, λ)dy
,
Φ2 (x,λ) R 1
f (y)Φ1 (y, λ)dy
x ∈ [−1, 0)
χ2 (x,λ) R x
f (y)χ2 (y, λ)dy + ω2 (λ) 0 f (y)Φ2 (y, λ)dy
R0
f (y)Φ1 (y, λ)dy
,
x ∈ (0, 1]
−1
ω2 (λ)
x
χ2 (x,λ)
+ ω1 (λ)
formülü bulunur.
Buradan,
(5.7.26)

 Φ (x, λ), x ∈ [−1, 0)
1
Φ(x, λ) =
 Φ2 (x, λ), x ∈ (0, 1]

 χ (x, λ), x ∈ [−1, 0)
1
χ(x, λ) =
 χ2 (x, λ), x ∈ (0, 1]
(5.7.28)
86
tanmlarn kullanarak
5.7.28
formülü a³a§daki ³ekilde yeniden yazlabilir.
Z
Z
χ(x, λ) x
Φ(x, λ) 1
u(x, λ) =
Φ(y, λ)f (y)dy +
χ(y, λ)f (y)dy
ω(λ) −1
ω(λ) x

R
1 Φ1 (x,λ) 1


 δγ ω(λ) 0 χ2 (y, λ)f (y)dy , x ∈ [−1, 0)
+


 χ2 (x,λ) R 0
Φ (y, λ)f (y)dy , x ∈ (0, 1]
ω(λ)
−1 1
Böylece snr-de§er-geçi³ probleminin rezolventi elde edilir.
5.7.29
(5.7.29)
formülünden Green
fonksiyonu kolayca bulunabilir. Yani;
















G(x, y; λ) =
ile gösterilirse















u(x, λ)
χ(x,λ) Φ(y,λ)
ω(λ)
, −1 ≤ y ≤ x ≤ 1, x.y > 0
χ2 (x,λ) Φ1 (y,λ)
ω(λ)
, −1 ≤ y ≤ x ≤ 1, x.y < 0
(5.7.30)
Φ(x,λ) χ(y,λ)
ω(λ)
, −1 ≤ x ≤ y ≤ 1, x.y > 0
1 Φ1 (x,λ) χ2 (y,λ)
δγ
ω(λ)
, −1 ≤ x ≤ y ≤ 1, x.y < 0
rezolventi
Z
1
u(x, y) =
G(x, y; λ)f (y)dy
(5.7.31)
−1
³eklinde yazlabilir. Böylece Green fonksiyonunun
gösterilmi³ oldu.
5.7.30
formülü ile ifade edilebilece§i
87
5.7.2
Rezolvent Operatörü
Bu kesimde her yerde
bu kesimde
λ∈C
5.1.1−5.1.5
parametresinin özde§er olmad§ kabul edilecektir. Ayrca
snr-de§er-geçi³ probleminin üretti§i ve
5.6.3−5.6.5
e³itlikleri
ile tanml
A : H −→ H
simetrik operatörünün rezolventi olan
R(λ, A) := (λI − A)−1 : H −→ H

operatörü kurulacaktr. Bunun için
F =

f (x)
f1
∈H
eleman için
(λI − A)U = F

operatör denkleminin her
F ∈H
için
V =
(5.7.32)

v(x)
v(1)
 ∈ D(A)
çözümünün mevcut
olup olmad§n, mevcut ise tek olup olmad§n, çözümün mevcut ve tek oldu§u durumda
ise
R(λ, A) : H −→ H
gerekir.
5.7.32
rezolvent operatörünün snrl olup olmad§nn ara³trlmas
operatör denklemi ile hem denklemi , hem de snr ³artlar homojen
olmayan,
00
L(u) := −u + q(x)u = λu − f (x),
(5.7.33)
L1 (u) := u(−1) = 0
(5.7.34)
L2 (u) := u0 (1) − λu(1) = f1
(5.7.35)
L3 (u) := u(+0) − δu(−0) = 0
(5.7.36)
L4 (u) := u0 (+0) − γu0 (−0) = 0
(5.7.37)
snr-de§er-geçi³ problemi e³de§erdir.
çözümünün
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
5.7.15
formülü ile verildi§i ispatlanm³t.
probleminin çözümünü bulmak için
³artlarnda yerine yazarak,
5.7.15
ifadesini
5.7.17, 5.7.19, 5.7.24
bir önceki kesime benzer ³ekilde
5.7.33
Önceki kesimde
ve
denkleminin genel
5.7.33 − 5.7.37
snr-de§er-geçi³
5.7.34 − 5.7.37
5.7.25
snr ve geçi³
formüllerinden yararlanlarak
c1 (λ), d1 (λ), c2 (λ), d2 (λ)
sabitleri bulunur.
L1 (u) = 0
88
snr ³artndan
5.7.18
gere§i
d1 (λ) = 0
L2 (u) = f1
snr ³artndan
5.7.22
(5.7.38)
gere§i
c2 (λ)ω2 (λ) = f1 =⇒ c2 (λ) =
bulunur. Bulunan son iki e³itli§i
de yararlanlrsa,
c1 (λ)
ve
5.7.15' de
d2 (λ)
f1
ω2 (λ)
yerine yazp,
(5.7.39)
5.7.24−5.7.25
formüllerinden
katsaylar için a³a§daki lineer denklem sistemi elde
edilir.
δc1 (λ)Φ1 (−0, λ) −
−
0
γ c1 (λ)Φ1 (−0, λ) −
−
Z
Φ2 (+0, λ) 1
d2 (λ)χ2 (+0, λ) =
f (y)χ2 (y, λ)dy
ω2 (λ)
0
Z
f1 Φ2 (0, λ)
χ1 (−0, λ) 0
f (y)Φ1 (y, λ)dy +
ω1 (λ)
ω2 (λ)
−1
Z 1
0
Φ (+0, λ)
0
f (y)χ2 (y, λ)dy
d2 (λ)χ2 (+0, λ) = 2
ω2 (λ)
0
Z
0
0
χ1 (−0, λ) 0
f1 Φ2 (0, λ)
γ
f (y)Φ1 (y, λ)dy +
ω1 (λ)
ω2 (λ)
−1
Bu lineer denklem sisteminin determinant,
¯
¯
¯ δΦ1 (−0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯
¯
0
0
¯ γ Φ1 (−0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ Φ2 (+0, λ) −χ2 (+0, λ)
¯=¯
¯ ¯ 0
0
¯ ¯ Φ2 (+0, λ) −χ2 (+0, λ)
sfrdan farkl oldu§undan çözümü vardr ve tektir.
bölüm 5.7.1' dekine benzer ³ekilde çözülürse,
c1 (λ)
¯
¯
¯
¯ = −ω2 (λ) 6= 0
¯
¯
E§er bu lineer denklem sistemi,
ve
d2 (λ)
katsaylar için a³a§daki
denklemler
Z 1
1
f1
c1 (λ) =
f (y)χ2 (y, λ)dy +
ω2 (λ) 0
ω2 (λ)
Z 0
1
d2 (λ) =
f (y)Φ1 (y, λ)dy
ω1 (λ) −1
(5.7.40)
(5.7.41)
89
bulunur.
c1 (λ), d1 (λ), c2 (λ)
5.7.33 − 5.7.37
ve
d2 (λ)
katsaylar
5.7.15'
de
yerlerine yazlrsa
problemin çözümünün mevcut oldu§u, tek oldu§u ve

χ1 (x,λ) R x
Φ1 (x,λ) R 0

f
(y)χ
(y,
λ)dy
+
f (y)Φ1 (y, λ)dy

1
ω1 (λ)
ω1 (λ)
x
−1



Φ1 (x,λ) R 1
f1 Φ1 (x,λ)


,
x ∈ [−1, 0)

 + ω2 (λ) 0 f (y)χ2 (y, λ)dy + ω2 (λ)
v(x, λ) =


Rx

Φ2 (x,λ) R 1

f (y)χ2 (y, λ)dy + χω22(x,λ)
f (y)Φ2 (y, λ)dy


ω
(λ)
(λ)
x
0
2

R

0
(x,λ)
 + χ2 (x,λ)
f (y)Φ1 (y, λ)dy + f1 ωΦ22(λ)
,
x ∈ (0, 1]
ω1 (λ)
−1
biçiminde ifade edilebilece§i gösterilmi³ olur.
5.7.29
ve
5.7.31
(5.7.42)
ifadeleri dikkate alnarak
sonuncu e³itlik
Z
1
G(x, y; λ)f (y)dy +
V (x, λ) =
−1
f1
Φ(x, λ)
ω2 (λ)
(5.7.43)
³eklinde yazlabilir.
Teorem 5.7.2. E§er
λ
özde§er de§ilse her
F ∈H

bir tek
R(λ; A)F = V = 
çözümü bulunur ve her
F ∈ D(A)
için
5.7.32
operatör denkleminin

v(x)
v(1)
 ∈ D(A)
için
R(λ, A) (λ I − A) F = F
(5.7.44)
e³itli§i sa§lanr.
Lemma 5.7.3. Her
F ∈H
ve
Imλ 6= 0
olan her reel olmayan
λ
says için
R(λ; A) : H −→ H
operatörünün
D(R(λ, A))
tanm bölgesi bütün
H
uzaydr.
Imλ 6= 0
olan her
λ
için
bu operatör snrldr ve
kR(λ; A)F k ≤ |Imλ|−1 kF k
(5.7.45)
90
e³itsizli§ini sa§lar.
spat:
bütün
Imλ 6= 0
H
olsun. Bir önceki teorem gere§i
uzaydr. Key
F ∈H
R(λ; A)
operatörünün tanm bölgesi
alalm ve
V = R(λ; A) F
(5.7.46)
ile gösterelim. O halde
λV − AV = F =⇒ AV = λV − F
e³itli§i sa§lanacaktr. Buradan
hAV, V iH = hλV − F, V iH = λhV, V iH − hF, V iH
hV, AV iH = hV, λV − F iH = λhV, V iH − hV, F iH
e³itlikleri elde edilir.
A
operatörünün simetrik oldu§unu dikkate alarak sonuncu iki e³itlik taraf tarafa çkarlrsa,
(λ − λ)hV, V iH = hF, V iH − hV, F iH
elde edilir. Buradan
|Imλ| kV k2H = |ImhF, V iH |
(5.7.47)
yazlr. Di§er taraftan Cauchy-Schwartz e³itsizli§i gere§i,
|ImhF, V iH |
≤
|hF, V iH |
≤ kF kH kV kF
elde edilir.
5.7.47
ve
5.7.48' den
kR(λ, A)F kH = kV kH ≤
1
kF kH
|Imλ|
(5.7.48)
91
5.7.45
e³itsizli§i bulunur. Böylece
Lemma 5.7.4.
5.1.1 − 5.1.5
ifadesi ispatlanm³ olur.
snr-de§er-geçi³ problemine uygun olan ve
5.6.4 − 5.6.6
e³itlikleri ile tanml olan
A : H −→ H
operatörü kendine e³leniktir.
spat: Bir önceki Lemma
saysnn
A
(iI − A)
ve
5.7.5'
de
Imλ 6= 0
olacak ³ekildeki her
λ∈C
operatörünün regüler de§eri olaca§ gösterilmi³ti. O halde
(−iI − A)
operatörlerinin de§er bölgeleri olan
lineer alt uzaylar bütün
H
R(iI − A)
kompleks
λ= ±i
ve
için
R(−iI − A)
Hilbert uzay ile çak³acak. Dolaysyla
Ni := (R(iI − A))⊥ , N−i := (R(−iI − A))⊥
ortogonal tümleyenlerinin her biri sadece ve sadece
olacak. Dolaysyla
A∗
e³lenik operatörünün
D(A∗ )
0 ∈ H
sfr elemanndan ibaret
tanm kümesi için Teorem 3.5.1
gere§i
D(A∗ ) = D(A)
e³itli§i sa§lanr. Böylece
A
operatörünün kendine e³lenik oldu§u ispatlanm³ oldu.
92
5.8
Diferansiyel-Operatör Snr-De§er-Geçi³ Probleminin fadesi, zomoru§u,
Rezolventinin Normunun De§erlendirilmesi, Spektrumu ve Özde§erlerinin
Asimptoti§i
5.8.1
Giri³
Bu bölümde
B : L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) −→ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
soyut lineer operatör
olmak üzere,
00
−u (x) + q(x)u(x) + (Bu)(x) = λu(x),
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
(5.8.1)
diferansiyel operatör denkleminden,
u(−1) = 0
(5.8.2)
u0 (1) = λu(1)
(5.8.3)
snr ³artlarndan ve
u(+0) = δu(−0)
(5.8.4)
u0 (+0) = γu0 (−0)
(5.8.5)
geçi³ ³artlarndan olu³an snr-de§er-geçi³ problemi incelenecektir. Burada
ve (0,1] aralklarnn herbirinde sürekli fonksiyon,
Özel olarak seçti§imiz snardan alnan
B
B
q(x)
[-1,0)
ise soyut (genel) lineer operatördür.
operatörleri için bu problemin diskret
spektrumlu oldu§u gösterilecek, spektrumu içeren açlar bulunacak, kompleks düzlemin
93
5.8.1 − 5.8.5
bu açlarn d³nda kalan bölgesinde verilmi³
probleminin rezolventinin
normu de§erlendirilecek ve ayrca bu problemin özde§erlerinin asimptoti§i bulunacaktr.
Bu problemin klasik Sturm-Liouville Problemlerinden üç esas fark vardr;
1)
Verilen denklem sadece diferansiyel ifadeleri de§il ayrca
B
soyut (genel) lineer
operatörünü içermektedir.
2)
Verilen aralkta süreksizlik noktasnn bulunmas ve bu süreksizlik noktasnda
problemin geçi³ ³artlarya birlikte verilmesidir.
3)
λ
kompleks özde§er parametresinin sadece denklemde de§il ayn zamanda snr
³artlarnn birinde de bulunmasdr.
5.8.2
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin zomoru§u
D(B) ⊃ W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1)
H = L2 (−1, 0)⊕L2 (0, 1)⊕C
oldu§unu kabul ederek, verilmi³ problemin
Hilbert uzaynda üretti§i operatörü
A
ile gösterelim. Yani
A : H −→ H

D(A) = { U = 

u(x)
 : u(x) ∈ W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1),
u1
u(−1) = 0, u(+0) = δu(−0),
u0 (+0) = γu0 (−0), u1 = u(1)

olmak üzere
AU = 
F =
(5.8.6)

−u00 + qu + Bu

e³itlikleriyle tanmlayalm.
}

0
u (1)
(5.8.7)

f (x)
f1
∈H
olmak üzere
(λI − A)Φ = F
(5.8.8)
94
denklemini göz önüne alalm ve bu denklem için ileride kullanlacak olan

H1 = { U = 

u(x)
 : u(x) ∈ W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1),
u1
u(−1) = 0, u(+0) = δu(−0),
u0 (+0) = γu0 (−0), u1 = u(1) }
(5.8.9)
lineer uzayn tanmlayalm. Bu uzayda

U =

u(x)
u(1)

, V = 

v(x)
v(1)
 ∈ H1
elemanlarnn iç çarpmn
hU, V iH1 = hu, viW22 (−1,0) + hu, viW22 (0,1)
(5.8.10)
ile tanmlayalm.
Lemma 5.8.1.
spat: Önce
H1
bir Hilbert uzaydr.
5.8.10
formülünün gerçekten bir iç çarpm oldu§unu gösterelim. Bunun
için iç çarpm aksiyomlarndan sadece
hU, U iH1 = 0 =⇒ U = 0
aksiyomunun sa§land§n göstermek yeterlidir. (ç çarpmn di§er aksiyomlarnn sa§land§
açktr.)
hU, U iH1 = 0 =⇒ hu, uiW22 (−1,0) + hu, uiW22 (0,1) = 0
=⇒ hu, uiW22 (−1,0) = 0 ∧ hu, uiW22 (0,1) = 0
=⇒ u(x) ≡ 0 ∧ u(x) ≡ 0
=⇒ u(−1) = 0 ∧ u(1) = 0 =⇒ U = 0
95
“imdi
H1
iç çarpm uzaynn Hilbert uzay oldu§u gösterilecektir.
Bunun için
uzayndan alnan key bir Cauchy dizisinin yaknsak oldu§unu göstermek gerekir.
halde key
{Un }, n = 1, 2, ...
H1
O
cauchy dizisi alalm ve bu dizinin yaknsak oldu§unu
gösterelim.
∀ε > 0, ∃n0 (ε) ∈ N öyle
ki
∀ n, m > n0 (ε)
için,
kUn − Um k2H1 = hUn − Um , Un − Um iH1
= hun − um , un − um iW22 (−1,0) + hun − um , un − um iW22 (0,1)
= kun − um k2W 2 (−1,0) + kun − um k2W 2 (0,1)
2
olur.
2
{Un } cauchy dizisi oldu§undan dolay,
kUn − Um k2H1 −→ 0 (n, m → ∞)
olup buradan,
kun − um k2W 2 (−1,0) −→ 0
2
elde edilir. Bu ise
ve
kun − um k2W 2 (0,1) −→ 0 (n, m → ∞)
{Un } ∈ H1 , n = 1, 2, ...
2
cauchy dizisinin
Hilbert uzaylarnda da bir Cauchy dizisi oldu§unu gösterir.
W22 (−1, 0)
W22 (−1, 0)
ve
W22 (0, 1)
ve
W22 (0, 1)
Hilbert uzay olduklarndan,
kun − u∗0 k2W 2 (−1,0) −→ 0
2
olacak ³ekilde
u∗0 ∈ W22 (−1, 0)
2
kun − u∗∗
0 kW 2 (0,1) −→ 0 (n → ∞)
ve
ve
2
2
u∗∗
0 ∈ W2 (0, 1)
W22 (−1, 0) ⊂ C[−1, 0]
ve
fonksiyonlar mevcuttur.
W22 (0, 1) ⊂ C[0, 1]
gömülmeleri sürekli oldu§undan dolay,
kun − u∗0 k2C[−1,0] −→ 0
ve
2
kun − u∗∗
0 kC[0,1] −→ 0 (n → ∞)
olur. Buradan da
2
kUn − Um k2H1 = kun − u∗0 k2C[−1,0] + kun − u∗∗
0 kC[0,1] −→ 0 (n → ∞)
96
yazlr.

 u∗ , x ∈ [−1, 0)
0
u0 =:
 u∗∗ , x ∈ (0, 1]
(5.8.11)
0
ile tanmlanrsa,
un (−1) −→ u0 (−1) = 0
un (1) −→ u0 (1) (n → ∞)
un (+0) − δun (−0) −→ 0 (n → ∞)
u0n (+0) − γu0n (−0) −→ 0 (n → ∞)
yazlr. Buna göre
u0 (−1) = 0

U0 = 
,

u0 (x)
u0 (1)
 ∈ H1
ve
kUn − U0 kH1 −→ 0 (n → ∞)
(5.8.12)
elde edilir. Buda ispat tamamlar.
Teorem 5.8.1. E§er
L2 (0, 1)
B
W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1)
operatörü
uzayna kompakt dönü³üm ise, o halde
∀ε > 0
uzayndan
says için öyle
L2 (−1, 0) ⊕
Rε > 0 , C ε > 0
saylar bulunur ki
ε < arg λ < 2π − ε
³artlarn sa§layan her
λ∈C
arasnda izomorzmadr ve
ve
kompleks says için
5.8.8
denkleminin
|λ| > Rε
λI − A
Φ = Φ(λ)
dönü³ümü
H1
ile
H
uzay
çözümleri için
kΦkH1 + |λ| kΦkH ≤ Cε kF kH
(5.8.13)
Coersitiv e³itsizli§i sa§lanr.
spat:
Önce
∀λ ∈ C
için
λI − A : H1 −→ H


F =
f (x)
f1
,
lineer operatörünün sürekli oldu§u açktr.

Φ=

u(x)
u(1)

97
gösterimlerinden yararlanarak
5.8.8
operatör denklemini,
00
λu(x) + u (x) − (Bu)(x) = f (x)
u(−1) = 0
λu(1) − u0 (1) = f (1)
u(+0) − δu(−0) = 0
u0 (+0) − γu0 (−0) = 0
snr-de§er-geçi³ problemi ³eklinde yazalm ve
Gε = {λ ∈ C| ε < | arg λ| < 2π − ε}
00
L(λ)u := λu(x) + u (x) − (B1 u)(x)
L1 (λ)u := u(−1)
L2 (λ)u := λu(1) − u0 (1)
L3 (λ)u := u(+0) − δu(−0)
L4 (λ)u := u0 (+0) − γu0 (−0)
ile gösterilim. O halde
(S.Y. Yakubov
Teorem 3.4. gere§i öyle
Rε > 0
sa§layan
λ
ve
Y.Y. Yakubov' un , 1999)
says mevcuttur ki,
λ ∈ Gε
ve
makalesindeki
|λ| > Rε
³artlarn
kompleks saylar için,
e
L(λ)
: u → (L(λ)u, L1 (λ)u)
operatörü
{u : u ∈ W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1), u(−1) = 0, u(+0) = δu(−0), u0 (+0) = γu0 (−0)
kukH1 = kukW 2 (−1,0) + kukW 2 (0,1) }
2
uzay ile
L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) ⊕ C
dönü³ümünün
H1
ile
H
2
arasnda izomorzmadr. Buradan
lineer
arasnda izomorzma oldu§u görülür. Yine (S.Y. Yakubov ve
Y.Y. Yakubov' un , 1999) makalesindeki
5.8.13
λI − A
3.20
e³itsizli§inden direkt olarak talep olunan
e³itli§ide elde edilmi³ olur. Bu ise Teoremin ispatn tamamlar.
98
B : W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1) −→ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
Sonuç 5.8.1.
ise,
∀ε > 0
says için öyle
Rε > 0, says bulunur ki
ε < | arg λ| < 2π − ε
³artlarn sa§layan her
λ∈C
A
regüler de§eridir ve
operatörü kompakt
kompleks says
operatörünün
ve
|λ| > Rε
5.8.7
(5.8.14)
A
ile tanml olan
R(λ, A) = (λI − A)−1
operatörünün
5.8.14
rezolventi için
bölgesinde (açsnda)
kR(λ, A)k ≤ Cε |λ|−1
e³itsizli§i sa§lanr ve
R(λ, A)
rezolvent operatörü
H
(5.8.15)
uzayndan
Teorem 5.8.2. 5.8.1 Teoreminin ³artlar sa§land§nda verilmi³
|λ| > Rε
³artlarn sa§lyan
∀λ ∈ C
H1
uzayna snrldr.
ε>0
için
λ ∈ Gε
ve
için
R(λ, A) : H −→ H
rezolvent operatörü kompakttr.
spat: Önce
H1 ⊂ H
gömülmesinin kompakt oldu§unu görelim.

Un = 

un (x)
un (1)
key snrl bir dizi olsun. O halde
 ∈ H1 , n = 1, 2, ....
un (x) ∈ W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1) , n = 1, 2, ...
dizisi
snrl olur.
W22 (−1, 0) ⊂ L2 (−1, 0)
ve
W22 (0, 1) ⊂ L2 (0, 1)
gömülmeleri kompakt oldu§undan (S.Y. Yakubov ve Y.Y. Yakubov, 1999)
δγ kunk − u∗0 kL2 (−1,0) −→ 0
olacak ³ekilde
ve
kunk − u∗∗
0 kL2 (0,1) −→ 0 (n → ∞)
u0 (x) ∈ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
fonksiyonu ve
{unk }
Di§er taraftan
W22 (−1, 0) ⊂ C[−1, 0]
ve
W22 (0, 1) ⊂ C[0, 1]
(5.8.16)
alt dizisi bulunur.
99
{unk (1)}
gömülmeleri sürekli olduklarndan
yaknsak olan
{unks (1)}
saysal dizisi snrldr. O halde bu dizinin
alt dizisi mevcuttur. Bu alt diziyi
lim unks (1) = u1
(5.8.17)
s→∞

ile gösterelim ve
U0 = 

u0 (x)
u1


u∗0 (x)
 ∈ H , u0 (x) = 
, x ∈ [−1, 0)
u∗∗
0 (x)
 elemann
, x ∈ (0, 1]
gözönüne alalm. Bu takdirde
°
°
°
°
°
°2
¯
¯2
°
¯
¯
°Un − U0 °2 = δγ °un − u∗0 °2
+ °unks − u∗∗
0 L2 (0,1) + unks (1) − u1 C
ks
ks
L2 (−1,0)
H
oldu§u için
5.8.16 − 5.8.17
ifadeleri gere§i
°
°
°Un − U0 °2 −→ 0 (n → ∞)
ks
H
yazlr. Demek ki
H1 ⊂ H
gömülmesi kompakttr. Di§er taraftan (S.Y. Yakubov ve
Y.Y. Yakubov ,1999) makalesindeki Teorem 3.4 gere§i
|λ| > Rε
için H- dan
(5.8.18)
H1 − ya snrldr.
Dolaysyla
R(λ, A)
R(λ, A)
operatörü
operatörü
λ ∈ Gε
ve
H - dan H - a
kompakttr.
Sonuç 5.8.2.
5.8.3
5.8.6 − 5.8.7
e³itlikleriyle tanml
A
operatörü diskret spektrumludur.
Esas Diferansiyel Ksmna Göre Kompakt Olan Operatörle Etkilenmi³
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Özde§erlerinin Asimptoti§i
5.8.1 − 5.8.5
snr-de§er-geçi³ problemi verilsin. Önceki ksmda oldu§u gibi
H := L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) ⊕ C
olmak üzere
A : H −→ H
lineer operatörünü
5.8.6 − 5.8.7
e³itlikleri ile tanmlanm³t.
100

operatörünü ise
F =

f (x)
f1

B1 : H −→ H
olmak üzere
D(B1 ) = D(A)


B1 F = 
e³itlikleri ile tanmlayalm. Bu takdirde
(5.8.19)
(Bf )(x)

(5.8.20)
0
5.8.1 − 5.8.5
snr-de§er-geçi³ problemi
(A + B1 )u = λu
e³itli§i ³eklinde yazlabilir. Bu durumda
özde§erleri ile
A + B1
(5.8.21)
5.8.1 − 5.8.5
snr-de§er-geçi³ probleminin
operatörünün özde§erleri ayn olaca§ndan
A + B1
operatörünün
özde§erleri incelenecektir.
Lemma 5.8.2. E§er
üretti§i
A
B1
lineer operatörü snr-de§er-geçi³ probleminin esas ksmnn
lineer operatörüne göre kompakt
ise
5.8.1 − 5.8.5
snr-de§er-geçi³
probleminin spektrumu diskrettir ve bu problemin
Ψ+
α
|λ1,α | ≤ |λ2,α | ≤ ....
(her özde§er kat sayda yazlm³tr)
λn,α
olacak biçimde sralanm³
açs içinde kalan ve
özde§erlerinin mutlak de§erleri için,
|λn,α | = 4π 2 n2 + o(n2 ) , n −→ ∞
spat:
A
(5.8.22)
operatörünün kendine e³lenik oldu§u Lemma 5.7.4 de ispatlanm³t. “imdi
A
operatörü için Teorem 3.13.4' in ³artlarnn sa§land§ gösterilecektir.
A
operatörünün özde§erleri için Teorem 5.5.1 de elde edilen,
Sn =
πn
1
+ O( )
2
n
(5.8.23)
101
asimptotik formül gere§i,
µ
λn =
Sn2
=
bulunur. Bu durumda
¶2
1
π 2 n2
πn
+ O( )
=⇒ λn =
+ O(1) (λ = s2 )
2
n
4
α < O(1) < β
olmak üzere
π 2 n2
π 2 n2
+ α ≤ λn ≤
+β
4
4
olacak ³ekilde
α,β∈R
saylar bulunur. Buradan,
X
X
1 ≤ N+ (r, A) ≤
π 2 n2
+β≤r
4
1
(5.8.24)
π 2 n2
+α≤r
4
elde edilir. Sonuncu e³itsizlikten,
¯#
¯#
"¯r
"¯r
¯ 4(r − β) ¯
¯ 4(r − α) ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ≤ N+ (r, A) ≤ ¯
¯ =⇒
2
2
¯
¯
¯
¯
π
π
¯¸
¯¸
·¯
·¯
¯2p
¯
¯ √
¯
¯
¯ ≤ N+ (r, A) ≤ ¯ 2 r − α¯
r
−
β
¯π
¯
¯π
¯
bulunur. Burada
[|.|]
ile reel saynn tam de§eri gösterilmi³tir. Di§er taraftan her
reel says ve yeteri kadar büyük
√
r−M =
√
r
M ∈R
pozitif reel says için,
r
r
µ
¶
√
√
M
1
1
1−
= r 1 + O( ) = r + O( √ ), r −→ ∞
r
r
r
asimptotik e³itli§i sa§land§ndan sonuç itibariyle
√
1
2 r
+ O( √ ), r −→ ∞
N+ (r, A) =
π
r
asimptotik e³itli§i bulunur. O halde bu son ifadeden
(5.8.25)
102
lim
r −→ ∞
N+ (r(1 + ε), A)
=
N+ (r, A)
ε −→ 0
2
lim
r −→ ∞
ε −→ 0
=
p
lim
r −→ ∞
2
√
r(1 + ε) + O( √ 1 )
r(1+ε)
√
1
√
2 r + O( r )
1 + ε + O( 1r )
=1
2 + O( 1r )
(5.8.26)
ε −→ 0
bulunur. O halde Teorem 3.13.4 gere§i
lim
r−→∞
0<α<
π
olacak ³ekildeki her
2
N+ (r, α, A + B1 )
=1
N+ (r, A)
α says için,
(5.8.27)
elde edilir. Buradan
N+ (r, α, A + B1 ) = N+ (r, A) + o(N+ (r, A)) =
2
√
r
π
√
+ o( r), r −→ ∞ (5.8.28)
bulunur.
L = A + B1
için
L
operatörünün spektrumu diskret oldu§u için
operatörünün
Ψ+
α
0<α<
π
' yi sa§layan her
2
α
açs içerisinde kalan özde§erleri mutlak de§erlerinin artmasna
göre sralanabilir. Yani bu özde§erler,
|λ1,α | ≤ |λ2,α | ≤ |λ3,α | ≤ ...
³eklinde (her özde§er kat sayda yazlmak üzere) numaralandrlabilir. O halde
5.8.28
formülünden
n=
2
p
q
|λn,α |
+ o( |λn,α |)
π
(5.8.29)
elde edilir. E³itli§in her iki tarafnn karesi alnp düzenlenirse,
π 2 n2 = 4|λn,α | + o(|λn,α |)
(5.8.30)
103
bulunur. Dolaysyla,
π 2 n2 = 4|λn,α | + an |λn,α |
olmak üzere
limn−→∞ an = 0
olacak ³ekilde
{an }
(5.8.31)
reel saylar dizisi bulunabilir.
Buradan
|λn,α | =
π 2 n2
=⇒ |λn,α | = 4π 2 n2 + o(n2 ) , n −→ ∞
4 + an
asimptotik formülü bulunur. Böylece
5.8.22
(5.8.32)
formülü ispat edilmi³ olur.
Teorem 5.8.3. Lemma 5.8.1' in ³artlar sa§land§nda
5.8.1 − 5.8.5
snr-de§er-geçi³
probleminin spektrumu diskrettir ve
|λ1 | ≤ |λ2 | ≤ |λ3 | ≤ ...
olacak ³ekilde numaralanm³ (her özde§er kat sayda yazlmak üzere)
λn
özde§erleri
için,
λn = 4π 2 n2 + o(n2 ) , n −→ ∞
(5.8.33)
asimptotik formülü geçerlidir.
spat:
Teorem 5.8.2 gere§i
operatörünün
Ψ+
α
0 < α <
π
³artn sa§layan her
2
α
says için
açsnn d³nda kalan özde§erlerinin says sonludur. Bu sayy
∞
A + B1 operatörünün özde§erlerini ise {λn }∞
n=1 ile gösterirsek, {λn }n=1
λn+kα = λn,α ,
olacak ³ekilde sralayabiliriz.
sabitle³tirirsek ve
5.8.34' den
A + B1
K 0 = K α0
0 < α <
n = 1, 2, ...
π
olacak ³ekilde key
2
Kα ile
özde§erlerini,
(5.8.34)
α0
saysn alarak
ile gösterirsek bir önceki teoremdeki 5.8.32' den ve
A + B1 operatörünün mutlak de§erlerinin özde§erleri için,
|λn | = |λn−K0 ,α | = 4π 2 (n − K0 )2 + o((n − K0 )2 )
= 4π 2 n2 + o(n2 ) , n −→ ∞
(5.8.35)
104
asimptotik formülünü bulmu³ oluruz.
{λn } özde§erlerinin asimptoti§ini bulmak için önce, Reλn
asimptoti§ini bulaca§z.Yine Teorem 5.8.1 gere§i
n ≥ nα oldu§unda,
olacak ³ekilde
Reλn
> cos α,
|λn |
nα do§al says mevcuttur.
cos α ≤ lim inf
n→∞
0 ≤ lim inf
n−→∞
elde edilir.
α (0 < α <
limite geçersek,
0<α<
ve
Imλn reel say dizilerinin
π
olacak ³ekildeki her
2
α
için
Imλn
< sin α,
|λn |
Son e³itsizlikten.
Reλn
Reλn
≤ lim sup
≤ 1,
n−→∞
|λn |
|λn |
Imλn
Imλn
≤ lim sup
≤ sin α
n−→∞
|λn |
|λn |
π
) says key oldu§undan son e³itsizlikten
2
Reλn
=1
n−→∞ |λn |
lim
ve
α −→ 0
almakla
Imλn
=0
n−→∞ |λn |
lim
e³itliklerini elde ederiz. Bu e³itliklerden ise srasyla,
Reλn = |λn | + o(|λn |) = 4π 2 n2 + o(n2 )
ve
Imλn = o(|λn |) = o(n2 )
asimptotik e³itlikleri bulunur. Son iki e³itlikten kolayca
λn = 4π 2 n2 + o(n2 ) , n −→ ∞
(5.8.36)
asimptotik formülü elde edilir.
Teorem 5.8.4.
E§er
W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1)
5.8.1 − 5.8.5
B : L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1) −→ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
uzayndan
L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
uzayna kompakt dönü³üm ise
snr-de§er-geçi³ probleminin spektrumu diskrettir ve
olacak ³ekilde sralanm³ (her özde§er kat sayda yazlmak üzere)
λn = 4π 2 n2 + o(n2 ) , n −→ ∞
asimptotik formülü geçerlidir.
operatörü
|λ1 | ≤ |λ2 | ≤ ...
{λn } özde§erleri için,
(5.8.37)
105
spat: Özel olarak
operatörü için
Bu = q(x)u
olmak ³artyla
5.8.6 − 5.8.7
e³itli§iyle tanml A
5.8.1 teoreminin ³artlar sa§lanaca§ için 5.8.2 teoremi gere§i,
R(λ, A) : H −→ H1
operatörü snrl olacaktr. Di§er taraftan,
B : W22 (−1, 0) ⊕ W22 (0, 1) −→ L2 (−1, 0) ⊕ L2 (0, 1)
5.8.19 − 5.8.20
e³itli§iyle tanml
B1 : H1 −→ H
operatörü kompakt oldu§u için
operatörüde kompaktr. O halde
B1 R(λ, A) : H −→ H
operatörü kompaktdr.
Yani B1 lineer operatörü A lineer operatörüne göre kompaktdr. Dolaysyla
problemi için
5.8.4 Teoreminin ³artlar sa§lanr.
Bu da ispat tamamlar.
5.8.1 − 5.8.5
6. SONUÇ
Bu yüksek lisans tez çal³masnda ,
u00 (x) + q(x)u(x) + (Bu)(x) = λu(x),
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
diferansiyel-operatör denkleminden,
u(−1) = 0
u0 (1) = λu(1)
snr ³artlarndan ve de
x = 0 süreksizlik noktasndaki
u(+0) = δu(−0)
u0 (+0) = γu0 (−0)
geçi³ ³artlarndan olu³an snr-de§er-geçi³ probleminin baz spektral özellikleri incelenmi³tir.
Matematik zi§in farkl ziksel yaplara sahip olan iki maddesi arasndaki bir çok iletim
(s ve madde iletimi) problemleri incelenirken snr ³artlar ile birlikte geçi³ ³artlar da
ortaya çkmaktadr. Fakat bizim problemimizdeki en belirgin fark geçi³ ³artlarnn yan
sra denklemde
B
soyut lineer operatörün bulunmasdr.
B
operatörüne örnek olarak,
Bu = p(x)u0 (x) + q(x)u0 (x),
Bu = p(x)u0 (c1 ) + q(x)u0 (c2 ), c1 , c2 ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] verilebilir.
Tezde bulunan sonuçlar teorik olmasna ra§men, giri³ bölümünde de belirtildi§i gibi
mekanik ve zi§in bir çok somut problemlerinin analitik ve yakla³k çözümlerinin
bulunmasnda uygulanabilir.
Sonuç olarak tez çal³mamzda inceledi§imiz problem bir çok yönde genelle³tirilebilir.
Örne§in tezde uygulad§mz yöntemlerle yüksek mertebeden diferansiyel-operatör
denklemlerden ve daha genel snr ³artlarndan olu³an snr de§er problemleri de ara³trlabilir.
107
KAYNAKLAR
AKDO‡AN, Z., DEMRC, M. AND MUKHTAROV, O.SH., 2007. Normalized
Eigenfunction of Discontinuous Sturm-Liouville Type Problem with Transmission
Conditions , Applied Mathematical Sciences, Vol. 1, no.52,2573-2591.
AKDO‡AN,
Z.,
DEMRC,
M.
AND
MUKHTAROV,
O.SH.,
2005.
A
Discontinuous Sturm-Liouville Problems with Eigenparameter-Dependent Boundary
and Transmissions Conditions, Acta Applicandae Mathematicae, 86.329-344.
ALTINI“IK, N., 1998. Snr “artlarnda Özde§er Parametresi Bulunduran Süreksiz
Katsayl Snr De§er Problemi Doktora Tezi, Ondokuz Mays Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü , Samsun.
ALTUNER, B., 2007. Bir Süreksiz Sturm-Liouville Probleminin Baz Temel Özellikleri
Yüksek Lisans Tezi, Gaziosmanpa³a Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü , Tokat.
ATKINSON, F.V., 1964. Discrete and Continuous Boundary Problems. Academic press,
New York London.
BINDING, P.A.,
BROWNE, P.J. AND WATSON, B.A.,
2002. Sturm-Liouville
Problems with Eigenparameter Dependent Boundary Conditions, Proc. Royal Soc.
Edinburg, 127A, 1123-1136. Appl. Math. 148, 147-168.
BINDING,
P.A.
,
BROWNE,
P.J.,
1997.
Oscillation
Theory
for
Indenite
Sturm-Liouville Problems with Boundary Conditions Rationallay Dependent on the
Eigenparameter, II, J. Comput. Appl. Math. 148, 147-168.
BIRKHOFF, GARRETT AND ROTA, GIAN-CARLO, 1989. Ordinary Differential
Equations, Cambridge, Massachusetts.
BIRKHOFF, G.D., 1908. On the Asymptotic Character of the Solution of the Certain
Linear Differential Equations Containing Parameter, Trans. Amer. Math. Soc. , 9,
p.219-231.
108
BIRKHOFF, G.D., 1908. Boundary Value and Expantion Problems of Ordinary Linear
Differential Equations, Trans. Amer. Math. Soc. , 9, p.373-395.
DEMR, H., 1999. Bir Diferansiyel Operatör Denklem için Snr De§er Problemi Doktora
Tezi, Ondokuz Mays Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü , Samsun.
FULTON, C.T., 1977. Two-point Boundary Value Problems with Eigenvalue Parameter
Contained in the Boundary Conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburg, 77A, p. 293-308.
FULTON, C.T.,
1980. Singular Eigenvalue Problems with Eigenvalue Parameter
Contained in the Boundary Conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburg, 87A, 1.
GOHBERG, I.C., KREIN, M.G., 1969. "Introduction to The Theory of Linear
Non-Selfadjoint Operators". Amer. Math. Soc. , Providence.
HAYIRLIO‡LU, G., 2005. Geçi³ “artlarnda Özde§er Parametresi Bulunduran Süreksiz
Sturm-Liouville
Probleminin
Özde§erleri
Yüksek
Lisans
Tezi,
Gaziosmanpa³a
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü , Tokat.
HINTON, D., 1970. An Expansion Theorem for in Eigenbalue Problem with Eigenvalue
Parameter Contained in the Boundary Condition, Quart. J. Math. Oxford(2), 30, 34-42.
KADAKAL, M., 2000. Snr “artlarnn Birinde Özde§er Parametresi Bulunduran
Regüler Snr-De§er-Geçi³ Problemi Doktora Tezi, Ondokuz Mays Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü , Samsun.
KATO, T.,
1966. "Perturbation Theory for Linear Operators",
Springer-Verlag ,
New-York Inc.
KOBAYHASHI, M., 1989. Eigenvalue of Discontinuous Sturm-Liouville problems with
Symmetric, potentials, computers Maths applic. Vol. 18, 357-364 Lang, S, 1983 Real
Analysis (Second Edition), Addision-wesley, Reading Mass.
KURT, A., 2005. Snr ve Geçi³ “artlar ile Verilmi³ kinci Mertebeden Diferansiyel
Operatörün Baz Spektral Özellikleri Yüksek Lisans Tezi, Gaziosmanpa³a Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü , Tokat.
MARKUS, A.S.,
MATSAYEV, V.I.,
1982. Lineer Operatörlerin Spektrumlarnn
Mukayesesi ve Spektral Asimptotikler." Tr. Mosk. Mat. Ob. t.45, s. 133-181(Rusca).
109
MUHTAROV, O.“., 1988. "Geçi³ “artlar Bulunduran ve Esas Ksm Kendine E³lenik
Olan Snr-De§er Probleminin Özde§erlerinin Asimptoti§i" Dep. VNT 03.06.88,
No:4400-B.88, 235 , Moskova (Rusça).
MUHTAROV, O.“., 1988. "Bir Geçi³ Probleminin Baz Spektral Özellikleri", VNT,
No:1773(Moskow).
MUHTAROV, O.“., 1990. "Düzgün fonksiyonlarn geçi³ probleminin özfonksiyonlar
ve özfonksiyonlara ba§lanm³ fonksiyonlar üzerine açlm",Nekotorie vopros teor.
Nelin. Analiz.vp II, 103-115.
MUHTAROV, O.“., 1998. "Bir Geçi³ Probleminin Özde§erlerinin Asimptotik Davran³
", zv.AN Az. SSR,Ser. Fz-techn. Mat.Nauk,No.3,13-17.
MUKHTAROV, O.SH., 1998. "Fold Completeness for Discontinuous Bondary Value
Problem with Spectral Parameter in the Boundary and Transmission Conditions"
Turkish Journal of Mathematics.
MUKHTAROV, O.SH., 1994 "Discontinuous Boundary Value Problem with Spectral
Parameter in Boundary Condition",Tr.J. of Mathematics,18,183-192.
MUKHTAROV, O.SH., DEMR, H., 1999. "Coersiveness of the Discontinuous Initial
Boundary Value Problem for Parabolic Equation". Israel Journal of Mathematics, Vol.
114, Pages 239-252.
MUKHTAROV,
O.SH.,
KANDEMR,
M.
AND
KURUO‡LU,
N.,
2002.
Distribution of eigenvalues for the Discontinuous boundary-value problem with
functional-manypoint conditions. Israel Journal of Mathematics 129., 143-156.
MUKHTAROV, O.SH. AND YAKUBOV, S., 2002. Problems for Ordinary Differential
Equations with Transmission Conditions, Applicaple Analysis, Vol 81, 1033-1064.
MUKHTAROV, O.SH., KADAKAL M., MUHTAROV, F.S., 2004. On Discontinuous
Sturm-Liouville Problems with Transmission Conditions, J. Math. Kyoto Univ., Vol.
44, Number 4, 779-798.
NAIMARK, M.A., 1967. Linear differential operators, Ungar, Newyork.
110
OKUDUCU, H., 2003. Lineer Diferansiyle Denklem, Snr “artlar ve Geçi³ “artlarnn
Üretti§i Diferansiyel Operatörün Özde§eri, Yüksek Lisans Tezi. (Gaziosmanpa³a
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü) .
OLVER, F.W.J., 1974. Introduction to asymptotics and special functions. Academic pres.
New York and London.
RASULOV, M.L., 1967. Methods of Contour Integration, North Holland Publishing
Company, Amsterdam.
RUSSAKOVSKIY, E.M., 1975. "Snr “artlar Özde§er Parametresinden Polinomal
“ekilde Ba§ml Olan Snr-De§er Probleminin Operatör Yorumu", Funk. Analiz. I eqo
priloj, 9, No.4 Sayfa 91-92.
SCHNEIDER, A., 1974. A Note on Eigenvalue Problems with Eigenvalue Parameter in
the Boundary Conditions , Math. Z. 136, 163-167.
SHKALIKOV, A.A.,
1983. Boundary Value Problems for Ordinary Differential
Equations with a Parameter in Boundary Conditions, Trudy., Sem., Imeny, I.G.
Petrovsgo, 9, 190-229.
TAMARKIN, J.D.,
1928. "Some General Problems of The Theory of Ordinary
Linear Differential Equations And Expansions of An Arbitary Function in Series of
Fundamental Functions." Math. Z., 1-54,27.
TIKHONOV, A.N. AND SAMARSKII, A.A., 1963. Equations of Mathematical Physics,
Pergamon, Oxford and New York.
TITCHMARS, E.C., 1962. Eigenfunctions Expansion Associated with Second Order
Differential Equations I, second edn. Oxford Univ. press, London.
TRIEBEL, H., 1978. "Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators."
North-Holland , Amsterdam.
TUNÇ, E. AND MUKHTAROV, O.SH., 2004. Fundamental solutions and eigenvalues
conditions, Applied Mathematics and Computation. Vol. 157, p. 347-355.
ULUÇAY, C., 1971. Fonksiyonlar Teorisi ve Riemann Yüzeyleri, A.Ü. Fen Fakültesi,
Ankara.
111
WALTER, J., 1973. Regular Eigenvalue Problems with Eigenvalue Parameter in the
Boundary Conditions, Math. Z., 133, 301-312.
YAKUBOV, Y., 1993. "Coerciveness with a Defect in The Parameter of a Boundary Value
Problem Arising in Stratied Fluid Wave Motion", Journal D'Analyse Mathematque,
Vol.61.
YAKUBOV, S.Y., 1994. Completeness of Root Functions of Regular Differential
Operators, Longman, Scientic and Technical.
YAKUBOV, Y., 1998. "Irregular Boundary Value Problems for Ordinary Differential
Equations", Analysis, R.Oldenburg Verlag München 18, 359-402.
YAKUBOV, S.Y. AND YAKUBOV Y.Y., 1999. Abel Basis of Root Functions of Regular
Boundary Value Problems, Math. Nachr. 197, 157-187.
YAKUBOV, S.Y. AND YAKUBOV Y.Y.,
2000. Differantial Operator Equations
(Ordinary and Partial Differential Equations), Chapman and Hall/CRC, Boca Raton.
ZETTL, A., 1968. Adjoint and Self-adjoint Boundary Value Problems with Interface
Conditions, SIAM J. Appl. Math. 16, 851-859.
112
ÖZGEÇM“
Ki³isel Bilgiler
Ad Soyad
: Kadriye AYDEMR
Do§um Tarihi ve Yer : 02.09.1985 Sinop
Medeni Hali
: Bekar
Yabanc Dili
: ngilizce
Telefon
: 0530 883 17 67
E-posta
: [email protected]
E§itim:
Derece
E§itim Birimi
Mezuniyet Tarihi
Tokat Gaziosmanpa³a Üniversitesi
2010
Lisans
Ondokuz Mays Üniversitesi
2007
Lise
Üsküdar Kandilli Kz Lisesi
2002
Yüksek Lisans
Yaynlar:
1.
Muhtaro§lu, O. and Aydemir, K., Denkleminde Lineer Operatör Bulunduran Bir
Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Özde§erleri, XXII. Ulusal Matematik Sempozyumu, 31A§ustos-03
Eylül 2009, “irince Matematik Köyü zmir.
lgi Alanlar
Gezi, sinema, kitap okumak, matematikle ilgili geli³meleri takip etmek, yemek yapmak.

G Ü V E N L İ K

Abamec-EC böcek ilacı

Document 5039561

sayı =70037391-51.01_/`_ 9 44] - erzurum

QT-U601 Kullan›m K›lavuzu - Bluelight

2014 - Ankos

İtalyan Katılımcılar - Ankara Sanayi Odası

milson2013 - Mehmet Adem Yıldız

" ,f )~. - mersin - mezitli ilçe millî eğitim müdürlüğü

bakır ve krom iyonlarını adsorplayan kitosan kaplanmış pamuklu

nl m ü hend is l ik . fak ü ltes i mekatron ık m ü hend is l iğ i bolumu