Araştırma Soruları-2

YÜKSEK MATEMATİK – 1
ARAŞTIRMA SORULARI – 2
A.) Zincir Kuralı, Kapalı Fonksiyon ve Tam Diferansiyel
1. Aşağıdaki bağıntılarla tanımlanan fonksiyonlar için
u
u
ve türevlerinihesaplayınız :
s
t
a. u = xysinz , x = 2s + t , y = s – t , z = st
b. u = (x2 + y2 + z2)1/2 , x = 3essint , y = 3escost , z = 4es
c. u = ln(x2 + y2 + z2) , x = s cost , y = s sint , z = t
2. Aşağıdaki eşitliklerle tanımlanan fonksiyonlar içinur , u veu türevlerinihesaplayınız :
a.u  xy  yz  xz,x  er cos,y  er sin ,z  er
b.u  x2  y2  z 2 ,x  r sin cos,y  r sin sin ,z  r cos
3.t  f (u, v, w)türevlenebilirbirfonksiyonveu  x  y,v  y z,w  z xolsun.
dt dt dt
Bunagöre,    0olacağınıgösteriniz.
dx dy dz
4. Aşağıdaki bağıntılarla tanımlanan kapalı fonksiyonların karşılarında yazılı olan noktalardaki kısmi
türevlerinin hesaplayınız:
a.sin(x  y)  sin(y z)  sin(x  z)  0,( ,  ,  )
b.x 3  y3  z3  5 xyz
5. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında yazılı olan noktalardaki L(x,y) lineerleştirilmişini bulunuz:
a. f(x,y) = x3y4 ,
P(1,1) ve Q(0,0)
b. f(x,y) = e2y-x ,
P(0,0) ve Q(1,2)
c. f(x,y,z) = arctan(xyz) ,
P(1,1,1)
6. Bir dikdörtgenin bir kenarı 10 cm ve diğer kenarı da 24 cm’dir. Bu dikdörtgenin kısa kenarı 4mm
arttırılır, uzun kenarı da 1 mm kısaltılırsa dikdörtgenin köşegen uzunluğundaki değişimin ne olacağını
tam diferansiyel kullanarak hesaplayınız.
B.) Yönlü Türevler, Gradiyent, Teğet Düzlem ve Taylor Serisi
1. Aşağıda verilen fonksiyonların karşılarında yazılı olan v vektörü yönündeki türevinin verilen
noktadaki değerini bulunuz:
a. f ( x, y, z)  x2  y 2  3z 2 ,v  i  j  k ,P(1,1,1)
b. f ( x, y, z)  xy  yz  zx,v  i  2 j  2k ,P(1,1,3)
2. Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalardaki yönlü türevlerinin en küçüğünü ve en büyüğünü
bulunuz:
a. f ( x, y, z)  ln( x2  y 2 1)  sinh( xyz),P(1,1,0)
b. f ( x, y, z)  xy 2 z 3 P(2, 2, 2)
3.Bir f ( x, y) fonksiyonununP(1, 2)noktasındaa  i  j yönündekitürevi2 2, b  2 jyönündeki
türevi 3'tür.Bu fonksiyonunc  i  2 j yönündekitürevinibulunuz.
4. f ( x, y, z)x2  3yz  5 fonksiyonununkoordinateksenleriyleeşitaçılar yapanvektör yönündeki
türevinibulunuz.
5.f(x,
 y)cos(xy)ifadesini(0,0)noktasıcivarında3.mertebedenTaylorserisineaçınız.
6. Aşağıdaki yüzeylerin karşılarında yazılı olan noktalardaki teğet düzlemlerinin denklemini bulunuz:
a.xyz  1,P(1,1,1)
b.x 2  2 xy  y 2  z 2  7,P(1, 1,3)
c.z  y  x ,P(1, 2,1)
7.x2  4 y2 16z 2  2xy  12 yüzeyininhanginoktalarındakiteğetdüzlemlerixzdüzle mineparaleldir?
x2 y 2
  paraboloidineüzerindekibirP0 ( x0 , y0 , z0 )noktasındançizilenteğetdüzlemin
a 2 b2
2 xx 2 yy
denkle min inc( z  z0 )  2 0  2 0 olacağınıgösteriniz.
a
b
8.cz

Download Report