1 - www.omersencar.com

ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
-1-
UZAY GEOMETRİSİ - 2
Uzay tüm noktaların kümesidir.Düzlem noktalar kümesidir.
Uzay 3 boyutludur.Düzlem 2 boyutludur.
Örneğin ; kare düzlemsel şekil olmasına karşılık küp düzlemsel şekil değildir.
Düzlem uzayın alt kümesidir.Bir E düzlemi Eni ve boyu yönünde sınırsızdır.
Bir doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal noktalar denir.Bir doğru üzerinde bulunmayan
noktalara doğrusal olmayan noktalar denir.
Bir düzlem üzerinde bulunan noktalara düzlemsel noktalar denir.Bir düzlem üzerinde bulunmayan
noktalara düzlemsel olmayan noktalar denir.
AKSİYOM:
2 noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
UYARI:
Tek noktadan sonsuz sayıda doğru geçer ki, bu doğru demetinin oluşturur.
İki doğru düzlemde bir tek noktada kesişir.
ÖZELLİK-1)
Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.
ÖZELLİK-2)
Bir doğru ve doğrunun dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
ÖZELLİK-3)
Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.
ÖZELLİK-4)
Paralel iki doğru bir düzlem belirtir.
ÖZELLİK-5)
Bir düzlem içindeki doğruya , düzleme ait bir noktadan bir ve yalnız bir dik
doğru çizilebilir.
ÖZELLİK-6)
Bir d doğrusu E düzlemine dik ise doğrunun düzleme dik olduğu noktadan geçen,
düzlem içindeki her doğruyada diktir.
ÖZELLİK-7)
Farklı iki düzlemin arakesiti(kesişimi) varsa bir doğrudur.
ÖZELLİK-8)
Bir doğru sonsuz çoklukta düzlem içindedir.
ÖZELLİK-9)
Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa bu noktalardan geçen doğru,iki düzlemin
arakesit doğrusudur.
ÖZELLİK-10)
İki düzlemin doğrusal olmayan üç noktası ortak ise bu düzlemler çakışıktır.
İki doğrunun doğrusal olmayan iki noktası ortak ise bu doğrular çakışıktır.
ÖZELLİK-11)
İki düzlemin ortak noktaları yoksa bu iki düzlem paraleldir.
ÖZELLİK-12)
Paralel iki doğrudan birini kesen doğru diğerini de keser.
ÖZELLİK-13)
Bir doğruya dışındaki bir noktadan ancak bir paralel doğru çizilebilir.
ÖZELLİK-14)
Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir.
ÖZELLİK-15)
Bir doğrunun bir düzlemle bir tek ortak noktası varsa doğru düzlemi deler(keser).
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
-2-
ÖZELLİK-16)
Paralel iki düzlemin üçüncü bir düzlemle arakesitleri paralel iki doğrudur.
ÖZELLİK-17)
Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir.
ÖZELLİK-18)
Bir doğru ile düzlemin ortak bir noktası varsa doğru düzlemi keser.Bu doğruya
düzlemdeki ayağı veya izi denir.
ÖZELLİK-19)
Bir doğru ile bir düzlemin ortak en az iki noktası varsa doğru düzlemin içindedir.
ÖZELLİK-20)
Bir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa doğru düzleme paraleldir.
ÖZELLİK-21)
Kenar doğruları ortak ve düzlemsel olmayan iki yarı düzlem ile ortak kenar
doğrusunun birleşimine iki düzlemli açı denir.
ÖZELLİK-22)
Birbirinden farklı 8 doğru bulundukları düzlemi en fazla 37 bölgeye ayırır.
ÖZELLİK-23)
İki düzlemli açının d arakesit doğrusuna dik olan her yüz içerisindeki [AB ve
[AC 'nın belirttiği açıya  x  iki düzlemli açının ölçek açısı denir.
UYARI:
 ^ 
İki düzlemli açı :  E,d,F 




E ve F yarı düzlemleri iki düzlemli açının yüzleridir.
d ; E ile F yarı düzlemlerin arakesit doğrusudur.
ÖZELLİK-24)
Farklı düzlemlerde bulunan paralel olmayan ve kesişmeyen doğrulara
Aykırı doğrular denir.
Aykırı doğrular düzlem belirtmez.
ÖZELLİK-25) Çakışık doğrular düzlem belirtmez.
UYARI:
E ve F düzlemleri için ;
d  E , k  F ve d  k = 
 d ve k doğruları aykırı doğrulardır.
ÖZELLİK-26)
Üç farklı nokta ve bir doğru ile dışındaki bir nokta her zaman bir
düzlem belirtir.Ancak,
Çakışık iki doğru her zaman bir düzlem belirtmez çünkü;
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
ÖZELLİK-27)
R3 'te paralel iki düzlem üçüncü bir düzlemle kesilirse oluşan arakesit
ÖZELLİK-27)
doğrularıda birbirine paraleldir.
R3 'te iki doğru her zaman bir düzlem belirtmeyebilir .
Çünkü;
Doğrular çakışık olabilir,
veya
Doğrular aykırı olabilir.
ÖZELLİK-27)
Uzayda farklı 8 nokta en fazla C  8,3  = 56 tane düzlem belirtir.
ÖZELLİK-28)
Düzlem  R2 = RxR
Uzay
 R3 = RxRxR
ile gösterilir.
UZAY AYIRMA AKSİYOMU
Bir düzlemin iki yanında kalan uzaya ait noktalar şu koşulları sağlar:
a) Bu noktalar kümesi konvekstir.
b) Düzlemin farklı iki yanında bulunan A ve B gibi iki noktayı birleştiren doğru
parçası düzlemi keser.
Dördü aynı düzlemde olmayan dört nokta uzay belirtir.
Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.
Uzay 3 boyutludur.Boyut : Eni(genişliği) , boyu ve yüksekliği(derinliği)
ÖZELLİK-1)
Uzayda verilen farkı E ve E düzlemleri için;
1
2
Düzlemler bir doğru boyunca kesişebilir.
E  E =d
1
2
Düzlemler dik kesişebilir.
E  E
1
2
Düzlemler paralel olabilir.
Düzlemle arasındaki açı dar açı olabilir.
İki düzlem bir noktada kesişemez.
E // E
1
2
-3-
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
ÖZELLİK-2)
Uzayda, bir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir.
ÖZELLİK-3)
Farklı iki düzlem uzay belirtir.
ÖZELLİK-4)
Bir düzlem ile dışındaki bir nokta düzlem belirtir.
ÖZELLİK-5)
Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerinede paraleldir.
ÖZELLİK-6)
Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerinide keser.
ÖZELLİK-7)
Aynı doğruya dik olan düzlemler paraleldir.
ÖZELLİK-8)
Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru diğerine ya dik
ya da dik durumludur.
R3 'te bir doğru bir düzlemi kesebilir.
ÖZELLİK-9)
-4-
ÖZELLİK-10) R3 'te bir doğru bir düzleme paralel olabilir.
ÖZELLİK-11) R3 'te iki doğru paralel değilse aykırı olabilir.
ÖZELLİK-12) R3 'te bir doğruya paralel olan sonsuz sayıda doğru vardır.
ÖZELLİK-13) R3 'te bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizilir.
ÖZELLİK-14) R3 'te iki düzlemin ortak bir noktası varsa düzlemler çakışık ya da bir doğru
boyunca kesişebilir.
ÖZELLİK-15) R3 'te paralel iki düzlemin bunlara paralel olmayan üçüncü bir düzlemler
arakesitleri paralel iki doğrudur.
ÖZELLİK-16) R3 'te paralel iki düzlemden birini kesen her doğru diğer düzlemi de keser.
ÖZELLİK-17) R3 'te paralel iki düzlemden birine paralel olan her doğru diğerine paralelde
olabilir ya da diğer düzlem üzerinde olabilir.
ÖZELLİK-18) R3 'te kesişen iki düzlemden birine paralel olan her doğru diğerini keser veya
diğerine paralel olabilir.
ÖZELLİK-19) R3 'te farklı 7 noktadan en çok C 7,3 = 35 farklı düzlem oluşturur.


ÖZELLİK-20) Bir düzlem ve dışındaki bir doğru R3 belirtir.
ÖZELLİK-21) R3 'te paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser.
ÖZELLİK-22) R3 'te paralel iki düzlemden eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem üzerindedir.
ÖZELLİK-23) R3 'te bir doğru düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara paralel değildir.
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
-5-
ÖZELLİK 24-) R3 'te aynı düzleme paralel olan iki farklı düzlem her zaman
birbirine paraleldir.
ÖZELLİK 25-) R3 'te aynı düzleme paralel olan farklı iki doğru her zaman
birbirine paralel değildir.
Çünkü; doğrular düzleme paralel fakat aykırı olabilirler.
ÖZELLİK 26-) R3 'te aynı doğruya paralel olan farklı iki düzlem her zaman
birbirine paralel değildir.
Çünkü; aynı doğruya paralel olan düzlemler kesişebilir.
ÖZELLİK 27-) R3 'te aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru her zaman
birbirine paraleldir.
ÖZELLİK 28-) R3 'te aynı düzleme dik olan iki farklı doğru her zaman
birbirine paraleldir.
ÖZELLİK 29-) R3 'te farklı iki noktadan yalnız bir doğru geçer.
ÖZELLİK 30-) R3 'te bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer.Buna doğru demeti
adı verilir.
ÖZELLİK 31-) R3 'te farklı iki noktadan bir çok düzlem geçer.
ÖZELLİK 32-) R3 'te farklı üç noktadan yalnız bir düzlem geçer.
ÖZELLİK 33-) R3 'te kesişen iki doğru üzerinde doğrusal olmayan üç nokta vardır.Bu üç nokta
bir düzlem belirtir.Bu düzlem kesişen doğru içine alır.
ÖZELLİK 34-) R3 'te iki düzlem birbirine dikse bu düzlemden birinin içinde olan her doğru,öteki
düzleme dik olmak zorunda değildir.
Çünkü;
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
-6-
ÖZELLİK 35-) Bir düzlem içindeki üç doğru bir noktada kesişebilir.
ÖZELLİK 36-) Bir düzlem içindeki üç doğru birbirini ikişer ikişer farklı noktalarda kesebilir.
ÖZELLİK 37-) Bir düzlem içindeki üç doğrudan ikisi paralel ise üçüncü doğru onları kesebilir.
ÖZELLİK 38-) Bir düzlem içindeki üçüncü doğru kesişen iki doğrudan yalnız birine paralel olur,
diğerini keser.
ÖZELLİK 39-) Bir düzlem içindeki üç doğru birbirine paralel olabilir.
ÖZELLİK 40-) R3 'de bir doğru paralel düzlemlerden birini keserse diğerini de keser.
ÖZELLİK 41-) R3 'de bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse diğerini de keser.
ÖZELLİK 42-) R3 'de paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru diğerini dik kesmeyebilir
Hiç kesmeyebilir.
ÖZELLİK 43-) R3 'de düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme paralel olan tek
bir düzlem vardır.
ÖZELLİK 44-) R3 'de düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan birden
fazla düzlem olabilir.
ÖZELLİK 45-) R3 'de paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.
ÖZELLİK 46-) R3 'de bir düzlem paralel düzlemden birini keserse diğerini de keser.
ÖZELLİK 47-) R3 'de herhangi üçü paralel olmayan üç düzlem için; iki düzlem paralel ise üçüncü
düzlem bunların ikisini de bir doğru boyunca keser.  arakesit doğrusu 
ÖZELLİK 48-) R3 'de farklı iki düzlem uzayı en çok dört bölgeye ayırır.
ÖZELLİK 49-) R3 'de kesişen iki doğruyu içine alan yalnız bir düzlem vardır.
ÖZELLİK 50-) R3 'de iki düzlemin paralelliği için gerek ve yeter koşul, birinin içinde kesişen iki
doğrunun diğer düzleme paralel olmasıdır.
ÖZELLİK 51-) R3 'de iki düzlemin dik olması için gerek ve yeter koşul birinin içindeki bir doğrunun
diğer düzleme dik olmasıdır.
ÖZELLİK 52-) R3 'de bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz çoklukta düzlem çizilebilir.
ÖZELLİK 53-) R3 'de bir doğrunun üzerindeki bir noktadan bu doğruya sonsuz çoklukta
dikme çizilebilir.
ÖZELLİK 54-) R3 'de paralel iki doğru bir ve yalnız bir düzlem belirtir.
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
-7-
ÖZELLİK 55-) Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlemde ise bu doğru
düzlemin alt kümesidir.
ÖZELLİK 56-) Aynı düzleme dik iki doğru düzlemseldir.
ÖZELLİK 57-) Paralel iki düzlemin herhangi bir düzlemle arakesitleri paraleldir.
ÖZELLİK 58-) Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa,bir de ortak doğruları vardır.
ÖZELLİK 59-) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen doğrular bir düzlem içindedir.
ÖZELLİK 60-) Paralel iki doğrudan birini kesen doğru diğerini kesmeyebilir.
ÖZELLİK 61-) Paralel doğrulardan birine dik olan doğru diğerine dik olmayabilir.
ÖZELLİK 62-) Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme sadece bir dik doğru çizilebilir.
ÖZELLİK 63-) Düzlemin üzerindeki bir noktadan düzleme sadece bir dik doğru çizilebilir.
ÖZELLİK 64-) Uzayda üç doğru dik kesişebilir.
ÖZELLİK 65-) Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar bir küre belirtir.
ÖZELLİK 66-) Uzayda paralel iki düzlemin arasındaki doğru parçalarının orta noktaları
bir düzlem oluşturur.
ÖZELLİK 67-) Paralel iki doğrunun bir düzlem üzerindeki izdüşümleri iki nokta olabilir.
ÖZELLİK 68-) Paralel iki doğrunun bir düzlem üzerindeki izdüşümleri bir doğru olabilir.
ÖZELLİK 69-) Paralel iki doğrunun bir düzlem üzerindeki izdüşümleri paralel iki doğru olabilir.
ÖZELLİK 70-) R3 'te herhangi üçü paralel olmayan üç düzlem için;paralel iki düzlem üçüncü
bir düzlemi bir doğru boyunca keser.
ÖZELLİK 71-) R3 'te bir düzleme,dışındaki bir noktadan geçen bir tek dik doğru çizilebilir.
ÖZELLİK 72-) R3 'te bir düzleme üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir
tek doğru çizilebilir.
ÖZELLİK 73-) R3 'te bir doğruya dik olan farklı düzlemler paraleldir.
ÖZELLİK 74-) R2 'de farklı üç doğru verilsin.Doğrulardan ikisi bir noktada kesişirse üçüncü
bu noktada bunlara dik olmaz.
ÖZELLİK 75-) R2 'de farklı üç doğru verilsin.Doğrular birbirine paralel olabilir.
ÖZELLİK 76-) R2 'de farklı üç doğru verilsin.Doğrular bir noktada kesişebilir.
ÖZELLİK 77-) R2 'de farklı üç doğru verilsin.Doğrular birbirlerini ikişer ikişer farklı
noktalarda kesebilirler.
ÖZELLİK 78-) R2 'de farklı üç doğru verilsin.Doğrulardan ikisi paralel ise üçüncü bunları
keser.
ÖZELLİK 79-) Aykırı olmayan herhangi iki doğru daima bir düzlem oluşturur.
ÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR
“Başarının sırrı , bilginin ışığı…”
Aşağıdaki konu anlatımları İzzet Baysal Anadolu Lisesi Matematik Öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır.
-8-
ÜÇ DİKME TEOREMİ
1.)
Bir düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme ve düzlemin içindeki bir doğruya birer dikme
çizildiğinde ; iki dikme ayağını bireleştiren doğru düzlemin içindeki doğruya diktir.
AO  E ve AO  d
 OH  d
2.)
AO  E ve OH  d  AH  d
3.)
AH  d , OH  d ve AO  OH  AO  E
DİK İZDÜŞÜMÜ
Bir A noktasından bir E düzlemine çizilen dik doğrunun E düzlemini kestiği A' noktasına,
A noktasının E düzlemi içindeki dik izdüşümü denir.
Bir M nokta kümesinin tüm noktalarının bir düzlem içindeki
dik izdüşümlerinin M' kümesine , M nokta kümesinin
dik izdüşümü denir.
E düzlemi dışında bir nokta A olsun.
[AB]  E ve |AB| < |AC| 'dir. [AC] ve [AD] eğiklerinin E düzlemi üzerindeki izdüşümleri
sırasıyla [BC] ve [BD] olsun.
Dikme eğiklerden kısadır.
|BC| = |BD|  |AC| = |AD| 'dir.
|BC| > |BD|  |AC| > |AD| 'dir.
m  ACB  = x olmak üzere ; [AC] 'nın E düzlemi üzerindeki [BC] dik izdüşümünün uzunluğu:
| BC | = | AC | .cosx
Ölçek açısı x olan iki düzlemden biri üzerindeki bir çokgenin alanı S
dik izdüşüm alanı S' ise; S' = S.cosx
ve diğeri üzerindeki

Download Report