Sayfa 1/2

KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL
(TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ
Alıştırmalar
K a r m a ş ık s a yı s ın ın k u t u p s a l b i ç i m i n i b u l a l ım .
y
z = a + bi
k ar m a ş ık
s a yı s ı n ı n
k ar t e z ye n
bi
k oo r d i n a t l a r ı
z= ( a , b ) d i r.
Ya d a g ö r ü n t ü s ü A
n o k t a s ı d ı r.
i
∣z∣=r= √ a2 +b2
a
∣z∣
b
sin θ=
∣z∣
2) z = 1 − i
θ
1
x
a
⇒
3)
⇒
z = a + bi standart gösteriminde a ve
b n i n e ş i t l e r i ye r i n e ya z ı l ı r s a .
z = r. c o s θ + i . r. s i n θ o l u r.
z = r. ( c o s θ + i s i n θ ) ’ ye
trigonometrik (kutupsal = polar)
g ö s t e r i m d e n i r.
D a h a k ı s a o l a r ak ; z = r. c i s θ b i ç im i n d e
d e g ö s t e r i l i r.
z = ( r , θ ) b i ç im i n d ek i ya z ı m i l e k u t u p s a l
k o o r d i n a t l a r g ö s t e r i l i r.
www.matbaz.com
cos θ=
O
1) z = 1 + i
A
z=
−5 √ 3 5
+ i
2
2
Örnek...1 :
z+ 3 - 2 i = 4+ 2 i k oş u l u n u s a ğ l a ya n z k ar m a ş ık
s a yı s ı n ı n a r g üm e n t i x i s e s e c x n e d i r ?
ARGÜMENT
Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının periyodu 2 π
olduğundan
z = r. c i s θ = r. c i s ( θ + k .2 π ) ( k∈ℤ )
ya z ı l a b i l i r.
B u z s a yı s ı n ı s a ğ l a ya n s o n s u z t a n e a ç ı
v a r d ı r.
" θ + 2k ” a ç ı l a r ı n a z ’ n i n AR G Ü M E N T L E R İ
d e n i r.
0⩽θ ⩽2 π o l a n θ a ç ı s ı n a i s e z k a rm a ş ık
s a yı s ı n ı n E S AS AR G Ü M E N T İ d e n i r.
Ar g ( z ) = Ar g ( a + b i ) = θ
b i ç i m i n d e g ö s t e r i l i r.
Örnek...2 :
z= 2 ( c o s 2 0 − i s i n 2 0 ) i s e z k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n
argümenti kaç derecedir?
UYARI
Ar g ( z ) = Ar g ( a + b i ) = θ i s e tanθ=
b
a
ya z ı l a b i l i r.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
Örnek...3 :
UYARI 2
To p l am a v e ç ık a r m a i ş l e m l e r i n d e
d ö n ü ş üm f or m ü l l e r i k u l l a n ıl a b i l i r.
z= − c o s 7 0 + i s i n 7 0 i s e z k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n
a r g üm e n t i k aç d e r e c e d i r ?
Örnek...5 :
z1 =2.cis180 ve z2 =3.cis720 ve
a) z1 .z2 =?
b ) z51=?
c)
( )
10.z42
=?
z1
Örnek...4 :
KUTUPSAL BİÇİMDE İŞLEMLER
z 1 = r . c i s Ɵ v e z = r . c i s Ɵ o lm ak ü z e r e
b u n l a r ı n ç a r p ı m v e b ö l üm ü n ü k ol a yc a
b u l a b i l m ek i ç i n k a rm a ş ı k s a yı l a r ı n f ar k l ı
b i r g ö s t e r i m i n i b i lm em i z i ş l em l e r i
a n l a m am ı z ı k o l a yl a ş t ı r ı r.
1
1
2
2
2
e i x =cosx+i.sinx d i r.
www.matbaz.com
z= s i n 5 5 − i c o s 5 5 i s e
z k a rm a ş ı k s a yı s ın ın
a r g üm e n t i k aç d e r e c e d i r ?
Örnek...6 :
z1=5cis260 ve z2=2cis170 ise
z31 . z62=?
Buna göre, z1=r1cisƟ1 ve z2=r2cisƟ2 ise
1) z1.z2=r1.r2cis(Ɵ1+Ɵ2)
2) z1n=r1n cis(n.Ɵ1)
3)
z1
r
= 1 cis(Ɵ1−Ɵ2)
z2
r2
o l a r a k h e s a p e d i l i r.
Örnek...7 :
UYARI 1
z1=8cis200 ve z2=2cis100 ise
z31
=?
z62
Arg (z1 .z2 )=Ɵ 1+Ɵ2
Arg (zn1 )=Ɵ n1
Arg (
z1
)=Ɵ1−Ɵ 2
z2
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
Örnek...8 :
Örnek...11 :
y
a ) z1 . z2=?
b)
z1=4cis70 ve z2=4cis10 ise z1 + z2=?
z1
z1
=?
z2
4
600
c ) Arg
()
z41
z22
=?
x
O
700
6
z2
Örnek...12 :
www.matbaz.com
z1=2cis15 ve z2=2cis105 ise z1 − z2=?
Örnek...9 :
a ) z1 . z2=?
z
b ) 2 =?
z1
3
2
c ) Arg ( z1 . z2) =?
Örnek...13 :
∣z+ √ 2−i. √ 2∣=1 e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z k a r m a ş ık
s a yı s ı n ı n a r g üm e n t i e n ç ok k aç d e r e c e
olabilir?
Örnek...14 :
x a ç ıs ı d a r b i r a ç ı o lm ak ü z e r e ,
z= 1 + c o s 2 x + i s i n 2 x i s e A r g ( z) = ?
Örnek...10 :
n
n b i r d o ğ a l s a yı v e z=( √ 3 +i) e ş i t l i ğ i yl e v e r i l e n
z s a yı s ı n e g a t if b i r r e e l s a yı i s e z s a yı s ın ın
e n b ü yü k d e ğ e r i k a ç o l a b i l i r ?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
Örnek...15 :
x a ç ı s ı d a r b i r a ç ı o l m a k ü ze r e
Örnek...16 :
1+i.tanx
ise
i
−5 √ 3 5
z 3 = − 6 1 . i k ar m a ş ık
+
2
2
4
3. z2
Arg (z1 2 ) k aç d e r e c e d i r ?
z3
z 1 = 5 1 − 5 1 . i z2=
A r g ( z) = ?
s a yı l a r ı i ç i n
Örnek...17 :
Alıştırma
1)
Arg (−z)
2)
Arg (z−1)
3)
Arg (̄z )
4)
Arg (−̄z)
5)
Arg (i.̄z)
z=−i √ 3+3 K a r m a ş ık s a yı s ı v e r i l i yo r. Arg (−z−2 )
k aç d e r e c e d i r ?
www.matbaz.com
A r g ( z) = x o l s u n .
A ş a ğ ı d ak i k ar m a ş ık s a yı l a r ı n a r g üm e n t i n i x
t ü r ü n d e n b u l u n u z.
Örnek...18 :
z 1 = c i s 4 0 , z 2 = c i s 1 3 0 i s e ∣z1+z2∣ = ?
Örnek...19 :
6)
Arg (z. ̄
z)
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
A r g ( z− 2 − 2 i )= 4 5 0 e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z
k ar m a ş ık s a yı l a r ın ı n ok t a l a r ı d ü zl em d e
gösteriniz
4/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
UYARI
Örnek...22 :
z o = a + i b k a rm a ş ı k s a yı s ı n ı n d ü zl em d e k i
g ö r ü n t ü s ü K ( a , b ) i s e A r g ( z− z o ) α
k oş u l u n u s a ğ l a ya n z s a yı l a r ı ] K P ya r ı
d o ğ r u s u ü ze r i n d e d i r.
2π
v e Arg (z+1)= π ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n
3
6
z k ar m a ş ık s a yı s ın ı b u l u n u z
Arg (z−1)=
y
P
z0
K(a,b)
α
O
x
Örnek...20 :
2π
e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z
3
k a rm a ş ı k s a yı l a r ı n ı n o k t a l a r ı d ü zl e m d e
gösteriniz
www.matbaz.com
Arg (z−3−5i)=
Örnek...21 :
5π
ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z k ar m a ş ık
3
s a yı l a r ı n ı n o k t a l a r ı d ü zl e m d e g ö s t e r i n i z
Arg (z+3−2i)=
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
3
DEĞERLENDİRME – 1
1)
z=
z
z2
5) z1=6cis56 ve z2=4cis18 ise Arg ( 16 ) =?
−3 √ 3 3
− karmaşık sayısının kutupsal
2
2
koordinatlarını bulunuz.
3)
z . ( 3 i + 4 ) = 5− 1 2 i k o ş u l u n u s a ğ l a ya n z
k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n a r g üm e n t i x i s e
cosecx nedir?
z= − 3 ( c o s 5 0 − i s i n 5 0 ) i s e z k a rm a ş ı k
s a yı s ı n ı n a r g üm e n t i k a ç d e r e c e d i r ?
www.matbaz.com
2)
n b i r d o ğ a l s a yı v e z=(i √ 3 +1) e ş i t l i ğ i yl e
v e r i l e n z s a yı s ı n e g a t i f b i r r e e l s a yı i s e z
s a yıs ın ın e n b ü yük d e ğ e r i k a ç o l a b i l i r ?
7)
∣z−√ 2 +i. √ 2∣=1 e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z
k a rm a ş ık s a yıs ı n ı n a r g ü m e n t i e n a z k a ç
derece olabilir?
8)
4)
z1=4cis32 ve z2=3cis12 ise
z12 .z2 3=?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
n
6)
√3 + 3
k a rm a ş ık s a yıs ı v e r i l i yo r.
2 2
Arg (z 4) k aç d e r e c e d i r ?
z=−i
6/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
9) z1=6cis670 ve z2=8cis1870 ise
5π
7π
v e Arg (z+2)=
eşitliğini
4
4
s a ğ l a ya n z k ar m a ş ık s a yı s ı n ı b u l u n u z ?
∣z1+z2∣ =?
1 2 ) Arg (z−4)=
2π
e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z
3
k ar m a ş ık s a yı l a r ı n ı n ok t a l a r ı d ü zl em d e
g ö s t e r i n i z?
11 ) Arg (z+1−4i)=
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
1 0 ) z 1 = c i s 2 0 , z 2 = c i s 1 4 0 i s e ∣z1−z2∣ = ?
13) Im(z2)=9 koşulunu sağlayan z karmaşık
sayılarını düzlemde gösteriniz?
7/8
KARMAŞIK SAYILAR − 3
( KARMAŞIK SAYI TRİGONOMETRİK GÖSTERİMİ VE İŞLEMLERİ − ESAS ARGÜMENT VE ÖZELLİKLERİ )
DEĞERLENDİRME – 2
1) z1=1+2i Argz=2.Argz1, ∣z∣=5 , Im(z)<0 ise z
sayısını bulunuz?
3)
∣z−2−i∣=1 İse Arg (z)=α nın en büyük
değeri için tan α=?
Arg(z−1 +i)= π
2
∣z∣=3 ise Im(z) nin en büyük
değeri kaçtır?
z1=cis30, z2 =cis α ,∣z1 −z2∣=√ 3 İse α nın en
küçük pozitif dğeri nedir?
www.matbaz.com
2)
5)
6)
∣z− √ 3−i∣=1 için z1=(1,maks Arg(z)) ve
∣z+ √ 3−i∣=1 için z1=(1,min Arg (z)) ise
∣z1−z2∣=?
7)
Arg (z−1−i)= π eşitliğinin sağlayan z
4
karmaşık sayılarını merkez kabul eden
yarıçapları 1 den küçük olan çemberlerin
kümesi A olsun. B={x+iy:∣x∣+∣y∣≤2 } ise A∩B
kümesinin alanı kaç birim karedir?
4) z=4 cis2400 karmaşık sayısını standart
biçimde ifade ediniz.
8)
Im(z2)=9 ve ∣z∣=6 denklem sisteminin
çözüm kümesi Karmaşık sayılar kümesinde
kaç elemanlıdır.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
8/8

Download Report