KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
KARMAŞIK SAYILAR
Örnek...2 :
Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki sayı bulunuz.
K a rm a ş ı k s a yı l a r x 2 + 1 = 0 b i ç im i n d ek i
d e nk l e m l e r i n ç ö züm ü n ü ya p a b i lm e k i ç i n
t a n ı m l a nm ı ş t ı r.
a v e b b i r e r r e e l s a yı v e i i2 =−1 o l m a k
ü ze r e , z = a + b i ş e k l i n d e if a d e e d i l e n z
s a yı s ı n a k ar m a ş ık ( k o m p l e k s ) s a yı d e n i r.
K a rm a ş ı k s a yı l a r k üm e s i ℂ i l e t e m s i l
e d i l i r. B a şk a b i r d e yi ş l e
ℂ = { z: z = a + b i , a , b ∈ R v e i2 =−1 } d i r.
z = a + b i k ar m a ş ık s a yı s ı n d a a ya
k a rm a ş ı k s a yı n ı n r e e l ( g e r ç e l ) k ı sm ı , b ye
k a rm a ş ı k s a yı n ı n i m a j i n e r ( s a n a l ) k ı sm ı
d e n i r v e R e ( z) a , I m ( z) = b ş ek l i n d e
g ö s t e r i l i r.
SANAL BİRİMİN (İ NİN) KUVVETLERİ
i0=1, i1=i , i2=−1 , i3=−i , i4=1 , i5=i,...
B u n a g ö r e , n ∈ N o lm ak ü z e r e , i n i n
k uv v e t i 4 i l e b ö l ü n d ü ğ ü n d e ;
K a r m a ş ık s a yı l a r ı n r e e l v e s a n a l k ı s ım l a r ın ı
ya z ı n ı z .
Re (z)
Im (z)
1) z=3+8i
2) z=4i−2
3) z=4i
4) z= √−5
3
www.matbaz.com
Alıştırma
k al a n
k al a n
k al a n
k al a n
0
1
2
3
ise
ise
ise
ise
in=1
in =i1=i
in =i2=−1
i n = i 3 = − i o l u r.
Örnek...3 :
S a yıl a r ı h e s a p l a yın ı z .
a) i10
b) i2345
c) i4569676
d) i459862583
Alıştırma
S a yı l a r ı s a n a l b i r im ( i ) k u l l a n a r ak ya z ı n ı z .
1) z= √−4
2) z= √−49 + 3√−27
Örnek...4 :
P ( x− 2 ) = ( x 3 − 6 x 2 + 1 2 x − 8 ) 7 i s e P ( i )= ?
3) z= √ (−3)2 + 5√−32
Örnek...1 :
x 2 − 2 x + 5 = 0 d e n k l em i n i n k ök l e r i n i b u l a l ım .
Örnek...5 :
n b i r p o z i t if t a m s a yı i s e i 4 n + 2 + i 8 n + 1 2 + i 2 0 n + 6 = ?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
BİR KARMAŞIK SAYININ GÖRÜNTÜSÜ
İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
İ k i b o yu t l u a n a l i t i k d ü zl e m d ek i x
ek s e n i n i n r e e l e k s e n , y ek s e n i n i n
im a j i n e r e k s e n a l ı nm a s ı yl a o l u ş t u r u l a n
d ü zl em e k ar m a ş ık d ü zl e m d e n i r.
R e e l k ıs ım l a r ı v e im a j i n e r k ıs ım l a r ı k e n d i
a r a l a r ın d a e ş i t o l a n i k i k ar m a ş ık s a yı
e ş i t t i r.
Örnek...7 :
K a rm a ş ı k s a yı l a r i l e a n a l i t i k d ü zl e m i n
n ok t a l a r ı b i r e b i r e ş l e n e b i l i r. B u
e ş l em e d e x + yi s a yı s ı n a ( x , y) n o k t a s ı
k a r ş ı l ı k g e l i r.
z 1 = a + 2 + 3 i− b i v e z 2 = 2 a − b + 5 i k a rm a ş ık
s a yıl a r ı i ç i n z 1 = z 2 i s e a . b k aç t ır ?
Ş ek i l e g ö r e B n o k t a s ı 3 + i s a yı s ı n a ( ya d a
3+ i s a yı s ı n a k a r ş ı l ı k B n ok t a s ı ) C
n ok t a s ı − 3+ 2 i s a yı s ı n a , K n ok t a s ı 2 i
s a yı s ı n a k ar ş ı l ı k g e l m e k t e d i r.
y
Sanal (İmajiner)
Eksen
Z
y
C
D
K
B
1
H
−4 −3 −2
−1
1
−1
2
3 x
−2 G
−3
E
Örnek...8 :
x
Reel
(Gerçel)
Eksen
F
−4
Örnek...6 :
S a yı l a r ı k a rm a ş ı k d ü zl e m d e g ö s t e r i n i z.
z=3+6i
w =4i
y
www.matbaz.com
3
2
A
x< 0 < y o l m a k ü ze r e ,
√ x−y +√3 −512= √−16−x−y
e ş i t l i ğ i n e g ö r e , ( x , y) i k i l i s i n i b u l u n u z?
KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
z = a + b i k a rm a ş ık s a yı i s e a − b i
s a yı s ı n a z k a rm a ş ık s a yıs ın ın e ş l e n i ğ i
d e n i r v e z ş e k l i n d e g ö s t e r i l i r.
q=6i−1
İm (z)
Sanal (İmajiner)
Eksen
z=a+bi
bi
6
5
4
Re (z)
a
3
2
−bi
1
−2 −1
−1
1
2
3
4
5
−2
6
x
Reel
(Gerçel)
Eksen
Alıştırma
1) z = 4 + 3i sayısının eşleniği z = 4−3i dir.
2)
Karmaşık sayıların eşleneğini yazınız.
z=3+9i
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
z=a−bi
w=4i−7
m=i
2/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
Örnek...11 :
1. TOPLAMA − ÇIKARMA
K a rm a ş ı k s a yı l a r t o p l a n ı rk e n ( ya d a
çıkarılırken) reel ve sanal kısımlar kendi
a r a l a r ı n d a t o p l a n ı r ( ya d a ç ı k a r ı l ı r. )
Ya n i , z 1 = a + i b v e z 2 = c + i d v e r i l s i n
z 1 = 2 + 5 i v e z 2 = 6 − 3 i s a yıl a r ı i ç i n i ş l em l e r i
ya p ın ı z
a) z1.z2=
z 1 + z 2 = ( a + c ) + i ( b+ d )
z 1 − z 2 = ( a − c ) + i ( b− d )
b) z12 =
o l a r ak t a n ım l a n m ı ş t ı r.
TOPLAMA VE ÇIKARMANIN GEOMETRİK YORUMU
y
z+w
y
c ) z 1 . z1 =
w
w
z
0
d ) z 2 . z2 =
x
x
−w
z−w
Yu k a r ı d ak i ş e k i l l e r d e 0 , z, ( z+ w) , w n o k t a l a r ı n ı n v e 0 , w, z , ( z − w) n ok t a l a r ı n ı n
p a r a l e lk e n a r ı n k ö ş e l e r i o l d u ğ u n a d i k k a t
ediniz.
Örnek...9 :
z 1 = 5 + 7 i v e z 2 = 8 − 9 i o l m a k ü ze r e , z 1 + z 2 v e
z 1 − z 2 d e ğ e r l e r i n i b u l u n u z?
www.matbaz.com
z
0
UYARI
z . ̄z = [ R e ( z) ] 2 + [ Im ( z) ] 2
Örnek...12 :
z= x + yi o lm a k ü ze r e ,
3 z−1=4−i i s e x+ y= ?
Örnek...10 :
i s a n a l s a yı b i r im i o lm ak ü z e r e ,
i+ i 2 + i 3 . . . + i 1 1 1
toplamının eşitini bulunuz?
Örnek...13 :
2 . z+ i = 4i ̄z e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık
s a yıs ın ı b u l u n u z ?
2. ÇARPMA
Ç a r pm a i ş l e m i ya p ı l ı rk e n b i r k a rm a ş ı k
s a yı d i ğ e r i ü ze r i n e d a ğ ı t ı l ı r.
z 1 = a + i b v e z 2 = c+ i d v e r i l s i n
z 1 . z 2 = ( a+ i b ) ( c + i d ) = a c− b d + i ( a d + b c )
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
UYARI
Örnek...14 :
a , b , c r e e l s a yıl a r o lm ak ü z e r e ,
ax2 +bx + c = 0 ikinci dereceden
d e n k l em i n i n k ök l e r i n d e n b i r i m + n i i s e
d i ğ e r i d e m − n i d i r.
√−3 . √−36. √ (−2)2 . 3√−64
işleminin sonucu kaçtır?
Örnek...18 :
a v e c r e e l s a yı l a r o l m a k ü ze r e ,
x2 − ax + c = 0
ik i n c i d e r e c e d e n d e n k l em i n i n k ö k l e r i n d e n b i r i
3 − i o l d u ğ u n a g ö r e , a + c yi b u l u n u z ?
UYARI
Ö zd e ş l i k l e r d e n ya r a r l a n a r a k ,
( 1+ i ) 2 = 2 i ( 1 − i ) 2 = − 2 i
o l d u ğ u b u l u n u r.
Örnek...15 :
(1+i)2=?
Örnek...16 :
(1+i)100− (1−i)78=?
www.matbaz.com
3. BÖLME
z1=a+ib ve z2=c+id verilsin.
a +ib
z1 : z2= (a+ib) : (c+id) =
i ş l em i
c+id
ya p ı l ı rk e n p a y v e p a yd a p a yd a n ın
e ş l e n i ğ i i l e g e n i ş l e t i l i r.
Örnek...19 :
8+6i
=?
1+2i
Örnek...17 :
(2+2i)69=?
Örnek...20 :
Re(
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
8i−2
)= ?
3−i
4/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
Örnek...21 :
3 − 7 i k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n ç a r p m a i ş l em i n e
g ö r e t e r s i n i n im a j i n e r ( s a n a l ) k ı s m ı n ı b u l u n u z
Örnek...22 :
www.matbaz.com
4 +i
3i−1
+
=?
1+2i
1−2i
Örnek...23 :
100
( )
1+i
1−i
=?
Örnek...24 :
z = 3 + 2i olduğuna göre,
( )
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
z+z
=?
z−z
5/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
EŞLENİĞİN ÖZELLİKLERİ :
Örnek...25 :
1 ) B i r k a rm a ş ı k s a yı n ı n e ş l e n i ğ i n i n
e ş l e n i ğ i k en d i s i d i r.
z=
2+i 2−i
−
2−i 2+i
k a rm a ş ık s a yıs ı i ç i n ,
h e s a p l a yın ı z ?
z=z
z−(̄̄z )
f ar k ın ı
2 ) İ k i k a rm a ş ı k s a yı n ı n t o p l a m ı n ı n ya d a
f a rk ı n ı n e ş l e n i ğ i , k ar m a ş ı k s a yı l a r ı n
e ş l e n ik l e r i t o p l a m ı ya d a e ş l e n ik l e r i
f a rk ı n a e ş i t t i r.
z1 ±z2=z1±z2
3 ) İ k i k a rm a ş ı k s a yı n ı n ç a r p ım ı n ı n
e ş l e n i ğ i , k ar m a ş ık s a yı l a r ı n e ş l e n ik l e r i
ç a r p ı m ı n a e ş i t t i r.
Örnek...26 :
z1 .z2 =z1 .z2
z−2. (̄z )+ (̄̄z )=4i
(
z1 z1
)=
z2 z2
5 ) B i r k a rm a ş ı k s a yı n ı n n ’ i n c i k uv v e t i n i n
e ş l e n i ğ i , e ş l e n i ğ i n i n n’ i n c i k u v v e t i n e
e ş i t t i r.
n
n
(z )=(z)
6 ) S ı f ı r d a n f ar k l ı b i r k ar m a ş ık s a yı n ı n
çarpımsal tersinin eşleniği, eşleniğinin
ç a r p ı m s a l t e r s i n e e ş i t t i r.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
4 ) İ k i k a rm a ş ı k s a yı n ı n b ö l ü m ü n ü n
e ş l e n i ğ i , k ar m a ş ık s a yı l a r ı n e ş l e n ik l e r i
b ö l üm ü n e e ş i t t i r.
o l d u ğ u n a g ö r e , İm ( z) k a ç t ır ?
Örnek...27 :
z v e w k a rm a ş ık s a yı l a r o l m a k ü ze r e ,
z− w
z− w
o r a n ı k aç t ır ?
6/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
DEĞERLENDİRME − 1
4) z=2+4i sayısı için
katıdır?
z nin kaç
z.̄z sayısı z+̄
1) x2+6x+12=0 denkleminin köklerini bulunuz.
5) z karmaşık sayısı için z+3 ̄z−2=12−8i ise z
karmşık sayısınına düzlemde karşılık gelen
noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir?
www.matbaz.com
2) i2 +i4+i6+...i66=?
3) a<0<b olmak üzere, √ ab−4a=a. √3 −27+ √ −9+5
ise a+b kaçtır?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6) Kökerinden biri 3+2i olan reel katsayılı 2.
derece bir P(x) polinomunun başkatsayısı 4
ise bu polinomun katsayılar toplamı kaçtır?
7/8
KARMAŞIK SAYILAR − 1
( KARMAŞIK SAYI−SANAL BİRİM−EŞİTLİK−EŞLENİK VE ÖZLLİKLERİ−DÖRT İŞLEM−DEĞERLENDİRMELER )
DEĞERLENDİRME − 2
Tamsayı katsayılı p(x)=0 polinom denkleminin
köklerinden bazıları 2−i, 4+5i, 3, 1+i ise polinomun
derecesi en az kaçtır?
2)
Başkatsayısı 2 ve bir kökü 1−i olan reel katsayılı
ikinci dereceden denklemi yazınız?
3)
z∈ℂ , z. ̄
z+2.̄
z−3=13+2i ise z nin reel eksene
uzaklığı kaç birimdir?
Re
( ) ( )
1
1
−Im
=?
3−i
3+i
6)
(x, y)∈ℂ 2 olmak üzere,
(a ,b)o (c ,d )=(ac −bd ,ad+bc)
işlemine göre (2,1) elemanının tersi nedir?
7)
z3−8z2 +20z=0 denkleminin köklerini köşe
noktaları kabul eden ABC üçgeninin,
www.matbaz.com
1)
5)
a) Alanı kaç birim karedir?
4)
i2 =−1 olmak üzere,
z1=1+i+i2 +...+i1071 ve
z2=i65+i72+i80 +i90 +i101 +...+i1990
ise Im(z1).Re(z2)=?
b) Çevresi kaç birimdir?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
8/8
© Copyright 2024 Paperzz
