∆ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών ¾ ∆ικτυωτοί Φορείς ¾ Μόρφωση ∆ικτυώµατος Υπολογισµός ∆ικτυωµάτων Μέθοδος των κόµβων ∆ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης, Θράκης, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Μηχανικών, Τοµέας Μηχανικής, Μηχανικής, Εργαστήριο Αντοχής των Υλικών 1 ∆ικτυωτοί Φορείς - Εισαγωγή Οι φορείς που χρησιµοποιούνται στις διάφορες κατασκευές είναι δυνατό να καταταγούν, από άποψη εσωτερικής συµπεριφοράς, σε δύο βασικές κατηγορίες : • δικτυωτούς και • ολόσωµους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε την ανάλυση των δικτυωτών φορέων, ενώ η µελέτη των ολόσωµων φορέων θα αποτελέσει το αντικείµενο του επόµενου κεφαλαίου 2 ∆ικτυωτοί Φορείς - Εφαρµογές • Σκεπές κτιρίων • Βιοµηχανικά Υπόστεγα • Γέφυρες 3 ∆ικτυωτοί Φορείς - Εφαρµογές 4 ∆ικτυωτοί Φορείς - Εφαρµογές 5 ∆ικτύωµα Pratt 6 ∆ικτύωµα Howe 7 ∆ικτύωµα Baltimore (Pratt) 8 ∆ικτύωµα Warren 9 Συνήθη ∆ικτυώµατα Γεφυρών 10 Μόρφωση του ∆ικτυώµατος • ∆ικτυωτός φορέας ή δικτυωτός δίσκος ή δικτύωµα -ο φορέας εκείνος ο οποίος αποτελείται από ένα πεπερασµένο πλήθος υλικών σηµείων τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µε δεσµικές ράβδους • Τα υλικά σηµεία λέγονται κόµβοι, ενώ οι δεσµικές ράβδοι λέγονται ράβδοι του δικτυώµατος 11 Μόρφωση του ∆ικτυώµατος Στερεό Μη Στερεό Είναι προφανές πως η θέση τριών σηµείων που δεν κείνται επί ευθείας, ορίζεται µονοσήµαντα όταν τα σηµεία αυτά συνδεθούν µε τρεις ράβδους. Συνεπώς το τρίγωνο αποτελεί το απλούστερο ισοστατικό δικτύωµα. Με βάση το τρίγωνο είναι δυνατό να µορφώσουµε πιο σύνθετα δικτυώµατα, λαµβάνοντας υπόψη πώς η θέση ενός κόµβου σχετικά µε το τρίγωνο ορίζεται µονοσήµαντα, όταν ο κόµβος αυτός συνδεθεί µε τις κορυφές του τρίγωνου µε δύο ράβδους 12 Μαθηµατική σχέση κόµβων-ράβδων Το δικτύωµα θα έχει σχήµα γεωµετρικά ορισµένο, όταν ο αριθµός των κόµβων του συνδέεται µε τον αριθµό των ράβδων του δικτυώµατος µε µία µαθηµατική σχέση Αν Κ ο αριθµός των κόµβων και ρ ο αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος, οι τρεις κόµβοι που ανήκουν στο αρχικό τρίγωνο συνδέονται µε τρεις ράβδους, ενώ καθ’ ένας από τους υπόλοιπους (Κ-3) κόµβους συνδέεται µε τους προηγούµενους κόµβους µε δύο ράβδους ,δηλαδή συνολικά έχουµε ρ = 3 + 2(Κ – 3) = 2Κ -3 ράβδους για ισοστατικό δικτύωµα 13 Μαθηµατική σχέση κόµβων-ράβδων Το δικτύωµα στο οποίο δεν συµπεριλαµβάνονται τα στοιχεία σύνδεσης του µε το έδαφος, ονοµάζεται ελεύθερο δικτύωµα, ενώ όταν στο ελεύθερο δικτύωµα προσθέσουµε και τα στοιχεία σύνδεσής του µε το έδαφος, τότε αποκτούµε τον δικτυωτό φορέα, ο οποίος µπορεί να αναλάβει οποιαδήποτε φόρτιση. Επειδή η ισοστατική στήριξη του ελεύθερου στερεού ισοδυναµεί µε τρεις δεσµικές ράβδους έπεται πως για τον εσωτερικά και εξωτερικά ισοστατικό δικτυωτό φορέα απαιτούνται ρ0 = (2Κ – 3) + 3 = 2Κ 14 Μόρφωση του ∆ικτυώµατος • Στην περίπτωση που ο αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος είναι ο ελάχιστος απαιτούµενος για τον πλήρη καθορισµό της θέσης των κόµβων του, δηλαδή του σχήµατος του δικτυώµατος, τότε το δικτύωµα λέγεται ισοστατικό. • Όταν ο αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος είναι µεγαλύτερος απ’ αυτόν που απαιτείται για τον καθορισµό του σχήµατος του, το δικτύωµα καλείται υπερστατικό. • Και όταν ο αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος είναι τέτοιος, ώστε να µη ορίζεται το σχήµα του, τότε το δικτύωµα αποτελεί µηχανισµό 15 Μαθηµατική σχέση κόµβων-ράβδων 1. Αν ρ = 2Κ – 3 έχουµε ισοστατικό δικτύωµα 2. Αν ρ > 2Κ – 3 έχουµε υπερστατικό δικτύωµα 3. Αν ρ < 2Κ – 3 έχουµε µηχανισµό 16 Απλοποιητικές Παραδοχές Οι κόµβοι όπου συνδέονται τα στοιχεία λειτουργούν σαν αρθρώσεις Το ίδιο βάρος κάθε στοιχείου είναι αµελητέο Τα φορτία και γενικά οι εξωτερικές δυνάµεις ασκούνται µόνο στους κόµβους του δικτυώµατος 17 Εφελκυσµός - Θλίψη T B Εφελκυσµός (T) T Θλίψη (C) A C C C • Εάν η τάση της ράβδου έχει κατεύθυνση προς την άρθρωση, η ράβδος βρίσκεται σε κατάσταση θλίψης (C), • εάν αποµακρύνεται από την άρθρωση, η ράβδος βρίσκεται υπό εφελκυσµό (T) 18 Απλή Ανάλυση – Ισορροπία τριγώνου P TAB B TBC P A C TAB TAB TAC Ax Ay TAC TBC TBC TAC Cy TAC 19 Μέθοδος των Κόµβων (γενικά) Οι δυνάµεις στα µέλη ενός δικτυώµατος µπορούν να προσδιοριστούν µε την µέθοδο των κόµβων. Η µέθοδος βασίζεται στην εξέταση της ισορροπίας των κόµβων του δικτυώµατος • Πρώτα, λαµβάνονται οι αντιδράσεις στις στηρίξεις θεωρώντας το δικτύωµα ως ελεύθερο σώµα. • Έπειτα αποµονώνουµε, ένα προς ένα, όλους τους κόµβους του δικτυώµατος και γράφουµε για τον καθένα από αυτούς τις δύο εξισώσεις ισορροπίας του συστήµατος των συντρεχουσών δυνάµεων που ενεργεί στον υπόψη κόµβο • Έτσι βρίσκουµε τις δυνάµεις που εξασκούν οι ράβδοι στους κόµβους του δικτυώµατος. Οι δυνάµεις αυτές είναι ίσες και αντίθετες µε τις δυνάµεις που εξασκούν οι κόµβοι στις ράβδους, δηλαδή µε τις τάσεις των ράβδων και οµόσηµες 20 Μέθοδος των Κόµβων (βήµα-βήµα) 1. Εντοπίζουµε ένα κόµβο στον οποίο να συντρέχουν δύο το πολύ ράβδοι άγνωστων τάσεων 2. Κατασκευάζουµε το ∆ΕΣ του κόµβου τοποθετώντας σ’ αυτό τις εξωτερικές δυνάµεις που εξασκούνται στο υπόψη κόµβο και αντικαθιστώντας τις ράβδους που συντρέχουν στον κόµβο µε τις τάσεις τους (επειδή δεν γνωρίζουµε τις φορές των τάσεων, τις σχεδιάζουµε όλες να αποµακρύνονται από τον κόµβο και κατά συνέπεια εφελκυστικές, δηλαδή θετικές) kN kN kN kN kN 21 Μέθοδος των Κόµβων (βήµα-βήµα) 3. Στον υπόψη κόµβο δυνάµεων γράφουµε τις δύο εξισώσεις ισορροπίας ΣFx = 0 kN kN , ΣFy = 0 kN kN kN 22 Μέθοδος των Κόµβων (βήµα-βήµα) 4. Προχωρούµε στη συνέχεια σ’ ένα άλλο κόµβο στον οποίο να συντρέχουν δύο το πολύ ράβδοι άγνωστων τάσεων και εφαρµόζουµε µε τον ίδιο τρόπο τα βήµατα 2 και 3 kN kN kN kN kN 23 Μέθοδος των Κόµβων (βήµα-βήµα) 5. Προχωρώντας από κόµβο σε κόµβο, συναντάµε τον προτελευταίο κόµβο του δικτυώµατος όπου έχουµε έναν άγνωστο και δύο εξισώσεις. a. Τη µία εξίσωση χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό του αγνώστου και την άλλη για έλεγχο των αποτελεσµάτων µας. b. Στον τελευταίο κόµβο έχουµε δύο εξισώσεις οι οποίες πρέπει να επαληθεύονται από τις τιµές των τάσεων που έχουν ήδη υπολογιστεί(δύο επιπλέον εξισώσεις για έλεγχο της ακρίβειας των αποτελεσµάτων της ανάλυσης του δικτυώµατος) 24 kN kN kN kN kN kN 25 Σηµείωση : Σε µερικές περιπτώσεις είναι δυνατό να αποφύγουµε το βήµα 3 i. Όταν σ’ ένα κόµβο συντρέχουν τέσσερεις ράβδοι, οι οποίες ανά δύο βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε οι συνευθειακές ράβδοι έχουν ίσες τάσεις y FCB x FBA FBF 26 ii. Όταν σ’ ένα κόµβο συντρέχουν τρεις ράβδοι από τις οποίες οι δύο είναι συνευθειακές, ενώ η τρίτη έχει τυχούσα διεύθυνση, τότε η ράβδος τυχούσας διεύθυνσης έχει οπωσδήποτε µηδενική τάση, ενώ οι τάσεις των συνευθειακών ράβδων είναι ίσες 27 28