ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα το ένα ως προς το άλλο κατά γωνία α. Ονομάζω (i, j) και (i′ , j′ ) τα μοναδιαία διανύσματα στα δύο συστήματα. Για τυχόν διάνυσμα r του επιπέδου ισχύει r = xi + y j = x′ i′ + y ′ j′ Χρησιμοποιώ το ότι και βρίσκω Σημειώστε οτι i′ = i cos α + j sin α , ( x′ y′ ) ( = j′ = −i sin α + j cos α cos α − sin α sin α cos α )( ) x y x′2 + y ′2 = x2 + y 2 = r2 (1) (2) (3) (4) Επίσης, αποδεικνύεται οτι η (3) είναι ο πιό γενικός μετασχηματισμός συντεταγμένων που ικανοποιεί την (4). Τα παραπάνω γενικεύονται σε περισσότερες διαστάσεις. Γενικά έχουμε οτι σε n−διάστατο Ευκλείδειο χώρο ισχύει ∑ x′i = Rij xj ≡ Rij xj (5) i RRT = RT R = I (6) n ποσότητες U1 , U2 , ..., Un , που κάτω από στροφές μετασχηματίζονται με τον ίδιο πίνακα όπως και οι συντεταγμένες, δηλαδή Ui′ = Rij Uj , (7) λέμε οτι αποτελούν τις n συνιστώσες ενός διανύσματος U . 1β. Συμμετρία σε στροφές της εξίσωσης του Νεύτωνα F(r) = ma. Η δύναμη F και η επιτάχυνση a είναι διανύσματα. Fi′ = Rij Fj , a′i = Rij aj (8) Η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζει την ισότητα δύο διανυσμάτων. Αρα, αν ισχύει ως προς ένα παρατηρητή, ισχύει και ως προς οποιονδήποτε άλλον στραμμένο ως προς τον πρώτο. Δηλαδή, άν ισχύει η Fi = mai (9) τότε έπεται οτι Fi′ = Rij Fj = Rij maj = ma′i ό.έ.δ. 1γ. Η συμμετρία Γαλιλαίου της θεωρίας του Νεύτωνα. 1 (10) Παράδειγμα 1. Θεωρείστε ένα ελεύθερο σώμα. Η εξίσωση κίνησής του σε αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων είναι d2 r =0 (11) dt2 Ενας άλλος αδρανειακός παρατηρητής, κινούμενος με ταχύτητα V μετράει για τη θέση του σώματος και το χρόνο, σύμφωνα με τον Γαλιλαίο r′ = r + V t , t′ = t (12) Οπότε, και ως προς αυτόν ισχύει η εξίσωση του Νεύτωνα, αφού d2 r′ = 0. dt′2 (13) Λέμε οτι η εξίσωση του Νεύτωνα είναι συναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. Παράδειγμα 2. Ας πάρουμε τώρα δύο σώματα που αλληλεπιδρούν με μια δύναμη F, που προκύπτει από δυναμικό V = V (r1 − r2 ), που εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των διανυσμάτων θέσης τους. Ισχύει 1 m1 d2 r 1 d2 r 2 = F ( r − r ) , m = −F(r1 − r2 ) 2 1 2 dt2 dt2 (14) οι οποίες δεν αλλάζουν μορφή κάτω από τον μετασχηματισμό (12). Η Νευτώνεια Μηχανική είναι αναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. 1δ. Ομως, οι εξισώσεις Maxwell ΔΕΝ είναι συναλλοίωτες σε μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. Χρειάζεται ενας μετασχηματισμός που δεν θα αλλάζει την ταχύτητα c του φωτός στο κενό, σε συμφωνία και με το πείραμα των Michelson − Morley. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τις εξισώσεις Maxwell στο κενό. Από αυτές μπορείτε να δείξετε οτι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο ικανοποιούν την κυματική εξίσωση ( ) 1 ∂2 2 ∇ − 2 2 E(r, t) = 0 (15) c ∂t με λύσεις επίπεδα κύματα και επαλληλίες επιπέδων κυμάτων E(r, t) = E0 cos(ωt − k · r) , ω = c |k| (16) Είναι εύκολο να πειστείτε οτι η κυματική αυτή εξίσωση δεν είναι συναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου x′ = x + V t , t′ = t. Αντίθετα, είναι συναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμούς Lorentz (18) 2 . 2. Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Κάτι να σκεφτείτε: Για να συγχρονίσω δύο ρολόγια χρειάζεται να μπορώ να μετράω ταχύτητες. Για να μετρήσω ταχύτητα χρειάζομαι συγχρονισμένα ρολόγια. Φαύλος κύκλος. Συμφωνείτε; 2α. Τα δύο αξιώματα. (α) Το αξίωμα της Σχετικότητας του Einstein και (β) η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι η ίδια ως προς όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές. 1 AΣΚΗΣΗ: Αποδείξτε αυτόν τον ισχυρισμό. 2 ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε οτι η κυματική εξίσωση “ ” ∂2 ϕ(x, t) = 0 είναι συναλλοίωτη ως προς μετα− c12 ∂t 2 σχηματισμούς Lorentz, ενώ δεν είναι ως προς μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. ∂2 ∂x2 2 2β. Η σχετικότητα του ταυτόχρονου. οτι 2γ. Διαστολή του χρόνου και συστολή του μήκους. Με δύο απλά πειράματα αποδεικνύεται ∆t = √ ∆τ 1 − V 2 /c2 , L = L0 √ 1 − V 2 /c2 (17) 2δ. Οι μετασχηματισμοί Lorentz. Υπενθύμιση της απόδειξης από το Φ4. Χρησιμοποιώντας (α) τον τύπο της διαστολής του χρόνου, (β) τον τύπο της συστολής του μήκους, (γ) το γεγονός οτι η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια c ως προς όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές και (δ) την εξίσωση κίνησης της αρχής των αξόνων του δεύτερου παρατηρητή ως προς τον πρώτο, βρίσκουμε οτι ∆x − V ∆t ∆t − V ∆x/c2 ∆x′ = √ , ∆t′ = √ , ∆y ′ = ∆y , ∆z ′ = ∆z 1 − V 2 /c2 1 − V 2 /c2 που γράφεται ισοδύναμα ως    c∆t c∆t′    ∆x′    = Λ(V )  ∆x  ′  ∆y   ∆y  ′ ∆z ∆z (18)  με τον πίνακα Λ(V ) να είναι  γ  −βγ Λ(V ) =   0 0 όπου β≡ −βγ γ 0 0 0 0 1 0 (19)  0 0  0 1 (20) V 1 , γ≡√ c 1 − V 2 /c2 (21) 2ε. Μετασχηματισμός ταχύτητας και επιτάχυνσης. Από τις εξισώσεις των μετασχηματισμών Lorentz με παραγωγίσεις ως προς τους αντίστοιχους χρόνους παίρνω τους μετασχηματισμούς της ταχύτητας και της επιτάχυνσης 3 . Για παράδειγμα, αν (vx , vy , vz ) είναι οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας ως προς αδρανειακό παρατηρητή Σ, αυτές ως προς Σ’, που κινείται σε σχέση με τον Σ με ταχύτητα V είναι vx′ = √ √ vy vy vx − V ′ ′ 2 /c2 , v = 1 − V , v = 1 − V 2 /c2 y y vx V V vx 1 − c2 1 − c2 1 − Vcv2x (22) 2στ. Η ενέργεια και η ορμή σώματος. Χρησιμοποιώντας το αξίωμα της Σχετικότητας βρήκαμε οτι η Νευτώνεια έκφραση p = mv της ορμής σώματος δεν είναι σωστή. Ο νόμος διατήρησης της ορμής δεν είναι συμβιβαστός με την έκφραση αυτή. Η σωστές εκφράσεις για την ενέργεια και την ορμή ενός σώματος μάζας m είναι E=√ mc2 1− v 2 /c2 , p= √ mv 1 − v 2 /c2 H εξίσωση κίνησης ελεύθερου σώματος μάζας m είναι ( ) dp d mv √ ≡ = 0, dt dt 1 − v 2 /c2 3 ΑΣΚΗΣΗ: Να βρείτε τους τύπους μετασχηματισμού της επιτάχυνσης. 3 . (23) (24) η γενική λύση της οποίας είναι η εξίσωση της ευθείας 4 r(t) = r0 + v t (25) όπου οι σταθερές r0 και v προσδιορίζονται από τις αρχικές ή τις συνοριακές συνθήκες. 2ζ. Η αναλλοιωτότητα του διαστήματος. Από τις σχέσεις (18) προκύπτει οτι η ποσότητα ή ισοδύναμα η ∆s2 ≡ c2 ∆t2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 (26) ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 (27) (για απειροστά μικρές διαφορές συντεταγμένων) είναι αναλλοίωτη ως προς μετασχηματισμούς Lorentz. Οπως και στη περίπτωση των στροφών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αναλλοιωτότητα του παραπάνω ”μήκους” για να αποδείξουμε την μορφή των πινάκων μετασχηματισμού Lorentz. Πράγματι, ακολουθώντας τα ίδια βήματα καταλήγουμε στο οτι οι πίνακες των μετασχηματισμών Lorentz Λ, ικανοποιούν τη σχέση ΛT ηΛ = η , (28) της οποίας λύση (όχι η γενική) είναι ο πίνακας που έχουμε παραπάνω. 2η. Το τετράνυσμα ενέργειας-ορμής. Από τις εκφράσεις της ενέργειας και της ορμής, σε συνδυασμό με τους τύπους μετασχηματισμού της ταχύτητας από παρατηρητή σε παρατηρητή, μπορώ να αποδείξω οτι η ενέργεια και η ορμή μετασχηματίζονται ως εξής:  ′    E /c E/c  p′x   px      (29)  py′  = Λ(V )  py  p′z pz με τον ίδιο πίνακα μετασχηματισμού Λ(V ), που δίνεται στην (20). Τέσσερις ποσότητες (εδώ οι E/c, px , py , pz ), που κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz μετασχηματίζονται όπως παραπάνω, λέμε οτι αποτελούν τις τέσσερις συνιστώσες ενός τετρανύσματος. Επομένως, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που αποδείξαμε την (26), ισχύει και η E ′2 E2 ′2 − p = − p2 c2 c2 (30) Για σώμα μάζας m χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις της ενέργειας και της ορμής που έχω παραπάνω, βρίσκω E2 E ′2 ′2 − p = − p2 = m2 c2 . (31) c2 c2 Η σχέση (31) αποτελεί τον ορισμό της μάζας τυχόντος συστήματος με ενέργεια Ε και ορμή p. 3. Γεωμετρία Minkοwski. 3α. Διαγράμματα Minkowski. 3β. Κοσμικές γραμμές. Κώνοι φωτός. Αιτιότητα στον χωρό-χρονο M inkowski. Μή ύπαρξη οριζόντων. 4 ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε οτι η (25) είναι η γενική λύση της (24). 4 3γ. Διαστολή του χρόνου, συστολή του μήκους. Γεωμετρική απόδειξη των δύο αυτών βασικών φαινομένων. 3δ. Χωρο-χρονικά διαστήματα τύπου χρόνου (time − like), χώρου (space − like) και φωτός (light − like). ds2 > 0 , ds2 < 0 , ds2 = 0 (32) 3ε. Η φυσική σημασία του χωροχρονικού διαστήματος: ds = c dτ . Φανταστείτε τον εαυτό σας με το ρολόϊ σας στο χέρι να κινείστε, κάνοντας μιά τυχαία κίνηση, κατά μήκος μιας αντίστοιχης κοσμικής τροχιάς. Φανταστείτε ακόμα και έναν αδρανειακό παρατηρητή Σ, να σας παρατηρεί και ο οποίος περιγράφει στο σύστημά του την τροχιά σας ως (t, x(t))5 . Θα αποδείξω οτι s(A, B) = c τ (A, B) (33) όπου s(A, B) είναι η απόσταση ανάμεσα στα σημεία A και B της κοσμικής τροχιάς σας, που μετράει ο Σ και που υπολογίζει από τη σχέση ∫ B s(A, B) = ds (34) A και τ (A, B) ο χρόνος που δείχνει το ρολόϊ σας οτι πέρασε κατά τη διαδρομή σας από το A στο B. Αρα, το μήκος s μιάς καμπύλης στο χωρό-χρονο είναι ο χρόνος τ , που δείχνει το ρολόϊ που ακολουθεί την καμπύλη. Ο τ ονομάζεται ιδιοχρόνος σας. Απόδειξη: Θεωρείστε δύο οποιαδήποτε κοντινά σημεία πάνω στη τροχιά σας. Ο αδρανειακός παρατηρητής Σ τα βλέπει να έχουν χωρικές συντεταγμένες που διαφέρουν κατά (dx, dy, dz) και να απέχουν χρονικά κατά dt. H απόσταση M inkowski αυτών των δύο γεγονότων είναι ds2 |Σ = c2 dt2 − dx2 . (35) Ως προς εσάς τα δύο αυτά γεγονότα έχουν dx′ = 0, dy ′ = 0, dz ′ = 0, και απέχουν χρονικά κατά dt′ ≡ dτ , όπου χρησιμοποιώ το σύμβολο τ για το χρόνο που μετράει το ρολόϊ σας. Οπότε, εσείς μετράτε απόσταση M inkowski ds′ = c dτ. (36) Ομως, για απειροστά μικρά χρονικά διαστήματα η ταχύτητά σας ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή Σ είναι σταθερή. Αρα, είστε και εσείς αδρανειακός παρατηρητής. Επομένως ισχύει ds = ds′ , ήτοι √ (37) ds = c2 dt2 − dx2 = c dτ. Oλοκληρώνοντας κατά μήκος της τροχιάς παίρνω την σχέση (33). ό.έ.δ. 3στ. Επιταχυνόμενος παρατηρητής. Η έννοια του ορίζοντα γεγονότων. 3ζ. Η Λαγκραντζιανή και η Δράση στη Κλασική Μηχανική Στη Κλασική Μηχανική λύσατε το εξής πρόβλημα: Να βρεθεί η συνάρτηση (τροχιά) x(t) για την οποία το ολοκλήρωμα (δράση) ( ) ∫ B dx(t) S≡ dt L x(t), (38) dt A 5 Για απλότητα θεωρείστε τη κίνησή σας να γίνεται κατά μήκος του άξονα x. 5 ανάμεσα στα σημεία A = (tA , xA ) και B = (tB , xB ) γίνεται ελάχιστο. Βρήκατε οτι η ζητούμενη τροχιά είναι αυτή που ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση ( ) ∂L d ∂L = (39) dt ∂(dx/dt) ∂x με οριακές συνθήκες x(tA ) = xA και x(tB ) = xB . Μάθατε ακόμα οτι η διατύπωση αυτή της εξίσωσης κίνησης ενός σώματος είναι, με κατάλληλη εκλογή της Λαγκραντζιανής L, ισοδύναμη με το Νόμο του Νεύτωνα. Πράγματι, αν για παράδειγμα θεωρήσω ένα σώμα που κινείται στον άξονα x με δυναμική ενέργεια V (x), αν πάρω για L την ( )2 1 dx L= m − V (x) (40) 2 dt η αντίστοιχη εξίσωση Euler-Lagrange ταυτίζεται με την εξίσωση του Νεύτωνα m d2 x dV =− dt2 dx (41) 3η. Η εξίσωση της γεωδαισιακής Το πρόβλημα της εύρεσης της γραμμής σε ένα χώρο που συνδέει δύο σημεία του και που έχει το ελάχιστο μήκος είναι μαθηματικά ακριβώς το ίδιο. Και στη περίπτωση αυτή το ζητούμενο είναι η ελαχιστοποίηση ενός ολοκληρώματος (του μήκους καμπύλης) ανάμεσα σε δύο σημεία. Για παράδειγμα ας πάρουμε το χωρόχρονο Minkowski, στον οποίο οι αποστάσεις δίνονται από την έκφραση ds2 = c2 dt2 − dx2 . (42) Βρείτε την γραμμή που συνδέει δύο σημεία A = (tA , xA ) και B = (tB , xB ) και που το μήκος της είναι ακρότατο. Απάντηση: Το μήκος τυχούσης γραμμής ανάμεσα στα A και B είναι ∫ ∫ B sAB = B ds = c dt A √ 1 − x˙ 2 /c2 Εφαρμόζοντας αυτά που μάθατε στη Μηχανική για την L που εδώ είναι √ ( ) 1 dx 2 L= 1− 2 c dt βρίσκω d dt (43) A ( √ v 1 − v 2 /c2 (44) ) = 0. (45) Παρατηρείστε οτι η (45) ταυτίζεται με τη γνωστή σας εξίσωση κίνησης ελεύθερου σώματος στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Με άλλα λόγια, ένα ελεύθερο σώμα κινείται σε γεωδαισιακή του χωρόχρονου Minkowski. Η λύση της (45), που ικανοποιεί και τις οριακές συνθήκες x(tA ) = xA και x(tB ) = xB είναι η ευθεία γραμμή xB − xA x(t) = (t − tA ) + xA (46) tB − tA Σε τετραδιάστατο χώρο Minkowski, όπου ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt2 − dr2 6 (47) η εξίσωση αυτή γενικεύεται στην γνωστή σας (v = dr/dt) ( ) d v √ =0 dt 1 − v2 /c2 3θ. Η έννοια της γεωδαισιακής σε δοσμένο χωρόχρονο. Παραδείγματα: (1) Η ευθεία στον Ευκλείδιο χώρο D διαστάσεων. (2) Οι γεωδεσιακές σε κύλινδρο. (3) Οι γεωδεσιακές σε διδιάστατη σφαίρα. 7 (48)