Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2013-14 Prof. Silvia Strada 26 Settembre 2014 Nome e Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • • Durata della prova: 2 h. Numero di esercizi: 5 Punteggio: il numero di punti `e indicato a fianco di ciascun esercizio Consegna: esclusivamente il presente fascicolo, senza fogli di brutta Utilizzare esclusivamente i fogli di brutta/carta semilogaritmica forniti dal docente Unico ausilio permesso: una calcolatrice non programmabile - tutti gli altri dispositivi elettronici vanno messi, spenti, sul banco - non `e ovviamente consentito consultare libri,appunti,dispense - Non `e consentito scrivere a matita ESERCIZIO 1 punti: 8 Dato il sistema dinamico non lineare, con ingresso u(t) e uscita y(t), descritto dalla seguente equazione differenziale y¨(t) + y 2 (t)y(t) ˙ + y(t) = u(t) 1. Si scriva una rappresentazione di stato per il sistema. 2. Si determinino lo/gli stati di equilibrio associati a u(t) = u = 2. 2 3. Si linearizzi il sistema nell’intorno dello/degli equilibri trovati. 4. Si studi la stabilit`a del/dei sistemi linearizzati trovati al punto precedente. 3 ESERCIZIO 2 punti: 10 Si consideri il sistema lineare continuo con funzione di trasferimento G(s) = 10 1 − 0.5s (1 + s)(1 + 0.5s) 1. Si disegnino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase della funzione di trasferimento G(s). Magnitude (dB) Bode Plot −3 −2 10 −1 0 10 10 1 10 2 10 3 10 Phase (degrees) 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 1 10 10 Frequency − log scale Figure 1. Carta semi-logaritmica per diagrammi di Bode dell’Esercizio 2. 4 2 10 3 10 2. Si calcoli analiticamente la risposta forzata del sistema all’ingresso u(t) = e−3t . 3. Si scrivano i comandi Matlab per tracciare l’andamento qualitativo della risposta in uscita allo scalino unitario del sistema con funzione di trasferimento G(s). 5 4. Il sistema con funzione di trasferimento G(s) `e inserito nello schema a blocchi di Figura 2: 2 + Figure 2 Si scriva l’espressione della funzione di trasferimento da u(t) a y(t). 6 ESERCIZIO 3 punti: 8 Si consideri il sistema retroazionato mostrato in Figura 3 d w + - L(s) + + y Figure 3. Sistema di controllo in retroazione in cui L(s) = 10 `e la funzione di trasferimento d’anello. (1 + 10s) 1. Si verifichi la stabilit`a di tale sistema di controllo mediante il Criterio di Nyquist. 7 2. Si determini il margine di guadagno km . 3. Si valuti l’errore a transitorio esaurito dovuto ad un disturbo d(t) = 0.1sca(t), supponendo in quest’analisi w(t) = 0. 8 ESERCIZIO 4 punti: 4 Un mercato in cui opera una sola azienda (denominata X) ha 800 clienti. Una seconda societ`a denominata Y decide di entrare nel mercato e il suo responsabile marketing prevede che la matrice dinamica dei clienti (che rappresenta la dinamica di transizione dei clienti tra le due aziende) sar`a [ ] 0.8 0.3 A= 0.2 0.7 Si calcoli quanti clienti avr`a l’azienda Y dopo un periodo. 9 ESERCIZIO 5 punti max: 2.5 Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (barrare la relativa casella) -0.25=risposta errata, 0=risposta non data, +0.5=risposta corretta i) Il polinomio caratteristico di un sistema dinamico, lineare e stazionario, a tempo continuo, `e dato da λ(s) = s4 + 3s3 + 2s2 . Tale sistema ha 2 modi asintoticamente stabili. V ERO F ALSO 10 ii) L’ingresso u(t) e luscita y(t) di un sistema sono legati dalla relazione 2 . Questo sistema `e un sistema s puramente algebrico. V ERO F ALSO iii) Dato il sistema elementare del primo ordine G(s) = t µ , la sua risposta allo scalino di ampiezza A 1 + τs `e y(t) = µA(1 − e τ ). V ERO F ALSO 4 pu`o essere reso asintoticamente stabile s−1 inserendolo in un sistema con retroazione negativa e facendolo precedere da un regolatore con funzione di trasferimento R(s) = µ (con µ opportuno). iv) Il sistema avente la funzione di trasferimento G(s) = V ERO F ALSO 1 . Chiudendo tale sistem in retroazione s+1 negativa con un controllore con solo guadagno proporzionale µ > 0 allora aumentando il parametro µ > 0 `e possibile ridurre sempre di pi` u l’errore a regime con riferimento a scalino. v) Si consideri il sistema con funzione di trasferimento G(s) = V ERO F ALSO 10
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