LE PROPORZIONI La proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti. Es 3:4 =6:8 In generale una proporzione si indica usando le lettere: a:b=c:d a e c sono antecedenti nei loro rispettivi rapporti così come b e d sono i conseguenti. In una proporzione il 1° e l’ultimo termine si dicono estremi, il 2° e il 3° medi. Es a:b = c:d Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali. Il medio si dirà medio proporzionale, il 4° termine si dirà terzo proporzionale. Es 9:6 = 6:4. Generalizzando a:b =b :c Per verificare che 4 numeri dati con un ordine preciso formino una proporzione bisogna applicare la proprietà fondamentale. Proprietà fondamentale: Quattro numeri dati con un ordine preciso formano una proporzione se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi Es: 8 :7 =16 :14 Verifico: medio x medio1 = 7 x 16 =112 Estremo x estremo1 =8 x 14 = 112. I numeri dati nell’ordine, formano una proporzione Es: 5 : 7 =12 :14 Verifico: medio x medio1 = 7 x 12 =84 Estremo x estremo1 =5 x 14 = 70. I numeri dati nell’ordine, non formano una proporzione PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI Proprietà dell’ invertire : In una proporzione se si scambiano gli antecedenti con i propri conseguenti si ottiene una nuova proporzione: a:b = c :d applicando la proprietà b:a = d:c Es: 9 :10 =18 :20 applicando la proprietà 10: 9 = 20 :18 Proprietà del permutare: In una proporzione se si scambiano: a. i medi tra loro; b. Gli estremi tra loro; c. Sia i medi che gli estremi tra loro si ottengono nuove proporzioni: Data la proporzione 5:3 =10:6 a:b = c :d a:b = c :d a:b = c :d applicando la proprietà a applicando la proprietà b applicando la proprietà c a:c = b:d d:b = c :a d:c = b :a 5:10 = 3 :6 6:3 =10:5 6:10 = 3 :5 Proprietà del comporre: In una proporzione la somma del 1° e del 2° termine sta al 1° o al 2° come la somma tra il 3° e il 4° termine sta al 3° o al 4°. Si ottengono sempre proporzioni diverse Es: a:b=c:d applico la proprietà: (a+b) :a =(c+d) :c oppure (a+b) :b = (c+d) : d . Se nel primo rapporto scelgo come secondo termine l’antecedente devo fare la stessa cosa con il secondo rapporto, lo stesso ragionamento deve essere seguito se si sceglie il conseguente. Es : 4 :2 = 12 :6 applico la proprietà (4+2) :4 = (12+6):12 (4+2) :2 = (12+6):6 cioè cioè 6 :4 = 18 :12 6 :2 = 18 :6 Proprietà dello scomporre: In una proporzione la differenza tra il 1° e il 2° termine sta al 1° o al 2° come la differenza tra il 3° e il 4° termine sta al 3° o al 4°. Si ottengono sempre proporzioni diverse Es: a:b=c:d applico la proprietà: (a‐b) :a =(c‐d) :c oppure (a‐b) :b = (c‐d) : d . Se nel primo rapporto scelgo come secondo termine l’antecedente devo fare la stessa cosa con il secondo rapporto, lo stesso ragionamento deve essere seguito se si sceglie il conseguente. Es : 4 :2 = 12 :6 (4‐2) :4 = (12‐6):12 (4‐2) :2 = (12‐6):6 applico la proprietà cioè cioè 2 :4 = 6 :12 2 :2 = 6 :6 RICERCA DEL TERMINE INCOGNITO Il termine incognito si indica con la lettera x, esso può essere un estremo o un medio. Se il termine incognito è un estremo per calcolare il suo valore si procede in questo modo: mxm1 x 1 e x: m = m1: e1 Per calcolare l’estremo incognito si moltiplicano i medi e si divide il prodotto per l’estremo noto 30 x12 Es : x : 30 = 12 :4 x 90 4 Per calcolare il medio incognito si moltiplicano gli estremi e si divide il prodotto per il medio noto e : x = m1 : e1 Es : 24:x = 12 : 4 exe1 x 1 m x 24 x 4 8 12 CALCOLO DEL MEDIO PROPORZIONALE Per calcolare il medio proporzionale (proporzione continua) si esegue la radice quadrata del prodotto degli estremi. e: x= x :e1 x exe1 Es : 4 : x =x : 9 x 4 x9 36 6 CASI PARTICOLARI Non sempre la risoluzione di una proporzione è immediata, a volte bisogna applicare delle proprietà prima di procedere alla ricerca del valore del termine incognito. Es : (20 – x ) : x = 3 : 7 Grazie all’uso dei colori si comprende che : 20‐x è l’antecedente, x è il conseguente, nell’altro membro 3 è l’antecedente, 7 è il conseguente. Se applichiamo la proprietà del comporre scegliendo come conseguenti il 2° e il 4° termine avremo: (20‐x +x) : x = (3+7) :7; le x interne alla parentesi si eliminano , quindi 20 : x =10 : 7 A questo punto abbiamo solo un medio incognito, quindi : x 20 x7 14 10 avremo Se la x si trova sia al 1° che al 2° membro dovrò portarle prima nello stesso membro applicando le proprietà note 9:x = 12 : (7‐x) Applico il permutare gli estremi, la proporzione diventa (7‐x) : x =12 :9 Se applichiamo la proprietà del comporre scegliendo come conseguenti il 2° e il 4° termine avremo: (7‐x+x): x =(12+9) :9 le x interne alla parentesi si eliminano, avremo 7 :x = 21 :9. Il termine incognito è un medio, quindi x 7 x9 3 21 CATENA DI RAPPORTI UGUALI L’uguaglianza tra più di due rapporti costituisce una catena di rapporti uguali In una catena di rapporti uguali valgono le proprietà dell’invertire e del comporre. Spesso, nella risoluzione di alcuni esercizi in cui bisogna calcolare il valore di tutti gli antecedenti o di tutti i conseguenti ci può aiutare la proprietà del comporre, perché la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente Es : Determina tre numeri sapendo che la loro somma è 150 e che stanno tra loro come 2, 3,5 Indichiamo i tre numeri rispettivamente con le lettere x, y, z. Avremo x+y+z =150 inoltre x : 2 = y :3 = z:5 applicando la proprietà: (x+y+z) : (2+3+5) = x: 2 150:10=x:2 x=30 y=45 (x+y+z) : (2+3+5) = y: 3 150:10=y:3 (x+y+z) : (2+3+5) = z: 5 150:10=z:5 z=75
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