Misure Finestratura e Leakage Marta Berardengo • tel.: 02.2399.8553 • e-mail: [email protected] Andrea Ferrario • tel.: 02.2399.8558 • e-mail: [email protected] Sito internet del corso misure.mecc.polimi.it Trasformata discreta di Fourier: richiami 1 • Segnale g(t)=g(t+m*T) dove T è il periodo e m un intero • Si può dimostrare che g(t) può essere visto come somma di segnali armonici (o, in maniera equivalente, di vettori controrotanti) a frequenze equispaziate k*f1, dove k è un intero (compresi lo zero e i numeri negativi) e f1=1/T l’armonica fondamentale. • Il segnale è campionato, per cui noto ad intervalli dt costanti e per un numero finito di punti pari a N=fsamp*T 1 G kf1   N N  j 2kf1t ( n ) g ( n ) e  n 1 • Per calcolare la DFT in Matlab è posssibile utilizzare la funzione fft Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 Trasformata discreta di Fourier: Fft Matlab Attenzione: DFT Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 2 Trasformata discreta di Fourier: Fft Matlab 3 Attenzione: Possiamo considerare solo le frequenze positive ma .. N pari  N dispari  considero (N/2+1) punti fmax = Nyquist considero ((N+1)/2) punti fmax = Nyquist-df/2 Dobbiamo normalizzare correttamente: y(1)=y(1)/N y(2:(N+1)/2)= y(2:(N+1)/2)*2/N y(1)=y(1)/N y(2:N/2)= y(2:N/2)*2/N y(N/2+1)=y(N/2+1)/N Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 Trasformata di Fourier Il leakage 1 G kf1   N N  g ( n)e 4  j 2kf1t ( n ) n 1 Se il segnale non è periodico nella finestra considerata, la sua frequenza non esiste tra quelle considerate da Fourier, cioè la risoluzione in frequenza non permette di individuare la frequenza dell’armonica principale del segnale. Commetto errore di ampiezze e frequenze. Misure – Prof. S. Manzoni leakage 2013/2014 nella valutazione di Trasformata di Fourier Il leakage 5 Numero non intero di periodi Dispersione contenuto armonico intorno alla frequenza del segnale Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 Trasformata di Fourier Il leakage 6 Problema: In generale non è sempre possibile individuare un periodo in un segnale e quindi campionarlo per un numero intero di periodi  Leakage È possibile utilizzare finestre diverse da quella rettangolare; ogni finestra modifica in modo diverso il segnale e quindi il corrispondente spettro. La scelta del tipo di finestra dipende dal tipo di segnale da analizzare e dalla applicazione Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 7 Finestre X Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 8 Esercitazione • Dati diversi segnali calcolarne la trasformata discreta di Fourier e farne il grafico del modulo (solo frequenze positive) • Fare il grafico della massima ampiezza identificata in funzione della frazione di ciclo. Come variano le ampiezze identificate? E le frequenze? MATLAB: fft, hanning, stem Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014 Esercitazione 9 • Applicare ai segnali le finestre Hanning e Flat-top e calcolarne la trasformata di Fourier e farne il grafico del modulo (solo frequenze positive) • Fare il grafico della massima ampiezza identificata in funzione della frazione di ciclo. • Confrontare i risultati tra loro e con quelli ottenuti nel caso di finestra rettangolare Cosa succede agli spettri in questo caso? È possibile trovare un fattore di correzione da applicare a queste finestre per ottenere le ampiezze corrette? MATLAB: fft, hanning, window(@flattopwin,N) Misure – Prof. S. Manzoni 2013/2014