メジアン　４．関数とグラフ [四ﾒｼﾞCH4]2次関数の決定,2次関数の値,|x+2|+|y|=6の図 s　(ア)　-3　(イ)　6 右の図より　U m 2 - 2m - 4 =2 (1)　グラフが，x 軸と点 0 3，01 および 0 -1，01 で交わり，点 0 5，61 を通るような 2 次関解説両辺を 2 乗して　m 2 -2m -4=4 数を求めよ。放物線 y =3x 2 +2ax + a を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，その方程 2 よって　m 2 -2m -8=0 (2)　関数 f 0 x1 = x + ax + b (a，b は定数) において，f 0 11 =-6，f 0 31 =-4 であると式は　y - b =30 x - a 1 +2a0 x - a 1 + a き，f 0 51 の値を求めよ。整理して　y =3x 2 -4ax+ a 2 + a + b (3)　方程式 x +2 + y =6 の表す図をかけ。この放物線は点 0 -2，0 1 で x 軸と接するから，y =30 x+ 2 1 2 すなわち y =3x 2 +12x +12 m =-2 のときと一致する。 x =-2 $ 2 すなわち　x =0 ，-4 1 3 s　(1)　y = x 2 - x - (2)　6　(3) 2 2 m =4 のとき 8 a t　y =3x +2ax + a を変形すると　y =3 x + 3 2 -2 O -8 x 4 -4 -6 8 この放物線の頂点は　点 - 2 a a ，+a 3 3 9 2 a2 +a 3 9 これを x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，点 0 -2，0 1 に移るから - 解説 a a2 + a =-2 ， + a + b =0 3 3 8 ア (1)　グラフが x 軸と点 0 3，01 および点 0 -1，01 で交わることから，求める 2 次関数は 9 イこれを解いて　a = -3 ，b = 6 y = a0 x -31 0 x +11 0 a ' 01 とおけて，更に点 0 5，61 を通ることから　6=12a　ゆえに　a = t　x 2 -2mx +2m +4=0 の 2 つの解を a，b 0 a < b 1 とすると，解と係数の関係により　a + b =2m ，ab =2m +4 …… ① グラフが x 軸から切り取る線分の長さは 4 であるから　b - a =4 両辺を 2 乗すると　0 b - a 1 2 =16 よって　0 a + b 1 2 -4ab =16 ① より　0 2m 1 2 -40 2m +4 1 =16 整理して　m 2 -2m -8=0 すなわち　0 m +2 10 m -4 1 =0 これを解いて　m =-2 ，4 m =-2 のとき　x 2 +4x =0 すなわち　x0 x +4 1 =0 1 2 [四ﾒｼﾞ問25]放物線とx軸との共有点.x軸から切り取る線分の長さ"四メジアンⅠⅡＡＢ受北海道情報大# よって　x =0 ，-4 1 1 3 よって，求める 2 次関数は　y = 0 x -31 0 x +11 = x 2 - x 2 2 2 2 次関数 y = x 2 -2mx +2m +4 のグラフと x 軸との共有点について，次の問いに答え m =4 のとき　x 2 -8x +12=0 すなわち　0 x -2 10 x-6 1 =0 よ。ただし，m は定数とする。よって　x =2 ，6 (2)　f 0 11 =-6 から　1+ a + b =-6 (1)　共有点をもつときの m の値の範囲を求めよ。 f 0 31 =-4 から　9+3a + b =-4 (2)　グラフの頂点の座標を求めよ。ゆえに，a + b =-7，3a + b =-13 から　a =-3，b =-4 (3)　グラフが x 軸から切り取る線分の長さが 4 であるとき，m の値と共有点の x 座標をよって　f 0 x1 = x 2 -3x -4　したがって　f 0 51 = 5 2 -3 ･ 5-4=6 求めよ。 y (3)　[1]　x) -2，y) 0 のとき　x +2+ y =6 6 4 よって　y =-x +4 [2]　x) -2，y <0 のとき　x +2- y =6 s　(1)　m( 1- U 5 ，1+ U 5 (m　(2)　0 m，-m 2 +2m +41 (3)　m =-2 のとき x =0 ，-4；m =4 のとき x =6 ，2 よって　y = x -4 解説 [3]　x <-2，y) 0 のとき　-x -2+ y =6 -8 -2 O よって　y = x +8 4 x -4 -6 [4]　x <-2，y <0 のとき　-x -2- y =6 よって　y =-x -8 (1)　x 2 -2mx +2m +4=0 の判別式を D とすると D = 0 -m 1 2 - 0 2m +4 1 = m 2 -2m -4 4 共有点をもつための条件は D) 0 であるから　m 2 -2m -4 ) 0 [1] ～ [4] から，右の図のようになる。よって　m( 1- U 5 ，1+ U 5 (m u　(3)　方程式 x +2 + y =6 の表す図は，方程式 x + y =6 の表す図 (4 点 0 $6，01 ，0 0， $ 61 を頂点とする正方形) を x軸方向に -2 平行移動したもの。 (2)　y = x 2 -2mx +2m +4 を変形すると　y = 0 x - m 1 2 - m 2 +2m +4 よって，グラフの頂点の座標は　0 m， - m 2 +2m +41 (3)　x 2 -2mx +2m +4=0 を解くと　x = m$ U m 2 - 2m - 4 [四ﾒｼﾞ問24]放物線の平行移動とx軸との接点.2次関数の決定" 四メジアンⅠⅡＡＢ受立教大# 2 グラフが x 軸から切り取る線分の長さが 4 であるから， xy 平面上の放物線 y =3x +2ax + a を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，この放物線は点 0 -2，0 1 で x 軸と接した。このとき a = ア，b = イである。 x x =4 $ 2 すなわち　x =6 ，2 これを解いて　a = ア-3 ，b =イ 6 6 4 2 m 2 すなわち　0 m +2 10 m -4 1 =0 これを解いて　m =-2 ，4 よって　-4a =12 ，a 2 + a +b =12 y (3)　"図# 2 [四ﾒｼﾞ問26(1)]直線x=2,点(-1,1)に関してy=x^2-2x+3と対称" 四メジアンⅠⅡＡＢ受摂南大# ① から　a 2 =8b y - 0t 2 +11 =2t0 x - t 1　すなわち　y =2tx - t 2 +1 直線 x =2 に関して放物線 C：y = x 2 -2x +3 と対称な曲線の方程式を求めよ。また，点これを ② に代入して整理すると　2b 2 + b-6=0 点 Q の y 座標は ^ 1 の y 切片であるから (－1，1) に関して放物線 C と対称な曲線の方程式を求めよ。 2 s　順に y = x -6x +11，y =-x -6x -9 よって　a 2 =8･解説 C の方程式を変形すると　y = 0 x - 11 2 +2 3 2 よって，^ の方程式は　y =2 C 1+a =2，b =2　よって　a =3，b =2 2 したがって，直線 x =2 に関して，C と対称な曲線は， 2 次の係数が 1，頂点が点 0 3，21 の放物線であるから， (2)　C が x 軸の正の部分と異なる 2 点で交わるように，k の値の範囲を定めよ。 O x 2 y これを解くと　X = 解説標を 0 c，d1 とすると 2 (1)　C が y 軸の正の部分と交わるための条件は　f 0 0 1 =2k -8k+4>0 1+c 2+d =-1， =1 2 2 よって　k 2 -4k+2>0 これを解いて　k <2-U 2 ，2+ U2 < k 0 -1，11 0 c，d1 よって　c =-3，d =0 したがって，点 0 -1，11 に関して，C と対称な曲線は， (2)　C が x 軸の正の部分と異なる 2 点で交わるための 0 1，21 O x ら，その方程式は 2 y 条件は，f 0 x 1 =0 の判別式を D とすると 2 次の係数が -1，頂点が点 0 -3，01 の放物線であるか 2 y =-0 x + 31 すなわち　y =-x -6x -9 F D = 0 k- 2 1 2 - 02k 2 -8k + 41 > 0 …… ① 4 軸について k - 2 >0 2 f 0 0 1 = 2k - 8k + 4 >0 f 0 01 …… ② + …… ③ O k -2 x 2 ① から　k -4k <0　すなわち　k0 k -4 1 <0 ゆえに　0< k <4 …… ④ [四ﾒｼﾞ問26(2)]両座標軸との交点P(接点),Q,PQ=√3から関数決定"四メジアンⅠⅡＡＢ受愛知工業大# ② から　k >2 …… ⑤ xy 平面において，2 次関数 y =2x 2 + ax + b 0 a >0 1 のグラフは x 軸と点 P で接し，y 軸 (1) により，③ から　k<2-U 2 ，2+ U 2 < k …… ⑥ と点 Q で交わるとする。線分 PQ の長さが U 3 であるとき，a，b の値を求めよ。 ④，⑤，⑥ の共通範囲を求めて　2+ U 2 < k <4 s　a =2U 3 ，b = 3 2 [四ﾒｼﾞ問28]2つの放物線と接線.接点の座標決定"四メジアンⅠⅡＡＢ受埼玉大# 解説 8 a y =2x + ax + b を変形すると　y =2 x + 4 2 9 2 座標平面上の 2 つの曲線 C 1，C 2 を C 1：y = x 2 +1 ，C 2：y =-x 2 -1 と定める。 a2 +b 8 ^1 と y 軸との交点を Q とする。とし，点 P 0t，t 2 +11 0 t >0 1 における C 1 の接線を ^ 1 y この 2 次関数のグラフが x 軸と接するから (1)　点 Q を通り，^1 と垂直な直線 ^2 の方程式を求めよ。 (2)　(1) で求めた直線　^2 が曲線 C 2 と接するときの t の値を求めよ。 2 b - a =0 …… ① 8 8 このとき，P の座標は　- a ，0 4 Q 0 0，b 1 U3 9 s　(1)　y =- Q の座標は　0 0，b 1 また，PQ=U 3 より，PQ 2 =3 であるから 2 a - - 0 + 0 0 - b 1 2 =3 4 8 すなわち　9 a2 + b 2 =3 …… ② 16 8 P - 9 a ，0 4 O x 1 4 $ U 15 x - t 2 +1 (2)　t = U 2t 2 解説 (1)　y = x 2 +1 から　y - =2x C 1 上の点 P 0t，t 2 +11 における接線　^1 の方程式は 8= 2 9 -402-t 1 =0 2 U 10 $ U 6 4 4 $U 15 (U 15 <4 であるから，いずれも X >0 を満たす) 4 4 $ U 15 t >0 であるから　t = U 2 y = f 0 x 1 のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x = k -2 である。 C 1 2t t 2 = X (＞0) とおくと　16X 2 -32X +1=0 f 0 x 1 = x 2 + 0 4 -2k 1x +2k 2 -8k +4 とする。 (後半)　点 0 -1，11 に関して，点 0 1，21 と対称な点の座 C2 ゆえに　1-16t 202 - t 21 =0　すなわち　16t 4 -32t 2 +1=0 s　(1)　k <2-U 2 ，2+ U2 < k　(2)　2+ U 2 < k<4 y = 0 x - 31 2 +2　すなわち　y = x 2 -6x +11 x O -1 1 x +2- t 2 =0 2t 8 0 a，b1 その方程式は P 0t, t 2 +11 ^2 よって，この判別式を D とすると　D = - (1)　C が y 軸の正の部分と交わるように，k の値の範囲を定めよ。 0 1，21 Q が重解をもつことである。 k を実数とし，2 次関数 y = x 2 + 0 4 -2k 1x +2k 2 -8k +4 のグラフを C とする。 3 1 1 -x -1=- x - t 2 +1 2t [四ﾒｼﾞ問27]y軸,x軸の正の部分と交わる放物線の係数のkの範囲"四メジアンⅠⅡＡＢ受徳島大# 標を 0 a，b1 とすると ^1 2 すなわち　x 2 - y 1 x - t 2 +1 2t (2)　^2 が C 2 と接する条件は，y を消去した x の方程式 3 =12　a >0 であるから　a =2U 3 2 よって，C の頂点の座標は　0 1，21 (前半)　直線 x =2 に関して，点 0 1，21 と対称な点の座 y Q 00，-t +11 すなわち　0 2b -3 10 b +2 1 =0 グラフより，b >0 であるから　b = 2 C1 2 9 8= U 10 $ U 6 4 9 [四ﾒｼﾞ問29]y=min(2x+4,|x-2|)とy=-x^2+kのグラフの共有点"四メジアンⅠⅡＡＢ受名古屋市立大# よって，y = f 0 x 1 + x 2 のグラフは右の図のようになる。関数 f 0 x 1 =min 0 2x + 4， x - 2 1 および g 0 x 1 =-x 2 + k (k は定数) について，次の問いに答えよ。ただし min 0 a，b 1 は a と b の大きくない方を表す。以上から，交点の個数は k < (1)　y = f 0 x 1 のグラフをかけ。 (2)　y = f 0 x 1 のグラフと y = g 0 x 1 のグラフの共有点の個数を求めよ。 k > k > 28 28 のとき 4 個，k = のとき 3 個， 9 9 -2 2 O 3 28 のとき 2 個 9 2 x 28 28 のとき 4 個， k = のとき 3 個， 9 9 - 28 のとき 2 個 9 O 1 2 2 3 x 2 [四ﾒｼﾞ例4(1)]放物線と直線の交点を通り,x軸に接する放物線"四メジアンⅠⅡＡＢ受同志社大# 放物線 y = x 2 と直線 y = x +1 の 2 つの交点 P，Q を通り，x 軸に接し，y 軸に平行な軸をもつ放物線のうち，y = x 2 以外のものの方程式を求めよ。解説 s　y = (1)　y =2x +4 と y = x -2 のグラフは，図 [1] のようになる。したがって，y = f 0 x 1 のグラフは図 [2] のようになる。 1 x + 21 2 50 解説交点 P，Q を通り，y 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式は，一般に k を定数として [1]　[2] y 7 4 -1 8 3 7 < k <3 のとき 2 個，k =3 のとき 3 個， 4 3< k < 4 3 7 < k<3 のとき 2 個， k =3 のとき 3 個， 4 y 7 7 (2)　k < のとき 0 個，k = のとき 1 個， 4 4 7 7 のとき 0 個，k = のとき 1 個， 4 4 3< k < s　(1)　"図# y 28 9 y y =2x +4 y - x 2 + k6 y - 0 x +11 7 =0 0 k' -1 1 とおける。変形すると　0 1 + k1 y = x 2 + kx + k 0 k' -1 1 4 8 y = x -2 3 この放物線が x 軸に接する条件は　k 2 -4k =0　よって　k =0 ，4 8 3 k =0 のとき y = x 2 となり不適。 -2 -2 2 O 3 2 2 O 3 x x 2 k =4 のとき y = 1 1 x + 21 2 となり適する。　p　y = 0 x + 21 2 50 5 [四ﾒｼﾞ例4(2)]方程式|9-x^2|=x+kの実数解の個数"四メジアンⅠⅡＡＢ受成蹊大# (2)　y = f 0 x 1 のグラフと y = g 0 x 1 のグラフの共有点の個数は，方程式 f 0 x 1 =-x 2 + k すなわち f 0 x 1 + x 2 = k の異なる実数解の個数と一致する。よって，y = f 0 x 1 + x 2 のグラフと直線 y =k の共有点の個数と一致する。 f 0 x 1 = F 2 x( 3 8 9 2 であるから -x + 2 - < x < 2 8 3 9 2x + 4 F 2 x + 2x + 4 f 0 x 1 + x 2 = x 2 -x+ 2 x 2 +x- 2 37 37 37 < k のとき 2 のとき 4，k = のとき 3， 4 4 4 解説 9- x 2 - x = k 2 3 8 9 8 9 1 7 2 2 = x+ - < x<2 9 8- 3 <x<29 8 21 9 49 8 3 0 x) 2 1 8x + 2 9 - 4 0 x ) 2 1 2 x( 3 s　k <-3 のとき 0，k =-3 のとき 1，-3< k <3 のとき 2，k =3 のとき 3， 3< k < 0 x) 2 1 x- 2 方程式 9- x 2 = x + k の実数解の個数を調べよ。 F 2 0 x + 1 1 +3 2 2 x( - y y = 9- x 2 - x については 2 -3 (x( 3 のとき　y = 0 9 - x 1 - x 8 よって　y =-x 2 - x +9=- x + 1 2 2 37 9+4 k x <-3，3< x のとき　y =-09 - x 21 - x 1 よって　y = x - x -9= x 2 2 8 9 2 37 4 グラフは右の図のようになる。したがって，直線 y = k との共有点の個数を求めて 37 4 3 3 -3 - 1 O 2 x -3 k <-3 のとき 0，k =-3 のとき 1，-3< k <3 のとき 2，k =3 のとき 3， 3< k < 37 37 37 < k のとき 2 のとき 4，k = のとき 3， 4 4 4