学年末テスト対策 ≪竹高１年生用≫
※この問題はエースのテキストからテスト対策用に重要問題を抜粋したものです。
※エース生にはこれより問題が多いものを早めに配付しています。
※テスト範囲は予想ですので、実際のテスト範囲と異なる場合があります。
※問題に付いている ♠ などのマークは目標別（国公立入試基礎など）に分類したものです。
平面のベクトルの復習
基本問題≪このレベルだけでは平均を超えることは難しいゾ！！≫
1. 次の式の展開式における、
[ ] 内に指定された項の係数を求めよ。
(
)
(2)
2x3
− 12
x
10
[ 定数項 ] (3)♯ (a − 2b + 3c)6 [ ab3 c2 ]
6. (2) 整式 2x3 − 3x2 − 10x − 7 を整式 B で割ると、商が 2x + 3、余りが x − 4 である。整式 B を求めよ。
22. (1) 等式 (2 − i)x + (3 + i)y = −5i を満たす実数 x,
y の値を求めよ。
26. 次の方程式の解を判別せよ。ただし、k は実数の定数とする。
(2) kx2 + 3x − 2 = 0
27. (2) 2 つの 2 次方程式 x2 − (a + 1)x + a + 1 = 0 と x2 + 4x + 1 − a = 0 の一方は実数解をもち、もう一方
は虚数解をもつとき、実数の定数 a の値の範囲を求めよ。
28.
2 次方程式 2x2 − 3x + 4 = 0 の 2 つの解を α, β とするとき、次の値を求めよ。
(1) α + β, αβ (2) α3 + β 3 (4) α − β (5) (2α2 − 3α)(2β 2 − 3β)
29. (1) 2 次方程式 x2 − kx + k + 1 = 0 の 2 つの解の比が 2 : 3 となるように定数 k の値を定め、その 2 つの解
を求めよ。
30. 次の式を複素数の範囲で因数分解せよ。 (1)
2x2 + 3x + 2
√
√
5 i 3− 5 i
31. (1) 2 ,
を解にもつ 2 次方程式を 1 つ作れ。
2
(2) 2 次方程式 x2 − x + 2 = 0 の解を α, β とするとき、2 数 1 , 1 を解にもつ 2 次方程式を 1 つ作れ。
α β
{
32. 次の方程式を解け。 (1) x + y = −2
xy = 3
3+
35. (2) x3 + ax2 + bx − 2 を x − 1 で割ると割り切れ、x + 2 で割ると 4 余るとき、定数 a,
b の値を求めよ。
36. 次の方程式を解け。 (1)
x3 = −8 (3) x3 − 4x2 − 17x + 60 = 0
(4)♯ x4 − 3x3 − 3x2 + 12x − 4 = 0 (6) x4 + x2 − 12 = 0
38. 次の方程式において、実数の定数 a,
(1) 方程式
x3
+
ax2
b と他の解を求めよ。
+ bx + 4 = 0 の解の一つが 1 + i のとき。
標準問題≪ここまで完璧にすれば平均＋１０以上も狙えるゾ！！≫
(
1. 次の式の展開式における、[ ] 内に指定された項の係数を求めよ。 (5)♠ x3 + x +
1
x
)7
[ x7 ]
♯
2
♯
7
(3)
x=
nC0
− nC1 + nC2 − nC3 + · · · · · · + (−1)n nCn = 0 を証明せよ。
√
3+ 5
のとき、3x4 − 10x3 + 4x2 + 7x − 5 の値を求めよ。
2
23. (1)♯ 複素数
1 + ki が純虚数になるような実数 k の値を求めよ。
2−i
29. (2)♠ 2 次方程式 x2 − kx + k + 5 = 0 の 2 つの解はともに正の整数である。このとき、定数 k の値とその
整数解を求めよ。
{
32. 次の方程式を解け。 (2)
x2 + y 2 = 1
x + y + xy = 7
33.
2 次方程式 x2 − mx + m + 3 = 0 が次のような解をもつとき、定数 m の値の範囲を求めよ。
(1)♯ 異なる 2 つの負の解 (2)♯ 異符号の解 (3)♠ 2 より大きい異なる 2 つの解
34. (1)♯ 解の公式を利用して、2x2 + xy − y2 + 7x − 2y + 3 を因数分解せよ。
35. (3) x11 + x10 + 1 を x2 − x で割った余りを求めよ。
(4) 整式 f (x) を x + 1 で割ると −2 余り、2x2 − x − 10 で割ると 2x − 1 余る。f (x) を x2 + 3x + 2 で割った余り
を求めよ。
(5)♯ f (x) を x2 − 1 で割ると 3x + 1 余り、x2 − x − 2 で割ると x − 1 余る。f (x) を (x + 1)(x − 1)(x − 2) で割っ
た余りを求めよ。
36. 次の方程式を解け。
(5)♯ 2x3 − x2 − 5x + 3 = 0 (7)♠ x4 + x2 + 1 = 0 (8)♠ x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 1 = 0
37
♠
3 次方程式 x3 − x2 + 2x + 1 = 0 の 3 つの解を α, β, γ とするとき、次の値を求めよ。
(1) α + β + γ, αβ + βγ + γα, αβγ (3) 12 + 12 + 12 (5) α3 + β 3 + γ 3
α
β
γ
39. (1)♯ 3 次方程式 x3 + (2a − 1)x2 + (2 − 3a)x + a − 2 = 0 が正の 2 重解をもつとき、定数 a の値を求めよ。
40.
x3 = 1 の虚数解の 1 つを ω とするとき、次の値を求めよ。
(1)♯ ω 10 + ω 20 (2)♯ 1 + ω + ω 2 + ω 3 + · · · · · · + ω 99 (3)♯ ω + 1
ω
応用問題≪平均＋２０点以上を目指す人はここまで頑張ろう！！≫
27. (3)♠2 次方程式 x2 − (3 − a)x + 2a − b = 0 がすべての実数 a に対して実数解をもつような定数 b の値の範
囲を求めよ。
34. (2)♠ x2 + 2xy − 3y2 − 3x + 7y + k が x,
y の 1 次式の積に因数分解できるように定数 k の値を定め、因数
分解せよ。
35.
(6)♠ 整式 P (x) を (x − 1)2 で割ると 4x − 3 余り、x + 2 で割ると 7 余る。P (x) を (x − 1)2 (x + 2) で割っ
た余りを求めよ。
39. (3)♠ 3 次方程式 x3 − (a − 4)x2 + (a + 3)x + 2a = 0 の 3 つの解がすべて整数となるような実数 a の値を求
めよ。
2
解答
§１ 式と証明
1. (1) (3a − 2b) [ a b ]
5
3 2
全部で５回かけるうち 3a を３回, −2b を２回
∴ 5C3 (3a)3 (−2b)2 = 1080a3 b2
係数は 1080
(
)10
1
[ 定数項 ]
(2) 2x3 − 2
x
1
全部で 10 回かけるうち 2x3 を４回, − 2 を６回
x
(この組み合わせを何とか見つけるのである)
)6
(
)4 (
1
= 3360
∴ 10C4 2x3
− 2
x
定数項は 3360
(3) (a − 2b + 3c)6 [ab3 c2 ]
全部で６回かけるうち a を１回, −2b を３回, 3c を２回
∴ 6C1 · 5C3 · 2C2 a(−2b)3 (3c)2 = −4320ab3 c2
係数は −4320
(4) (x2 + x − 2)8 [x7 ]
x7 の項が現れる組み合わせは次の４通りある
8C3 · 5C1 · 4C4 (x2 )3 (x)1 (−2)4 = 4480x7
8C2 · 6C3 · 3C3 (x2 )2 (x)3 (−2)3 = −4480x7
8C1 · 7C5 · 2C2 (x2 )1 (x)5 (−2)2 = 672x7
8C0 · 8C7 · 1C1 (x2 )0 (x)7 (−2)1 = −16x7
よって係数は ∴ 4480 − 4480 + 672 − 16 = 656
(
)
1 7 7
[x ]
(5) x3 + x +
x
7
x の項が現れる組み合わせは次の４通りある
( )3 ( )1 ( )3
1
7C3 · 4C1 · 3C3 x3
x
= 140x7
x
( )2 ( )3 ( )2
1
7C2 · 5C3 · 2C2 x3
x
= 210x7
x
( )1 ( )5 ( )1
1
7C1 · 6C5 · 1C1 x3
x
= 42x7
x
( )0 ( )7 ( )0
1
7C0 · 7C7 · 0C0 x3
x
= x7
x
よって係数は ∴ 140 + 210 + 42 + 1 = 393
(6) (x + y)5 (x + y + 1)4 [ x4 y 3 ]
x4 y 3 の項がでてくるのは
例えば (x + y)5 から x3 y 2 が出てきて
(x + y + 1)4 から xy が出てくるとき
このような場合は次の 3 つの場合
(x + y)5 × (x + y + 1)4
(i)
x4 y
×
y2
(ii)
x3 y 2
×
xy
(iii)
x2 y 3
×
x2
(i) 5C4 x4 y × 4C2 x0 y 2 · 12 = 30x4 y 3
× 4C1 · 3C1
·
=
(iii) 5C2
× 4C2 x2 y 0 · 12 = 60x4 y 3
∴ x4 y 3 の係数は 30 + 120 + 60 = 210
(ii) 5C3
x3 y 2
x1 y 1
12
120x4 y 3
x2 y 3
2. (1) 二項定理より
(1 + x)10 =
10C0
+ 10C1 x + 10C2 x2 + · · · · · · + 10C10 x10
が成り立つ。この式に x = 1 を代入すると
210 = 10C0 + 10C1 · 1 + 10C2 · 12 + · · · · · · + 10C10 · 110
よって
10C0 + 10C1 + 10C2 + · · · · · · + 10C10 = 1024
(3) 二項定理より
(1+ x)n= nC0 + nC1 x + nC2 x2 + nC3 x3 + · · · · · · + nCn xn
この式に x = −1 を代入すると
0 = nC0 − nC1 + nC2 − nC3 + · · · · · · + (−1)n nCn
よって成り立つ（証終）
3. (1) 11
11
= (10 + 1)11 として 2 項定理で展開すると
= 11C0 1011 + 11C1 1010 + · · · · · · + 11C9 102 + 11C10 101 + 11C11
11C9 102 + 11C10 101 + 11C11 以外は
1000 = 103 で割り切れるので
下 3 桁は 11C9 102 + 11C10 101 + 11C11 で決まる
= 5500 + 110 + 1 = 5611
よって下 3 桁は 611
(2) 320 = 910 = (10 − 1)10 として 2 項定理で展開すると
= 10C0 1010 − 10C1 109 + · · · · · · + 10C8 102 − 10C9 101 + 10C10
10C8 102 − 10C9 101 + 10C10 以外は
1000 = 103 で割り切れるので
下 3 桁は 10C8 102 − 10C9 101 + 10C10 で決まる
= 4500 − 100 + 1 = 4401
よって下 3 桁は 401
4. (1)
x2 − 4
x−3
x−1
× 2
÷
x
x2 − 2x − 3
x + 2x
(x + 2)(x − 2)
x−3
x
×
×
=
(x − 3)(x + 1)
x(x + 2)
x−1
x−2
=
(x + 1)(x − 1)
(2)
=
=
=
=
x+5
2x
+ 2
x2 + x − 2
x −4
x+5
2x
+
(x + 2)(x − 1)
(x + 2)(x − 2)
(x + 5)(x − 2) + 2x(x − 1)
(x + 2)(x − 1)(x − 2)
3x2 + x − 10
(x + 2)(x − 1)(x − 2)
(3x − 5)(x + 2)
3x − 5
=
(x + 2)(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x − 2)
1
1
2
4
+
+
+
1−x
1+x
1 + x2
1 + x4
2
2
4
=
+
+
1 − x2
1 + x2
1 + x4
4
4
8
=
+
=
1 − x4
1 + x4
1 − x8
(3)
(4) 1 −
1
1−
1
1
1−
x
x−1
=1−
= x
−1
=1−
1
1−
x
x−1
5. (1)
4x2 +2x +6
x2 − 3x )4x4 −10x3
−17x −2
4x4 −12x3
2x3
2x3 −6x2
6x2 −17x
6x2 −18x
x −2
商 4x2 + 2x + 6 余り x − 2
(2) 二項定理より
(1+ x)n= nC0 + nC1 x + nC2 x2 + nC3 x3 + · · · · · · + nCn xn
この式に x = 2 を代入すると
3n = nC0 + 2nC1 + 22 nC2 + 23 nC3 + · · · · · · + 2n nCn
よって成り立つ（証終）
3
(2)
x −1
x3 + x2 + x + 1 )x4
−1
x4 +x3 +x2 +x
−x3 −x2 −x −1
−x3 −x2 −x −1
0
商 x − 1 余り 0
6. (1)
A = (2x2 − 1)(3x + 4) − 2x − 3
= 6x3 + 8x2 − 5x − 7
(2) 2x3 − 3x2 − 10x − 7 = B(2x + 3) + x − 4 とかける
∴ B(2x + 3) = 2x3 − 3x2 − 11x − 3
B = (2x3 − 3x2 − 11x − 3) ÷ (2x + 3)
割り算を計算して B = x2 − 3x − 1
7. ♣ 割り算を利用する
√
3+ 5
より
2
√
√
⇐⇒ 2x = 3 + 5 ⇐⇒ 2x − 3 = 5 を２乗して
=⇒ 4x2 − 12x + 9 = 5 ⇐⇒ x2 − 3x + 1 = 0 が得られる
ここで与式 3x4 − 10x3 + 4x2 + 7x − 5 を x2 − 3x + 1 で
割ってやると、商が 3x2 − x − 2, 余り 2x − 3 となる
よって与式は
3x4 − 10x3 + 4x2 + 7x − 5
= (x2 − 3x + 1)(3x2 − x − 2) + 2x − 3 とかける
= 0 × (3x2 − x − 2) + 2x − 3 ← x2 − 3x + 1 = 0 代入
√
3+ 5
= 2x − 3 ここで x =
を代入
2
√
3+ 5
=2×
−3
2
√
= 5 （初めから代入してもよいがこの解法がテーマ）
x=
√
= −1,
−1 = i
√
√
√
√
−2 × −3 = 2 i × 3 i = − 6
21√. ♣ i
(1)
2
(2) (2 + 3i)(3i − 5) = 6i − 10 + 9i2 − 15i = −19 − 9i
(3) (1 + 2i)4 = (1 + 2i)2 (1 + 2i)2 = (−3 + 4i)(−3 + 4i)
= −7 − 24i
(1 − i)(2 − i)
(3 + i)(1 + 2i)
1−i
3+i
+
=
+
2+i
1 − 2i
(2 + i)(2 − i)
(1 − 2i)(1 + 2i)
2 + 4i
1 − 3i
1 + 7i
=
+
=
5
5
5
(4)
(5) i5 + i10 + i15 + i20 ←− i4 = 1 を利用
= i + i2 + i3 + 1 = i − 1 − i + 1 = 0
(
)100
(1 − i)2
1−i
1−i
(6)
←−
=
1+i
1+i
(1 + i)(1 − i)
−2i
= −i
= (−i)100 =
2
100
=i
=1
22. ♣ i について整理する
(1) (2 − i)x + (3 + i)y = −5i
2x − xi + 3y + yi = −5i
2x + 3y + (−x + y)i = −5i
2x + 3y, −x + y は実数より
2x + 3y = 0
······ 1
−x + y = −5 · · · · · · 2
1 , 2 より x = 3, y = −2
(2) (1 + i)x2 + (a + 3i)x − 2a − 4i = 0
x2 + ax − 2a + (x2 + 3x − 4)i = 0
a, x は実数より x2 + ax − 2a, x2 + 3x − 4 も実数であるから
4
x2 + ax − 2a = 0
······ 1
x2 + 3x − 4 = 0
······ 2
2 より (x + 4)(x − 1) = 0 ∴ x = −4, 1
8
3
x = 1 のとき 1 より a = 1
8
よって a =
, 1
3
x = −4 のとき 1 より a =
♣ a = 1 のときの 2 次方程式の解の 1 つは x = 1 であるが
もう一つは次のように求められる。a = 1 より
x2 + x − 2 + (x2 + 3x − 4)i = 0
(x − 1)(x + 2) + (x − 1)(x + 4)i = 0
(x − 1){x + 2 + (x + 4)i} = 0
(x − 1){(1 + i)x + 2 + 4i} = 0
2 + 4i
= −3 − i
∴ もう一つの解は x = −
1+i
8
a=
のときも同様に求められる
3
(1 + ki)(2 + i)
2 − k + (2k + 1)i
1 + ki
. (1)
=
=
2−i
(2 − i)(2 + i)
5
2−k
2k + 1
+
i
=
5
5
2−k
2k + 1
純虚数になるのは
= 0 かつ
̸= 0 のとき ∴ k = 2
5
5
(2) 2 乗すると i になる複素数を a + bi(a, b は実数) とおく
(a + bi)2 = i
a2 + 2abi − b2 = i
a2 − b2 + 2abi = i
a2 − b2 , 2ab は実数であるから
a2 − b2 = 0 · · · · · · 1
2ab = 1
······ 2
23
1 より (a − b)(a + b) = 0 ∴ a = b または a = −b
1
1
⇐⇒ a = ± √
(i) a = b のとき、2a2 = 1 ⇐⇒ a2 =
2
2
1
1
1
b = ± √ よって求める複素数は ± √ ± √ i (複号同順)
2
2
2
1
(ii) a = −b のとき、− 2a2 = 1 ⇐⇒ a2 = −
2
1
⇐⇒ a = ± √ i a は実数より不適
2
1
1
(i)(ii) より ± √ ± √ i (複号同順)
2
2
(3) α = a + bi, β = c + di (α, β は虚数より b ̸= 0, d ̸= 0) とおく
(i) α + β が実数
α + β = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
よって b + d = 0 · · · · · · 1
(ii) αβ も実数
αβ = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
よって ad + bc = 0 · · · · · · 2
1 , 2 のとき α, β が互いに共役な複素数であることを示す
1 より d = −b · · · · · · 3
これを 2 に代入して
a(−b) + bc = 0 ⇐⇒ b(c − a) = 0
b ̸= 0 より c = a · · · · · · 4
3 , 4 より α = a + bi, β = a − bi なので
α, β は互いに共役な複素数である
√
. (1) x2 + 5 = 0, x2 = −5, x = ± 5 i
24
(2) x2 + 7x + 15 = 0
√
√
−7 ± −11
−7 ± 11 i
x=
=
2
2
25. x
2
− (a − 1)x + 3b = 0 に x = 1 + 2i を代入
− (a − 1)(1 + 2i) + 3b = 0
(1 +
(−a + 3b − 2) + (−2a + 6)i = 0 ←− i について整理した
−a + 3b − 2, −2a + 6 は実数であるから
−a + 3b − 2 = 0 · · · · · · 1
−2a + 6 = 0
······ 2
2i)2
1 , 2 より a = 3, b =
26. (1) 3x
5
3
− 10x + 9 = 0
D/4 =
− 3 · 9 = −2
∴ D/4 < 0 なので 異なる２つの虚数解をもつ
2
(2) kx2 + 3x − 2 = 0
(i) k ̸= 0 のとき D = 9 + 8k
9
のとき、異なる２つの実数解
8
9
9 + 8k = 0 すなわち k = − のとき、実数の重解
8
9
9 + 8k < 0 すなわち k < − のとき、異なる２つの虚数解
8
(ii) k = 0 のとき、
与式 kx2 + 3x − 2 = 0 は 3x − 2 = 0 となるので
2
x =
という１つの実数解をもつ
3
(i)(ii) より
9
k > − , k ̸= 0 のとき、異なる２つの実数解
8
k = − 9 のとき、実数の重解
8
9
k
<
−
のとき、異なる２つの虚数解
8
k = 0 のとき、１つの実数解
9 + 8k > 0 すなわち k > −
27. (1) 虚数解をもつので D < 0
∴ D/4 = (a − 2)2 − 3 < 0
a2 − 4a + 1 < 0
√
√
2 − 3 < a < 2 + 3
a は整数なので a = 1, 2, 3
β
α
+
α2 + β 2
2α − 1
2β − 1
β(2β − 1) + α(2α − 1)
=
= (α + β)2 − 2αβ
(2α − 1)(2β − 1)
( )2
2
2
2(α + β ) − (α + β)
3
=
=
−2·2
4αβ
2
( − 2(α
) + β) + 1
7
3
2 −
−
7
4
2
=
=−
3
4
4·2−2·
+1
2
5
=−
6
(4) (α − β)2 = α2 + β 2 − 2αβ = (α + β)2 − 4αβ
( )2
3
23
−4·2=−
=
2
4
√
23
∴α−β =±
i
2
(5) α, β は 2x2 − 3x + 4 = 0 の解なので
2α2 − 3α + 4 = 0, 2β 2 − 3β + 4 = 0 が成り立つ
（♣ この式も利用できることを忘れるな！）
∴ 2α2 − 3α = −4, 2β 2 − 3β = −4
よって (2α2 − 3α)(2β 2 − 3β) = −4 · (−4) = 16
29
. (1) x2 − kx + k + 1 = 0 の２つの解を 2α, 3α とおく
解と係数の関係から
2α + 3α = k
5α = k
······ 1
∴
2α · 3α = k + 1
6α2 = k + 1 · · · · · · 2
6α2 − 5α − 1 = 0
(ii) x2 + 4x + 1 − a = 0
D2 ＞
＝ 0 を調べると
D2 /4 = 22− (1 − a) ＞
＝0
a+3＞
＝0
a＞
＝ − 3······ 2
3
2
1
a
(3) x2 − (3 − a)x + 2a − b = 0 が実数解をもつので D1 ＞
＝0
D1 = (3 −
(2) α3 + β 3 = (α + β)3 − 3αβ(α + β)
( )3
3
3
45
−3·2·
=−
=
2
2
8
1 を 2 に代入して
−3
−1
図より一方だけが実数解をもつのは
a < −3, −1 < a < 3
a)2
ax2 + bx + c = 0 の解を α, β とすると
c
b
α + β = − , αβ =
a
a
3
(1) 解と係数の関係より α + β =
, αβ = 2
2
(3)
52
(2)
(i) x2 − (a + 1)x + a + 1 = 0
D1 ＞
＝ 0 を調べると
D1 = (a + 1)2− 4(a + 1) ＞
＝0
2
a − 2a − 3 ＞
＝0
(a − 3)(a + 1) ＞
＝0
a＜
−
1,
3
＜
＝
＝a······ 1
28. ♣ 解と係数の関係
− 4(2a − b) ＞
＝0
(6α + 1)(α − 1) = 0,
α=−
α = 1 のとき, k = 5, ２つの解 2, 3
(2) x2 − kx + k + 5 = 0 の２つの解を α, β とすると
α + β = k
······ 1
αβ = k + 5 · · · · · · 2
1 を 2 に代入して αβ − α − β − 5 = 0
（これを満たす整数 α, β を求める）
(α − 1)(β − 1) = 6 と変形すると
α − 1 とβ − 1 の組み合わせは
α−1
6 3 2 1
−6
−3
β−1
1 2 3 6
−1
−2
α
β
7
2
4
3
すべての実数 a に対してこの不等式が成り立たないといけないので
α, β は正なので
α
7 4
β
2 3
+
図より D2 ＜
＝0
a
D2 /4 = 72 − (4b + 9) ＜
＝ 10
＝ 0 ∴ b ＞
+
1
, 1
6
1
5
1
1
のとき, k = − , ２つの解 −
, −
6
6
3
2
∴ a2 − 14a + 4b + 9 ＞
＝0
+
∴α−
−5
0
−2
−1
−2
−3
−1
なので
−6
−1
−2
0
−5
3
4
2
7
3
4
2
そのときの k は
7
k
9 7 7 9
k = 9 のとき正の整数解 2, 7
∴
k = 7 のとき正の整数解 3, 4
5
30. (1) 2x √+ 3x + 2 = 0 から
2
−3 ± 7 i
この解を利用して
4
2
∴ 2x + 3x + 2
(
)(
)
√
√
−3 + 7 i
−3 − 7 i
=2 x−
x−
4
4
x=
(2) x4 − 2x2 − 15
= (x2 − 5)(x2 + 3) ←− 通常はここまで
√
√
= (x + 5)(x − 5)(x2 + 3) ←− 実数の範囲
√
√
√
√
= (x + 5)(x − 5)(x + 3 i)(x − 3 i)
31. (1) 2 つの解 α, β を解にもつ 2 次方程式は
x2 − (α + β)x + αβ = 0 なので、2 つの解の和と積を調べる
√
√
3+ 5 i
3− 5 i
和：
+
=3
2
2
√
√
3+ 5 i
3− 5 i
7
積：
×
=
2
2
2
7
よって求める 2 次方程式は x2 − 3x +
=0
2
2
∴ 2x − 6x + 7 = 0
(2) 異なる 2 つの実数解をもつので
D = m2 − 4(m + 3) > 0 より m < −2, 6 < m · · · · · · 1
2 つの解を α, β とすると、
解と係数の関係より α + β = m, αβ = m + 3
1 の範囲において、異符号の解をもつためには
αβ < 0 であればよいので
αβ = m + 3 < 0 ∴ m < −3 · · · · · · 2
1 , 2 より m < −3
(3) 異なる 2 つの実数解をもつので
D > 0 より m < −2, 6 < m · · · · · · 1
2 つの解を α, β とすると、
α, β は 2 より大きいので α − 2 > 0, β − 2 > 0 であるから
(i) (α − 2) + (β − 2) > 0 かつ (ii) (α − 2)(β − 2) > 0
解と係数の関係より α + β = m, αβ = m + 3 を用いて
(i) α + β − 4 > 0 ⇐⇒ m − 4 > 0 ∴ m > 4 · · · · · · 2
(ii) αβ − 2(α + β) + 4 > 0
⇐⇒ m + 3 − 2m + 4 > 0 ∴ m < 7 · · · · · · 3
1 , 2 , 3 より 6 < m < 7
♡ 別解 (1)(2)(3) ともに２次関数の単元でやった解法でも出来る
34. (1)2x
2
(2) 解と係数の関係より α + β = 1, αβ = 2
1
1
,
について
２数
α
β
α+β
1
1
1
和：
+
=
=
α
β
αβ
2
1
1
1
1
積：
×
=
=
α
β
αβ
2
1
1
よって x2 − x +
= 0 ∴ 2x2 − x + 1 = 0
2
2
32. (1) 和が −2, 積が 3 である２数 x, y は
２次方程式 t2 + 2t + 3 = 0 の解である
√
∴ t = −1 ± 2 i
√
√
(x, y) = (−1 ± 2 i, −1 ∓ 2 i) (複号同順)
x2 + y 2 = 1
······ 1
(2)
x + y + xy = 7 · · · · · · 2
♣ まず x + y と xy を求める
x + y = p, xy = q とおくと
1 は (x + y)2 − 2xy = 1 より p2 − 2q = 1 · · · · · · 3
2 は p + q = 7 より q = 7 − p を 3 に代入して
p2 − 2(7 − p) = 1 (p − 3)(p + 5) = 0
p = 3, −5 ∴ (p, q) = (3, 4), (−5, 12)
(i) x + y = 3, xy = 4 を満たす (x, y) は
√
3± 7 i
t2 − 3t + 4 = 0 の解より t =
2
(ii) x + y = −5, xy = 12 を満たす (x, y) は
√
−5 ± 23 i
t2 + 5t + 12 = 0 の解より t =
2
(
)
√
√
3± 7i 3∓ 7 i
(x, y) =
,
2
2
)
(
√
√
−5 ± 23 i −5 ± 23 i
,
(複号同順)
2
2
33. ♣ 問題には実数解と書いていないが、虚数には正負や
大小の概念がないので実数解をもつときになる。
(1) 異なる 2 つの実数解をもつので
D = m2 − 4(m + 3) > 0 より m < −2, 6 < m · · · · · · 1
2 つの解を α, β とすると、
解と係数の関係より α + β = m, αβ = m + 3
1 の範囲において、異なる 2 つの負の解をもつためには
α + β < 0 かつαβ > 0 であればよいので
α + β = m < 0 かつαβ = m + 3 > 0
∴ −3 < m < 0 · · · · · · 2
1 , 2 より −3 < m < −2
6
+ xy − y 2 + 7x − 2y + 3 = 0 を x について解く
2x2 + (y + 7)x − y 2 − 2y + 3 = 0 から
√
−y − 7 ± 9y 2 + 30y + 25
x=
4
√
−y − 7 ± (3y + 5)2
−y − 7 ± (3y + 5)
=
=
4
4
−y − 7 − (3y + 5)
−y − 7 + (3y + 5)
,
=
4
4
y−1
=
, −y − 3
2
∴ 2x2 + xy − y 2 + 7x − 2y + 3
}{
}
{
y−1
x − (−y − 3)
=2 x−
2
= (2x − y + 1)(x + y + 3)
(2) x2 + 2xy − 3y 2 − 3x + 7y + k = 0
x2 + (2y − 3)x − 3y 2 + 7y + k = 0 から
√
−2y + 3 ± 16y 2 − 40y + 9 − 4k
x=
が得られる
2
ここで１次式の積に因数分解されるためには
√
がはずれる必要があるので
16y 2 − 40y + 9 − 4k = ( )2 の形になるはず
よってこの式において D = 0 となる必要がある
∴ D/4 = 202 − 16(9 − 4k) = 0, k = −4
このとき、
−2y + 3 ±
√
16y 2 − 40y + 25
2
√
−2y + 3 ± (4y − 5)2
=
2
−2y + 3 ± (4y − 5)
=
2
= y − 1, −3y + 4
x=
∴ x2 + 2xy − 3y 2 − 3x + 7y − 4
{
}{
}
= x − (y − 1) x − (−3y + 4)
= (x − y + 1)(x + 3y − 4)
♡ 別解 こちらの方が一般的な解法かも
x2 + 2xy − 3y 2 − 3x + 7y + k = (x − y + a)(x + 3y + b)
とおける
♣ 展開したときの x2 + 2xy − 3y 2 の部分に注意すると
右辺の y の係数が −1 と 3 と決まるのでこのようにおける
右辺を展開すると
x2 + 2xy − 3y 2 + (a + b)x + (3a − b)y + ab
x と y の恒等式であるから係数を比較して
a + b = −3, 3a − b = 7, ab = k
よって a = 1, b = −4, k = −4
(x − y + 1)(x + 3y − 4)
35. (2) f (x) = x
+ ax2 + bx − 2 とすると
x − 1 で割ると割り切れるので f (1) = 0 · · · · · · 1
x + 2 で割ると 4 余るので f (−2) = 4 · · · · · · 2
1 より f (1) = 1 + a + b − 2 = 0 ∴ a + b = 1 · · · · · · 3
2 より f (−2) = −8 + 4a − 2b − 2 = 4 ∴ 2a − b = 7 · · · · · · 4
5
8
, b=−
3 , 4 より a =
3
3
3
(3) 求める余りを ax + b とおくと
x11 + x10 + 1 = x(x − 1) Q(x) + ax + b とかける
x = 0 を代入 −→ 1 = b
x = 1 を代入 −→ 1 + 1 + 1 = a + b
∴ a = 2, b = 1 よって余り ∴ 2x + 1
(4) 与えられた条件より
f (x) = (x + 1)Q1 (x) − 2 · · · · · · 1
f (x) = (2x − 5)(x + 2)Q2 (x) + 2x − 1 · · · · · · 2
とかける
f (x) を x2 + 3x + 2 で割った余りを ax + b とおくと
f (x) = (x + 1)(x + 2)Q(x) + ax + b とかける
1 より f (−1) = −2 ∴ f (−1) = −a + b = −2 · · · · · · 3
2 より f (−2) = −5 ∴ f (−2) = −2a + b = −5 · · · · · · 4
3 , 4 より a = 3, b = 1
∴ 余り3x + 1
(5) 与えられた条件より
f (x) = (x + 1)(x − 1)Q1 (x) + 3x + 1 · · · · · · 1
f (x) = (x − 2)(x + 1)Q2 (x) + x − 1 · · · · · · 2
f (x) を (x + 1)(x − 1)(x − 2) で割った余りを
ax2 + bx + c とおくと
f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)Q(x) + ax2 + bx + c
1 , 2 より f (−1) = −2, f (1) = 4, f (2) = 1 なので
f (−1) = a − b + c = −2 · · · · · · 3
f (1) = a + b + c = 4 · · · · · · 4
f (2) = 4a + 2b + c = 1 · · · · · · 5
3 , 4 , 5 より a = −2, b = 3, c = 3
よって余りは −2x2 + 3x + 3
(6) P (x) を (x − 1)2 で割ると 4x − 3 余る · · · · · · 1
P (x) を x + 2 で割ると７余る · · · · · · 2
P (x) を (x − 1)2 (x + 2) で割った余りを ax2 + bx + c とおくと
P (x) = (x − 1)2 (x + 2) Q(x) + ax2 + bx + c · · · · · · (∗)
(ここで 1 , 2 の条件を上手に使わなければならない)
P (x) を (x − 1)2 で割った余りが 4x − 3 であるから
(∗) において ax2 + bx + c = a(x − 1)2 + 4x − 3 とおける
∴ P (x) = (x − 1)2 (x + 2) Q(x) + a(x − 1)2 + 4x − 3
このようにおけば確かに
P (x) を (x − 1)2 で割った余りが 4x − 3 になっている
おき方の考え方としては
P (x) = (x − 1)2 (x + 2) Q(x) + ax2 + bx + c を
(x − 1)2 で割ったとき
(x − 1)2 (x + 2) Q(x) の部分は (x − 1)2 で割り切れるので
余りの 4x − 3 は ax2 + bx + c の部分から出てくる
つまり ax2 + bx + c を (x − 1)2 で割った余りが 4x − 3
また x2 の係数は a であることも注意して
ax2 + bx + c = a(x − 1)2 + 4x − 3 とおいている
慣れるまでは難しいね。
2 より P (−2) = 7 なので
P (−2) = a(−2 − 1)2 + 4 · (−2) − 3 = 7 ∴ a = 2
よって余りは 2(x − 1)2 + 4x − 3 = 2x2 − 1
(7) f (x) は 3 次式である。
x2 + 2x + 3 で割ると x − 3 余るので
f (x) = (x2 + 2x + 3)(ax + b) + x − 3 · · · · · · 1 とおける
x2 − 3x + 2 で割ると 10 余るので
f (x) = (x2 − 3x + 2)(cx + d) + 10 · · · · · · 2 とおける
1 , 2 は同じ式なので展開して係数比較すればよい
1 より f (x) = ax3 + (2a + b)x2 + (3a + 2b + 1)x + 3b − 3
2 より f (x) = cx3 + (−3c + d)x2 + (2c − 3d)x + 2d + 10
よって
a=c
······ 3
2a + b = −3c + d
······ 4
3a
+
2b
+
1
=
2c
−
3d
·
····· 5
3b − 3 = 2d + 10
······ 6
3 , 4 , 5 , 6 より
a = −1, b = 3, c = −1, d = −2
よって f (x) = −x3 + x2 + 4x + 6
36. ♣ 解答は因数分解に組立除法を用いているが
割り算を行って因数分解してもよい
(1) x3 = −8
x3 + 8 = 0
(x + 2)(x2 − 2x + 4) = 0
√
∴ x = −2, 1 ± 3 i
(2) x3 + 2x2 − 5x − 6 = 0
この式に x = −1 を代入すると成り立つので
[−1] 1
2
−5
−6
−1
−1
6
組立除法より 1
1
−6 (0)
∴ (x + 1)(x2 + x − 6) = 0
(x + 1)(x + 3)(x − 2) = 0
x = −1, −3, 2
(3) x3 − 4x2 − 17x + 60 = 0
この式に x = 3 を代入すると成り立つので
[3] 1
−4
−17
60
3
−3
−60
組立除法より 1
−1
−20
(0)
∴ (x − 3)(x2 − x − 20) = 0
(x − 3)(x − 5)(x + 4) = 0
x = 3, 5, −4
(4) x4 − 3x3 − 3x2 + 12x − 4 = 0
この式に x = 2, x = −2 を代入すると成り立つので
[2]
1
−3
−3
12
−4
2
−2
−10
4
1 −1
−5
2
(0)
組立除法より [−2]
−2
6
−2
1
−3
1
(0)
∴ (x − 2)(x + 2)(x2 − 3x + 1) = 0
√
3± 5
x = ±2,
2
(5) 2x3 − x2 − 5x + 3 = 0
3
この式に x =
を代入すると成り立つので
2
[
]
3
2
−1
−5
3
3
3
−3
組立除法より 2
2
2
−2 (0)
)
(
3
2
(2x + 2x − 2) = 0
∴ x−
2
(2x − 3)(x2 + x − 1) = 0
√
−1 ± 5
3
x =
,
2
2
7
(6) x4 + x2 − 12 = 0
A2 + A − 12 = 0
(A + 4)(A − 3) = 0
(x2 + 4)(x2 − 3) = 0
∴ x2 = −4, 3 x = ±2i, ±
38. ♣ それぞれ解法を変えてみたので参考に。
(1) x3 + ax2 + bx + 4 = 0 に x = 1 + i を代入すると
(1 + i)3 + a(1 + i)2 + b(1 + i) + 4 = 0
(
)
(1 + i)2 = 1 + 2i − 1 = 2i
3
2
(1 + i) = (1 + i) (1 + i) = 2i(1 + i) = −2 + 2i
√
3
(−2 + 2i) + a(2i) + b + bi + 4 = 0
(b + 2) + (2a + b + 2)i = 0
b + 2, 2a + b + 2 は実数であるから
b + 2 = 0
a = 0, b = −2
2a + b + 2 = 0
(7) x4 + x2 + 1 = 0
(x2 + 1)2 − x2 = 0
(x2 + 1 + x)(x2 + 1 − x) = 0
(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = 0
√
√
−1 ± 3 i
1± 3i
x=
,
2
2
− 4x + 1 = 0 両辺を
で割る
1
1
− 4x + 5 − 4 ·
+ 2 =0
x
(
)x
1
1
x2 + 2 − 4 x +
+5=0
x
x
)2
(
)
(
1
1
−4 x+
+3=0
x+
x
x
1
t=x+
とおくと
x
2
t − 4t + 3 = 0
(t − 1)(t − 3) = 0 t = 1, 3
1
1
t=x+
= 1 t=x+
=3
x
x
2
2
x +1=x
x + 1 = 3x
x 2 − x + 1 = 0
x2 − 3x +√1 = 0
√
1± 3 i
3± 5
x=
x=
2
2
√
√
1± 3 i
3± 5
以上より x =
,
2
2
(8)
x4
−
4x3
+
5x2
x2
x2
37. ♣ 3 次方程式の解と係数の関係 ♣
ax3 + bx2 + cx + d = 0 の 3 つの解を α, β, γ とすると
b
c
α + β + γ = − , αβ + βγ + γα =
a
a
d
αβγ = −
a
(1) 解と係数の関係より
α + β + γ = 1, αβ + βγ + γα = 2, αβγ = −1
(2) α2 + β 2 + γ 2
= (α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα)
= 12 − 2 · 2 = −3
1
1
1
+ 2 + 2
α2
β
γ
α2 β 2 + β 2 γ 2 + γ 2 α2
=
α2 β 2 γ 2
(αβ + βγ + γα)2 − 2(αβ 2 γ + βγ 2 α + γα2 β)
=
α2 β 2 γ 2
22 − 2αβγ(α + β + γ)
=
(−1)2
= 4 − 2(−1) · 1 = 6
(3)
(4) α + β + γ = 1 より
α + β = 1 − γ, β + γ = 1 − α, γ + α = 1 − β
∴ (α + β)(β + γ)(γ + α)
= (1 − γ)(1 − α)(1 − β)
= 1 − α − β − γ + αβ + βγ + γα − αβγ
= 1 − (α + β + γ) + (αβ + βγ + γα) − αβγ
= 1 − 1 + 2 − (−1) = 3
(5) α3 + β 3 + γ 3
= (α + β + γ)(α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ − γα) + 3αβγ ← 公式
= 1(−3 − 2) + 3(−1)
= −8
8
このとき与式は x3 − 2x + 4 = 0
因数分解すると (x + 2)(x2 − 2x + 2) = 0
x = −2, 1 ± i
以上より a = 0, b = −2 他の解 x = −2, 1 − i
(2) x3 + ax2 + bx − 5 = 0 · · · · · · (∗) とする
√
√
3 − 11 i
3 + 11 i
x=
が解より
も解である
2
2
√
√
3 − 11 i
3 + 11 i
2数
,
を解にもつ 2 次方程式は
2
2
2
x − 3x + 5 = 0 であるから
(∗) は x2 − 3x + 5 を因数にもつので
(x2 − 3x + 5)(x − 1) = 0 とおける
(
普通は x − 1 のところを px + q とおいてもよい
x3 の係数は 1 で定数項は − 5 なので x − 1 と決まる
これを展開して整理すると
x3 − 4x2 + 8x − 5 = 0
(∗) と係数比較して
a = −4, b = 8, 他の解は 1,
♡ 別解
3−
√
,
3+
√
11 i
2
√
11 i
, α とおけるので
2
2
3 次方程式の解と係数の関係より
√
√
3 − 11 i
3 + 11 i
+
+ α = −a
2
2
√
√
√
√
3 − 11 i 3 + 11 i
3 + 11 i
3 − 11 i
·
+
·α+α·
=b
2
2
2
2
√
√
3 − 11 i 3 + 11 i
·
·α=5
2
2
これを解いて a = −4, b = 8, α = 1
(3) x4 − 3x3 + ax2 + bx − 3 = 0 · · · · · · (∗) とする
√
√
x = 1 + 2 i が解より 1 − 2 i も解である
√
√
2 数 1 + 2 i, 1 − 2 i を解にもつ 2 次方程式は
x2 − 2x + 3 = 0 であるから
(∗) は x2 − 2x + 3 を因数にもつので
x2 − 2x + 3 で割り切れる
x2 −x +(a − 5)
x2−2x+3 ) x4 −3x3
+ax2
+bx
−3
x4 −2x3
+3x2
−x3 +(a−3)x2
+bx
−3
−x3
+2x2
−3x
(a−5)x2 +(b + 3)x
−3
(a−5)x2 +(−2a+10)x+3a−15
(2a+b−7)x−3a+12
3 つの解を
11 i
3+
割り切れるので、余り (2a + b − 7)x − 3a + 12 = 0
2a + b − 7 = 0
a = 4, b = −1
−3a + 12 = 0
このとき (∗) は
x4 − 3x3 + 4x2 − x − 3 = 0 商が x2 − x − 1 なので
(x2 − 2x + 3)(x2 − x − 1) = 0
√
√
1± 5
x = 1 ± 2 i,
2
√
√
1± 5
よって a = 4, b = −1 他の解 x = 1 − 2 i,
2
39. (1) x
+ (2a − 1)x2 + (2 − 3a)x + a − 2 = 0 · · · · · · 1
は x = 1 を代入すると成り立つので
[1]
1 2a − 1 2 − 3a
a−2
1
2a
2−a
1
2a
2−a
(0)
3
∴ (x − 1)(x2 + 2ax + 2 − a) = 0 と因数分解できる
解の一つは x = 1 なのであとは
x2 + 2ax + 2 − a = 0 · · · · · · 2 を考える
(i) 2 が x = 1 を解にもつとき
x = 1 を代入して 1 + 2a + 2 − a = 0 ∴ a = −3
このとき 1 は x = 1 を３重解にもつ可能性があるが、
a = −3 のとき 1 は (x − 1)(x − 1)(x − 5) = 0
となり３重解にはならないので OK
(ii) 2 が重解をもつとき
D/4 = a2 − (2 − a) = 0 より a = 1, −2
a = 1 のとき 2 は (x + 1)2 = 0 となり
負の数 x = −1 を重解にもつので不適
a = −2 のとき 2 は (x − 2)2 = 0 となり
x = 2 を重解にもつので OK
(i)(ii) より a = −3, −2
(2) x3 − ax2 + (3a − 4)x − 2a = 0
この式に x = 2 を代入すると成り立つので
(x − 2){x2 − (a − 2)x + a} = 0
x2 − (a − 2)x + a = 0 が異なる 2 つの実数解をもつとき
D = (a − 2)2 − 4a > 0 ⇐⇒ a2 − 8a + 4 > 0
√
√
∴ a < 4 − 2 3, 4 + 2 3 < a
また x2 − (a − 2)x + a = 0 が x = 2 を解にもつときは、
異なる 3 つの実数解にならないので除いておく
x = 2 を代入して 4 − (a − 2) · 2 + a = 0 より a = 8
√
√
以上より a < 4 − 2 3, 4 + 2 3 < a < 8, 8 < a
(3) x3 − (a − 4)x2 + (a + 3)x + 2a = 0
この式に x = −1 を代入すると成り立つので
(x + 1){x2 − (a − 3)x + 2a} = 0
x2 − (a − 3)x + 2a = 0 が整数解をもてばよい
2 つの整数解を α, β とすると
解と係数の関係より
α + β = a − 3 · · · · · · 1
αβ = 2a
······ 2
1 より a = α + β + 3 を 2 に代入して
αβ = 2(α + β + 3)
αβ − 2α − 2β = 6
(α − 2)(β − 2) = 10 と変形すると
α − 2, β − 2 は整数より
α − 2 1 2 5 10 −1 −2 −5 −10
β − 2 10 5 2 1 −10 −5 −2 −1
よって α, β,
α
3
β
12
a
18
aは
4 7 12 1
0 −3 −8
7 4 3 −8 −3 0
1
14 14 18 −4 0
0 −4
よって a = 18, 14, −4, 0
(4) x3 + px2 − 8x + q = 0 の解が α − 2, 2α, 1 − α なので
解と係数の関係より
α − 2 + 2α + 1 − α = −p
(α − 2)2α + 2α(1 − α) + (1 − α)(α − 2) = −8
(α − 2)2α(1 − α) = −q
2α − 1 = −p
······ 1
⇐⇒ α2 − α − 6 = 0
······ 2
(α − 2)2α(1 − α) = −q · · · · · · 3
2 より (α − 3)(α + 2) = 0 α = 3, −2
α = 3 のとき 3 つの解は
1, 6, −2 で異なり
p = −5, q = 12
α = −2 のとき
3 つの解は
−4, −4, 3 より
異なる 3 つの実数解に不適
よって α = 3, p = −5, q = 12
(5) x4 + 2ax2 − 2a + 3 = 0
x2 = t とおくと ( t ＞
＝0)
t2 + 2at − 2a + 3 = 0 · · · · · · 1
実数解 x を解にもつためには 1 が
t＞
＝ 0 に解をもてばよいので
f (t) = t2 + 2at − 2a + 3 とおくと
= (t + a)2 − a2 − 2a + 3 より 軸 t = −a
t
0
(i) 軸 t = −a について 0 ＜
＝ − a ⇐⇒ a ＜
＝ 0 のとき
D ＞
＝ 0 であればよいので
D/4 = a2 + 2a − 3 ＞
＝0
(a + 3)(a − 1) ＞
＝0 ∴ a＜
＝ − 3, 1 ＜
＝a
a ＜
＝ 0 より a ＜
＝ −3
(ii) −a < 0 ⇐⇒ a > 0 のとき
f (0) ＜
＝ 0 であればよいので
3
f (0) = −2a + 3 ＜
＝0 ∴ a＞
＝ 2
3
(i) (ii) より a ＜
＝ − 3, 2 ＜
＝a
40. x
3
= 1,
x3 − 1 = 0,
(a > 0 を満たす)
(x − 1)(x2 + x + 1) = 0 より
ω は x2 + x + 1 = 0 の解なので ω 2 + ω + 1 = 0 · · · · · · 1
ω は x2 + x + 1 = 0 の解だが x3 = 1 の解でもあるので
ω 3 = 1 · · · · · · 2 も成り立つ
ω は x2 + x + 1 =√0 の解の１つなので
−1 ± 3 i
具体的には
である
2
(1) ω 10 + ω 20
= ω 9+1 + ω 18+2 2 より ω 9 = 1, ω 18 = 1
= ω + ω 2 1 より ω 2 + ω = −1
= −1
(2) 1 + ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 + ω 5 + · · · · · · + ω 99
= (1 + ω + ω 2 ) + ω 3 (1 + ω + ω 2 ) + ω 6 (1 + ω + ω 2 )+
· · · · · · + ω 96 (1 + ω + ω 2 ) + ω 99
= 0 + 0 + 0 + · · · · · · + 0 + ω 99
=1
(3) ω +
=
ω2 + 1
1
=
1 よりω 2 + 1 = −ω を代入
ω
ω
−ω
= −1
ω
9
(4) ω 2n + ω n + 1 ( n は自然数)
(i) n = 3k のとき
ω 6k + ω 3k + 1 = (ω 3 )2k + (ω 3 )k + 1 = 12k + 1k + 1 = 3
(ii) n = 3k − 1 のとき
ω 6k−2 + ω 3k−1 + 1 = ω + ω 2 + 1 = 0
(iii) n = 3k − 2 のとき
ω 6k−4 + ω 3k−2 + 1 = ω 2 + ω + 1 = 0
n = 3k のとき
3
よって
(k は自然数)
n = 3k − 1, 3k − 2 のとき 0
10
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