469_極方程式で表された図形の面積極方程式で表された図形の面積 r = f0 h 1 h= b 極方程式 r = f (θ ) (α (θ ( β ) で表された曲線上の点と極 O を結んだ線分が通過する領域の面積 S は β β  r 2 dθ = 1   { f (θ )}2 dθ S=1 2 α 2 α 1 1 1 1 1 1 S h= a で求められる．説明 O X θ = θ1 から θ = θ1 + Δθ まで変化したときの面積 S の増分を Δ S とすると， Δ S は扇形 OAB の面積で近似できる．すなわち ΔS 7 1 r 2 ⋅ Δθ 2 ΔS 7 1 r 2 であるから， Δθ → 0 とするとこれから， Δθ 2 dS = 1 r 2 dθ 2 よって β β  r 2 dθ = 1   { f (θ )}2 dθ S= 1 2 α 2 α 1 1 1 1 1 1 r = f0 h 1 B h = h 1 + lh h=h 1 lS A h= a lh O h = h 1 + lh h= b X lh h=h1 r O r１．原点中心，半径 R の円の極方程式は r = R (0 (θ ( 2π ) で表される．したがって，円の面積 S は 2π R  r 2 dθ = 1 R 2 [θ ] S= 1 2 0 2 1 1 = 1 R 2 ⋅ 2π = π R 2 2 B r２．極方程式 r cos θ = 1 で表される図形は，点 (1 , 0) を通り，始線 OX に垂直な直線である．直線上の点 P と極 O を結んだ線分の 0 (θ ( π における通過領域の面積 S は 3 S = △OAB = 1 ⋅ OA ⋅ AB = 1 ⋅1 ⋅ 3 = 3 2 2 2 一方 π X O 2π 0 1 π 3 3 1 dθ = 1 [ tan θ ] π3 = 3  r 2 dθ = 1  S=1  0 2 0 2 0 cos 2 θ 2 2 1 1 1 1 1 1 −1− h= p 3 r h =0 h O A1 X http://www.geocities.jp/ikemath 例題１．xy 平面において，原点 O を極とし，x 軸の正の部分を始線とする極座標 ( r , θ)に関して，極方程式 r = 1 + cos θ によって表される曲線 C を考える．ただし，偏角 θ の動く範囲は 0 (θ (π とする． (1) 曲線 C 上の点で，y 座標が最大となる点 P1 の極座標 ( r1 , となる点 P2 の極座標 ( r2 , (2) θ1 ) ，および x 座標が最小 θ 2 ) を求めよ．上の(1)の点 P1 ， P2 に対して，2 つの線分 OP1 , OP2 および曲線 C で囲まれた部分の面積 S は S = θ2 1  r 2 dθ となることが知られている．S の値を求めよ． 2 θ1 1 1 1 (大阪市立大) s −2− 469_極方程式で表された図形の面積 u 例題１は，左下図の斜線部分の面積をもとめていることになる． y y P1 a 1 S C P2 - 1O 4 3 1 4 2 2a x O x r = a0 1 +cos h 1 一般的に，カージオイド（心臓形）（右上図） r = a(1 + cos θ ) (a > 0 , 0 (θ ( 2π ) で囲まれた部分の面積 S は 2π 2π 2π 2  r 2 dθ = 1   a 2 (1 + cos θ ) 2 dθ = a   (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ S=1 2 0 2 0 2 0 2π 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2π 2 1 + cos 2θ dθ = a 2  3 θ + 2sin θ + 1 sin 2θ  =a   1 + 2 cos θ +  0 2 0 2 2  2 4 1 1 1 2 = a ⋅ 3 ⋅ 2π = 3π a 2 2 2 2 例題２．座標平面上の原点を O とし，点 A (1 , 0) をとる．また， 0 < θ < π を満たす θ に 2 θ 対して，第 1 象限内の点 P を，∠AOP＝ θ と∠OPA＝を満たすようにとる． 2 (1) 点 P の軌跡の極方程式が r = 1 + 2 cos θ となることを示せ． (2) 曲線 r = 1 + 2 cos θ 0 (θ ( ( ) π と x 軸，y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ． 2 (愛知教育大) s −3− http://www.geocities.jp/ikemath −4− 469_極方程式で表された図形の面積 ■ 練習問題． cos 2θ が表す曲線の 0 (θ ( １．座標平面上で，極方程式 r = π 4 に対応する部分を C とする． (1) 曲線 C 上の点 P の直交座標 ( x , y ) を θ の式で表せ． (2) 曲線 C 上の点 Q の極座標を (r , θ ) とする．点 Q における C の接線の傾きが −1 であるとき θ の値を求めよ． (3) 曲線 C と x 軸によって囲まれる図形の x ) 6 の部分の面積 S を求めよ． 4 (名古屋工業大) θ ) を考える．極方程式 r = f (θ ) (0 (θ (π ) で表される平面上の曲線を C とする．ここで，f (0) > 0 であり，f (θ ) は θ の増加関数で連続とする．x 軸と曲線 C で囲まれた図形の面積を S とする．２．xy 座標の原点を極とし，x 軸の正の部分を始線とする極座標 ( r , (1) 不等式 2 n −1 π   k  π   k + 1  f π S π  ( (   f    Σ Σ   k = 0 2n   n k = 0 2n   n n −1 2 がすべての自然数 n に対し成り立つことを示せ． (2) (1)を使って 2 π   k  limΣ  f  π   = S n −1 n →∞ k =0 2n   n   を示せ． (3) f (θ ) = 1 + sin θ 2 であるとき，(2)を利用して S を求めよ． −5− (名古屋市立大)