Ｈ21 広島県公立数学問題数-09-公-広島-問-01 １ □ 次の問１∼問８に答えなさい。問１ 13−4×2 を計算しなさい。問２ 5 7 ÷ 6 8 を計算しなさい。問３ 1−5−2 を計算しなさい。問４ 2(7x−3y)＋(3x＋5y) を計算しなさい。問５下の連立方程式を解きなさい。 3 x−4 y = 2   x＋2 y = 4 問６ 7 3 ＋ 48 − 27 を計算しなさい。問７ (2x−5y)2 を展開しなさい。問８方程式 x2＋12x＋27＝0 を解きなさい。 −1− 数-09-公-広島-問-02 ２ □ 次の問１∼問３に答えなさい。問１右の図のように，正方形 ABCD があります。下の①∼④はそれぞれ，正方形 ABCD から，1 辺の長さが正方形 ABCD 1 の 1 辺の長さのである正方形を切り取った図です。①∼ 4 ④の中で，直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積が最も大きくなるものはどれですか。その番号を書きなさい。 1 x＋ 2 のグラフ上に 3 点 A (3，3)，x 軸上に x 座標が正の数である点 B があ 1 ります。関数 y＝ x＋2 のグラフと y 軸との交点を C 3 問２右の図のように，関数 y＝とします。四角形 ACOB が線対称な図形であるとき， 2 点 A，B を通る直線の式を求めなさい。問３右の図のように，点 A を通る関数 y＝ 1 x のグラフ 2 と関数 y＝2x のグラフがあります。点 A を通り x 軸に垂直な直線と，関数 y＝2x のグラフとの交点を B，点 1 B を通り y 軸に垂直な直線と，関数 y＝ x のグラフ 2 との交点を C とします。このとき，△BOC の面積は △ABO の面積の 4 倍となります。このわけを，点 A の x 座標を a として，a を使った式を用いて説明しなさい。ただし，a＞0 とします。 −2− 数-09-公-広島-問-03 ３ □ 次の問１∼問３に答えなさい。問１右の図のように，円 O の円周上に 4 点 A，B，C，D があり，AC は円 O の直径です。点 D における円 O の接線と，AC の延長との交点を E とします。∠AED＝42°のとき，∠ABD の大きさは何度ですか。問２ A さんは 400 円以内であめとガムを買います。あめは 1 個 40 円，ガムは 1 個 110 円で買うことができます。A さんが支払うあめとガムの代金の合計は全部で何通りの場合がありますか。ただし，あめもガムも必ず 1 個は買うものとします。問３右の図のように，x の変域を x＞0 とする関数 y＝ 18 x のグラフ上に 2 点 A，B があります。2 点 A，B から x 軸にそれぞれ垂線 AC，BD をひきます。線分 AC 上に BE⊥AC となるように点 E をとります。点 A の x 座標が 2，四角形 BECD の面積が 10 のとき，点 B の座標を求めなさい。 −3− 数-09-公-広島-問-04 ４ □ 数字を書いた 5 枚のカード，，，，，があります。これらのカードをよくきって，1 枚抜き取ります。抜き取ったカードをもとにもどし，もう一度よくきってから，また 1 枚抜き取ります。最初に抜き取ったカードの数字を x，次に抜き取ったカードの数字を y とします。下の図のように，AB＝3 cm，AD＝6 cm の長方形 ABCD の内部に，辺 AB，AD までの距離がそれぞれ x cm，1 cm である点 P，辺 CD，BC までの距離がそれぞれ y cm，1 cm である点 Q をとります。これについて，次の問１・問２に答えなさい。問１ x＝3，y＝4 となるとき，2 点 P，Q から等しい距離にある辺 BC 上の点と，点 B の間の距離は何 cm ですか。問２ 3 点 A，D，Q を頂点とする三角形と 3 点 B，C，P を頂点とする三角形が合同となる確率を求めなさい。 −4− 数-09-公-広島-問-05 ５ □ 下の図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に点 A (2，4)，y 軸上に点 B (0，a) があります。点 B を通り OA に平行な直線と，関数 y＝x2 のグラフとの 2 つの交点のうち，x 座標が小さい方を C，大きい方を D とします。ただし，a＞0 とします。これについて，次の問１∼問３に答えなさい。問１ a＝5 のとき，△ACO の面積を求めなさい。問２四角形 ABCO が平行四辺形となるとき，a の値を求めなさい。問３点 D の y 座標が点 C の y 座標の 16 倍となるとき，点 C の x 座標を求めなさい。 −5− 数-09-公-広島-問-06 ６ □ 下の図のように，三角形 ABC と平行四辺形 ADEC があり，点 E は辺 BC 上の点です。辺 AB と辺 DE との交点を F とします。また，線分 BF 上に点 G，辺 CE 上に点 H があり，DG＝DA，∠CAH＝ ∠BAD です。これについて，次の問１・問２に答えなさい。問１ △ABH∽△DGF であることを証明しなさい。問２ AF＝FG，BG＝16 cm，BE＝27 cm，AD＝9 cm のとき，辺 DE の長さは何 cm ですか。 −6− Ｈ21 広島県問題番号公立数学解答用紙解答配点数問１ 9 0 - 公広島問２ 1 0 K - 問３問４１ □ 問５問６問７問８数問１ 9 0 - 公広島問２ 2 0 Y K - ２ □ 問３数 9 0 - 公広島３ □ 問１度問２通り 3 0 Y K - 問３数 cm 問１ -4 9 0 0 Y K 公広島４ □ 問２ −7− 備考 - 問題番号解答配点数 9 0 - 公広島問１５ □ 問２ 5 0 Y K - 問３数〔仮定〕図において，四角形 ADEC は平行四辺形， 9 0 - 公広島 DG＝DA，∠CAH＝∠BAD 〔結論〕△ABH∽△DGF 6 0 Y K - 〔証明〕問１６ □ cm 問２ −8− 備考Ｈ21 広島県問題番号公立数学解答解答配点備考数 9 0 - 公広島 1 0 K - １ □ 5 2 問２ 20 21 2 問３ −6 2 問４ 17x−y 2 問５  x＝2   y＝1 2 問６ 8 3 2 問７ 4x2−20xy＋25y2 2 問８ x＝−3，x＝−9 2 問１ ① 2 問２ y＝3x−6 3 数問１ 9 0 - 公広島 a ， 2 点 B の座標は (a，2a) である。点 B の y 座標は 2a である 2 0 K - 点 A の x 座標は a であるから，点 A の y 座標は２ □ から，点 C の座標は (4a，2a) である。これより BC＝3a，問３解答例 AB＝ 3 a である。したがって，△BOC の面積は 1 ×3a 2 2 1 3 3 2 2 ×2a＝3a ，△ABO の面積は × a×a＝ a である 2 2 4 から，△BOC の面積は△ABO の面積の 4 倍となる。 3 数 9 0 - 公広島３ □ 66 度 2 問２ 12 通り 3 問３  9 ， 4   2  3 問１ 4 cm 2 問２ 9 25 3 3 0 K 数問１ 9 4 0 0 K 公広島４ □ −9− 内容を正しくとらえていれば，表現は異なっていてもよい。 - 問題番号解答配点備考数 9 0 - 公広島５ □ 問１ 5 2 問２ 8 2 2 3 − 5 0 K - 問３ 3 数 △ABH と△DGF において 9 0 - 公広島平行線の錯角は等しいから ∠ABH＝∠DAG …………① 6 0 K - DG＝DA であるから ∠DGF＝∠DAG …………② ①，②より，∠ABH＝∠DGF ……③ ６ □ 問１解答例また， ∠AHB＝∠ACE＋∠CAH ………④ ∠DFG＝∠ADE＋∠BAD ………⑤ 3 平行四辺形の向かい合う角は等しいから ∠ACE＝∠ADE …………⑥ ∠CAH＝∠BAD であることと④，⑤，⑥より， ∠AHB＝∠DFG …………⑦ ③，⑦より，2 組の角がそれぞれ等しいから △ABH∽△DGF 問２ 4 17 cm − 10 − 3 小前提を省略したものについては，適宜減点すること。Ｈ21 広島県公立数学解説数-09-公-広島-KS-01 １ □ 問６ 7 3 ＋ 48 − 27 ＝ 7 3 ＋ 4 3 − 3 3 ＝ 8 3 数-09-公-広島-KS-02 ２ □ 問２ C(0，2)，A(3，3) より，OC＝2，AC＝ 32＋(3−2)2 ＝ 10 四角形 ACOB が線対称な図形であるとき，OC≠AC だから，AO が対称軸となる。よって，OB＝OC だから，B(2，0) 直線 AB を y＝mx＋n とおく。B を通るので，0＝2m＋n…① A を通るので，3＝3m＋n…② ①，②を連立方程式として解くと，m＝3，n＝−6 よって，y＝3x−6 数-09-公-広島-KS-03 ３ □ 問１ OD と BC を結ぶ。D は円 O の接点だから，∠ODE＝90° よって，∠EOD＝180°−90°−42° 1 1 1 ＝48° 弧 CD において，円周角の定理より，∠CBD＝ ∠COD＝ ∠EOD＝ ×48°＝24° 2 2 2 AC は円の直径より，∠ABC＝90°だから，∠ABD＝90°−24°＝66° 18 問３点 B は y＝上の点なので，OD×BD＝18 よって，直線 BE と y 軸との交点を H とすると，四 x 角形 HODB＝18 よって，四角形 HOCE＝18−10＝8 OC＝2 より，OH＝8÷2＝4 よって，点 B の 18 18 9 9 y 座標は 4 y＝に y＝4 を代入して，4＝ x＝ B  ， 4  x x 2  2 数-09-公-広島-KS-04 ４ □ 問１ P から AB，AD までひいた垂線をそれぞれ PE，PF とし，Q から CD，BC までひいた垂線をそれぞれ QG，QH とおく。x＝3，y＝4 のとき，Q から PE に垂線 QI，P から QG に垂線 PJ をひく。四角形 PIQJ は 1 辺が 1 cm の正方形だから，P，Q から等しい距離にある点の集合である PQ の垂直二等分線は，対角線 IJ と一致する。PJ の延長と BC の交点を K，IJ の延長と BC との交点を R とすると，BK＝EP＝3 cm △JKR は∠KJR＝45°，∠JKR＝90°だから，KR＝JK＝1 cm よって，BR＝3＋1＝4 (cm) 問２カードの組み合わせは，全部で 5×5＝25 (通り) そのうち，2 つの三角形が合同になるのは， (x，y)＝(1，1)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，5) の 9 通り。よって， 9 求める確率は， 25 数-09-公-広島-KS-05 a 問２平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，OB の中点を M とすると，M  0，  2  また，AM＝CM で，点 A と C はともに y＝x2 上の点だから，C は点 A と y 軸について対称な点となる。 a ＝4 より，a＝8 よって，C (−2，4)，M (0，4) 2 問３点 C は y＝x2 上の点より，C (s，s2) (s＜0)とおく。点 D の y 座標は，点 C の y 座標の 16 倍だから， 16s2 点 D も y＝x2 上の点より，16s2＝x2 点 D の x 座標は正で，s は負だから，D の x 座標は−4s と 4 おける。D (−4s，16s2) CD の傾きは＝2 より，( y の増加量)＝(変化の割合)×(x の増加量) から， 2 2 2 2 2 (16s −s )＝2×(−4s−s) 15s ＋10s＝0 5s(3s＋2)＝0 s＜0 より，s＝− 3 ５ □ 数-09-公-広島-KS-06 ６ □ 問２ △DGA は DG＝DA の二等辺三角形で，AF＝FG より，∠DFG＝90° △ABH∽△DGF だから，∠AHB＝90° △DGF と△EBF は，2 組の角がそれぞれ等しいので，△DGF∽△EBF FG＝ x cm とおくと，DG：EB＝GF：BF 9：27＝x：(16＋x) x＝8 (cm) △DGF で三平方の定理より， DF＝ 9 2−8 2 ＝ 17 (cm) DF：EF＝9：27 DE＝DF＋EF＝ 17 ＋ 3 17 ＝ 4 17 (cm) 17 ：EF＝1：3 EF＝ 3 17 (cm) よって， − 11 −