Exercices : Mécanique

MP 2014/2015
On établit alors, dans la région où règne le champ E un champ magnétique B uniforme et
indépendant du temps perpendiculaire à E . On règle la valeur de B de manière à ce que le
spot soit ramené en H.
Exercices : Mécanique
Mécanique du point en référentiel galiléen
M011 :Esquimau sur un igloo
Un esquimau de masse m, en équilibre au sommet d’un igloo hémisphérique de rayon R, quitte cette
position sans vitesse initiale et glisse sur la surface de l’igloo.
Déterminer la position pour laquelle l’esquimau perd le contact avec la surface de l’igloo. on
négligera les frottements.
M015 :Voiture
Un voiture, lancée sans vitesse initiale sur une route rectiligne, se déplace d’abord avec un
accélération constante γ = 5 m.s-2, puis roule uniformément à la vitesse v0 atteinte en fin
d’accélération. Enfin, elle subit une décélération de norme γ jusqu’à l’arrêt.
La durée totale du mouvement est τ = 25 s et la vitesse moyenne est v = 72 km.h-1.
1- Tracer la courbe v(t) de la composante de la vitesse en fonction du temps.
2- Quelle est la durée T du mouvement uniforme ?
M021 : Point matériel sur un cercle
Un mobile modélisé par un point matériel P de masse m se déplace sans
frottement à l'intérieur d'un guide circulaire de centre 0 et de rayon b = 15 cm .
Le guide est dans le plan vertical (xOy) d'un référentiel galiléen R dont l'axe Oy
est la verticale ascendante. I!accélération de la pesanteur supposée uniforme est g
= 9, 8 m.s-2.
P est lancé du point A le plus bas du guide avec la vitesse positive v0.
1- Déterminer l'expression du carré de la vitesse v de P en fonction de la
coordonnée y de P (on pourra utiliser des considérations énergétiques)
2- Soit
N = N.e N la réaction qu'exerce le guide sur P, e N étant le vecteur
unitaire de
PO . Déterminer l'expression de N en fonction de y.
3- En déduire la valeur de y1 pour laquelle le mobile quitte le guide.
4- Définir, en fonction des coordonnées x1 et y1 du point P1 de séparation, le vecteur vitesse du mobile en P1. On
exprimera sa norme v1 et sa pente tan 1.
5- Indiquer la condition à laquelle doit satisfaire la vitesse initiale v0 pour que la séparation ait effectivement lieu.
On suppose que le mobile P quitte le guide lorsque y1 =
ainsi.
b / 3 . Indiquer la valeur de v0 pour qu'il en soit
6- Dans ces conditions, calculer la vitesse v' que possède P lorsqu'il se trouve sur l'axe des x. La résistance de
l'air est supposée négligeable. Déterminer l'abscisse X du ou des points de l'axe ox appartenant à la
trajectoire de P.
M027 : Mesure de la charge massique de l’électron, expérience de J.J.Thomson
(1897).
On réalise la déviation d’un faisceau d’électrons à l’aide d’un champ électrique E uniforme et
indépendant du temps, et on mesure la déviation Y du spot sur l’écran (voir la figure).
MECANIQUE
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Etablir l’expression de la charge massique e/m de l’électron en fonction des grandeurs
intervenant dans l’expérience.
Les mesures les plus récentes réalisées à partir de perfectionnements de cette méthode ou par
des méthodes différentes fournissent la
valeur : e/m = 1,7588.1011 C.kg-1 .
M031 :Satellite sur orbite équatorial circulaire
La fusée Ariane V au moment du décollage a une masse de 750 t. La poussée de ses moteurs est de
900.104 N.
1- Calculer l’accélération de la fusée lorsqu’elle quitte le sol, sachant que les moteurs exercent une
force verticale.
2- Avant d’être lancé en orbite géostationnaire, le satellite est placé sur une orbite équatoriale
circulaire basse à 200 km d’altitude. Il tourne d’est en ouest, c’est à dire dans le sens de rotation
propre de la terre.
Déterminer, pour un observateur terrestre, l’intervalle de temps qui sépare deux passages
successifs à la verticale d’un point de l’équateur.
3- Ce satellite est placé sur orbite géostationnaire. Calculer sa vitesse angulaire dans le repère
géocentrique.
Données :
Champ de pesanteur à la surface de la terre : g0 = 9,8 m.s-2 ;
Rayon de la terre : RT = 6380 km.
M039 : Vitesse de libération d'un satellite
On assimile la terre à une sphére homogène de masse M et de rayon R.
1- Rappeler l'expression de la force gravitationnelle s'exerçant sur une masse m située à une
distance r d'une masse M.
2- Constatant la similitude entre les expressions de la force d'interaction gravitationnelle et de la
force d'interaction électrostatique, utiliser le théorème de Gauss pour calculer g 0 , accélération
de la pesanteur à la surface de la terre.
3- On note z (z>0) l'altitude d'un point à partir de la distance radiale r = R au centre de la terre.
Trouver g (z), accélération de la pesanteur à l'altitude z, en fonction de g 0 , R et z. En déduire
z
l'expression du développement limité au premier ordre en
de g(z), norme de g , en
R
supposant que z<<R. Calculer g(z) pour z = 104 m.
4- Calculer le travail Wop que devrait fournir un opérateur pour amener un corps de masse m de
la surface de la terre à l'altitude z en utilisant l'expression de g(z) non simplifiée. Que devient
cette expression si z tend vers l'infini?
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5- En déduire la vitesse à communiquer à un projectile lancé verticalement pour qu'il puisse
s'éloigner à l'infini. Calculer numériquement cette vitesse.
On donne : g0 = 9,8 m.s-2; R = 6,38.106 m.
M042 : Énergie
potentielle et stabilité d'un équilibre
Une particule "ponctuelle" de masse m, située en A, est repérée par OA = r = r.e r (avec e r
vecteur unitaire radial). Cette particule est soumise à deux forces :
K F1 = − K 1 .r et F2 = 31 .r où K1 et K2 sont des constantes positives.
r
On néglige la pesanteur.
1- Exprimer la force totale F que subit la particule. Calculer la distance d'équilibre r0 de cette
particule.
2- Montrer que F dérive d'une énergie potentielle Ep(r) ; exprimer Ep(r) en posant Ep(r0)
3
2
= 3 K 1 .K 2 .
2
3- Déterminer, à partir de Ep(r), si l'équilibre pour r = r0 est stable, instable ou indifférent :
a) vis à vis des variations de r ;
b) vis à vis des rotations autour de O à r = r0 fixé.
La masse de O (atome de chlore) est très supérieure à celle de M (atome d’hydrogène), notée m. On
se placera dans la suite dans le référentiel galiléen lié à l’atome de chlore, que l’on note (Oxyz).
L’énergie potentielle de la molécule HCl est donnée par la formule phénoménologique :
q2 1
α
U (r ) = n −
.
4πε 0 r
r
avec n=10 et α désigne une constante.
1- Tracer l’allure de U(r) et exprimer α en fonction des données.
2- Calculer l’énergie de liaison El de la molécule en fonction de n, q, ε0 et r0. Exprimer El en eV
et en kilojoules par mole ; commenter l’ordre de grandeur obtenu.
3- Calculer la pulsation propre ω0 des petites oscillations de la molécule autour de sa position
d’équilibre stable. Calculer numériquement la longueur d’onde λ0 de l’onde
électromagnétique de pulsation ω0 et commenter son ordre de grandeur.
Données : masse molaire atomique de l’hydrogène M(H) = 1 g.mol-1 ; nombre d’Avogadro = Na =
1
6,02.1023 ;
= 9.10 9 SI
4πε 0
Le tremplin
Un tremplin de saut à ski est constitué de deux parties rectilignes, AB et CD, et d'une partie
circulaire BC , de centre O' et de rayon O 'B = O'C = r .
La droite CD est inclinée d'un angle α sur l'horizontale et on supposera que l'arc de cercle BC est
tangent en B à AB et en C à CD.
On étudie le mouvement d'un skieur S qui s'élance sur ce tremplin.
On appelle m la masse du skieur, g l'accélération de la pesanteur, z l'altitude de S par rapport au
plan horizontal passant par D , h celle de A et R la force exercée par le tremplin sur le skieur.
On néglige les frottements et le skieur est considéré comme ponctuel.
Le schéma est indicatif, car les pentes ne sont pas respectées.
Données: h=20 m, CD = 5 m, α =11°, m = 80 kg, g = 9,8 m.s-2 et r = 60 m .
M045 :
Le toboggan aquatique
On étudie le mouvement d'un baigneur dans un toboggan
aquatique hélicoïdal. Ce baigneur est modélisé par un point
matériel M de masse m glissant sans frottement sur une hélice
droite de rayon R = 2 m de pas constant p. Il s'élance du
départ (point D) avec une vitesse nulle et quitte le toboggan
au point F après un dénivelé h0 = 5 m et n = 2,5 tours
effectués. Le point M est repéré grâce à ses coordonnées
cartésiennes :
M0043:
Le référentiel Rg (Oxyz) est supposé galiléen.
x'
1) On appelle α l'angle de la pente du toboggan. Exprimer p en fonction de α et R, puis α en
fonction de h0 et n. Faire l'application numérique pour α.
eθ
er
z'
2) À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, écrire l'équation différentielle du mouvement du
baigneur.
3) Déterminer le temps de glissade (de D à F).
4) Déterminer la vitesse du baigneur au point F à l'aide de 2 méthodes.
M044 : Modèle d’une molécule diatomique
Pour rendre compte des propriétés d’une molécule polaire (comme HCl, par exemple), on assimile
celle-ci à un système de deux points matériels M et O, porteurs respectivement des charges q=+δe
et –q=-δe, avec δ=0,6 et e =1,6.10-19 C. La distance OM = r a la valeur d’équilibre r0=3.10-10 m en
l’absence de champs extérieurs.
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1- Étude de la vitesse du skieur
Le skieur part de A sans vitesse initiale.
1-1- Déterminer l’expression de la norme v de la vitesse du skieur en un point S quelconque de sa
trajectoire en fonction de g, h et z.
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On donne g = 10 m.s-2.
1-2- Calculer les valeurs vC et vD de la vitesse du skieur en C et en D.
2- Étude de la force R
2-1- En appliquant le principe fondamental de la dynamique au skieur dans la partie circulaire,
donner l’expression de la réaction exercée par le templin en fonction de m, g, θ et de ses dérivées.
2-2- En déduire l’expression de la réaction du tremplin en fonction de m, g, r, θ et v.
2-3- Exprimer de même la réaction du tremplin sur le skieur lorsque celui-ci est situé entre C et D ,
en fonction de m , g et α.
2-4- En comparant les expressions de la réaction du tremplin juste avant et juste après le point C ,
déterminer si la réaction varie de façon continue ou discontinue en C.
Calculer la discontinuité éventuelle, la valeur de vC étant celle obtenue à la question précédente.
On donne : c = 3.108 m.s-1; λ(bleu) = 400 nm ; λ(rouge) = 800 nm.
M057 :Comète de Halley
La période de la comète de Halley est de 76 années. La distance du périhélie est rP = 0,59 UA.
Calculer :
a) l'excentricité e et le demi grand axe a de la trajectoire elliptique de la comète;
b) les vitesses maximale et minimale de la comète.
On rappelle que l'unité astronomique correspond au demi grand axe de la trajectoire elliptique
de la terre autour du soleil, soit 1 UA = 150.106.000 km.
M048 :Oscillations d'une masse accrochée à deux ressorts placés horizontalement
Deux ressorts de constantes de raideur respectives k1 = 50 n.m-1 et k2 = 200 n.m-1 et de longueurs à
vide respectives l01 = 15 cm et l02 = 25 cm sont fixés aux extrémités d'une masse m = 1,25 kg qui
repose sur un plan horizontal.
Les autres extrémités des ressorts sont fixées en A1 et A2 de façon à ce que les points A1, A2, M1 et
M2 soient alignés. On donne A1A2 = 60 cm.
m
A1
x
A2
On négligera les frottements du corps sur le plan.
1- Déterminer les longueur l1 et l2 des deux ressorts à l'équilibre. On désignera par G0 la position
de la masse m à l'équilibre.
2- Déterminer l'équation différentielle du mouvement de la masse m lorsqu'on l'écarte par
rapport
à sa position d'équilibre d'une longueur x0. On notera x la distance entre la masse m
et sa
position d'équilibre.
3- Déterminer x(t) sachant qu'à t = 0, on abandonne la masse m sans vitesse initiale de x0 = 9 cm.
En déduire la période du mouvement.
M050 : Amortisseur de voiture
1- La suspension d’une voiture, de masse à vide M = 600kg, est schématisée par un ressort de
raideur k. On constate que les roues, dont on négligera la masse, quittent le sol lorsque la voiture
est soulevée d’une hauteur h = 30 cm.
Déterminer :
a) la raideur k du ressort ;
b) l’équation du mouvement vertical, ainsi que la période des oscillations verticales de la
voiture à vide.
Que devient la période avec quatre passagers de masse totale m = 300 kg ?
2- On ajoute à la suspension précédente un amortisseur qui crée une force de frottement
proportionnelle à la vitesse verticale f = − hv .
a) A vide, le régime d’amortissement est critique. Ecrire l’équation du mouvement vertical.
Déterminer le coefficient h.
b) Lorsque la voiture contient quatre passagers, quelles sont :
- l’équation du mouvement vertical ?
- la pseudo-période T’ ? La comparer à la période propre de l’oscillation non amortie.
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Mécanique du point en référentiel non galiléen
M004 : Etude du mouvement d’un point de la périphérie d’une roue de bicyclette
On considère une roue de bicyclette, assimilable à un cercle de centre G et de rayon a, qui roule sur
une route horizontale Ox.
On se propose d’étudier le mouvement d’un point M situé sur la périphérie de la roue dans un
référentiel R lié au sol auquel on associe le repère (O, u x , u y ).
M
G
uy
O
θ
ux
I
On suppose qu’à l’instant initial, le point M est en O (θ = 0) et on admet que la roue roule sans
glisser sur la route ; la distance OI parcourue sur la route est alors à la longueur de l’arc IM = aθ.
La rotation de la roue sera considéré uniforme aussi pourra-t-on écrire θ = ωt où ω est la vitesse
angulaire du point M de la roue.
1- Quelle est la nature de la trajectoire du point m dans le référentiel R’ lié à la roue (G, u x , u y ).
2- Donner les équations paramétriques x(θ) et y(θ) de la trajectoire C du point M dans le
•
•
référentiel R. En déduire les expressions de x et y . Tracer enfin l’allure de la trajectoire C du
point M dans le référentiel R.
θ
3- Dans le référentiel R lié au sol, exprimer la norme de la vitesse v en fonction de . En quels
2
points la vitesse est-elle nulle et en quels points est-elle maximale ?
4- Calculer dans R les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération du point M. Exprimer
l’accélération en fonction du vecteur unitaire u de GM .
Comparer les accélérations du point m calculées dans les deux référentiels R et R’.
M007 :Expérience de balistique
Un navire N est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse V le long d’une droite D.
Un sous-marin immobile S tire une torpille T à l’instant où l’angle ( V, NS) a pour valeur α.
a) T étant animée d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse W , quelle doit être la
valeur de l’angle de tir θ = ( SN , W) si on veut couler N ?
b) On veut que la torpille T atteigne le navire N en un temps minimal. A quelle date, c’est à
dire pour quelle valeur θ0 de l’angle θ, convient-il de tirer ? Calculer la valeur de l’angle θ0
et discuter.
M013 : Mouvement circulaire
Un disque, de centre O et de rayon R, tourne par rapport au sol dans le sens trigonométrique
autour de la normale à son plan en son centre avec une vitesse angulaire constante ω.
Posée sur le disque et tournant avec lui, une mouche M se déplace en suivant un rayon OA du
disque, avec une vitesse linéaire constante V par rapport au disque, du centre O vers le point A
de la périphérie. Arrivée en A, elle suit le bord du disque avec une vitesse angulaire ω par
rapport au disque, en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre.
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a) Déterminer, dans le système de coordonnées polaires planes, l’équation de la trajectoire de
la mouche quand elle va de O à A. En donner la nature pour un observateur fixe par
rapport au sol.
b) Déterminer, pour cet observateur, les vecteurs vitesse et l’accélération du point M en
détaillant relatif, entraînement et Coriolis.
c) Décrire la suite du mouvement pour l’observateur à partir du moment où la mouche arrive
en A.
M022 : Déviation vers l'est
On considère un point matériel de masse m que l'on abandonne sans vitesse initiale, à l'altitude h =
300 m, en un lieu de latitude λ = 45°, où g = 9,8 m.s-2.
Z
1- Dans cette question, on néglige les effets de la rotation de
la terre. Le référentiel terrestre est alors supposé galiléen
z
associé au repère (O,x,y,z). Calculer les coordonnées des
y
O
vecteurs vitesse et position en fonction du temps.
x
ω
λ
C
2- On prend maintenant en compte les effets de la rotation de
Y
la terre. Le référentiel terrestre est en rotation uniforme
autour du référentiel géocentrique supposé galiléen avec la
vitesse angulaire ω = ω.e Z constante.
Figure 1
a) Calculer dans le référentiel la force d’inertie
d’entraînement Fie .
b) Exprimer la force gravitationnelle Fg subie par le point matériel en fonction de la
constante universelle de gravitation G, la masse de la terre MT, le rayon de la terre RT
et la masse m du point matériel. On supposera que z << RT.
c) On appelle poids P du point matériel la résultante :
P = Fg + Fie
Exprimer les coordonnées du poids en fonction des données.
d) Calculer les coordonnées de la force de Coriolis en prenant pour la vitesse dans le
référentiel terrestre la vitesse calculée au 1-.
e) En déduire les nouvelles équations horaires x(t), y(t) et z(t).
f) Evaluer la déviation par rapport à la verticale due à la rotation de la terre.
M025 : Bille dans un tube
On considère une bille B, supposée ponctuelle, de masse m, susceptible de se déplacer sans
frottement à l'intérieur d'un tube T, de longueur 2L. Le tube T est animé d'un mouvement de
rotation uniforme
dans le plan Oxy, de vecteur de rotation ω, suivant l'axe fixe vertical oz.
On note r = OB , le vecteur définissant la position de la bille B dans la tige T. On suppose enfin que
la bille se trouve à l'instant initial en OB0 = r0 , sans vitesse initiale.
1- Etablir l'équation différentielle du mouvement de la bille dans le tube.
2-Intégrer cette équation à partir des conditions initiales données plus haut.
3- Etablir l'expression de temps τ que mettra la bille B pour sortir de la tige T.
AN : L = 0,1 m; r0 = 0,01 m; ω = 2rad.s-1.
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M026 : position d’équilibre d’un anneau sur une tige en rotation
Une tige (∆), dont la partie inférieure est fixée en O, tourne autour de
l’axe vertical Oz tel que (Oz, ∆) = α =constante, avec une vitesse
angulaire ω0 constante.
Un anneau A, de masse m, peut se déplacer sans frottement sur la
tige (∆) dans un champ de pesanteur g dirigé suivant l’axe Oz.
A
A l’instant t = 0, la masse m est lâchée sans vitesse initiale d’un point
α
A0 tel que OA0 = r0.
1- Faire le bilan des forces s’exerçant sur A.
O
2- En déduire l’équation différentielle en r = OA décrivant le
mouvement de l’anneau A .
3- Intégrer cette équation différentielle et discuter des positions d’équilibre de A.
z
(∆)
ω0
d'équilibre. On repère le mouvement de la masse par élongation z(t) par rapport à sa position
d'équilibre quand le véhicule est repos.
On pose O1 la position de O au repos. L’étude qui suit sera faite dans le référentiel terrestre
R g (O 1 ; e x ; e y ; e z )
On rappelle qu'un amortisseur placé entre O et M exerce
sur M une force de frottement fluide proportionnelle à la
d OM
vitesse relative de M : f = − h
.
dt
1) Établir l'équation différentielle en z(t) du mouvement de
la masse, lorsque le véhicule se déplace à vitesse constante
v.
2) Déterminer l'amplitude du mouvement d'oscillation
vertical du véhicule en régime établi.
À quelle allure convient-il de rouler pour que cette
amplitude soit aussi faible que possible ?
M046 : Etude du principe d'un sismographe
On se propose d'étudier le principe simplifié d'un sismographe. Un oscillateur mécanique
élémentaire est constitué d'une masse cylindrique M suspendue à l'extrémité d'un ressort à spires
non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide l0 et de constante de raideur k.
Cet oscillateur est muni d'un dispositif amortisseur introduisant
une force proportionnelle à la vitesse et opposée à celle-ci. Le
z'
O
y01
O1
M
z
y
.•
module de cette force vaut h z , h étant un coefficient constant, zz'
la verticale descendante et z l'écart du centre de masse de M par
rapport à sa position d'équilibre.
h
On définit le paramètre σ, positif, en posant :
= 2σω 0 , où ω0
M
est la pulsation de l'oscillateur.
L'ensemble est placé dans une enceinte fermée, animée d'un
mouvement vibratoire; le point O1 est ainsi animé d'un mouvement
vertical imposé et repéré par rapport à un observateur extérieur à
l'enceinte à partir de la position O de référence :
y01 = ym.cos(Ωt)
1- Quelle est l'équation différentielle du mouvement de la masse M en faisant référence à la côte z
sur l'axe z'O1z lié au boîtier?
2- On considère le régime permanent forcé; On cherche des solutions de l'équation différentielle
établie ci-dessus sous la forme :
z = Zm.cos(Ωt-φ)
a) Quelle relation existe -t-il entre Zm et ym ?
b) Donner l'expression de Ω en fonction de ω0 et de σ, dans le cas où l'on a Zm = ym. Quelle
condition doit respecter σ ?
Oscillations forcées d'un véhicule sur une route ondulée
Un véhicule automobile est sommairement modélisé par une masse m placée en M et reposant sur
une roue de centre O, par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k mis en parallèle sur un
amortisseur de coefficient de frottement h. En toutes circonstances, l'axe OM reste vertical. On se
propose d'examiner le comportement du véhicule lorsqu'il a la vitesse v sur une route dont le profil
 x
impose au centre O de la roue une élongation zO(t) = a.cos  2π  par rapport à sa position
 λ
M054 :
MECANIQUE
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MECANIQUE
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M127 : Coefficient de frottement :
On se propose de mesurer le coefficient de frottement µ du verre sur le verre, note m. Pour cela, on dispose d'une
grande vitre plane et d'un petit morceau de verre parallèlépipédique de masse m. On pose le petit morceau de
verre sur la vitre initialement horizontale et on incline doucement la vitre. On notera α l'angle que fait la vitre
avec l'horizontale.
Mécanique du solide et actions de contact
M102 : La machine d'Atwood
a) Dans le cas du mouvement de deux masses reliées par un fil
passant
sur
une
poulie
(machine
d'Atwood),
examiner
soigneusement les conséquences de chaque terme de la phrase « le
fil est sans masse, inextensible, sans raideur et ne glisse pas sur la
poulie ». Que peut-on déduire en plus si la poulie est « sans masse »
?
Sans faire cette dernière hypothèse, déterminer l'accélération du
système lâché avec une vitesse initiale nulle (J∆ est le moment
d'inertie de la poulie par rapport à son axe) :
b) En appliquant les théorèmes généraux de la mécanique.
c) Par une méthode énergétique.
1) En supposant que le petit morceau de verre soit immobile, exprimer les composantes normale et tangentielle de
la réaction en fonction de la masse m du petit morceau de verre, de l'accélération de la pesanteur g et de
l'angle α.
2) En déduire une condition sur l'angle α et sur le coefficient de frottement m pour que le petit morceau de verre
ne glisse pas.
3) Expérimentalement, on remarque que pour α ≥ 35° le petit morceau de verre se met à glisser.
En déduire la valeur de m.
M104 : Couple de torsion et position d'équilibre
Une masse ponctuelle m est placée à l'extrémité A d'une tige de masse
négligeable, de longueur l = OA , articulée en un point fixe O et mobile
dans un plan vertical. Un ressort spiral exerce sur cette tige un couple de
rappel –Cθ où θ désigne l'angle que fait la tige avec la verticale ascendante
Oz (C est appelée la constante de torsion).
On désigne par g l'intensité du champ de pesanteur.
a) Former l'expression de l'énergie mécanique totale Em, du système.
Expliquer pourquoi et comment on peut en déduire l'équation du mouvement. Par quel autre
moyen pouvait-on obtenir cette équation ?
b) En considérant θ comme petit, à quelle condition la position θe = 0 correspond-elle à un
équilibre stable ? Cette condition étant supposée réalisée, calculer la période T des petites
oscillations.
c) Si cette condition n'est pas réalisée, montrer sans développement qu'il existe une autre
position d'équilibre ; commentaire qualitatif sur sa stabilité.
M128 : Bloc sur un plan incliné
Un bloc de masse M, de longueur (égale à sa largeur) et de hauteur h repose, comme représenté ci-après, sur
un plan initialement horizontal. On note µ le coefficient de frottement entre le bloc et le plan, la nature du contact
se caractérisant par µ ∈ [0,1] .
Un opérateur augmente progressivement la valeur de l'angle α que fait le plan avec l'horizontal. On modélise le
basculement éventuel du bloc par un pivotement sans glissement autour de la génératrice de contact passant par I.
On note alors J1 le moment d'inertie du bloc par rapport à cet axe et ω = −ω.e z , son vecteur rotation instantanée
autour de cet axe où ω > 0 est sa vitesse angulaire.
M106 : Intérêt d'un levier « pied de biche »
Un levier « pied de biche » est coudé à 90° au point O ; afin
d'arracher un clou, on exerce en B une force F perpendiculaire à
OB et d'intensité F = 200 N .
Données : OB = 70 cm ; OA =10 cm ; l'angle entre OB et le
plan d'appui est α = 30 ° .
1) On ignore la possibilité de basculement. À quelle condition sur a y a-t-il glissement ?
2) À quelle condition sur a y a-t-il basculement sans glissement ?
3) En déduire la condition sur les dimensions du bloc telle que celui-ci glisse sans avoir préalablement basculé
quelle que soit la nature du contact envisagé. A.N.: µ = 0,5 .
En déduire la force R normale au plan, exercée par le levier sur
M129 :Déménageur poussant une caisse
On considère, dans le référentiel (R) rapporté à (O,x,y,z), un bloc
parallélépipédique solide (noté S1) de masse M reposant sur le sol
horizontal (noté S2, rapporté au plan (O,x,y)).
Un opérateur cherche, sous l'action d'une force de poussée F = F .e x , à
maintenir le bloc en translation à vitesse constante.
On note RT = −RT .e x , la force de frottement au contact avec le sol.
1) Exprimer la condition sur la force de poussée assurant la mise en
mouvement du bloc. On note µs le coefficient de frottement statique caractéristique du contact bloc-sol.
Commentaires ?
2) Le bloc glisse sans pivoter sur le sol.
a) Montrer que la puissance des actions de contact entre le bloc et le sol s'exprime en fonction de RT et de la
vitesse de glissement Vg .
le clou et la réaction R' du sol en O (le poids du levier est
négligé) ; commenter les résultats.
M121 :Oscillateur
Soit le dispositif représenté ci-dessous. Le ressort est idéal, de raideur k et de
longueur naturelle 0 . Les points matériels M1 et M2 de masse m1 et m2
peuvent se déplacer verticalement. La poulie accrochée en M1 et le fil sont
idéaux.
Montrer que la période des oscillations s’écrit :
b) Un opérateur fournit un travail musculaire Wopp pendant un temps ∆t pour amener le bloc en translation
d'une vitesse initiale nulle à une vitesse V0 . Montrer que, pour un temps ∆t donné, le travail à fournir par
l'opérateur est d'autant plus élevé que le bloc est lourd, que le coefficient de frottement dynamique µd
caractéristique du contact bloc-sol est élevé et que V0 est grand.
MECANIQUE
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