PC13/14 y x θ C I O AC1 : Roue sur sol fixe La roue, de centre C et

PC13/14
TD : MECANIQUE DU SOLIDE
CINEMATIQUE
AC1 : Roue sur sol fixe
La roue, de centre C et de rayon a roule sans
glisser sur le sol horizontal fixe.
y
x
θ
C C
Déterminer la relation liant θ˙ , x˙ et a.
Commenter le signe.
x
I
O
€ €
AC2 : Roue sur sol mobile
Cette même roue roule sans glisser sur un tapis roulant se déplaçant à la vitesse
v 0 = v 0 ex . Déterminer la relation liant v0, θ˙ , x˙ et a.
€
Exercice 1 : Like an Egyptian€ €
Pour déplacer de gros blocs de pierre, les égyptiens utilisaient des troncs d’arbre
cylindriques de rayon R sur lesquels ils déposaient un bloc et le poussaient. En notant
v la vitesse de déplacement d’un bloc, déterminer la vitesse linéaire du centre de
masse d’un tronc ainsi que sa vitesse de rotation. On supposera pour cela que les
troncs ne glissent ni sur le sol, ni sur le bloc.
y Exercice 2 : Sphère qui roule
Une sphère homogène de centre C, de masse m et de
rayon a se déplace sur un support cylindrique de rayon R
fixe dans un référentiel galiléen.
C 1. Quelle est la nature du mouvement du centre C ?
Exprimer les vecteurs vitesse et accélération du point C
dans la base polaire.
2. La sphère roule sans glisser sur le support cylindrique.
En déduire la vitesse de rotation instantanée de la sphère.
I θ x
O y Exercice 3 : Chute d’une échelle (partie 1)
On considère une échelle de longueur AB = 2l qui chute.
On supposera qu’à chaque instant les deux extrémités
restent en contact avec le mur pour l’une et le sol pour
l’autre.
B G On suppose que la chute est paramétrée par l’angle θ (t )
On appelle R le référentiel (O,x,y,z) lié au sol.
1. Montrer que le centre de masse G, milieu de [AB], a
€
une trajectoire circulaire de centre O.
O θ A x PC13/14
TD : MECANIQUE DU SOLIDE
2. Exprimer la vitesse de G dans R.
3. Déterminer le vecteur rotation associé à la chute.
4. Déterminer les expressions de v (A/R) et de v (B/R) .
Exercice 4 : Principe simplifié
du différentiel
€
€
On va donner le principe d’un différentiel de voiture qui permet,
dans un virage, aux deux roues motrices de tourner à des vitesses
différentes.
C Un cylindre creux, d’axe (Oz), de rayon R2, tourne à la vitesse ω2
d’une roue et un cylindre coaxial, de rayon R1, à la vitesse angulaire
ω1 de l’autre.
On supposera R1 < R2.
La synchronisation entre les deux roues se fait par l’intermédiaire d’un troisième
cylindre de diamètre D = R2 - R1 , tangent aux deux précédents : il est inclus dans le
cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en réalité il s’agit de roues dentées :
engrenages).
1. Ecrire les deux conditions de non-glissement dans le repère cylindrique d’axe (Oz).
2. En déduire, en fonction de R1, R2, ω1 et ω2 et toujours dans le repère d’axe (Oz):
2.a. la vitesse angulaire ω3 du cylindre de rayon
D
2
2.b. la vitesse linéaire v3 de son « centre » C.
€
CINETIQUE
AC3 : Roue sur sol fixe
On reprend les conditions de AC1. Déterminer pour la roue, dans le référentiel du sol,
en fonction de m, a et θ˙ :
- la résultante cinétique
- les moments cinétiques LOz et LCz.
€
- l’énergie cinétique
AC4 : Energie cinétique de la Terre
Calculer l’énergie cinétique de la terre dans le référentiel de Copernic.
R2 R1 PC13/14
TD : MECANIQUE DU SOLIDE
Exercice 5: Chute d’une échelle (partie 2)
On reprend les conditions de l’exercice 3
On donne J =
m2
le moment d’inertie de l’échelle par rapport à l’axe (Gz).
3
1. Exprimer la résultante cinétique de l’échelle dans R .
2. Exprimer le moment cinétique L o de l’échelle par rapport à l’axe ΔO = (Oz) dans le
€
référentiel
R.
Δ
3. Exprimer l’énergie cinétique de l’échelle dans le référentiel R.
Exercice 6: Sphère qui roule, le retour
Cette question reprend la situation de l’exercice 2.
Dans l’hypothèse d’un roulement sans glissement, déterminer :
1. La résultante cinétique de la sphère.
2. Le moment cinétique de la sphère par rapport à l’axe Oz.
3. L’énergie cinétique de la sphère.
On rappelle le moment d’inertie de la sphère par rapport à un axe passant par son
2
5
centre : J = ma 2 .
ACTIONS SUR UN SOLIDE
€AC7 : Coefficient de frottement gomme / règle
Déterminer un mode opératoire permettant de déterminer le coefficient de frottement
gomme / règle. En déduire une valeur approchée de ce coefficient.
AC6 : Yoyo horizontal
On schématise un yoyo par deux disques
identiques homogènes de rayon R et de masse
M, reliés par un tambour cylindrique de rayon
a < R et de masse négligeable autour duquel
est enroulé un fil. Les deux disques et le
tambour sont solidaires et ont même axe. Le
Yoyo est posé sur un plan horizontal sur
€
lequel il roule sans glisser.
g
α
€
On exerce sur le fil une force constante faisant un angle α avec l’horizontale. On
note f le coefficient de frottement solide yoyo/sol.
On notera que le point d’action de la force F se ramène au point du tambour
tangent au fil tendu.
1. Faire le bilan des forces sur le yoyo
€
2. Faire le bilan des moments des forces au centre de masse G du yoyo. Utiliser si
possible la notion de bras de levier.
F
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TD : MECANIQUE DU SOLIDE
DYNAMIQUE DU SOLIDE
AC8 : pendule pesant
O En utilisant le théorème du moment cinétique,
déterminer l’équation du mouvement de ce
pendule pesant, en supposant que les liaisons en
O sont parfaites. On notera d = OG, où G est le
centre de masse du pendule et JOy le moment
d’inertie selon l’axe Oy.
x G θ z Exercice 7: Yoyo.
On schématise un yoyo par deux disques identiques homogènes de rayon R et de
masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable
autour duquel est enroulé un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont
même axe.
Une extrémité du fil est attachée au tambour et l’autre à un point fixe O. Le fil
étant enroulé, on lâche le système sans vitesse initiale, l’axe étant horizontal. En
admettant que l’axe reste horizontal au cours du mouvement, calculer l’accélération
linéaire du yoyo et la tension du fil à tout instant.
O
O
g
a
R
Exercice 8 : Un oscillateur
Sur le schéma, ci-contre, le point A appartenant à la
circonférence d’une roue, disque homogène de
rayon R et masse m, est attaché à deux ressorts
identiques.
On suppose que la roue ne glisse pas sur le sol, fixe.
(
)
On notera θ = Cz,CA
On s’intéresse aux petites oscillations du système,
c’est à dire θ <<1, en supposant ainsi que les
€
ressorts,
attachés au point A, restent horizontaux.
€
20 (k,0)
(k,0)
z
roue (m,R)
C
x
PC13/14
TD : MECANIQUE DU SOLIDE
1. Déterminer la relation liant la vitesse v = vex du centre C et la vitesse de rotation de
la roue.
2. Montrer que lorsque C avance de x, le point A se déplace de 2x (approximation
€
dans le cadre des petites oscillations).
3. Appliquer le théorème du moment barycentrique à la roue. En déduire la relation
dω
approchée J
= −TR − 4kRx où T = T ex est la réaction tangentielle du sol.
dt
4. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la roue.
€
5.€Déduire des résultats précédents la pulsation des petites oscillations.
Exercice 9 : Machine de Timochenko
On considère le dispositif ci-dessous :
y
x
I1
G
O
C1
I2
C2
d
d
Les deux cylindres de même rayon b tournent en sens inverse à vitesse angulaire de
même norme ω.
On note f le coefficient de frottement cylindre / planche, identique pour les deux
cylindres.
On note R1 = N 1 e y + T1 ex et R2 = N 2 e y + T2 ex les actions de contact des cylindres (1)
et (2) sur la planche.
A l’instant initial, on pose une planche homogène de masse m d’épaisseur
€négligeable, dans €une position légèrement dissymétrique ; on constate que, sous
certaines conditions, la planche oscille sinusoïdalement.
On définit la position de la planche par la variable x(t) = OG, où O est la position
symétrique relativement aux deux cylindres et G le centre de masse de la planche.
Les conditions initiales sont alors : x(0) = x0 et
dx
(0) = v(0) = 0
dt
1. Donner les expressions des vitesses de glissement aux points de contact I1 et I2 en
fonction de v, b et ω. En déduire que la planche glisse sur chaque cylindre.
€
€
2. Appliquer le théorème de la résultante
cinétique à la planche et en tirer deux
relations scalaires
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TD : MECANIQUE DU SOLIDE
3. Appliquer le théorème du moment cinétique barycentrique.
4. Déduire des questions précédentes les expressions de N1 et N2 en fonction de m, g,
x et d. Donner alors une condition portant sur x0 assurant que la planche reste en
contact des cylindres.
5. En déduire une équation différentielle en x(t) et la résoudre avec les conditions
gf
initiales données en début d’énoncé. On posera ω0 =
.
d
6. Montrer qu’il existe une vitesse de rotation des cylindres minimale, notée ωm en
dessous de laquelle le système ne peut plus osciller. Donner son expression.
7. Peut-on observer des oscillations si€on inverse le sens de rotation de chaque
cylindre ?
Exercice 10 : Fermeture d’une portière
Une voiture, initialement à vitesse nulle, démarre en ligne
droite horizontale avec une accélération γ constante.
Une porte de cette voiture est schématisée par un carré,
homogène de masse m et de côté b et d'épaisseur négligeable.
Cette porte est fixée à la voiture€par un de ses côtés verticaux
et elle peut tourner librement (sans frottement) autour de ce
côté.
Soit θ l'angle que fait la porte avec la direction de
déplacement de la voiture (voir figure).
Initialement θ = π/2.
A
Voiture vue de dessus
1
3
Le moment d'inertie de la porte par rapport à la charnière en A vaut J = mb 2 .
1. Dans le référentiel de la voiture, quel est le point d'application de la force
d'entraînement sur la porte ? Justifiez votre réponse.
€
2. Déterminer la vitesse angulaire de la porte quand elle se ferme.
3. Déterminer le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne pour cela
∫
π
2
0
dθ
= 2,62
cos θ
Exercice 11 : Moteur d’axe fixe
€
On considère un moteur d’axe horizontal fixe qui exerce un couple constant C sur une
poulie de rayon R. Une masse M est suspendue à la poulie, de moment d’inertie J par
rapport à son axe de révolution.
On note ω(t) la vitesse angulaire de la poulie autour de son axe.
1. La poulie tourne sans frottements.
1.a. Quelle est la condition sur C pour que la masse puisse remonter ?
PC13/14
TD : MECANIQUE DU SOLIDE
Dans la suite, on suppose cette relation satisfaite. A t = 0, le mouvement démarre à
partir d’une vitesse angulaire initiale nulle pour la poulie ω(0) =0.
1.b. Trouver une relation cinématique entre ω et v, vitesse de M.
1.c. Appliquer le théorème du moment cinétique à la poulie.
1.d. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la masse M.
1.e. En déduire une équation différentielle sur ω(t) et la résoudre.
1.f. La solution vous semble-t-elle physiquement satisfaisante ?
2. On cherche à modéliser les frottements propres au système {moteur + poulie} et
pour cela on effectue des essais à vide, c’est à dire qu’aucune masse n’est suspendue.
La poulie est mise initialement en rotation avec une vitesse angulaire ω(0) = ω0.
A t = 0, le couple moteur C est arrêté. On observe qu’au bout d’un temps τ, la vitesse
de rotation a diminué de moitié.
2.a. On suppose que les frottements sont de type fluide et exercent un couple
résistant C f = −αω . Déterminer le coefficient α en fonction des données du
problème. Dépend-il des conditions initiales ?
2.b. On observe un arrêt total de la rotation au bout d’un temps τ ’ = 2,5τ.
€
Justifier que le modèle précédent ne convient pas totalement et proposer une loi
corrective pour le frottement. L’expression du coefficient α trouvée précédemment
est-elle modifiée ?
Exercice 12 : Le patineur
On s’intéresse à un patineur effectuant des tours sur place (on appelle cette figure une
pirouette) à la vitesse angulaire ω0, les deux pieds au sol et les bras restant « collés »
le long du corps.
On néglige les frottements de pivotement des patins sur la glace.
Il monte ses bras et les place « en croix » à l’horizontale, tournant alors à la vitesse
ω
angulaire ω1. Estimer le rapport 1 .
ω0
On pourra se poser comme question préliminaire si le rapport doit être supérieur ou
inférieur à 1.
€
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TD : MECANIQUE DU SOLIDE
Exercice 13 : Expérience de Cavendish
En 1798 le physicien Henri Cavendish réalise une expérience lui permettant de «
peser » la Terre et d’obtenir la valeur de la constante de gravitation G. Aux extrémités
d’une tige de bois de longueur l = 2m et de masse négligeable, il fixe deux boules de
plomb de masse m = 730g puis en suspendant le tout à un fil de torsion, il réalise un
pendule de torsion. On rappelle qu’un fil de torsion produit un couple de rappel, qui
s’oppose à la torsion, proportionnel à l’angle de torsion θ : Le moment du couple par
rapport à l’axe du fil vaut Γ = −Cθ où C désigne la constante de torsion.
Δθ
1. Cavendish cherche d’abord à mesurer la constante de torsion en faisant osciller le
pendule de torsion. Montrer à l’aide du théorème du moment cinétique que l’angle de
torsion vérifie l’équation d’un oscillateur de pulsation propre :
ω0 =
2C
ml 2
2. Cavendish, mesure la période T des oscillations. Il trouve T = 7mn. En déduire la
constante de torsion.
€
3. Il place ensuite à la distance r = 22,5 cm des deux masses, deux grosses boules de
plomb de masse M = 158 kg, comme l’indique la figure. Montrer que la position
d’équilibre est déviée d’un angle Δθ (la déviation étant très faible on considèrera que
r reste constant).
4. Cavendish trouve G = 6, 75.10−11 N.m2.kg−2. Calculer la déviation angulaire
correspondante. Commentez.
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TD : MECANIQUE DU SOLIDE
ENERGIE DU SOLIDE
AC8 : Roue qui monte sur un plan incliné
On suppose qu’une roue, de rayon a, roule sans glisser sur un plan incliné d’un angle
α par rapport à l’horizontale. On considère que la roue monte sous l’action d’un
couple moteur constant Γm. Déterminer la puissance totale des actions exercées sur la
roue en fonction de θ˙ , vitesse angulaire associée à la rotation de la roue.
AC9 : pendule pesant
€
On reprend les mêmes notations que pour AC8. Déterminer l’équation du mouvement
par application du TPC.
Exercice 14 : Deux sphères qui roulent
On dispose de deux sphères de même masse m, de même rayon R. La sphère n°1 est
pleine (en aluminium) et la sphère n°2 est creuse (en plomb) dont on supposera la
masse répartie en surface. On les fait rouler sur un plan incliné qui fait un angle α
avec l’horizontale en les lâchant sans vitesse initiale. On suppose que le roulement se
fait sans glissement.
1. Comparer les moments d’inertie des deux sphères, notés J1 et J2.
2. Pour chacune des deux sphères, donner :
2.a. la vitesse vi du centre en fonction de la vitesse angulaire ωi et de R.
2.b. l’énergie cinétique en fonction de m, R, vi et Ji.
3. Etude dynamique :
3.a. En appliquant le TPC, exprimer
dvi
en fonction de m, R, Ji, α et g.
dt
3.b. Conclure : quelle sphère descendra le plus rapidement la pente ?
€
ω
Exercice 15 : Le seau qui plonge dans un puits
Un treuil est constitué d’un cylindre de révolution de rayon R et
de moment d’inertie J par rapport à son axe horizontal Δ. On
suppose que le cylindre tourne sans frottement autour de son axe.
Une corde, inextensible et dont on négligera l’épaisseur et la
masse, est enroulée sur le cylindre et retient un seau de masse M.
En appliquant la conservation de l’énergie, et en vérifiant au
préalable qu’elle se conserve bien, déterminer l’accélération du
seau si le système est laissé à lui-même.
€
PC13/14
TD : MECANIQUE DU SOLIDE
Exercice 16 : Chute d’une chaîne
Une chaîne AB homogène et sans raideur, de masse m et de longueur d, est posée sur
le bord d’une table horizontale, sans vitesse initiale.
L’axe (Oz) est orienté vers le bas, O se trouvant au bord de la table. La partie OA de
la chaîne pend dans le vide tandis que le reste BO repose sur la table. On repère par z
la position de A telle que OA(t) = z(t). Initialement z(t = 0)= a.
On néglige tout frottement interne à la chaîne d’une part, et entre la table et la chaîne
d’autre part.
1. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la chaîne.
2. En déduire l’équation différentielle que vérifie z(t).
3. Déterminer alors la loi z(t).
Exercice 17 : Chute d’une échelle (partie 3)
On reprend les conditions et résultats des exercices 3 et 5
On suppose que l’échelle glisse en A avec un frottement de coefficient f et qu’elle
glisse en B sans frottement.
Le référentiel d’étude est supposé galiléen.
1. Définir le nombre de degrés de liberté ainsi que les actions inconnues. En déduire
le nombre d’équations nécessaires à l’étude de la chute.
2. L’échelle chute : appliquer le théorème des puissances cinétiques.
3. Utiliser une seconde équation tirée d’un théorème de la dynamique pour lever
l’inconnue présente dans l’équation de la question 2). En déduire l’équation
différentielle du mouvement en θ.
4. A quelle condition sur θ peut-on avoir le maintien en équilibre de l’échelle ?
Exercice 18 : Oscillations d’une roue lestée
Un point matériel A de masse m est
solidaire de la surface d’une roue assimilé
à un disque homogène de masse M de
centre C de rayon R de moment d’inertie J
par rapport à son axe de révolution et qui
roule sans glisser sur un sol horizontal. On
note I le point de contact de la roue avec le
sol. La rotation de la roue est repérée par
l’angle θ orienté entre la verticale
descendante et le rayon CA.
z
x
A
C
θ
O
x
I
Quel lien y a-t-il entre la vitesse du centre C et le vecteur rotation de la roue ?
En déduire en fonction de θ, de ses dérivées et des constantes du problème, l’énergie
cinétique de la roue lestée, son énergie potentielle de pesanteur.
En déduire la période des petites oscillations.
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TD : MECANIQUE DU SOLIDE
Exercice 19 : Freinage d’une voiture :
Une voiture, de masse totale M = 1,0 tonne est constituée d’un châssis et de quatre
roues de rayon R = 30 cm et de masse m = 20 kg chacune. Le moment d’inertie d’une
roue par rapport à son axe de rotation s’écrit J =
mR2
.
2
La voiture commence à freiner alors que sa vitesse est v0 = 130 km.h-1.
On suppose que le mouvement est rectiligne horizontal et que les roues roulent sans
€
glisser sur le sol.
Le référentiel terrestre d’étude est supposé galiléen.
1. Exprimer l’énergie cinétique de la voiture à un instant t quelconque où la voiture se
déplace à une vitesse v.
2. Déterminer la distance d’arrêt d si chaque roue est soumise à un couple de freinage
constant de norme C0 = 350 Nm et que le couple moteur est stoppé.
Exercice 20 : Mesure d’un coefficient de frottements
Deux objets M et M’ (masses m et m’) sont reliés par
un fil inextensible, de masse négligeable, susceptible
de glisser sans frottement sur une poulie fixe, parfaite
(pas de couple de frottements) et dont on négligera
l’inertie. Initialement, le fil est tendu et l’objet M’ se
trouve à une hauteur h du sol.
M A l’instant t = 0, un opérateur enlève le support et
l’objet M se met à glisser sur un plan horizontal avec
un coefficient de frottement f.
1. En considérant deux phases pour le mouvement de M, exprimer la distance D
parcourue par M avant de s’arrêter.
2. En déduire f en fonction de m, m’, h et D.
3. Sans tout refaire, indiquer ce qui change dans la mise en place du problème si on
suppose que la poulie possède un moment d’inertie J par rapport à son axe central de
rotation.
M’ h
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EXERCICES « LIBRES »
Exercice 21 : Yoyo horizontal
On schématise un yoyo par deux disques
identiques homogènes de rayon R et de masse M,
reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et
de masse négligeable autour duquel est enroulé un
fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires
et ont même axe.
€
g
α
€
Le Yoyo est posé sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser. On exerce sur
le fil une force constante faisant un angle α avec l’horizontale. On notera que le point
d’action de la force F se ramène au point du tambour tangent au fil tendu.
1. Déterminer l’expression de l’accélération du Yoyo et en déduire le sens de
déplacement horizontal en fonction de l’angle α.
€
2. On note f le coefficient de frottement entre le Yoyo et le sol. Quelle condition
portant sur F, a, R, M et α, doit vérifier f pour que l’hypothèse du roulement sans
glissement soit validée ?
Exercice 22 : Chute d’une tartine beurrée
Une tartine parallélépipédique est posée en
porte-à-faux sur le coin d’une table (centre de
gravité G, masse m, moment d’inertie J par
rapport à (Gy), d’épaisseur négligeable (même
si cela ne paraît pas évident sur le schéma) ,
valeur du porte-à-faux a). L’action de la table
se décompose en une composante normale de
module N et une tangentielle de module T, le
coefficient de frottement est f.
On note θ l’angle dont tourne la tartine par
rapport à sa position initiale horizontale
supposée sans vitesse.
z
a
θ
x
N
T
G
€
€
mg
On étudie le mouvement de bascule de la tartine autour du coin de la table et on
suppose que celui-ci s’effectue sans glissement.
€
1. Dans ce mouvement, la tartine est-elle un système conservatif ?
dθ
d 2θ
2. Déterminer
et
en fonction de θ et des constantes du problème.
dt
dt 2
3. Même question pour N et T.
€
€ l’allure
4. Tracer
des graphes donnant N et T en fonction de θ. La tartine décolle-t-elle
de la table avant de glisser ou l’inverse ?
F
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Exercice 23 : Machine d’Atwood
(J, a)
Une poulie de rayon a, de moment d’inertie J par rapport à son
axe supporte, grâce à un fil inextensible de masse négligeable et
non glissant, d’un côté une masse M et de l’autre une masse M et
une surcharge m (cf figure).
Calculer l’accélération du système.
On utilisait cette machine en TP de physique en classe de
terminale vers la fin des années 60 pour mesurer l’accélération
de la pesanteur. Quel intérêt par rapport à une mesure directe ?
M
M+m
La poulie n’est pas vraiment un disque homogène et J est difficile à évaluer. On
faisait deux mesures d’accélération pour deux valeurs différentes de M. Expliquer le
pourquoi e2le comment.
Exercice 24 : Palan
Calculer, en fonction du module V de la vitesse
verticale de la masse M, l’énergie cinétique du
système formé par les masses M et m, les deux
poulies identiques de masse µ, de rayon a et de
moment d’inertie J par rapport à l’axe de révolution et
le fil de masse négligeable, inextensible.
(µ, a, J )
(µ, a, J )
Le fil ne glisse pas sur les poulies, celle du haut a un
centre fixe et celle du bas s’élève. En déduire
l’accélération de la masse M.
En profiter pour rappeler l’intérêt du palan sur la poulie.
Exercice 25 : Un oscillateur bis
Déterminer la période des oscillations du système ci-contre, le fil
étant inextensible et ne glissant pas sur la poulie.
On négligera tout frottement.
m
M

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