N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 Electricite II : le regime permanent sinusoïdal 1. Introduction Dans le premier cours d'électricité nous avons vu d'où vient le courant électrique. L'application d'un champ électrique sur un conducteur permet de mettre en mouvement les électrons ce qui créé un courant électrique. L'application d'un champ électrique se fait en connectant le conducteur à un générateur de tension (une pile, une prise électrique, etc). Cela a pour conséquence de créer une différence de potentiel entre deux points du conducteur et donc l'apparition d'un courant. Une analogie efficace est celui du cours d'eau : le potentiel est un réservoir d'eau situé à une hauteur donnée tandis que le courant représente le débit de ce cours d'eau. Il est donc possible d'avoir une très forte différence de potentiel (ou très forte tension) sans toutefois avoir un grand courant (cf la vidéo sur la salle d'électrostatique du Palais de la découverte). Dans un deuxième temps nous avons vu qu'une caractéristique intrinsèque des matériaux est leur capacité à s'opposer au passage du courant. Cette propriété se nomme la résistivité de laquelle découle la résistance. La résistance est l'un des trois composants passifs (c’est-à-dire qui ne génère ni tension ni courant) qui sont à la base de toute l'électronique. Nous aborderons dans le cadre de ce cours les deux autres composants : les condensateurs et les inductances. Or ces deux composants prennent tout leur intérêt lorsqu'on leur applique une tension dépendant du temps. Nous verrons dans cette partie le cas particulier d'une tension sinusoïdale. Lors des TPs nous aborderons un cas concret d'utilisation de ces composants pour former un des filtres de fréquences. Une description théorique sera toutefois donnée dans ce cours. Dans le cadre d'un enseignement en sciences des matériaux, l'apprentissage des bases de l'électricité et de l'électronique est fondamental. En premier lieux car la fabrication de ces composants nécessite la connaissance des matériaux qui les composent. Ensuite parce que nombre des débouchées du DUT SGM comporte l'usage de matériaux dans un contexte où le courant intervient (problèmes de câblages, d'isolation, etc). 1 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 2. Les condensateurs 2.1. Description Les condensateurs sont des composants électroniques composés de deux électrodes conductrices séparées par un isolant. Dans un circuit tel que celui de la figure 1, le générateur de tension produit une différence de potentiel est donc génère un courant électrique. Cependant, l'isolant du condensateur empêche le courant de passer, si bien que les électrodes du condensateur vont peu à peu se charger soit positivement soit négativement. Au-delà d'une certaine charge, le champ électrique créé entre les deux électrodes deveint trop grand à supporter pour l'isolant. Ce dernier va claquer et le courant circulera librement dans le condensateur qui sera alors bon à jeter à la poubelle ! Figure 1 : Schéma d'un circuit électrique où un condensateur est branché à un générateur de tension La capacité à accumuler des charges à ses bornes est une propriété qui peut s'avérer très utile par exemple dans les accumulateurs électriques qui peuvent ensuite délivrer un courant "à la demande". Il est donc utile de pouvoir maîtriser cette capacité en fonction de l'utilisation que l'on souhaite faire du condensateur. 2.2. La capacité La grandeur qui caractérise un condensateur est sa "capacité", elle se mesure en Farads (symbol F). La capacité d'un condensateur dépend de sa forme et de sa composition. En ce qui concerne la forme, il est possible de calculer la capacité grâces aux équations de Maxwell (voir le cours d'électromagnétisme). Pour des formes simples, les résultats sont donnés sur la figure 2. 2 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 Figure 2 : Les principales géométries de condensateurs et la valeur de leurs capacités (source : Wikipédia) Quel que soit la géométrie du condensateur, on remarque la présence de la constante  = 0r. Cette constante est la constante diélectrique aussi appelée permittivité diélectrique représente la propension d'un matériau à répondre à un champ électrique. Sous l'effet d'un champ électrique extérieur, le nuage électronique d'un atome va se déplacer par rapport au noyau chargé négativement. La taille de ce déplacement dépend du matériau et est caractérisée par la constante diélectrique.  est le produit de deux termes : 0 = 8,84 10-12 Fm-1 est la permittivité diélectrique du vide et r est la permittivité diélectrique relative qui est propre au matériau considéré. 2.3. Relation fondamentale La relation fondamentale des condensateurs relie la capacité C, la tension UC aux bornes du condensateur et la charge accumulées sur le condensateur Q : 𝑄 𝑈𝐶 = 𝐶 (1) 3. Les inductances 3.1. Description Lorsque l'on fait circuler un courant électrique dans une boucle de courant un champ magnétique apparait perpendiculairement à la surface de la boucle (figure 3). Les raisons physiques de ce phénomène seront vues en cours d'électromagnétisme. Il est tout de même possible de se rendre compte de ce phénomène par l'exemple. En cours, nous avons vu une vidéo montrant comment fabriquer le rotor d'un moteur avec un enroulement de fil. Lorsqu'un courant circule dans la bobine et 3 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 qu'un aimant permanent est approché, le mouvement de rotation de la bobine est entretenu. Lorsque le courant est coupé, le mouvement s'arrête. C'est la preuve qu'un champ magnétique apparait à cause du courant électrique. Si la même expérience avait été faite avec un fil non enroulé, il n'y aurait pas eu de champ magnétique. Figure 3 : Un champ magnétique B apparait dans une bobine parcourue par un courant. De la même manière qu'un condensateur va engendrer un champ électrique entre ses électrodes lorsqu'elles sont chargées, la bobine induira un champ magnétique. Comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, le condensateur va donc agir sur la tension alors que la bobine agira sur le courant. 3.2. L'inductance La grandeur qui permet de mesurer la capacité d'une bobine à générer un champ magnétique s'appelle l'inductance et se mesure en Henry (symbole H). De même que pour le condensateur, l'inductance d'une bobine est liée à sa géométrie. La relation entre l'inductance L, le nombre spire N, la section S de la bobine et sa longueur l est donnée par : 𝐿= µ0 µ𝑟 𝑁 2 𝑆 𝑙 (2) Où µ0 = 4π × 10−7 H·m−1 est la constante magnétique et µr est la perméabilité relative, caractéristique du matériau magnétique considéré. µr n'intervient que si le cœur de la bobine est rempli par un matériau magnétique. 3.3. Relation fondamentale La relation fondamentale des inductances relie l'inductance L, la tension UL aux bornes de la bobine et le courant i circulant dans la bobine : 𝑑𝑖 𝑈𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡 4 (3) N. Lidgi-Guigui N.B. 𝑑𝑖 𝑑𝑡 DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 signifie "dérivée du courant par rapport au temps". Cette notation sera abordée durant l'année en cours de mathématique. Dans le cadre de ce cours elle est exactement identique à la notation qui a pu être vu en terminale et qui aurait été i'(t). 4. Le régime continu 4.1. Définition Le régime continu est le régime électrique pour lequel la tension ou le courant ne varie pas au cours du temps. Mathématiquement cela se traduit par : 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =0 (4) 𝑑𝑈 𝑑𝑡 =0 (5) En régime continu, il est d'usage d'utiliser des majuscules pour désigner la tension et le courant. Quelles en sont les conséquences sur le trois composants passifs de base : la résistance, l'inductance et le condensateur ? En ce qui concerne la résistance, cela ne change rien. Tout ce que nous avons vu au cours précédent était implicitement énoncé en régime continu. La loi d'Ohm est donc toujours valable et s'écrira exactement de la même manière. La relation fondamentale des bobines (équation 3) donne une relation de proportionnalité entre la tension et la dérivée du courant par rapport au temps. En régime continu, cela se traduit donc par une tension nulle aux bornes de la bobine. Autrement dit, la bobine se comporte comme un fil ou un courtcircuit. 4.2. La charge du condensateur En régime continu, le condensateur accumulera des charges sur ces électrodes jusqu'à ce que la tension à se bornes atteigne la tension de consigne (par exemple, sur la figure 1, la tension du générateur). Si l'on considère le circuit de la figure 1 où il n'y a qu'un condensateur et un générateur, la charge est quasiment instantanée. Pour la mettre en évidence il est possible d'introduire une résistance comme sur la figure 4a. 5 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux (a) 2014-2015 (b) Figure 4 : (a) Circuit RC (b) charge du condensateur à travers une résistance Dans ce cas, si l'on trace l'évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps, on obtient la courbe bleue de la figure 4b. La tension augmente progressivement jusqu'à atteindre la tension UMAX correspondant à la tension délivrée par le générateur. Sur la figure 4b, la droite verte est la tangente à l'origine à la courbe bleue. Cette droite atteint la tension UMAX à un temps  appelé constante de temps du circuit RC et qui correspond à une charge de 63% du condensateur. On montre expérimentalement que : 𝜏 = 𝑅𝐶 (6) 5. Le régime sinusoïdal permanent Les régimes où les valeurs de la tension et de l'intensité dépendent du temps sont plus particuliers. En règle générale on s'intéresse au régime sinusoïdal car c'est celui qui est délivré par le réseau électrique. Dans le cadre de ce cours on s'intéressera plus particulièrement au régime sinusoïdal permanent par rapport au régime transitoire. Au moment de l'allumage ou de l'éteinte d'un appareil, des différences d'intensité ou de fréquences peuvent apparaitre. Ces périodes de marche des circuits électriques nécessitent un traitement particulier qui ne rentre pas dans le cadre de ce cours. 6 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 5.1. Définition (a) (b) Figure 5 : Tension sinusoïdale délivrée par un générateur en fonction du temps. T est la période du signal et A son amplitude. Une tension ou une intensité sinusoïdale dépendante du temps est caractérisée par (voir figure 5)  Son amplitude, c’est-à-dire la valeur positive maximale du signal. On peut parler parfois de tension crête à crête qui désigne l'amplitude entre la valeur minimale et la valeur maximale du signal. L'amplitude efficace désigne quant à elle la valeur maximale du signal divisée par √2.  Sa pulsation  (oméga), par définition 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 ; 𝑇 où f est la fréquence du signal (en Hz) et T la période (en s).  se mesure en rad.s-1.  Sa phase. Cette grandeur permet de comparer deux signaux entre eux. Par exemple, sur la figure 5b les signaux bleu et vert ont la même amplitude et la même fréquence. Cependant, ils ne "commencent" pas au même moment, on dira qu'ils sont déphasés, en l'occurrence, de . Lorsqu'un signal est étudié seul, on mentionne sa phase par rapport à l'origine des temps. La description mathématique d'un signal sinusoïdal se fait à l'aide des nombres complexes. Par exemple, une tension sinusoïdale s'écrira sous forme trigonométrique : 𝑢(𝑡) = U(cos(𝜔𝑡 − 𝜑) + 𝑗 sin(𝜔𝑡 − 𝜑)) (7) Par convention, une tension dépendant du temps est désignée par une lettre minuscule. U est l'amplitude du signal, elle est indépendante du temps puisque nous sommes en régime permanent. En électricité et en électronique, on désigne le nombre imaginaire par la lettre "j" au lieu d'utiliser la lettre "i" comme en mathématique. Cela est dû au risque de confusion avec l'intensité du courant, mais toute la théorie des nombres complexes vue en cours de mathématiques reste identique et en premier lieu j² = -1. Il est également possible d'utiliser la notation exponentielle. A ce moment, l'équation 7 devient : 7 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 𝑢(𝑡) = 𝑈𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝜑) (8) Nous verrons un peu plus loin pourquoi la notation exponentielle est particulièrement intéressante. 5.2. Résistance et impédance La résistance est une grandeur réelle et la loi d'Ohm ne fait intervenir que des grandeurs réelles. Si bien que résistance et loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent s'appliqueront exactement de la même manière. En ce qui concerne les condensateurs, on a vu au paragraphe 4.2, que lorsqu'une tension positive continue était appliquée à travers une résistance, le condensateur se charge avec une constante de temps  = RC. L'application d'une tension sinusoïdale aura exactement le même effet : le condensateur se chargera avec un petit retard sur la tension de consigne. Lorsque la tension du générateur aura atteint son maximum, le condensateur commencera à se décharger, toujours avec un retard sur la tension de consigne. Figure 6 : Charge et décharge d'un condensateur en fonction du temps lorsqu'une tension sinusoïdale UG lui est appliquée à travers une résistance. La figure 6 montre un exemple de courbe de charge du condensateur en régime sinusoïdal. On voit que la tension UC est déformée par rapport à UG. Cette déformation dépend de la fréquence du signal d'entrée ainsi que de son amplitude mais aussi de la constante de temps du circuit. En effet, on sait que le condensateur atteint 63% de sa charge au bout de t. Si la période du signal est beaucoup plus grande que t, alors le condensateur aura tout le temps de se charger, dans le cas contraire il entamera une décharge avant même d'avoir atteint sa charge maximale. Le fait que la tension au borne du condensateur soit légèrement décalée par rapport à la tension de consigne est dû au fait que les charges ont besoin d'un peu de temps pour arriver jusqu'aux électrodes. Cette propriété est en relation avec une résistance, en ce sens que le condensateur tend à s'opposer au passage du courant. Comme il n'est pas possible d'appeler un condensateur une résistance, on appellera 8 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 cette propriété du condensateur son "impédance". Pour un condensateur, l'impédance est complexe et s'écrit : 1 𝑍𝐶 = 𝑗𝜔𝐶 (9) Dans le cas de la bobine, si l'on reprend la relation fondamentale, il est évident que ce composant n'est plus en court-circuit en régime dépendant du temps. On a d'après l'équation 3 : 𝑑𝑖 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿 𝑑𝑡 = 𝐿 𝑑𝐼𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝜑) 𝑑𝑡 (10) Le calcul de la dérivée donne : 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿𝐼𝑗𝜔𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝜑) = 𝑗𝜔𝐿𝑖(𝑡) (11) Le facteur qui relie la tension d'une inductance à l'intensité qui la traverse est purement complexe. D'autre part, en identifiant l'équation 11 à la loi d'Ohm, on voit que l'impédance d'une bobine s'écrit : 𝑍𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 (12) 5.3. Déphasage Reprenons l'équation 11. En notation exponentielle, on a : 𝑗 = 𝑒𝑗 𝜋⁄ 2 (13) En réécrivant l'équation 11 on obtient donc : 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝑗𝜔𝐿𝑖(𝑡) = 𝜔𝐿𝑒 𝑗 𝜋⁄ 𝑗(𝜔𝑡−𝜑) 2𝑒 (14) Soit : 𝜋 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝜔𝐿𝑒 𝑗(𝜔𝑡−(𝜑− 2 )) (15) L'apparition du terme /2 dans l'exponentielle exprime le fait que la tension aux bornes de la bobine est déphasée /2 de par rapport à l'intensité qui la traverse. 6. Les filtres de fréquences Cette partie du cours sera abordée lors des TP. 9 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 6.1. Fonction de transfert On nomme généralement tension d'entrée la tension délivrée par le générateur. C'est pourquoi on peut la trouver désigné par ue ou uG. Une tension de sortie est l'endroit du circuit où est mesurée la tension. Par exemple, sur le circuit de la figure 4a si l'on décide de regarder la tension aux bornes du condensateur alors c'est cette tension qui sera la tension de sortie. Par contre si l'on décide de prendre la tension aux bornes de la résistance, la tension de sortie sera celle-là. On appelle fonction de transfert H() le rapport entre la tension de sortie et la tension d'entrée : 𝑢 𝐻(𝜔) = 𝑢 𝑠 (16) 𝑒 6.2. Gain Pour évaluer la capacité d'un circuit à augmenter l'amplitude d'une tension d'entrée on étudie le gain. Cette grandeur n'est autre que le module de la fonction de transfert. Cependant, pour des raisons de maniabilité, on a choisi de mesurer le gain en décibel (dB) dont la définition est la suivante : 1 dB = 10 log10 100,1 (17) On remarque donc qu'un logarithme est nécessaire pour représenter le gain en décibel. Cela permet de représenter graphiquement des valeurs qui s'étalent sur une très grande plage. La définition du gain en décibel est donc : 𝑢 𝐺𝑑𝐵 (𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔𝐻(𝜔) = 20log⁡(𝑢𝑠 ) 𝑒 (18) 6.3. Filtre passe bas 6.3.1. Calcul du gain Reprenons le circuit de la figure 4a, soit un circuit RC et calculons sa fonction de transfert aux bornes de C. De même appliquons la loi d'Ohm au condensateur. Pour cela on doit prendre en compte son impédance : 1 𝑢𝐶 = 𝑍𝐶 𝑖 = 𝑗𝜔𝐶 𝑖 (19) Nous avons vu lors du premier cours que la résistance équivalente à deux résistances en série était la somme des résistances. Par conséquent, l'impédance équivalente à la résistance et au condensateur en série sera Réqu = R + ZC. La loi d'Ohm appliquée à cette résistance équivalente donne : 10 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 1 𝑢𝑒 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐶 )𝑖 2014-2015 (20) Après calcul de l'équation 20, on obtient une expression de l'intensité : 𝑗𝜔𝐶 𝑖 = 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 𝑢𝑒 (21) En remplaçant 21 dans 19, on obtient : 𝑢𝐶 = 1 𝑢 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 𝑒 (22) Remarque : Ce résultat n'est autre que le pont diviseur de tension appliqué au condensateur (cf. TD1 exercice 4). On déduit de l'équation 20 la fonction de transfert aux bornes de C : 𝑢 1 𝐻𝐶 (𝜔) = 𝑢𝐶 = 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 𝑒 (23) Et de là le gain du circuit RC 1 𝐺𝐶 (𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔 |𝑗𝜔𝑅𝐶+1| = −10log⁡(1 + (𝜔𝑅𝐶)2 ) (24) 6.3.2. Représentation graphique La représentation graphique du gain en fonction de la fréquence s'appelle un diagramme de Bode. L'allure du gain de l'équation 24 est donnée sur la figure 7. Figure 7 : Diagramme de Bode pour le gain d'un filtre passe bas Le gain est inférieur ou égal à 0. Cela est logique car s'il était positif, cela signifierait que le circuit a permis d'obtenir une tension de sortie plus élevée que la tension d'entrée ce qui n'est pas possible sans source d'énergie supplémentaire. 11 N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 On remarque que le gain est constant sur une certaine plage de fréquence puis décroit rapidement. Autrement dit pour les fréquences les plus hautes, le gain du circuit est négatif : l'amplitude de la tension de sortie est beaucoup plus faible que celle d'entrée. On appelle ce type de circuit "passe-bas" car seules les amplitudes des faibles fréquences auront des valeurs mesurables. La question étant de savoir que signifie "faible". Le point de repère choisit est la valeur du gain lorsque : 1 𝜏  𝜔𝐶 = = 1  𝑅𝐶  Soit 𝐺𝐶 = −10 log(2) ~ − 10 log(100,3 ) = −3𝑑𝐵 (26) fC = 2 / C est appelée fréquence de coupure du filtre passe bas. La plage de fréquences comprises entre 0 Hz et fc est sa bande passante. 6.4. Filtre passe haut 6.4.1. Calcul du gain Nous allons reprendre exactement le même raisonnement que pour le filtre passe bas mais nous allons calculer la fonction de transfert et le gain du circuit de la figure 4a aux bornes de R. En appliquant le pont diviseur de tension sur la résistance, on obtient 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑢𝑅 = 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 𝑢𝑒 (27) On déduit de l'équation 27 la fonction de transfert aux bornes de R : 𝐻𝑅 (𝜔) = 𝑢𝑅 𝑢𝑒 𝑗𝜔𝑅𝐶 = 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 (28) Et de là le gain du circuit RC 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝐺𝐶 (𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔 |𝑗𝜔𝑅𝐶+1| = 20log⁡(𝜔𝑅𝐶) − 10log⁡(1 + (𝜔𝑅𝐶)2 ) 6.4.2. Représentation graphique L'allure du gain de l'équation 29 est donnée sur la figure 8. 12 (29) N. Lidgi-Guigui DUT Sciences et Génie des matériaux 2014-2015 Figure 8 : Diagramme de Bode pour le gain d'un filtre passe bas Comme pour le filtre passe bas, le gain est inférieur ou égal à 0. Le circuit ne produisant pas d'énergie, cela est logique. Ce type de circuit est dit passif. On remarque que cette fois ci, le gain croit progressivement jusqu'à atteindre une valeur nulle. Autrement dit pour les fréquences les plus basses, le gain du circuit est négatif : l'amplitude de la tension de sortie est beaucoup plus faible que celle d'entrée. On appelle ce type de circuit "passe-haut" car seules les amplitudes des hautes fréquences auront des valeurs mesurables. De même que précédemment, on définira la notion de "haute" fréquence en prenant comme point de repère la pulsation de coupure du filtre  1 𝜏 𝜔𝐶 = = 1  𝑅𝐶  Soit 𝐺𝐶 = −10 log(2) ~ − 10 log(100,3 ) = −3𝑑𝐵 (31) 7. Conclusion L'objet de ce cours d'électricité est de vous familiariser avec les composants de base de l'électronique et leur utilisation dans des circuits simples. Pour cela il a été nécessaire d'aborder le régime sinusoïdal dépendant du temps et par conséquent la notation complexe de la tension et de l'intensité. Nous avons appliqué ces notions au circuit RC et on remarque qu'en fonction de l'endroit où l'on prend la tension de sortie il est possible de réaliser un filtre passe bas ou un filtre passe haut. 13